运动会项目-会议串词

经济数学期末考试试卷(A卷)
经济数学期末考试试卷（A卷）

一、
填空题（ 满分15分，每小题 3 分）
1. 设
f(x)
1
1lnx
1x
2
的定义域为 .
2. 当
x0
时，若
ln(1ax
2
)
与
xsinx
是等价无穷小量，则常数
a
．
3. 设
f

(x
f(x
0
)f(x
0
2h )
0
)A
，则
lim
h0
h

.
4. 设
f(x)
在
(,)
上的一个原函数为
sin2x
，则
f

(x)
.
5. 设
f(x)
为连续函数，且
f(x)x2
1
0
f(t)dt
，则
f(x)
．

二、选择题：（ 满分15分，每小题 3 分）

sin
6．设
f

x



x

xx0
，则在
x0
处，
f(x)
（ ）


1x0
（A）．连续 （B）．左、右极限存在但不相等
（C）．极限存在但不连续 （D）．左、右极限不存在
x
2
7. 设
f(x)
x
sin

x
，则函数
f(x)
（ ）
（A）有无穷多个第一类间断点； （B）只有1个可去间断点；
（C）有2个跳跃间断点； （D）有3个可去间断点． 8．若点
(1,4)
是曲线
yax
2
bx
3
的拐点，则 ( )
（A）
a6,b2
； （B）
a2,b6
； （C）
ab1
； （D）
ab2
．
9. 下列各式中正确的是（ ）
（A）．(

b
a
f(x)dx)

f(x)
（B）．
df(x)f

(x)dx

（C）．
d(

f(x)dx)f(x)
（D）．
(

x
a
f(t)dt)

f(t)< br>
10．某种产品的市场需求规律为
Q8005p
，则价格
p1 20
时的需求弹性

d

（
（A）．4 （B）．3 （C）．4 % （D）．3 %

三、计算题（ 每小题5 分，共20分）:
11．求极限：
lim(
x< br>x1
1x

1
lnx
)

1 10

）

经济数学期末考试试卷(A卷)
12．设
lim(
x
xa
x
)8
，求常数
a
的值.
xa
sinx
13．设
yx
，求
dy|
x< br>


x2cost
d
2
y
14．设
，求
2

dx

y3sint

四、计算题（10分）
15．设
f(x)


sinx,x0
．
axb,x0

（1）确定常数
a,b
的值，使
f(x)
在
x0
处可导；
（2）求
f

(x)
；
（3）问
f

(x)
在
x0
处是否连续．

五、计算题（满分10分）
1

1e
x
dx


lnx
17．求广义积分：

dx

2
1
x
16．求不定积分：
六、应用题（ 满分20分）
18．过原点作曲线
ylnx
的切线，求该切线与曲线
ylnx
及
x
轴所围成的平面图形的面
积，并求该图形绕
x
轴旋转一周所成立体的体积 。
19．设生产某产品的固定成本为10万元，产量为
x
吨时的边际收入函数为R

(x)10x32
，
边际成本为
C

(x)4020x3x
。求
（1）总利润函数； （2）产量为多少时，总利润最大？

七、（ 满分10分，每小题 5 分）证明题: < br>x

1
f(t)dt,axb

20．设
f(x )
在
[a,b]
上连续且单调递增，证明
F(x)

x a

a
在区间

xa

f(a),
2< br>[a,b]
上也单调递增.
21．设
f(x)
在
[0,
]
上可导，
f()0
，证明存在

(0,)，使得
222



f(

)tan

f

(

)0

2 10

经济数学期末考试试卷(A卷)


































一、
1.
(0,e
1
)(e
1
,)
；

二、6．（B）； 7.（D）；

答案及评分标准
1
； 3.
2A
； 4.
．（A）； 9. （B）；
3 10
4sin2x
； 5.
10．（B）．
x1
． 2.
8

经济数学期末考试试卷(A卷)
三、11．【解】
lim(
x1
x1xlnx1x
)lim
................... .....（2分）
x1
(1x)lnx1xlnx

lim
lnx111
lim
............（5分）
x1
1x
x1
11
2
lnx
2xxx
xa2ax
1
x
lim
xa
x
2a
2a

xa
x
xa
)lim(1)
 ee
2a
............（3分） 1 2．【解】因为
lim(
x
xa
x
xa
2ax
故
e
2a
3
8
，因此
aln2
... .........................................（5分）
2
sinxlnx
13．【解】因
dyd(e)e
sinxlnx
d(sinxlnx)
...............................（2分）
sinxlnx

e
所以
dy|
x

e
14．【解】
sin
ln

(cosxlnx
sinx
)dx
......... ............（4分）
x
(cos

ln


sin


)dxln

dx
...... ..................（5分）
dyy

(t)3cost3cott
.................................... （2分）
dxx

(t)2sint2
3
(cott)

dyddy3csc
2
t3
3
2
() csct
............（5分）
dx
2
dxdxx

(t)22sint4
2
x
2
y
2
dy9x1
，两边对
x
求导，得

【另解】函数的隐函数方程为. ...........（2分）
49
dx4y
9x
dy
yx( )
yx
d
2
yddy9981
4y
dx
 ()
............（5分）
2223
dxdxdx4y4y4y

四、15．【解】（1）由
f (x)
在
x0
处可导，知
f(x)
在
x0
处连 续且
f

(0)
存在，因此
< br>f(0)limf(x)
，
f


(0)f
< br>
(0)

x0
因
limf(x)limf(x)li m(axb)b
，
f(0)sin00
，故
b0

x0
x0

x0

又
f

(0)lim
x0

f(x)f(0)axf(x)f(0) sinx
，
f


(0)limlimalim1


x0x0x0
xxxx
故
a1
，
f

(0)f


(0)f


( 0)1
，且
4 10

经济数学期末考试试卷(A卷)

f(x)


sinx,
x,
x0
x0
....................... .............（4分）
（2）当
x0
时，
f
< br>(x)(sinx)

cosx
；当
x0
时，
f

(x)(x)

1

因此，
f

(x)

（3）因为

limf

(x)limcosx1
，
limf
(x)lim11
，
f

(0)1

x0
x0

x0

x0


co sx,

1,
x0
x0
。................. ..........................（7分）
所以，
limf

(x)f

(0)
，即
f

(x)
在
x0
处是否连续．.....................（10分）
x0

1e
x
1
dxdxd(1e
x)ln(1e
x
)C
.............（5分）五、16．【解 】


xxx

1e1e1e
17．

lnx1lnx

11
dxlnxd()|(
1

1
x
2

1

1
x
)
x
dx
............（3分）
xx
1
lnx1

1

 lim|
1
lim(
x
)(lim1)1
..... .......（5分）
xxx
xxx1

六、18 ．【解】设切点为
(x
0
,lnx
0
)
，则由
y< br>

1
1
得切线的斜率为
k
，切线方程为
x
0
x

ylnx
0

1
(xx
0
)
（1）
x
0
因切线过原点，将
x0
，
y0
代 入（1）式，解得
x
0
e
，故切点为
(e,1)
，切线方 程为

ylne
11
(xe)
即
yx
............（4分）
ee
该切线与曲线
y lnx
及
x
轴所围成的平面图形的面积为
e
1ee
e

Ae1

lnxdxx(lnx1)|
1
1
............（ 7分）
1
222
所求旋转体的体积为

V

1e
19．【解】由题设。有
C(x)C(0)
1
3
2

e
1

ln
2
xdx

ee
e



x(ln
2
x2lnx2)|
1
2

(1)......（10分）
33
x

x
0
C
< br>(t)dt10

(4020t3t
2
)dt
1 040x10x
2
x
3

0
5 10

经济数学期末考试试卷(A卷)
R(x)R(0)

R

(t)dt0

(10t32)dt5x
2
3 2x

00
xx
（1）总利润函数为

L(x)R(x)C(x)(5x32x)(1040x10xx)


1072x15xx

（2）
L

(x)R< br>
(x)C

(x)(10x32)(4020x3x)3 x30x72


L

(x)6x30

令
L

( x)0
，得
x12
（
x2
不合题意，舍去），
L< br>
(12)61230420
，故
当产量为12吨时，总利润 最大。

22
223
23

七、20．【证明】因为f(x)
在
[a,b]
上连续，所以
F(x)


limF(x)lim
xa

xa

x
a< br>x
a
f(t)dt
在
(a,b]
上连续，又
xa
f(t)dt
xa
lim

xa
f(x)
 f(a)F(a)

1
故
F(x)
在
[a,b]
上连续。.....................（2分）
当
axb
时，由
f(x)
在
[a,b]
上单调递增，知


F(x)[
x
a
f(t)dt
xa
]


(xa)f(x)

f(t)dt
(xa)
a
2
x


x
a
[f(x)f(t)] dt
(xa)
2
0

因此
F(x)
在区间
[a,b]
上也单调递增. .....................（5分）
21．【证明】令
F(x)sin xf(x)
，
x[0,

]
，则
F(x)
在< br>[0,]
上连续，且
22

F

(x)cosxf(x)sinxf

(x)
，< br>x(0,
又
F(0)sin0f(0)0
F()sin
< br>2
)
...............（2分）

2
f ()0
，故由Rolle定理知，存在

(0,)
，使得
222



F

(

)cos

f(

)sin

f

(

)0

两边同除以
cos

，得
< br>f(

)tan

f

(

) 0
.....................（5分）

6 10

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7 10

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8 10

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9 10

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10 10