四年级作文胜似亲人-市场部经理岗位职责

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
盈 亏 问 题
（第一讲）


盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不 同的情况．分配不足时，称之为“亏”，
分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品 平均分给一定数量的人时，如果
每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足( 也就是亏)，凡研究这一
类算法的应用题叫做“盈亏问题”。盈亏问题是一类古老的问题。它讨论的是： 在分配物品时，
人数一定，在两种分配方案中，第一种分配有余（盈），第二种分配不足（亏）；或者两 种都不
足，或者两种都有余。解答的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝
份数。
一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：(盈

亏)

两次每 人分配数的差

分的人数或
单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※小朋友分桃子，每人8个多7个，每人10个少9个。有（ ）个小朋友，有（ ）
个桃子。
※智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4个就多9个，如果每 人分5
个则少6个，问：有（ ）位同学，有（ ）个糖果。
※一堆糖果有十几颗，每人分4块多2块，每人分5块少1块，想一想，有（ ）块糖果，
有（ ）个人。
※秋天到了，小白兔收了一些萝卜，它按照计划吃的天数算一 下，如果每天吃4个，则多出
8个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜，那么小白兔收回有（ ）个萝卜，计划吃（ ）
天。
※一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如 果每人栽7棵，就缺4棵。这个植
树小组（ ）人，一共有（ ）棵树。
※三 年级一班少先队员参加学校搬砖劳动，如果每人搬4块，还剩7块；如果每人搬5块，
则少2块，参加劳 动的少先队员有（ ）个，要搬的砖共有（ ）块。
※幼儿园把一些积木分给小朋友， 如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差
40个。幼儿园有（ ）个小朋友，一共有（ ）个积木。
※一袋巧克力，每人分4块，还剩2块，每人分6块，少4块，这袋巧克力有（ ）块，
有（ ）个人。
※幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具； 如果每班分10个玩具，
则少12个玩具。幼儿园有（ ）个班，玩具有（ ）个。 < br>※山上有群猴，摘了一篮桃。1只吃1个，刚好剩1个，1只吃两个，有1只没吃着。你来
猜一猜 ，猴（ ）只来桃（ ）个。
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※小朋友分糖果，若每人分4颗则多9颗，若每人分5颗，则少6颗，有（ ）个小朋友，
有（ ）颗糖。
※猪妈妈带着孩子们去野餐，如果每张餐布周围坐4只 小猪就有6只小猪没地方坐；如果每
张餐布周围多坐1只小猪就会余出4个空位置，一共有（ ）只小猪，猪妈妈一共带了（ ）
张餐布。
※王老师到新华书店去买书，若买5本则多5元钱；若买7本则少3元钱，这本书的单价是
（ ）元，王老师共带了（ ）元钱。
盈 亏 问 题
（第二讲）


盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。(盈

亏)< br>
两次分得之差

分
的人数或单位数
两次都有余（盈）可用 公式：(大盈

小盈)

两次每人分配数的差

分的人数或 单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
※小朋友分糖果，如果每人分5颗，那么还余12颗；如果每人分8颗，还余3颗。有（ ）
个小朋友，有（ ）颗糖。
※小明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元 钱，就多出8元钱；如果每人出7
元，就多出了4元。那么有（ ）个同学去买蛋糕，这个蛋糕的价钱是（ ）元。
※学校体育室有一些羽毛球，如果每盒装7 个，则多出14个；如果每盒装9个，则多出4
个。有（ ）个盒子，有（ ）个羽毛球。
※老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多 出2
个桃，那么一共有（ ）只小猴子，老猴子一共有（ ）个桃子。
※有一 批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本；如果每人7本，则多10本，那么这
个班有（ ）位学生，有（ ）本练习本。
※老师把一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分5本，则 多了14本；如果每人分7本，
则多了2本，优秀少先队员有（ ）人，老师买来（ ）本练习本。
※一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种6棵，还有24棵没种；如果每人种9棵 ，
还有6棵没有种。有（ ）名少先队员，有（ ）棵树。
※王老师给美 术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；如果每人分
8支还多3支。有（ ）支彩笔，有（ ）人。
※几只小白兔分一堆萝卜，每只分5个则多12个，每只分7个则多2个，有（ ）只小
白兔，有（ ）个萝卜。
※老猴子找到一挂香蕉，想把它分给自己喜欢的小猴子 们，如果第只小猴分3根，则剩下
10根；如果每只小猴分6根，还剩下1根，一共有（ ）只小猴，这挂香蕉有（ ）根。
盈 亏 问 题
（第三讲）


两次都不够（亏），可用公式：(大亏

小亏)

两次每 人分配数的差

分的人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。 每次分的数量×份数－亏=总数量
2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※学校 将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖7支，则缺7支；如果每人奖9支，则缺25
支。三好学生有（ ）人，铅笔有（ ）支。
※将一批本子发给学生，每人发10本，差28本；若每人发8本，则仍差8本，有（ ）
个学生，有（ ）个本子。
※将月季花插入一些花瓶中，如果每瓶改为插6朵，则 缺少1朵；如果每瓶插8朵，则缺
少15朵。花瓶有（ ）只，月季花有（ ）朵。 ※美术小组的同学分发图画纸。如果每人发3张，则少2张；如果每人发5张，则少12张。
美术小 组有（ ）名同学，一共有（ ）张图画纸。
※幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每 个人发9块就少24块，如果每个人发6块就少12块，
幼儿园有（ ）个小朋友，有（ ）块糖。
※把一些苹果分给客人，如果每人8个缺少16个；如果每人6个缺少8个。有（ ）位
客人，有（ ）个苹果。
※学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬6棵，则 差4棵；如果每人搬8棵，则差18
棵，学生有（ ）人，这批树苗有（ ）棵。
※王老师有铅笔若干支，奖给三好学生，若每人奖9支缺少15支；若每人奖7支则缺少7
支。 三好学生有（ ）人，铅笔有（ ）支。
※几只猴子分桃子，每只猴子分10个则差6个；每只猴子分12个则差14个。有（ ）
只猴子，有（ ）个桃子。
盈 亏 问 题
（第四讲）


盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差＝份数。(盈

亏)< br>
两次分得之差

分
的人数或单位数
一次分得有余（盈）或差（亏），一次分得正好，可用公式：
（盈的数）或（亏的数）÷两次每人分配数的差

分的人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※杨老师将一叠练习本分给同学。如果每人分7本还多7本 ；如果每人分8本则正好分完。
算一算有（ ）个学生，这叠练习本一共有（ ）本。
※猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼；每只小猫分11条鱼则正好分完，
那么一共有（ ）只小猫，一共有（ ）条鱼。
※学而思学校三年级基础班的一部分同学 分小玩具，如果每人分4个就少9个；如果每人分
3个正好分完，有（ ）位同学，有（ ）个玩具。
※学而思学校买来一批足球分给各班：如果每班分4个，就差16个；如果每班分2个，则
正好分完，学而思小学一共有（ ）个班，买来（ ）个足球。
※一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每个分5粒正好分完。有（ ）
位学生，共有（ ）粒糖果。
3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※老师 将一些练习本发给班上的学生。如果每人发10本，则有两个学生没分到；如果每人
发8本，则正好发完 。有（ ）个学生；有（ ）本练习本。
盈 亏 问 题
（第五讲）


盈亏问题的基本关系式：盈亏总额÷两次分配数之差 ＝份数。(盈

亏)

两次分得之差

分
的人数或 单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出。每次分的数量×份数＋盈=总数量
每次分的数量×份数－亏=总数量
※学校为新生分配宿舍，每个房间住 3人，则多出13人；每个房间住5人，则空出3个房
间，宿舍有（ ）间，新生有（ ）人。
※某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍（ ）间，住宿生有（ ）人。
※学校给一批新入学的学生分配宿舍 。如果每个房间住6人，则4人没有位置；如果每个
房间住8人，则空出1个房间。学生宿舍有（ ）间，住宿学生有（ ）人。
※某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住4人，则多出4 人；若每间宿舍住7人，
则多出2间宿舍。宿舍有（ ）间，寄宿学生有（ ）人。
※学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9人，则空
出1个房间。学生宿舍有（ ）间，住宿学生有（ ）人。
※某校安排宿舍，如果 每间6人，则6人没有床位；如果每间8人，则多出10个床位。问
宿舍有（ ）间，学生有（ ）人。
※育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐10人，则有5人不能乘车；如果每车多坐5
人，恰好多余了一辆车。一共有( )辆汽车,有( )学生。
※实验小学 学生乘车去春游，如果每辆车从30人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐
5人，恰好多出一辆车， 一共有（ ）辆车，有（ ）个学生。
※实验小学学生坐汽车去春游，如果每车坐6人 ，则多1人；如果每车做8人，则少5人。
问一共有（ ）辆车，有（ ）学生。 < br>※三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少1条船；如果每条船坐6人，则多
出4条 船，公园有（ ）条船，三（1）班有（ ）学生。
※学校规定上午8时到校，小强 由家到学校，如果每分钟走30米，上课就要迟到3分钟；如
果每分钟走40米，就可以比上课时间提前 2分钟到校。小强（ ）时（ ）离家刚好8时到
校，小强家到学校的路程是（ ）米。
※学校规定上午8时到校，东东从家去学校，如果每分钟走50米，结果比上课提前4分钟
到校；如果每分钟走40米，则要迟到2分钟，那么东东（ ）时（ ）离家刚好8时到校，
东东家到学校的路程是（ ）米。
※学校规定上午8时 到校，王老师由家到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到1
分钟；如果每分钟骑车600米， 就可以比课时间提前1分钟到校。王老师（ ）时（ ）离家
4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
刚好8时到校，王老师家到学校的路是（ ）米。
※学校规定上午8时到校，小明去 上学，如果每分钟走60米，可提前10分钟到校；如果
每分钟走50米，可提早8分钟到校，小明（ ）时（ ）离家刚好8时到校，由家到学校的
路程是（ ）米。
还 原 问 题（
第一讲
）



“一个数加上3，乘以3，再 减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几呢？”像这样
已知一个数的变化过程和最后的结果，求原 来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答“还
原问题”一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。 原来加的，退回去用减；原来减的，退回
去用加；原来乘的，退回去用除；原来除的，退回去用乘。换句 话说，从结果出发，按它变化
的相反方向，一步一步倒着想，一步一步退还到原来的出发点，直到问题解 决。
※一个数加上6，乘以3，再减去5得22，这个数是（ ）。
※一个数加上5，乘5，减去5，再除以5，结果还是5，这个数是（ ）。
※某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，这个数是（ ）。
※某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10。这个数是（ ）。
※一个数的7倍加上3减去8乘以3得27，这个数（ ）。
※一个数加上8，乘以8，减去8，再除以8，结果还是8.这个数是（ ）。
※一个数减16加上24，再除以7得到9，这个数是（ ）。
※某数加上3，乘5，再减去8，等于12，这个数是（ ）。
※我爷爷说：“把 我的年龄加上25，除以4，再减去23，最后乘以25，恰好是半百。”请你
猜猜我的爷爷今年（ ）岁。
※有一位老人说：“把我的年龄加上4后除以3，再减去6，最后用5乘，恰巧是100岁。”
这位老人今年（ ）岁。
※老爷爷说：“把我的年龄加上12，再用4除，然后减去 15，再乘以10，恰好是100岁。”
老爷爷现在（ ）岁。
※有一个说：“把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。”这个人（ ）岁。
※小明有一些零用钱，妈妈又给了他5元，他买了一本书用去12元，这时还剩下10元。小
明 原来有（ ）元零用钱。
※水果店原有一些水果，又运来42箱，上午卖出27箱，下 午卖出38箱，这时还剩15箱。
水果店原来有水果（ ）箱。
※一根绳子，第一次用去一半，第二次用去3米，这时还剩下5米，这根绳子原来长（ ）
米。
※妈妈带了一些钱去买菜，先用了总钱数的一半，又用了8元，这时还剩下20元，妈妈带
了（ ）元钱去买菜。
※妈妈带了一些钱去买菜，先用了8元，又用了剩下钱数的一半，还剩下20元，妈妈带了
（ ）元钱去买菜。
5文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※一根电线，第一次用去2米，第二次用去剩下的一半，第三次又用去3米，还剩下5米。
这根电线原来 有（ ）米。
还 原 问 题（
第二讲
）

还原问题是 逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一
个已知量，要求求出原来的 未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算。
※在做一道加法式题时，某学生把 个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和
是123。正确的答案是（ ）。
※小明在做一道加法计算题时，把个位上的4看作7，十位上的8看作2，结果和是306。
正 确的答案应该是（ ）。
※小马虎在计算两个数相减时，一粗心竟把被减数个位的6看成了9， 减数十位的1看成了
7，结果得88。问正确的结果应为（ ）。
※丁丁在做一道减 法时，把减数个位上的3看成了8，十位上的9看成了6，结果等于48，
正确的差应该是（ ）。
※文文在做一道加法时，把一个加数个位上的4看成了1，十位上的6看成了0，百位上的
1看成了7，结果是861，正确的和应该是（ ）。
※王大爷去粮站买米，粮站的陈叔 叔因粗心，错把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算
了3千克，合计卖给王大爷60千克米。王大爷 实际购买了（ ）千克。
还 原 问 题（
第三讲
）

解答 还原问题时，一定要认真分析题目中问题的结构特征和类型，认真分析数量关系和内
在联系，结合示意图 、线段图帮助理解。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使
用括号。
※李奶奶卖 鸡蛋，她上午卖出总数的一半多1个，下午又卖出剩下的一半多1个，最后还剩
3个鸡蛋没有卖出。李奶 奶原来有（ ）个鸡蛋。
※一只油桶装满了油，第一次取出了总数的一半多1千克，第二次取 出余下的一半多2千克，
桶中还剩3千克。原来桶中共装了（ ）千克油。
※一捆电 线，第一次用去全长了一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，还剩下7米。
这捆电线原来长（ ）米。
※妈妈买了一些苹果，小明一家人第一天吃了苹果的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，最后还剩2个苹果，妈妈一共买了（ ）个苹果。
※有一篮鸡蛋，第一次取出一半 多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出8个，
篮里还剩2个鸡蛋。篮里原来有（ ）个鸡蛋。
※有一篮鸡蛋，第一次取出全部的一半还多1个，第二次取出余下的一半少2个，篮里还剩
2个，篮里原有鸡蛋（ ）个。
※工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还 多2千米，第二天修了余下了一半还少1
千米，还剩2千米没有修完。公路的全长是（ ）千米。
※有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少2个，筐中还剩20个，筐中原有苹果（ ）个。
※爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半 多1个，第二天吃了剩下的一半多
6文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了（ ）个橘子。
※某 人从甲地到乙地，第一次行了全程的一半多4千米；第二次行了余下的一半多3千米；
第三次又行了余下 的一半多2千米。这时他离乙地还有8千米。甲、乙两地相距（ ）千米。
※
4
猴子吃桃子，第一天吃了一半又一只，第二天吃了余下的一半又一只，第三天也吃了余
下的一半又一只 ，第四天、第五天都分别吃了前一天余下的一半又一只，最后只剩下一只桃子。
原来有（ ）只桃子。
※某人从甲地到乙地，第一次行了全程的一半多4千米，第二次行了余下的一半多3千米，
第三又次行了余下的一半多2千米，这时他离乙地还有8千米。甲乙两地相距（ ）千米。 < br>※袋子里有若干个小球，小明每次拿出其中的一半多1个球，这样共操作了3次，袋子里还有
2个 球。袋里原来有（ ）个球。
※袋子里有若干个小球，小明每次拿出其中的一半再放 回1个球，这样共操作了5次后
袋子里还有1个小球，袋里原来有（ ）个球。
还 原 问 题（
第 四 讲
）
用还原法解题，一般用倒退法，简单说，就是倒过来想。 根据题意，从结果出发，按它变
化的相反方向一步步倒着推想。
※一个数减24加上15，再乘以8得432，求这个数。
※甲、乙、丙三人各有一些连环画 ，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人的本数同样多，乙
原来比丙多多少本？
※李奶奶卖鸡蛋 ，她上午卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还
剩65个鸡蛋没有卖出。李 奶奶原来有多少个鸡蛋？
线段图： 余下的一半 多10个
总数的一半 多10个 剩下65个
※小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小 宁
给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人
原来各有画片多少张？
※两人一起搬运图书60本，李明抢先拿了一些，王平看他拿得太多，就抢走 了一半，李明
不肯，王平就给了他10本，这时李明比王平多4本。问李明最初拿了多少本？
※一个数加上3，乘以3，在减去3，最后除以3，结果还是3，这个数是几？
※一个数的4倍加上6减去10，乘以2的88，求这个数。
※一个数缩小2倍，在缩小2倍的80，求这个数。
※小松、小明、小航各有玻璃球若干个， 如果小松给小明10个，小明给小航6个后，三人
的个数同样多，小明原来比小航多几个？
※ 甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组13本后，乙组又送给丙组6本，这
时三个组图书的 本数同样多，原来乙组和丙组哪个组的图书多，多几本？
※甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张， 如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3
张，那么他们每人各有30张，问原来三人各有年历卡多少 张？
※竹篮内有若干李子，取它的一半又一枚给第一人，再取余下的一半又两枚给第二人，还剩
下6每李子。竹篮内原来有李子多少枚？
※王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多10元存入银 行，又拿出余下的一半多5元买
米、油，剩下80元买菜。王叔叔拿工资多少元？
※妈妈买来 一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二天吃了剩下的一半少2个，还剩下
7文档来源为:从网络收 集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5个。妈妈买了多少个橘子。
※三筐苹果共90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从 乙筐取出20千克放入丙筐，
从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果同样重。甲、乙、丙原来各有 苹果多少千克？
※三年级三个班共有学生156人，若从3.1班调5人到3.2班，从3.2班调8 人到3.3班，
再从3.3班调4人到3.1班，这时每个班的人数相同。三个班原来各有学生多少人？
※小林、小芳、军军、小敏四个好朋友都爱看书。如果小林给小芳10本，小芳给军军12
本， 军军给小敏20本，小敏再给小林14本，四个人的本数同样多。已知他们共有112本书，
他们四人原 来各有多少本？
※兄弟俩争着挑26块砖，弟弟抢着装了一些，哥哥看弟弟挑得太多，就抢去一半，弟 弟不
服，哥哥就还给弟弟5块，这时两人一样多，问：弟弟最初准备挑多少块？
※两棵树上共 有麻雀28只，从第一棵树上飞走一半到第二棵树上，又从第二棵树上飞走3
只到第一棵，这时第二棵比 第一棵多6只。问最初第一棵树上有多少只麻雀？
※甲、乙两桶水各若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶 人样多的水放入乙桶，再从乙桶倒出和
甲桶同样多的水放入甲桶，这时两桶水恰好都是24千克。问两桶 谁原来各有多少千克？
植 树 问 题
（
第一讲
）
植 树造林，美化环境，造福人类，植树问题是数学中一种应用题，它有特殊的数量关系和
解题规律，这类题 主要研究总长度、树距、段数、树的棵数等数量之间的关系，此外像“上楼
梯”、 “锯木头”等许多相 似的问题也可以转化为“植树问题”来解决或借助“植树问题”的
思考方法来解决。植树问题包括三个要 素：1、总线路长；2、间距（株距）；3、棵数。只要知
道三个要素中的两个，就可以求出第三个。
我们把植树问题分为不封闭路线和封闭路线两种情况。并根据具体的情况分为四种类型。1、
不 封闭路线植树沿线两端都要植树；2、不封闭路线植树沿线一端植树，另一端不植树；3、不
封闭路线植 树沿线两端都不植树。4、封闭路线植树沿线是一个封闭图形的周长。
解答植树问题要考虑植树的方式，通常有两种情况：
1、在不封闭的路线上植树，①两端都植树，那么植树的棵树=间距个数+1；
②一端植树，一端不植树，棵树=间距个数；③两端都不植树，棵树=间距个数−1。
2、在封闭的路线上植树，棵树=间距个数。
植树问题中常用的数量关系式：总长=间距长×间距个数
※在一条长30米的大路两旁种树，每隔5米栽一棵，如果起点和终点都种一棵，一共要种
（ ）棵树。
※两座楼房之间相距40米，每隔4米栽一棵雪松，一直行共能栽（ ）棵雪松。
※同学们栽树，7棵树之间的距离是18米，照这样计算，30棵树的距离是（ ）米。
※在一条长300米的街道上，如果每隔6米栽一棵树，两端都不栽需要（ ）棵树，两端都
栽需要（ ）棵树。
8文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※11位小朋友站成一列做操，每相邻两位小朋友相隔2米，做操的队伍长（ ）米。
※国庆节时，学校大门挂了一些彩旗，从头到尾一共挂了12面彩旗，每两面彩旗之间相距2
米，学校 大门有（ ）米宽。
※学校举行田径运动会，要在跑道的一侧从头到尾每隔4米插一面彩旗，已 知学校跑道长
100米，需要插（ ）面小旗。
※人民南路两边从头到尾共有路灯184盏，每相邻的两盏灯之间相距10米，人民南路长
（ ）米。
※在一条长400米的公路两边栽树，每隔4米栽一棵，这样一共要栽（ ）棵。
※一条路上每隔10米有一根电线杆，连两端一共有31根电线杆，请问这条路共有（ ）
米。
※在一条长75米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻两个 树之
间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。

植 树 问 题
（
第二讲
）
在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头 尾两端重合在一起，所以种树的棵
数等于分成的段数。如右图所示。
植树问题中常用的数量关系式：总长=间距长×间距个数
棵数=段数=周长÷株距
※公园池塘的周围长48米，在池塘周围每隔6米种一棵柳树，一共要种
（ ）棵柳树。
※一个池塘的周长为90米，村民准备在它的周围每隔5米栽一棵柳树，应该准备（ ）
棵柳树才够栽。
※一个圆形的花坛，周长为160米，每隔8米种一株月季，每相邻的两株 月季之间均匀的栽
三株牡丹。可以栽（ ）株牡丹。
※一个湖泊周围长180米，现 每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树.问湖泊周
围一共栽了（ ）棵柳树，（ ）棵桃树？。
※一个圆形花坛周长200米，沿四周每隔5米载一棵柳树，花园周围一共载（ ）棵柳树。
※在正方形的花车的四周站着一些少先队员，每边站了8个人，并且四个顶点都站有1人，
求花车四周一共站了（ ）名少先队员。
※在正方形的草地的四周种一些树，每边种 了10棵树，并且四个顶点都种1棵，求正方形
的草地的四周一共种了（ ）棵树。
※王师傅把一根木头锯成3段用了8分钟，如果这根木头锯成8段，需要（ ）分钟。
植 树 问 题
（
第三讲
）
※有一根木料，要锯成6段，每锯一次要花4分钟，锯完要用（ ）分钟。
※有一根钢管，锯成16段需要45分钟，如果锯成20段需要（ ）分钟。
※一根钢管，锯成5段要用12分钟，把另外同样的一根钢管以同样的速度锯成10段，共要
9文档来 源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
（ ）分钟。
※一根木料在24秒內被切成了4段，用同样的速度切成5段，需要（ ）秒。
※小红从1楼上到6楼需要30秒，那么上到15楼需要（ ）秒。
※阳阳从1楼到3楼用了12秒，他从一楼到六楼需要（ ）秒。
※小红从一楼爬到四楼要6分钟，小军爬楼的速度是小红的2倍，请问小军从一楼爬到五楼
要（ ）分钟。
※爸爸和小芳一同上楼。小芳从一楼到五楼花了8分钟，爸爸上楼的速度是小芳的3倍，那< br>么爸爸从一楼到七楼要（ ）分钟。
※有一栋楼房高14层，相邻两层之间有16级台阶，亮亮从一层走到顶层，一共走（ ）
级台阶。
※一座楼房每上一层需要走16个台阶，到小樱家要走64个台阶，她家住（ ）楼。
※晶晶上楼，从第一层走到第三层要走36级台阶，那么从第一层走到第六层需要（ ）级台阶。

植 树 问 题
（
第五讲
）
※时钟4点时敲4下，用12秒敲完，那么6点时敲6下，用（ ）秒敲完。
※一个时钟4点钟敲4下，9秒钟敲完，那么8点钟敲8下，（ ）秒钟敲完。
※时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下 ，3点钟敲3下，依次类推；从1点到12点这12个小
时内时钟共敲了（ ）下。
※有一台挂钟，在3点整时敲了3下，6秒 钟敲完，那么这台挂钟在12点整时敲12下，需
要几秒钟敲完？
※某人要到一座高层楼的第 8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，
请问以同样的速度走到八层，还需要多 少秒？
※一根木料锯成3段要6分钟。如果每次锯的时间相同，那么锯7段要多少分钟？
※一幢楼房17层高，相邻两层有17级台阶。某人从1层到17层，要走多少级台阶？
※某 人到高层建筑的10楼去办事，从1层到5层用了100秒。如果用同样的速度到10层，
还需要多少秒 ？
※甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层楼时，乙跑到3层楼。照这样的速度，甲跑到16层
楼时，乙跑到多少层楼？
※一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽1棵树，起点和终点是站牌 ，不用栽树。一
共栽多少棵树？
※汽车站每隔10分钟开出一辆汽车，1小时开出多少辆汽车？
和 差 问 题
（第 一 讲）

小朋友们，在我们平时的生活中，常常会遇到这样的问题：已知一个班级里男生与女 生共
10文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
有40 人，男生比女生多4人，求男生和女生各有多少人？像这样已知两数和与两数差，求两个
数的应用题，叫 和差问题应用题。有些复杂的应用题，虽然题目中不是直接给出两个数的和与
差，但通过转化，可以推算 出某两个未知量的和与差，这样的应用题，我们也看做是和差问题。
方法指导：已知大、小两数之和与 大、小两数之差，求大、小两数的问题，我们称为和差问
题．和差问题的基本计算公式是：大数＝(和＋ 差)÷2 小数＝(和－差)÷2
在解答这类题目时，关键是找到两数和与两数差，再利用上述公式就可以解决问题了。
1、育才小学准备校庆活动，从花圃买来200盆花，其中 红花比黄花多30盆，红花和黄花
各有多少盆？
※大鹿和小鹿一共有32只，大鹿比小鹿多8只，大鹿和小鹿各多少只？
※数学兴趣小组有学生45人，男生比女生多3人，这个兴趣小组男、女生各有多少人？
※ 甲、乙两人同时写字，8分钟共写了72个字，已知甲每分钟比乙多写3个，问甲、乙两人
每分钟各写多 少字？
※三（6）班分成8个学习小组，平均每个小组8人，又知道这个班男生比女生多2人，三（6）班男生、女生各多少人？
※姐姐弟弟一起进行跳绳比赛，一共跳了240下，姐姐比弟弟多 跳40下，姐姐弟弟各跳了
多少下？
※兄弟俩的年龄和30岁，哥哥比弟弟大8岁，哥哥和弟弟各多少岁？
※姐姐和妹妹的年龄和是29岁，5年以后，姐姐比妹妹大5岁。问今年姐姐和妹妹各多少
岁？
※杨平期末考试语文和数学的总分是188分，语文比数学少10分，语文和数学各多少分？
※李刚上学期期终考试语文和数学的平均分数是92分， 数学成绩比语文成绩高6分，李刚
上学期期终考试语文、数学各得了多少分？

和 差 问 题
（第 二 讲）

※、姐妹俩共有卡通画100张，如果姐姐给妹妹10张 ，她们的卡通画的张数就同样多，姐
姐，妹妹各有多少张？
※甲、乙两仓库共有粮食278吨，如果从甲仓库运16吨 给乙仓库，那么两个仓库的粮食一
样多，甲、乙两仓库各有粮食 多少吨？
※甲、乙两个仓库 共存大米80吨．如果从甲仓库调15吨大米到乙仓库，两个仓库的大米正
好相等．求原来两个仓库各有 大米多少吨？
※王晓看一本故事书，两天看完全书的60页，如果第一天少看5页，第二天多看5页， 则
两天看得一样多，他原来两天各看多少页？
※甲、乙两袋面粉共120千克，如果从甲袋中 取10千克放入乙袋，那么两袋面粉就一样重
了，那么甲袋面粉多少千克？乙袋呢？
※甲、乙 两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，
问甲桶油原来多少千克， 乙桶油原来多少千克？
※舞蹈团和合唱团共有96名同学，如果从合唱团调8名同学到舞蹈团，那么两 个团的人数
11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
就相等了。原来合唱团和舞蹈团有多少名同学？
※甲乙两桶水共重60千克，从乙桶倒出8千 克水给甲桶，那么两桶水的重量正好相等地。
原来甲乙两桶水各重多少千克？
※一个两层书架 上面一共放了72本书，小君从上层拿了4本书借给小兰过后，上层还比下
层多8本，两层原来各有多少 本书？
※西湖小学和翠园小学一共有240人，后来西湖小学转走了30个学生，翠园小学转走了10个学生，这是西湖小学比翠园小学还多20个人，原来这两个学校各多少人？
※ 哥和弟弟的平均年龄是21岁，哥哥比弟弟大4岁。兄弟两个人各是多少岁？
※强强语文、数学两门考 试的平均分为90分，并且数学比语文高8分。你能算出强强这次
考试语文、数学各是多少分吗？
和 倍 问 题
（第 一 讲 ）
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两 个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解
答和倍问题时，我们要确定一个数为标准，一般是比较小的那个 数，假定它为一倍（一份），
再根据其他几个数与较小数的倍数关系，确定这几个数是较小数的几倍，然 后用除法求出较小
数，再算出其他各数。
解答和倍应用题的基本数量关系是：和÷（倍数＋1）=小数（两数和÷份数和＝每份数）
小数×倍数=大数 或和－小数=大数
1、兄弟两个去钓鱼，一共钓了24条，哥哥钓的鱼是弟弟的2倍，哥哥、弟弟各钓了多少条？
※学校有科技书和故事书共32本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本？
※用锡和铝制成的合金是72千克，其中铝的重量是锡的8倍。铝和锡各用了多少千克？
※甲数是乙数的9倍，甲乙两数之和是80，甲、乙各是多少？
※甲、乙两数的和是42，甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？
※学校买来篮球和 足球共27个，其中篮球的个数是足球的2倍。学校买来篮球和足球各多
少个？
※学校将36 本图书分给二、三年级，已知三年级所得的本数是二年级的3倍。二、三年级
各分得多少本图书上？ < br>※副食店中白糖的千克数正好是红糖的5倍，已知白糖和红糖共有18千克。副食店有白糖、
红糖 各多少千克？
※生产队养公鸡、母鸡共40只，其中公鸡的只数是母鸡的3倍。公鸡、母鸡各养了多少只？
※水果店运来苹果和梨共27千克，苹果是梨的一半，两种水果各运来多少千克?
※参加表演的学生一共45人，男生是女生的2倍，男生和女生各有多少人？
※五、六年级的 同学们共植树180棵，已知六年级植树的棵数是五年级的2倍。每个年级各
植树多少棵？
12文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※图书馆科技书和文艺书共240本，其中科技书是文艺书的5倍。这两种书各多少本？
※丁丁和当当共有100元钱，丁丁的钱是当当的4倍。丁丁比当当多多少元钱？
※陈梅家里养白兔和黑兔一共32只，白兔的只数是黑兔的3倍，养的白兔和黑兔各有多少
只？
※三(1)班同学做了50朵纸花，红花是白花的4倍，两种花各有多少朵?

※中年级有40人参加义务劳动，四年级参加的人数是三年级的3倍，两个年级各有多少人参加?
※甲班和乙班共有图书45本.甲班的图书本数是乙班的4倍，甲班和乙班各有图书多少本？
※小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈年龄是小红年龄的4倍,小红、妈妈各有多少岁？
和 倍 问 题
（第 二 讲 ）
※小华有弹子20个，红弹子是绿弹子个数的4倍，红弹子和绿弹子各有多少个？
※一枝钢笔 和一枝圆珠笔共价18元，钢笔的单价是圆珠笔的5倍，圆珠笔和钢笔的单价各
是多少元？
※ 一肉店卖出猪肉和牛肉共72千克,卖出的猪肉是卖出的牛肉的8倍,卖出的牛肉和猪肉个
多少千克?
2、甲仓库存粮14吨，乙仓库存粮10吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，那么必须从
乙 仓库运出多少吨放入甲仓库？
※弟弟有课外书10本，哥哥有课外书15本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的书是哥哥的4
倍？
※一书架上层有35本图书，下层有28本图书，上层要拿出多少本到下层，下层才是上层的
6 倍？
※甲桶有油13千克，乙桶有油15千克，甲桶要倒给乙桶多少千克，乙桶才是甲桶油的3
倍？
※小宁圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯12枝，问小青把多少枝给小宁后，小宁的圆珠笔芯
枝 数是小青的6倍？
※光明小学买来足球和篮球共30个，已知买来的足球的个数比篮球的2倍还多3个 ，学校
买来足球和篮球各多少个？
差 倍 问 题
（第 一 讲）

已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做差倍问题。差倍
问题 也类似于和倍问题，先确定较小的数是一倍数，再根据倍数关系确定差是一倍数的多少倍，
求出较小数， 再求出其他数。
13文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
解答差倍应用题的基本数量关系是：差÷（倍数－1）=小数（两数差÷份数差＝每份数）
小数×倍数=大数 或差＋小数=大数
1、桃树的棵数是梨树的3倍，桃树比梨树多18棵。桃树、梨树各有多少棵？
※兴趣小组借 着田园风光开展户外活动，其中民乐小组的人数是美术小组的4倍，美术小组
比民乐小组少24人。民乐 小组、美术小组各多少人？
※今年妈妈比儿子大25岁，妈妈的年龄是儿子的6倍，妈妈与儿子各多少岁？
※白天鹅的只 数是黑天鹅的3倍，黑天鹅再飞来12只就和白天鹅同样多了。黑天鹅、白天
鹅原来各有多少只？ ※参加学校课外美术小组的同学，女生人数是男生的4倍，男生再来9人就和女生同样多。
男、女生 各有多少人？
※爷爷的年龄是多多的7倍，爷爷比多多大48岁，你知道爷爷和多多各是多少岁吗？
※有甲、乙两袋大米，甲袋大米重量是乙袋大米重量的3倍，如果再往乙袋里装10千克大
米， 两袋大米就一样多了，原来甲、乙两袋各有大米多少千克？
※乐乐今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是乐乐的3倍？
※一个车间，女工 比男工少35人，男工人数是女工人数的2倍。这个车间男工、女工各多
少人？
※果园里桃树比杏树多90棵，桃树的棵树是杏树的3倍，桃树和杏树各多少棵？
※一棵杉树的高度是一棵松树的4倍，这棵极树比这棵松树高26米，杉树、松树各高多少
米？
※大仓库存粮比小仓库存粮多24吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各
存粮 多少吨？
※有两缸金鱼，如果从甲缸中取出25条放入乙缸，两缸内的金鱼数相等。已知原来甲缸的< br>金鱼数是乙缸的6倍，甲缸原有金鱼多少条？
※两筐重量相等的苹果，甲筐卖出7千克，乙筐卖 出19千克以后，甲筐余下的千克数是乙
筐的3倍，两筐苹果和有多少千克？
※一养鸡场，公鸡比母鸡少36只，母鸡是公鸡的4倍。公鸡、母鸡各多少只？
※一篮苹果比一篮桔子重40千克，苹果重量是桔子的5倍，苹果、桔子各有多少千克？
※一 种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆珠笔的
单价各是多少元？
※光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踢踺子人数的3倍，比踢踺子的多
36人 。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？
14文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
年 龄 问 题
（第 一 讲）

（1）爸爸今年35岁，明明今年8岁，他们相差（ ）岁，再过20年，爸爸（ ）岁，明明
（ ）岁，他们相差（ ）岁，他们的差距（ ）改变。（最后一个填“有”或“没有” ）
（2）爷爷今年72岁，可可今年8岁，爷爷的年龄是可可的（ ）倍，8年后，爷爷的年龄是
可可的（ ）倍。它们的倍数（ ）发生改变。（最后一个填“有”或“没有” ）
两个人的年龄在过了若干年后，
差距（ ）改变，但是倍数（ ）发生改变
年龄问题的三个基本特征：
一、知识点小结。
1、 两个人的年龄差是不变的。
2、 两个人的年龄是同时增加或同时减少的。
3、 两个人年龄的倍数是发生变化的。

二、解题方法总结。
1、依据知识点进行分析。
2、到较难题目时可以选择较为直观的线段图进行分析。
3、题目后要依据只是点进行检验（即把答案代入题目，看是否符合题意）。
※今年毛毛8岁，哥哥今年15岁，9年后，毛毛比哥哥小几岁？
※今年小猫2岁，老猫6岁，几年后它们的年龄和是12岁？
※叔叔和小华今年的年龄和正好是40岁，叔叔比小华大14岁，小华今年多少岁？
※明明的爸爸今年43岁，明明今年11岁，几年后爸爸的年龄是明明的3倍？
※今年姐妹俩的年龄和是40岁，5年后姐姐比妹妹大4岁，现在姐妹俩各是多少岁？
※爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后，爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈各多少
岁？
※强强今年11岁，军军今年7岁。当两人的年龄的是38岁时，两人各是多少岁？
※今年女儿7岁，妈妈33岁，多少年后她们的年龄和是60岁？
※小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时。两人各是多少岁？
※今年小猴7岁，老猴16岁，再过5年它们的年龄和是多少岁？
※今年弟弟7岁，哥哥16岁，当他们的年龄和是33岁时，两人各多少岁？
※叔叔比小利大20岁，明年叔叔的年龄正好是小利的3倍。小利今年多少岁？
※今年父亲的年龄正好是女儿的4倍，3年前，父女的年龄和是49岁，父女两人今年多少
岁？
※爷爷今年72岁，孙子今年12岁，孙子多大时，爷爷的年龄正好是他的4倍？
※小红和小康的年龄和是40岁，小康的年龄是小红的3倍多4岁。小康和小红各多少岁？
最 佳 安 排
（第一讲）

专题简析：科学地安排时间的方法，用最少的时间做最多的事，就叫做最佳安排。
小朋友在进 行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要
的时间；（3）要弄清 所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。
※明明早晨起来要完成以下几件事情： 洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2
分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样 安排
15文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
时间最少？最少要几分钟？
分析：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗， 不能烧开水，因而洗水
壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程 可用方框图
表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、 整
理书包，水开了就灌入水瓶，共需1＋12＋2=15分钟。
※红红早晨起来刷牙洗脸要4 分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃
早饭5分钟。红红应怎样合理安排？起床多 少分钟就能上学了？
※玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟， 洗茶杯要
1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝< br>上茶了？
※小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入 洗衣
机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？
最 佳 安 排
（第二讲）

※贴烧饼的时候，第 一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最
多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至 少需要几分钟？
思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻 过
去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分钟把第三个烧饼翻过
来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。3＋2＋1＋1
＋1= 8分钟
※用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。< br>现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？
※烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包 每面需要2分钟，那么烤三个面包
最少需要多少分钟？
※小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中 每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面
要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么 做的？
※小李买了一个烤面包机，每次可以放两片面包。烤面包时，第一面要烤2分钟，烤第二面时，再烤2分钟就够了，也就是说，烤一片面包需要4分钟。小李一家人每天吃早餐时，需要
吃6片 面包，他最少要烤多少分钟？
※用一个平底锅烙饼，每次只能放两张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正、 反面各1分钟），
问烙熟3张饼至少要几分钟？怎样烙？
最 佳 安 排
（第三讲）

※甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割 ，甲的麦地需要收
16文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
割4小 时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2小时。
怎样安排四人的顺 序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？
分析：所用时间是指四个人各自收割时间与等的时间的总 和。而各自收割的时间不变。要
让等的时间尽可能少，就应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁 、丙、甲，过程可用
下表表示：

乙收割的时丁收割的时丙收割的时甲收割的时
间
1
1
1
1

间

间


间
乙等的时间
丁等的时间
丙等的时间
甲等的时间
2
2
2
3
3

4
从表中可以看出，四人收 割的时间为：1＋2＋3＋4=10小时，三人等的时间为：1×3＋2×2
＋3=10小时，所以，最 少时间为10＋10=20小时。
※甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用2分钟，乙需 要用4分钟，丙需要
用1分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？
※卫生室 里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要4分钟，丙涂红药
水需要2分钟，丁点眼药 水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多
少分？
※三个顾客到同一 个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟。
怎样安排他们购买的顺序，使他 们所花的总时间最少？最少是多少？
最 佳 安 排
（第四讲）

※在 一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存
有20吨粮食，丁 粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一
个粮库中，如果每吨粮食运 1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？
思路导航：这种运输问题，运的货物越重路程越远 ，花费就越多。反之，如果移动的货物
重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相 等都是50千米，一般原则是
“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合 起来是30吨，还不
如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用1×1 0×50×
3=1500元，乙粮库需要1×20×50×20=2000元，共用1500＋2000 =3500元。
※一条公路上每隔20千米有1个仓库，共有5个仓库。1号仓库存有20吨货物，2 号仓库存有
30吨货物，5号仓库存有70吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所存的货物集中在一 个仓
库中，如果每吨货物运1千米要1元运费，那么最少要花多少运费？
※一条公路有四个储 油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储油站储有
17文档来源为:从网络收集整 理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
10吨 油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，
每吨油运1千米 要2元运费，那么最少要花多少运费？
※一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽 车站，才能使用三个学校的学
生上学放学所行的总路程最少？
最 佳 安 排
（第五讲）

※小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需 2分钟，乙马过河需
3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马 都赶到对
岸去，最少要几分钟？
思路导航：要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1）同时 过河的两匹马相差时间尽可能
小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2）过河后应骑时间少 的那匹马回来。因此，
赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需3＋2=5分 钟；然后骑丙马
赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，7＋3=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过 河，不再
回来，共需3分钟。所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5＋10＋3=18分钟。
※明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需
2分钟，丙 牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头牛过河，要把4头占都赶到
对岸去，最少要多少分 钟？
※小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2
分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸
去，最少要 多少分钟？
※有一农夫带了一条狗，一只兔子，一筐萝卜。要到河对面去，河里只有一条小船。因为< br>船小，农夫一次只能带一样东西，但是他不在时，狗会欺负胆小的兔子，兔子又会吃萝卜。请
同学 们帮他想想，应该怎样过河最好？
※一个人带着一只狼、一只山羊和一捆白菜过河，河边只有一条小船 ，一次只能带一样东西
过河。如果人不在，儿狼要吃山羊，而山羊要吃白菜。请你动脑筋，既不让狼吃山 羊，又不让
山羊吃白菜，他该怎样安排过河？
消 元 问 题
（第一讲）
知识导航：消元问题一般和等量代换结合在一起，需要同学们把数学信息转换成简单的数
学模型，再进行 消元代换求解。学习本讲初步掌握方程的思想，为以后解决比较复杂的题目奠
定基础！
※李大 妈买了6千克苹果和4千克白菜，共付32元钱。买1千克苹果和2千克白菜用的钱
一样多。那么1千克 白菜与1千克苹果各多少钱？
※吉凯利教育买了2张桌子和5椅子共付110元，每张桌子的价钱是每 把椅子价钱的3倍，
每张桌子多少元？
※张阿姨买了3斤苹果和4斤香蕉共22 元，已知一斤香蕉的价格是苹果的2倍，问每斤香
蕉和每斤苹果分别多少钱？
18文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
※小雨 买了2本故事书和8本童话书共32元，其中4本童话书的价格等于3本故事书的价
格，一本故事书和一 本童话书分别是多少钱?
※3本小笔记本和6本大笔记本一共24元，3本小笔记本和2本大笔记本的 价钱相等，问一
本小笔记本和一本大笔记本的价钱各是多少元？
※甲有3盒糖，乙有4盒薯片 共24元，如果甲有4盒糖，乙有3盒薯片共25元，那么一盒
糖和一盒薯片共多少钱？一盒糖和一盒薯 片分别多少钱？
※现有两种规格的水桶，已知4个小桶和5个大桶能装55千克水，如果是5个小桶和 6个
大桶能装67千克水，请问一个小桶和一个大桶分别装多少千克的水？
※超市购进一批水 果，已知苹果、桃子和菠萝一共重630千克，梨、菠萝和桃子共重730
千克，苹果、桃子和梨共重3 30千克，菠萝、苹果和梨共重800千克，请问超市购进四种水果
各多少千克？
※三年级有 三个班，已知甲、乙两班的人数比丙班多19人，乙丙两班的人数比甲班多59
人，甲丙两班的人数比乙 班多37人。甲乙丙三班各有多少人?
※中关村学校国庆节买来四种颜色的旗子，其中红色和黄色共8 3面，黄色的旗子和蓝色的
旗子共86面，蓝色的旗子和绿色的旗子共88面，问学校共买了红色和绿色 的旗子共多少面？
※1只兔子的重量和1只猴子的重量等于8只鸡的重量，又知道3只兔子的重量等于 9只鸡
的重量，请问一只猴的重量等于几只鸡的重量？
※ 妈妈买了4千克葡萄和3千克苹果 ，一共36元，已知买3千克苹果的钱正好买2千克葡
萄，那么葡萄、苹果每千克各多少钱？
※3年级同学植树，6名男同学和5名女同学共植树39棵，4名男同学和3名女同学共植树
25棵，请 问一名男同学和1名女同学各植树都少棵？
※一个花球、黑球、白球的重量是60克；一个灰球、黑球 、白球的重量是70克；一个灰球、
黑球、花球的重量是80克；一个灰球、白球、花球的重量是90克 。请问一个花球=（ ）克；
一个灰球=（ ）克；一个黑球=（ ）克；一个白球=（ ）克。
高 斯 求 和
（第一讲）
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算 出答案等于5050。高斯为什么算
得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并 且广泛地适用于“等差数列”
的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称 为一项，其中第一项称为首项，最后一
项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与 前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
19文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
其 中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，
公差为2 的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
※1＋2＋3＋…＋98＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首 项是1，末项是1999，共有1999
个数。由等差数列求和公式可得：原式=（1＋99）×98÷ 2＝
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
※11＋12＋13＋…＋31＝？
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的 ，这时就需要先求出项数。根据
首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项- 首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
※3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
※求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 < br>利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
※计算 ：1+2+3+4+…+18+19 ※计算：1+2+3+4+…+29+30
※计算：2+4+6+8+…+98+100 ※计算：40+41+42+…+61
※计算：13+14+15+…+27 ※计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110
※计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 ※计算：11+12+13+14+15+16+17+18+19
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

20文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.