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全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第一讲 集合概念及集合上的运算

知识、方法、技能

高中一年级数学（上）（ 试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或
具有某种性质）的对象集中在一起就成为 一个集合.
在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、< br>无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十
余个新 名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背
景的题目和用集合 表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述
排列组合，用集合的性质进行组 合计数等综合型题目.

赛题精讲
Ⅰ．集合中待定元素的确定
充分利用 集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高
中数学竞赛题.请看下述几 例.
例1：求点集
{(x,y)|lg(x
3
1
3
1< br>y)lgxlgy}
中元素的个数.
39
3
【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.
【略解】由所 设知
x0,y0,及x
3
1
3
1
yxy,

39
由平均值不等式，有
x
1
3
111
y 3
3
(x
3
)(y
3
)()xy,
3939
当且仅当
x
3
1
3
111
y,即 x
3
,y
3
（虚根舍去）时，等号成立.
3993
故所给点集仅有一个元素.
【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的 充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌
握之.
例2：已知
A{y|yx4 x3,xR},B{y|yx2x2,xR}.求AB.

【思路分析】先进一步确定集合A、B.
1 7
22

【 略解】
y(x2)11,
又
y(x1)33.

∴A=
{y|y1},B{y|y3},故AB{y|1y3}.

【评述】此题应避免如下错误解法：
联立方程组
2


yx4x3,
2
消去
y,2x2x10.
因方程无实根，故
AB

.

2

yx2x2.

22
这里的错因是 将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛
物线的值域.
例3：已知集合
A{(x,y)||x||y|a,a0},B{(x,y)||xy| 1|x||y|}.

若
AB
是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为 .
【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.
【略解】点集A是顶点为（a，0），（0 ，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如
图Ⅰ－1－1－1）.
将< br>|xy|1|x||y|
，变形为
(|x|1)(|y|1)0,

所以，集合B是由四条直线
x1,y1
构成.
欲使
AB
为正八边形的顶点所构成，只有
a2或1a2
这两种情况.
（1）当
a2
时，由于正八形的边长只能为2，显然有
2a222,

故
a22
.
（2）当
1a2
时，设正八形边长为l，则
2l
,l222,

2
l
这时，
a12.

2
lcos45
综上所述，a的值为
22或2,

2,0).

图Ⅰ－1－1－1

如图Ⅰ－1－1－1中
A(2,0),B(2
【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解 题过程中体会
此类题目的解法.
Ⅱ．集合之间的基本关系
充分应用集合之间的基本 关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合
综合题.请看下述几例.
2 7

例4：设集合
A{|nZ},B{n|nZ},C{n
在下列关系中，成立的是


A．
ABCD


n
2
1n1
|nZ},D{|nZ},
则
2 36
（ ）
B．
AB

,CD


D．
ABB,CD

C．
ABC,CD


12n1n12n1
,,nZ.

22366
n1n1
【解法1】∵
A{|nZ},B{n|nZ},C{n|nZ},D {|nZ},

2236
【思路分析】应注意数的特征，即
n
∴
ABC,CD
.故应选C.

【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令
A

 {
n

n

|nZ},B

{n

|nZ},C

{n

|nZ},D{|nZ}.

2236
3
x
上的角的集
3
结论仍然不变，显然 A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集
合，C′为终边在y轴上的角的集合 ，D′为终边在y轴上及在直线
y
合，故应选（C）.
【评述】解法1是直接法 ，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的
的角的集合，研究角的终边，思路清晰 易懂，实属巧思妙解.
例5：设有集合
A{x|x[x]2}和B{x||x|2 },求AB和AB
（其中[x]表示不
超过实数x之值的最大整数）.
【思路分析】应首先确定集合A与B.
从而
1x2.显然,2A.
∴
AB{x|2x2}.

若
xAB,则x[x]2,[x]{1,0,1,2},

从而得出
x
2
2
3([x]1)或x1([x]1).
于是
AB{1,3}

【评述】此题中集合B中元素x满足“|x|<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.
例6：设
f(x)x
2
bxc(b,cR),且A{x|xf(x),x R},B{x|xf[f(x)],xR}
，
如果A为只含一个元素的集合，则A=B.
【思路分析】应从A为只含一个元素的集合入手， 即从方程
f(x)x0
有重根来解之.
3 7

【略 解】设
A{

|

R},则方程f(x)x0
有重 根

，于是
f(x)x(x

),

2f(x)(x

)
2
x..从而xf[f(x)],
即
x[(x

)
2
(x

)]
2< br>(x

)
2
x,

整理得
(x

)[(x

1)1]0,
因
x,

均为实数
22
(x

1)
2
10,故x

.
即
B{

}A.

【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.
例7：已知
M{ (x,y)|yx},N{(x,y)|x(ya)1}.求MNN
成立时，a
需满足的充要条件.
【思路分析】由
MNN,可知NM.

【略解】
MNNNM.

由
x(ya)1得xyy(2a1)y(1a).
于是，
若
y(2a1)y(1a)0
①
2
22
22222
222
必有
yx,即NM.
而①成立的条件是
y
max
即
4(1a)(2a1)0,
解得
a1.

22
4(1a
2
)(2a1)
2
0,

4
1
4
【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转 化为不等式问题来求解.
例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，
C
r
 {(x,y)|xyr}.

若对任何
r0
都有
C
r
AC
r
B
，则必有
AB
.此命题是否正确？
【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可.
【略解】不正确.
反例：取
A{(x,y)|xy1},
B为A去掉（0，0）后的集合. 容易看出
C
r
AC
r
B,
但A不包含在B中.
【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.
Ⅲ．有限集合中元素的个数
有限集合元素的个数在课本P
23
介绍了如下性质：
一般地，对任意两个有限集合A、B，有
4 7
22
222