养护管理-蓝染惣右介语录

“启航”奥数中级教程（一）
启航奥数中级教程目录
第一册

第1讲 寻找规律（一） .......................................... .................................................. ...................................... 1
第2讲 寻找规律（二） .......................................... .................................................. ...................................... 3
第3讲 简单推理 ............................................. .................................................. ............................................... 6
第4讲 解决问题（一） ................................. .................................................. ............................................... 9
第5讲 算式之谜（一） ................................. .................................................. ............................................. 13
第6讲 算式之谜（二） ................................. .................................................. ............................................. 16
第7讲 最优问题 .................................... .................................................. .................................................. .... 19
第8讲 巧妙求和（一） ......................... .................................................. .................................................. ... 22
第9讲 变化规律（一） .......................... .................................................. .................................................. .. 25
第10讲 变化规律（二） ........................... .................................................. .................................................. . 28
第11讲 错中求解 ............................... .................................................. .................................................. ......... 31
第12讲 简单列举 ....................... .................................................. .................................................. ................. 34
第13讲 和倍问题 ............... .................................................. .................................................. ......................... 37
第14讲 植树问题 ....... .................................................. .................................................. ................................. 40
第15讲 图形面积问题 ........................................... .................................................. ....................................... 43
第16讲 巧妙求和（二） ................................. .................................................. ............................................. 47
第17讲 数数图形（一） ................................. .................................................. ............................................. 50
第18讲 数数图形（二） ................................. .................................................. ............................................. 53
第19讲 解决问题（二） ................................. .................................................. ............................................. 56
第20讲 速算巧算（一） ................................. .................................................. ............................................. 60
第21讲 速算巧算（二） ................................. .................................................. ............................................. 63
第二册
第22讲 平均数问题 ........................... .................................................. .................................................. ......... 66
第23讲 定义新运算 ...................... .................................................. .................................................. .............. 69
第24讲 差倍问题 .................. .................................................. .................................................. ...................... 72
第25讲 和差问题 .......... .................................................. .................................................. .............................. 75
第26讲 巧算年龄 .. .................................................. .................................................. ...................................... 78
第27讲 较复杂的和差倍问题 ........................................ .................................................. .............................. 81
第28讲 周期问题 .. .................................................. .................................................. ...................................... 84
第29讲 行程问题（一） .......................................... .................................................. .................................... 88
第30讲 假设法解题 ............................................ .................................................. .......................................... 92
第31讲 还原问题 .................................... .................................................. .................................................. .... 96
第32讲 逻辑推理 ............................ .................................................. .................................................. .......... 100
第33讲 速算巧算（三） .................. .................................................. .................................................. ........ 106
第34讲 行程问题（二） .................... .................................................. .................................................. ...... 110
第35讲 容斥原理 ......................... .................................................. .................................................. ............. 114
第36讲 二进制题 .................. .................................................. .................................................. .................... 118
第37讲 解决问题（三） ........ .................................................. .................................................. .................. 122
第38讲 解决问题（四） .......... .................................................. .................................................. ................ 126
第39讲 盈亏问题 ............... .................................................. .................................................. ....................... 130
第40讲 数学开放题 ....... .................................................. .................................................. ........................... 134

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“启航”奥数中级教程（一）
第1讲
▍
寻 找 规 律（一）
知识要点

观察是解决问题的根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律， 在一般情
况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从 不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都
可以认为是正确的。

【例题1】 先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（ ），16，19
【思维导航】在这列数中，相邻的两个数的差 都是3，即每一个数加上3都等于后面
的数。根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16 －3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
【练习1】先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19
（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192
（6）2，6，18，（ ），162，（ ）
（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3..
【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。1，2，4，7，
（ ），16，22
【思维导航】在这列数中，前4个数每相邻的两个数的差依次是1，2，3。由此可以
推算7比括号里的数少4，括号里应填：7+4=11。经验证，所填的数是正确的。
应填的数为：7+4=11或16-5=11。
【练习2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（ ），31
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2
（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8
（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0
（6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2
（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14
【例题3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
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“启航”奥数中级教程（一）
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
【思维导航】在这列数中，第一个数减去3的差是第三个数，第二个数加上2的和是< br>第四个数，第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数……依此规
律，8后 面的一个数为：17-3=14，11前面的数为：8+2=10
【练习3】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）
（2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14
（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）
（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12
（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486
（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）
（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）
【例题4】在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填
什么数？
【思维导航】经仔细观察、分析，不难发现：从 第三个数开始，每一个数都等于它前
面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：8+13=21 或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
【练习4】先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）0，1，3，8，21，（ ），144
（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）
（5）33，17，9，5，3，（ ）
（6）0，1，4，15，56，（ ）
（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78
（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）
【例题5】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
【思维导航】经仔细观察、分析，不难发现： 每个括号里的两个数相加的和都是12。
根据这一规律，□里所填的数应为：12－9=3
【练习5】下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）
（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）
（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）
（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）
（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
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“启航”奥数中级教程（一）
第2讲▍
寻
找 规 律（二）

知识要点

对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考： < br>1.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变
的方法，有时 需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法
再分析；
2.对于那 些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特
殊位置有关，这是我们解这类题 的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。

【例题1】根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。



【思维导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横
行中 间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
【练习1】找规律，在空格里填上适当的数。




【例题2】根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？



【思维导航】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：
5×12÷10=6 4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.
【练习2】根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。
（1）


（2）
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“启航”奥数中级教程（一）

（3）


【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写
出后几题的得数。1 2345679×9= 12345679×18=
12345679×54= 12345679×81=
【思维导航】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣 的“缺8数”，与
9相乘，结果是由九个1组成的九位数，即：111111111。不难发现，这组题 得数的规律是：
只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999.
【练习3】找规律，写得数。
（1） 1+0×9=
2+1×9=
3+12×9=
4+123×9=
9+12345678×9=
（2） 1×1=
11×11=
111×111=
111111111×111111111=
（3） 19+9×9=
118+98×9=
1117+987×9=
11116+9876×9=
111115+98765×9=
【例题4】找规律计算。
（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45
（3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□
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【思维导航】经仔细观察、分析可以发现：一个两位数与交换它的十位、 个位数字位
置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。
【练习4】
1．利用规律计算。
（1）53－35
（2）82－28
（3）92－29
（4）61－16
（5）95－59
2．找规律计算。
（1） 62+26=（6+2）×11=8×11=88
（2） 87+78=（8+7）×11=15×11=165
（3） 54+45=（□+□）×11=□×11=□
【例题5】计算
（1）26×11 （2）38×11



【思维导航】一个两位数与11相乘，只要把这个 两位数的两个数字的和插入这两个
数字中间，就是所求的积。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。
【练习5】计算下面各题。
（1）27×11 （2）32×11



（3） 39×11 （4）46×11



（5）92×11 （6）98×11
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“启航”奥数中级教程（一）
第3讲 ▍ 简 单 推 理
知识要点
< br>解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地
进行，要充分利 用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。
【例题1】 一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量， 4袋牛肉干的重等于一包巧克
力的重量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？

【思维导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量=一
包巧克力的重 量”可推出：两袋饼干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=
两袋牛肉干的重量。
【练习1】
（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量 ，
一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？


（2）3包巧克力的重量等 于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的
重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？



（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的 重量。一只小猪
的重量等于几只鸭的重量？



【例题2】一 头象的重量等于4头牛的重量，一头牛的重量等于3匹小马的重量，一
匹小马的重量等于3头小猪的重量 。一头象的重量等于几头小猪的重量？


【思维导航】根据“一头象的重量等于4 头牛的重量”与“一头牛的重量等于3匹小
马的重量”可推出：“一头象的重量等于12匹小马的重量” ，而“一匹小马的重量等于3
头小猪的重量”，因此，一头象的重量等于36头小猪的重量。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
（1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，1个 菠萝的重量等于4个苹果的重量，1
个苹果的重量等于两个橘子的重量。1只西瓜的重量等于几个橘子的 重量？


（2）一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6 只羊一天吃草
的重量相等。已知一头牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？



（3）一只小猪的重量等于6只鸡的重量，3只鸡的重量等于4只鸭的 重量，两只鸭的
重量等于6条鱼的重量。问：两只小猪的重量等于几条鱼的重量？



【例题3】根据下面两个算式，求○与□各代表多少？
○＋○＋○=18 ○＋□=10
【思维导航】在第一个算式中，3个○相加的和是18，所以○代表的数是：18÷3= 6，
又由第二个算式可求出□代表的数是：10－6=4.
【练习3】
（1）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？
□＋□＋□＋□=32 △－□=20
（2）根据下面两个算式，求○与□各代表多少？
○＋○＋○=15 ○＋○＋□＋□＋□=40
（3）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
○－△=8 △＋△＋△=○
【例题4】根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2 ○＋○＋△＋△＋△=56
【思维导航】由第一个算式可知，△比○多2；如果将第二个算式的○都换 成△，那
么5个△=56＋2×2，△=12，再由第一个算式可知，○=12－2=10.
【练习4】
（1）根据下面两个算式求□与○各代表多少？
□－○=8 □＋□＋○＋○=20
（2）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？
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“启航”奥数中级教程（一）
△＋△＋△＋○＋○=78 △＋△＋○＋○＋○=72
（3）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？
△＋△＋△－□－□=12 □＋□＋□－△－△=2
【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他 们分别
获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳
高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项
冠军？



【思维导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三 小的；因为“一
小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠
军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远
冠军， 三小的乙是垒球冠军。
【练习5】
（1）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个 穿花的，一个穿白的，一个
穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢 穿红的，姓
王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？




（2）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加100米比赛，比赛结束后 小猴说：“我比
小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴
前面，小狗在后面。”请根据它们的回答排出名次。



（3）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，丁坐在离甲、丙距离
相等的座位上， 戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？
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“启航”奥数中级教程（一）
第4讲 ▍ 解决问题（一）

知识要点

解答应用题时，必须认真审题，理解题意，深入细致地分析题目中数量间的关系，
通过对条件进 行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得
以顺利解决。
【例题1】 某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱
与3个 纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？




【思维导航】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或
一个塑料箱装多少 件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料
箱装的同样多。这样，5个塑料箱 装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此，可求
出一个塑料箱装多少件。
【练习1】
（1）百货商店运来300双球鞋分别装在2个木箱和6个纸箱里。如果两个纸箱同一
个木箱装 的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？




（ 2）新华小学买了两张桌子和5把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每
把椅子的4倍，每张 桌子多少元？




（3）王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆 ，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱
等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？


【例题2】一桶油，连桶重180千克，用去一半油后，连桶还有100千克。问 ：油和
桶各重多少千克？

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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】原来油和桶共重180千克，用去一半油后，连桶还有10 0千克，说明用
去的一半油的重是180－100=80（千克），一桶油的重量就是80×2=160 （千克），油桶
的重量就是180－160=20（千克）。
【练习2】
（1）一筐梨，连筐重38千克，吃去一半后，连筐还有20千克。问：梨和筐各重多
少千克？


（2）一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一 半送
给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克。这筐苹果重多少千克？



（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原来的2倍，油桶连油重38千克；如果把
油加到原来的4倍，这里油和桶共重46千克。原来油桶里有油多少千克？



【例题3】有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来
4盒茶叶 的重量相等。原来每盒茶叶有多少克？



【思维导航】由条件“每盒取 出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相
等”可以推出，拿出的200×5=1000（ 克）茶叶正好等于原来的5－4=1（盒）茶叶的重量。
【练习3】
（1）有6筐梨子，每 筐梨子个数相等，如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩下的个
数总和正好和原来两筐的个数相等。原来 每筐有多少个？



（2）在5个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个 木箱中拿出60个橘子，那么5个
木箱中剩下的橘子的个数的总和等于原来两个木箱里橘子个数的和。原 来每个木箱中有多
少个橘子？


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“启航”奥数中级教程（一）
（3）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20千克，那么5个 箱子里剩下的
饼干正好等于原来3箱饼干的重量。原来每个箱子里装多少千克饼干？




【例题4】一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际 每天比原计划多
生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？




【思维导航】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任 务，
这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做，正好分完。实际比原计划
每 天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。
所以 原计划要生产60×16=960张。
【练习4】
（1）电视机厂接到一批生产任务，计划 每天生产90台，可以按期完成。实际每天多
生产5台，结果提前1天完成任务。这批电视机共有多少台 ？




（2）小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每 天多看8页，结果提前2天看完。
这本故事书有多少页？





（3）修一条公路，计划每天修60米，实际每天比计划多修15米，结果提前4天修
完。一共修了多少米？




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“启航”奥数中级教程（一）
【例题5】有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只，从甲盒拿出多少 只放入乙盒，
才能使两盒中的图钉相等？




【思维 导航】由条件可知，甲盒比乙盒多72－48=24只。要盒两盒中的图钉相等，只
要把甲盒比乙盒多的 24只图钉平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿
出24÷2=12只。
【练习5】
（1）有两袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。从第一袋中 取出
几千克放入第二袋，才能使两袋中的面粉重量相等？






（2）有两盒图钉，甲盒有72只，乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙盒 ，拿
几次才能使两盒相等？






（3）有两袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次从多的一袋中拿出6粒放到少
的一袋里，拿几 次才能使两袋糖同样多？
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“启航”奥数中级教程（一）
第5讲 ▍ 算式之谜（一）

知识要点

“算式谜”一般是指那些含有未知数字或缺少运算符号的算式。解决这类问题，可
以根据已学过 的知识，运用正确的分析推理方法，确定算式中的未知数字和运用符号。
由于这类题目的解答过程类似全 平时进行的猜谜语游戏，所以，我们把这类题目称为“算
式谜题”。
解答算式谜问题时，要先 仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，
分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值 法等。

【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。



【思维导航】根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填2，并向十
位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（ ）中只能填6，并
向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2，第二个加数的（ ）中只
能填5，并向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。
【练习1】（1）在括号里填上合适的数。 （2）在方框里填上合适的数。




（3）下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。




【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相 同
的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。




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【思维导航】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“ 飞”代表7；
再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代
表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能
是4 或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。
【练习2】







【例题3】下面各式中的 “兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表
0—9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这 些汉字
各代表哪些数字？


【思维导航】这道题应以“卒”入手来分析。 “卒”和“卒”相加和的个位数字仍然
是“卒”，这个数字只能是0。确定“卒”是0后，所有是“卒” 的地方，都是0。注意
到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“车”是1；再由十 位上的情
况可推知“马”是4，进而推得“炮”是2。
【练习3】





【例题4】将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格 内，每个数字恰好出
现一次，组成一个整数算式。 ○×○=□=○÷○
【思维导航】要 求用七个数字组成五个数，这五个数有三个是一位数，有两个是两位
数。显然，方格中的数和被除数是两 位数，其他是一位数。
0和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于2×6=12（2将出现两次） ，2×5=10
（经试验不合题意），2×4=8（7个数字中没有8），2×3=6（6不能成为商） 。因此，0、
1、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=6=÷5.
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【练习4】（1）将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和 方筐里，每个数字恰
好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。
□÷□=□÷□
（3）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。
请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。



【例题5】把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），
并在方框中填上适当 的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=2



【思维导航】先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15 相同，
因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15
因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，
题目要求在 方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3
与5之间填“－”。 < br>【练习5】（1）把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当
的整数，使 下面每组的两个等式成立。

① 9○13○7=100 14○2○5=□
② 17○6○2=100 5○14○7=□

（2）将1～9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□ □×□=□
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第6讲 ▍ 算式之谜（二）
知识要点

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：
1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局
部判断；
2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的
目的；
4．算式谜解出后，要验算一遍。
【例题1】 在下面的方框中填上合适的数字。
【思维导航】由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；
由第二个因数的个位是5，并结合第一 个因数与5相乘的积的情
况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376
与积 为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字
就容易填了。

【练习1】
在□里填上适当的数。





【例题2】在下面方框中填上适合的数字。
【思维导航】由商的十位是1，以及1与除数的乘 积的最高位是1可推知除数的十位
是1。由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是7、 8、9。如果是7，除
数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能 除尽；只
有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。完整的竖式是：





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【练习2】在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。





【例题3】下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？



【思维导航】因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个
位是1 ，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进
位，所以b只能是0（ 1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
【练习3】
求下列各题中每个汉字所代表的数字。




花= 红 = 柳 = 绿 =




盼 = 望 = 祖 = 国 = 早 = 日 = 统 = 一 =

【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算
符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

【思维导航】先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
比如： 123与100比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。
因为45与67相 差22，8与9相差1，所以得到一种解法：123＋45－67＋8－9=100
再比如：89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：
123-45－67＋89=100
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华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 =

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【练习4】：
（1）在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99（数字的顺序不能
改变）。
8 7 6 5 4 3 2 1 = 99
（2）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合 适的地方，使其结果等于100（数字的
顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100
（3）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。
1 2 3 4 5 = 100
【例题5】在下面的式子里添上括号，使等式成立。
7×9＋12÷3－2 = 23

【思维导航】采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的
结果减2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为25×3=75，而前面7×9＋12又正好
等于 75，所以，应给前面两步运算加括号。
（7×9＋12）÷3－2 = 23

【练习5】
1.在下面的式子里添上括号，使等式成立。
（1）7×9＋12÷3－2 = 75

（2）7×9＋12÷3－2 = 47

（3）88＋33－11÷11×2 = 5

2.在1、2、3、4、 5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使
其结果等于100（数字的顺序不 能改变）。
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第7讲 ▍ 最优问题
知识要点

在 日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排
才能做到用的时间最少， 效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费
用最省”、“面积最大”、“损耗最小” 等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探
讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以 上的问题实际上都是“最优
化问题”。

【例题1】 用一只平底锅煎饼，每次只 能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反
面各需要1分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟？


【思维导航】先将两个饼同时放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时 可
将一个取出，另一个翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟，将两面都熟的那个取出，把
第三 个翻过去，再将第一个放入煎，再煎一分钟就会全部煎好。所以，煎3个饼至少需要
3分钟。
【练习1】
1.烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分 钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分
钟 ？


2.用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟 ，现在要
烙3个大饼，最少要用几分钟？


3.小华用平底锅烙饼，这只 锅同时能放4个大饼，烙一个要用4分钟（每面各需要2
分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，他是 怎样烙的？



【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分 钟，烧开水需要15分钟，洗
茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟 ？

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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间 。水壶不洗，
不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水< br>可以同时进行。
根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟， 同时
洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。
【练习2】
1. 小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2
分钟，取奶需要5分钟 ，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？



2.小 强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶
叶泡茶要1分钟。为了让 客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？



3.在 早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，
读外语30分钟，吃早餐 10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分
钟？



【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打 针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一
位校医，校医如何安排 三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最
短？


【 思维导航】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三
位同学在卫生室的时间 总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，
赵1+3=4分钟，赵明1+3+5 =9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。
【练习3】
1．甲、乙、丙三人分别拿着2 个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热
水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以 使他们打热水所花的总时间最少？



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“启航”奥数中级教程（一）
2．甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间 分别是10分
钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？


3．甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需
要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，
使他们所花的总 时间最少？最少时间是多少？


【例题4】用18厘米长的铁丝围成各种长方形， 要求长和宽的长度都是整厘米数。围
成的长方形的面积最大是多少？


【 思维导航】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是18÷2=9厘米。显然，
当长与宽的差越 小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，
当长是5厘米，宽是4厘米时 ，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
【练习4】
1.用长26厘米的铁丝 围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数，围成的长
方形的面积最大是多少？

2.一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？


3.一个长 方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形
的周长最长是多少厘米？


【例题5】用3～6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

【思维导航】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能
使两个数的差最 小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个
因数的差越小，积越大”的规律 ，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402.
【练习5】
1.用1～4这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

2.用5～8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

3.用3～8这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。
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“启航”奥数中级教程（一）
第8讲 ▍ 巧妙求和（一）

知识要点

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，
最后一项称为 末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列 ，后项与前项
的差称为公差。
在这一讲要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？


【思维导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，< br>可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【练习1】
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？


2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？


3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？


【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？

【思维导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根
据“ 末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
【练习2】
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？

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“启航”奥数中级教程（一）
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。


3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。


【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。


【思维导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99， …，3.2.1相加，则
得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（1 00+1），其中每个小括号内的两个
数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所 求数列的和的2倍，再除以2.
就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【练习3】
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50


（2）6+7+8+…+74+75


（3）100+99+98+…+61+60


【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思维导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项 数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－
2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
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【练习4】
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22


（2）5+10+15+20+…+195+200


（3）9+18+27+36+…+261+270


【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【思维 导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它
们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶
数两 个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分
别对应相减，可得到 50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
【练习5】
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）


（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）



（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
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第9讲 ▍ 变化规律（一）


知识要点

和、差的规律见下表（m≠0）
一个加数（a）
±m
不变
±m

被减数（a）
±m
不变
±m
减数（b）
不变
±m
±m
差（c）
±m
m
不变
另一个加数（b）
不变
±m
m
和（c）
±m
±m
不变
【例题1】 两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？


【思维导 航】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不
变，另一个加数减少9，和就 减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
【练习1】
1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？


2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化？


3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？


【例题 2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有
什么变化？

【思维导航】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增
加6，那 么另一个加数应减少10－6=4。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？


2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？


3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？


【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
【思维导航】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增
加8，差就减少 8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
【练习3】
1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？


2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？


3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？


【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变
化？

【思维导航】如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因
数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大
了8÷2=4倍 。
【练习4】
1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？


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“启航”奥数中级教程（一）
2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？


3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？


【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？



【思维导航】如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变， 除
数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
【练习5】
1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？



2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？




3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？
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“启航”奥数中级教程（一）
第10讲 ▍ 变化规律（二）

知识要点

乘、除变化规律见下表（m≠0）
被乘数（a）
×÷m
不变
×÷m

被除数（a）
×÷m
不变
×÷m
除数（b）
不变
×÷m
×÷m
商（c）
×÷m
÷×m
不变
乘数（b）
不变
×÷m
÷×m
积（c）
×÷m
×÷m
不变
我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一讲，我们利用这些规律来解决一些较简
单的问题。
【例题1】 两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？


【思维导航】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应
增加1 2－8=4。
【练习1】
1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？


2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化？


3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化？
【例题2】两个数相除 ，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是
多少？余数是多少？
【思维导航】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同
的倍数。所以商 是8，余数是20×10=200。
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【练习2】
1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数 和除数同时扩大10倍，商是多少？余
数是多少？


2.两个数相除，商 是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少？
余数是多少？


3.两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？
余 数是多少？


【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因 数缩小3倍，那么
积是多少？


【思维导航】一个因数扩大2倍，积扩大 2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。
所以最后的积是48×2÷3=32。
【练习3】
1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少？


2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？


3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少？


【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一
个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少？
【思维导 航】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来
增加了6；另一个加数十位上 的3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了
6+50=56。所以，原来两数相加的正 确答案是：1996－（6＋56）=1940。
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【练习4】
1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错 写成8，把另一个加数个位上的6错
写成9，所得的和是532。正确的和是多少？


2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多少？


3.小亮在计算加法时，把一个加数个位 上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写
成8，所得的和是650。正确的和是多少？


【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位
上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少？


【思维导航】根据题 意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，
因此减少60。这样错写的被减数比 原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化
规律，正确的差要比错误的差多50。正确的 差是：189＋58=247。
【练习5】
1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成 8，把十位上的0错写成6，这样算得
的差是198。正确的差是多少？


2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的
差是268。正 确的差是多少？


3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位 上的8错写成3.这样算
得的差是632。正确的差是多少？
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第11讲 ▍ 错中求解
知识要点

在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，
就会导致计算结果发生 错误。这一讲，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结
论。

【例题1】小 玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13.还余52。正
确的商是多少？

【思维导航】要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得
数，求出被 除数：13×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=12。
【练习1】
1.小星在计算除法时，把除数87错写成78，结果得到的商是5，余数是45。正确的
商应该是多少 ？


2.甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除， 甜甜得到的
商是32还余6，蜜蜜计算的结果应该是多少？


3.小虎在 计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正
确的商应该是多少？


【例题2】小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正 确的商应
该是多少？

【思维导航】根据题意，把除数32改成320扩大到原来的 10倍，又因为被除数不变，
根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是 48×10=480。
【练习2】
1.小丽在计算除法时，把除数530末尾的0漏写了， 得到的商是40。正确的商应该是
多少？

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2.小马在计算除法时，把被除数1280误写成128，得到的商是3 2。正确的商应该是
多少？


3.小欣在计算除法时，把被除数420错 写成240，结果得到商是48。正确的商应该是
多少？


【例题3】小 冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173.这样商比原来多了
3.而余数正好相同。正确 的商和余数是多少？


【思维导航】因为被除数137被错写成了173.被除数 比原来多了173－137=36，又因
为商比原来多了3.而且余数相同，所以除数是36÷3=12 。又由137÷12=11……5，所以余
数是5。
【练习3】
1.小军在计算有 余数的除法时，把被除数208错写成268，结果商增加了5，而余数
正好相同。正确的除数和余数是 多少？


2.李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商 比原来少了3.而余
数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。


3 .刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3.余数比
原来多1。求 这道除法算式的除数和余数。


【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时，把一 个因数的个位数字4错当作1.乘得
的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少？


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【思维导航】一个因数的个位4错当作1.所得的结果比原来少了（4－ 1）个另一个因
数；实际的结果与错误的结果相差600－525=75，75÷3=25，600÷2 5=24。所以一个因数
是24，另一个因数是25。
【练习4】
1.小锋在计算 乘法时，把一个因数的个位数8错当作3.得345，实际应为420。这两
个因数各是多少？


2.小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得 646，
实际应为418。这两个两位数各是多少？


3.李晓在计算两 位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的3误当作8，结果得
2150，这道题的正确积应是900 。这两个两位数各是多少？


【例题5】方方和圆圆做一道乘法算式题，方方误将 一个因数增加14，计算的积增加
了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确 的积应是多少？

【思维导航】由“方方将一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另 一个因数是
84÷14=6；又由“圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是 168÷
14=12。所以正确的积应是12×6=72。
【练习5】
1.两个数 相乘，如果一个因数增加10，另一个因数不变，那么积增加80；如果一个
因数不变，另一个因数增加 6，那么积增加72。原来的积是多少？


2.两个数相乘，如果一个因数增加3 .另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因
数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。原来 的积是多少？


3.小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字5误 写成3.得出的乘积是
552；另一个学生却把这个5写成8，得出的乘积是672。正确的乘积是多少 ？
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第12讲 ▍ 简单列举
知识要点

有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，
我们不妨采用一一列举 的方法解决。这种根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终
达到解答整个问题的方法叫做列举法。

【例题1】从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有
3条路可走。王叔叔从南通 经过上海到南京去，有几种走法？
【思维导航】为了帮助理解，先画一个线路示意图，并用①、
②、③、④、⑤表示其中的5条路。
我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：
根据以上列举 可以发现，从南通经过①到
上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上
海再到南京也有3种方 法，共有两个3种方法，
即3×2=6（种）。
【练习1】
1.小明从家到学校有 3条路可走，从学校到少年宫有两条路，小明从家经过学校到少
年宫有几种走法？


2.从甲地到乙地，有两条走达铁路和4条直达公路，那么从甲地到乙地有多少种不同
走法？


3.从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从 甲地
到丙地有多少种不同的走法？

【例题2】用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
【思维导航 】要使信号不同，就要求每一种信号颜色
的顺序不同，我们把这些不同的信号一一列举如下：
从上面的排列中可以发现，红色信号灯排在第一位置
时，有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一位置时 ，也有两种不同的信号，蓝色信号灯
排在第一位置时，也有两种不同的信号。因此，共有2×3=6种不 同的排法。
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【练习2】
1．甲、乙、丙三个同学排成一排，有几种不同的排法？


2．小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？


3．用3、4、5、6四个数字可以组成多少个不同的四位数？

【例题3】有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共
可以排成多少 个两位数？

【思维导航】排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进行分类考虑。（ 1）十
位上排6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63；（2）十位上排3.个位< br>上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，36。从以上列举容易发现，一共可以排成
2× 2=4（个）两位数。
【练习3】
1.用0、2、9这三个数字，可以组成多少个不同的两位数？


2.用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？


3.用0、1、5、6这四个数字，可以组成多少个不同的四位数？从小到大排列，1650
是第几个？

【例题4】从1～～8这八个数字中，每次取出两个数字，要使它们的 和大于8，有多
少种取法？

【思维导航】为了既不重复，又不遗漏地统计出结果， 应该按一定的顺序来分类列举，
可以按“几＋8、几＋7、几＋5、几＋6、几＋5”的顺序来思考。
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1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7个；2＋7、3＋7、4＋ 7、……6＋7，共5个；3
＋6、4＋6、5＋6，共3个；4＋5共1个。这样，两个数的和大于8 的算式共有7＋5＋3
＋1=16（个），所以，共有16种不同的取法。
【练习4】1.从1～6这六个数中，每次取两个数，要使它们的和大于6，有多少种取
法？

2.从1～9这九个数中，每次取两个数，要使它们的和大于10，有多少种取法？


3.营业员有一个伍分币，4个贰分币，8个壹分币，他要找给顾客9分钱，有几种找
法？



【例题5】在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？ （两个队之间
比赛一次称为1场）

【思维导航】4个队进行循环赛，也就是说4个 队每两个队都要赛一场，设4个队分
别为A、B、C、D，我们可以用图表示4个队进行循环赛的情况。
A队和其他3个队各比赛1次，要赛3场；B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2
场；C队 还要和D队比赛1次，要赛1场。这样，一共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
【练习5】
1.在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？


2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行循环赛，一共赛了15场。问有几个队参加
比赛？


3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有6所学校的足球队比赛，比赛采取 循环
制，每个队都要和其他各队赛一场，根据积分排名次。这些比赛分别安排在3个学校的球
场 上进行，平均每个学校要安排几场比赛？
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第13讲 ▍ 和倍问题
知识要点

已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问
题。解答和倍应用题的 基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）
【例题1】 学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种
书各有多少本？

【思维导航】为了便于理解题意，我们画图来分析：
由图可知，如果把故事书的本数看作一份 ，那么科技书的本数就是这样的3份，两种
书的总本数就是这样的1＋3=4份。把480本书平均分成 4份，1份是故事书的本数，3份
是科技书的本数。
480÷（1＋3）=120（本） 120×3=360（本）.
【练习1】
1.用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千
克？

2.甲、乙两数的和是112.甲数除以乙数的商是6，甲、乙两数各是多少？


3.一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是
多少分米？


【例题2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树 的棵数是苹果树的3倍，
桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？



【思维导航】如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4 =8份。
所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有15 0×4=600（棵）.
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【练习2】
1.李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数 是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。
鸡、鸭、鹅各养了多少只？


2. 甲、乙、丙三数之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各
是多少。


3.商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？


【例题3】有三个 书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个
书橱里的书是第二个的4倍。每个书 橱里各放了多少本书？


【思维导航】把第一个书橱里的本数看作1份，那么第二 个书橱里的本数是这样的2
份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2 +8=11份。所以，
第一个书橱里放了
330÷11=30（本），第二个书橱里放了30 ×2=60（本），第三个书橱里放了60×4=240
（本）。
【练习3】
1． 甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙
各是多少。


2．三块钢板共重621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第 三块
的2倍。三块钢板各重多少千克？


3．甲、乙、丙三个修路队共修 路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数
数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？
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【例题4】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍 多20棵，两种
树各种了多少棵？

【思维导航】如果杨树少种20棵，那么柳树和 杨树的总棵数是216－20=196（棵），
这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以，柳树的棵数是 196÷（1＋3）=49（棵），杨树
的棵数是216－49=167（棵）。
【练习4】 1.粮站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍还多300千克，
大米和面粉各有多少 千克？

2.小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少 42
分。两人各得多少分？


3.学校购买了720本图书分给高、中、 低三个年级，高年级分得的比低年级的3倍多
8本，中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年 级各分得图书多少本？


【例题5】三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数 是乙队的2倍，乙队比丙队多
240米。三个队各筑多少米？


【思维导 航】把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240
米，那么三个队共筑了1 360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑
了1600÷4=400 米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
【练习5】1.三个植树 队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队
少植300棵。三个队各植树多少棵？


2.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？


3.城东小学共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是
篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个？
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第14讲 ▍ 植树问题

知识要点

1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1.即：
棵数=段数＋1；
（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；
（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1.即：
棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数。
【例题1】 城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长
多少米？

【思维导航】题中已知栽树28棵，28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所
以这条大路 长6×27=162米。
【练习1】
1.在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？


2.同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米？


3.一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？


【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少
棵树？



【思维导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等 。240÷5=48
（棵）
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【练习2】
1.一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？


2.在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？


3.在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少
棵？

【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。


【思维导航】大 桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把
800米长的大桥分成 101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
【练习3】 1.在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的
两棵树之间 的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。


2.一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏
灯？

3.六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。
六年级有学生多少人？


【例题4】一个木工锯一根19米的木料，他先把一头 损坏部分锯下来1米，然后锯了
5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？


【思维导航】根据题意，把长19－1=18米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所
以每根短木条长18÷6=3米。
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【练习4】
1.一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头 损坏的部分锯下来2米，然后锯了4
次，锯成同样长的短木条，每根短木条长几米？


2.有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？


3.有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多
少分钟？


【例题5】有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要3 0秒，
照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？


【思维导航】把每 一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，
所以每个间隔用去的时间是30÷（3 －1）=15秒，3层到10层经过了10－3=7个时间间隔，
所以，他从3层到10层需要15×7 =105秒。
【练习5】
1.把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分
钟？


2.时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？



3.一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距离都相等， 他从第一棵树走
到第10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟，应走到第几棵树？
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第15讲 ▍ 图形面积问题
知识要点

解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1.细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；
2.从整体上 观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的
数量关系明朗化。
【例题1】 人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加5米。
现 在操场面积比原来增加了多少平方米？

【思维导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积 ，就得到增加的面积。操场现在
的面积是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操场原来的 面积是90×45=4050平方米。所
以，现在的面积比原来增加5000－4050=950平方米 。


【练习1】1.有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米。如果长和宽分 别减少10
分米、3分米，面积比原来减少多少平方分米？


2.一块长 方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比原来
减少多少平方分米？


3.一块长方形地，长是80米，宽是45米。如果把宽增加5米，要使面积不变 ，长应
减少多少米？


【例题2】一个长方形，如果宽不变，长增加6米 ，那么它的面积增加54平方米；如
果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形 原来的面积是多少平
方米？

【思维导航】由“宽不变，长增加6米，面积增加54 平方米”可知，它的宽为54÷
6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的 长为36÷3=12米。
所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】1.一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减 少24平方米；
如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少
平方米？


2.一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增 加30平方米；如果长不
变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。这个长方形原来的面积是多少 平方米？


3.一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的 面积都减少36平
方米。求这个长方形原来的面积。


【例题3】下图是 一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的
一个长方形养鸡场，求它的占地面积。


【思维导航】根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽
是4米，那 么长是（16－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。
【练习3】1.右图是某个养禽专 业户用一段长13米的篱笆围成
的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。

< br>2.用56米长的木栏围成长或宽是20米的长方形，其中一边利
用围墙，怎样才能使围成的面积 最大？


3.用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面 利用着墙。如
果每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？


【 例题4】街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面
积是12平方米，中间 花坛的面积是多少平方米？

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【思维导航】把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一 个长方形的
面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中 可
以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2米。中
间 花坛的面积是2×2=4平方米。





【练习4】 1.有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的
花池，花池的面积是480平 方米，求水池的边长。


2.四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个 大正方形（如图），大正方形的
面积是64平方米，小正方形的面积是4平方米，长方形的短边是多少米 ？




3.已知大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方 形的面积比小正方形面积大96平
方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少？



【例题5】一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方 形
（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。原正方形的边长是多少？



【思维导航】把阴影部分剪下来，并把剪下的两个小长方形拼起来（如图），再被上
长、宽分别是8分米、5分米的小长方形，这个拼
合成的长方形的面积是181+8×5=221平方分 米，
长是原来正方形的边长，宽是8+5=13分米。所以，
原来正方形的边长是221÷13 =17分米。
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【练习5】
1.一个正方形一条边减少6分米，另一条边减少 10分米后变为一个长方形，这个长
方形的面积比正方形的面积少260平方分米，求原来正方形的边长 。





2.一个长方形的木板，如果长减少5分米 ，宽减少2分米，那么它的面积就减少66
平方分米，这时剩下的部分恰好是一个正方形。求原来长方形 的面积。






3.一块正方形的的玻璃 ，长、宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘
米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？
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第16讲 ▍ 巧妙求和（二）
知识要点
< br>某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求
某个等差数列的 和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体 特点，有时可考虑将题中的数适当
分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【例题1】 刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数
都前一天 多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？


【思维导航】根 据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页
数是按一定规律排列的数，即30、 33、36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出
这列数的和。这列数是一个等差数列，首 项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
【练习1】
1.刘师 傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做
了48个，正好做完。这 批零件共有多少个？

2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的 页数都比前一天
多5页。最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？

3. 丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学
会了16个。丽丽在这 些天中学会了多少个英语单词？


【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？


【思维导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就
一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开
第三把锁至多 需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所
以，至多需试29＋28＋ 27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？


2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？


3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把4 4只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的
羽毛球只数不相等？


【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多
少次手？


【思维导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了5 0次，
第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人
和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
【练习3】
1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比
赛，一共 要进行多少场比赛？


2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每 一位同学或老师都要和其他
同学握一次手。那么一共握了多少次手？


3 .假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位
同学相约互通电话？



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“启航”奥数中级教程（一）
【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。


【思维导航】首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这 99
个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）
计 算0～99这100个数的数字之和。这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，
是9+9 =18，一共有100÷2=50对，所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18
×50 =900。
【练习4】
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。


2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。


3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
.

【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。


【思 维导航】不妨先求0～199的所有数字之和，再求200～209的所有数字之和，然
后把它们合起来 。0～199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的
所有数 字之和为2×10+1+2+…+9=65。所以，1～209这209个连续自然数的全部数字之和
为 1900+65=1965。
【练习5】
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。


2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。


3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
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第17讲 ▍ 数数图形（一）
知识要点
< br>我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交
错在一起时就构 成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本
图形的个数，就需要仔细地观察， 灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规
律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
【例题1】 数出下面图中有多少条线段。




【思维导航】要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不
遗漏。 < br>从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线
段有2 条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。
【练习1】：数出下列图中有多少条线段。



（2）


（3）

【例题2】数一数下图中有多少个锐角。



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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线 段上的五个
点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+ 2+3+4=10
（个）.
【练习2】：下列各图中各有多少个锐角？







【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。





【思维导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边
上有几条 线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以
图中有6个三角形 。
【练习3】：数一数下面图中各有多少个三角形。







【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。





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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的 个数应是AD
和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形
也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。

【练习4】：数一数下面各图中各有多少个三角形。







【例题5】数一数下图中有多少个长方形。






【思维导航】数长方形与数线段的方 法类似。可以这样思考，图中的长方形的个数取
决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+ 2+3=6条，所以图中有6个长方形。
【练习5】：数一数下面各图中分别有多少个长方形。


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“启航”奥数中级教程（一）
第18讲 ▍ 数数图形（二）
知识要点
< br>在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的
方法，既可以逐 个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规
律数出图形的个数，再把他们的个 数合起来。
【例题1】 数一数下图中有多少个长方形？




【思维导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，A D
边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×
3= 18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【练习1】：数一数，下面各图中分别有几个长方形？






【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）





【思维导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长 为2个长度单位
的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正 方形总
数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的 几行几列的正方形其中所含
的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小
正方形）




【例题3】数一数下图中有多少个正方形 ？（其中每个小方格都是边长为1个长度单
位的正方形）


【思维导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正
方形有2×1=2个。所以，图 中正方形的总数为：6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成 m等份，宽被分成
n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－ 1)＋(m－2)(n
－2)＋…＋(m－n＋1)n.
【练习3】
1．数一数下列各图中分别有多少个正方形。





2．下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？




【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备
多少种不同车的车票？这些车票中有多少种不同的票价？

【思维导航】这道题是数线段的方 法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这
条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=4 5条线段，因此要准备45种不同的车票。由于
这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车 票，就有多少种不同的票价，所
以共有45种不同的票价。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习4】
1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头， 航运公司要为这段航运线准备多少种
不同的船票？

2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？

3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价？

【例题5】求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）



【思维导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+（1+4）+（1+ 4+2）+（1+4+2+3）+4+（4+2）+（4+2+3）+2+（2+3）=352厘米
从 上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段（我们把不能再
划分的线段称为基本线 段）出现了4次，长4厘米的线段出现了（3×2）次，长2厘米的
线段出现了（2×3）次，长3厘米 的线段出现了（1×4）次，所以，各线段长度的总和还
可以这样算：1×4+4×（3×2）+2×（ 2×3）+3×（1×4）
=1×（5－1）+4×（5－2）×2+2×（5－3）×3+3×（5－4）×4=52厘米 上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…
a(n－ 1)。以上各线段长度的总和为L，那么L= a1×(n－1)×1+ a2×(n－2)×2+ a3×(n
－3)×3+…+ a(n－1)×1×(n－1)。
【练习5】
1. 一条线段上有21个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长
度的总和是多少？

2.求下图中所有线段的总和。（单位：米）



3.求下图中所有线段的总和。（单位：厘米）

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“启航”奥数中级教程（一）
第19讲 ▍ 解决问题（二）
知识要点

解答复合应用题时一般有如下四个步骤：
1.弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2.分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3.拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4，检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。

【例题1】 某发 电厂有10200吨煤，前10天每天烧煤300吨，后来改进炉灶，每天
烧煤240吨。这堆煤还能烧 多少天？



【思维导航】条件摘录



综合法思路：
前10天每天烧煤300吨，可以求出10天烧的吨数；
已知煤的总吨数和前10天烧的吨数，可以求出还有多少吨没有烧；
根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨，可以求出这堆煤还能烧多少天。
分析法思路：
要求还能烧多少天，要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数（240吨）；
要求还有多少吨煤，要知道这堆煤有多少吨（10200吨）和已经烧了多少吨。
要求已经烧了多少吨，要知道已经烧了多少天（10天）和每天烧多少吨（300吨）。
（10200－300×10）÷240=30（天）.
【练习1】
1.某电冰箱 厂要生产1560台冰箱，已经生产了8天，每天生产120台。剩下的每天
生产150台，还要多少天 才能完成任务？



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“启航”奥数中级教程（一）
2.某工厂计划生产36500套轴承，前5天平均每天生产2100套 ，后来改进操作方法，
平均每天可以生产2600套。这样完成这批轴承生产任务共需多少天？


3.某机床厂计划每天生产机床40台，30天完成任务。现在要提前10天完成 任务，每
天要生产多少台？


【例题2】师傅和徒弟同时开始加工200 个零件，师傅每小时加工25个，完成任务时，
徒弟还要做2小时才能完成任务。徒弟每小时加工多少个 ？


【思维导航】由条件可知，师傅完成任务用了200÷25=8小时，徒弟完 成任务用了
8+2=10小时。所以，徒弟每小时加工200÷10=20个。
【练习2】
1.张师傅和李师傅同时开始各做90个玩具，张师傅每天做10个，完成任务时，李师
傅还要 做1天才能完成任务。李师傅每天做多少个？


2.小华和小明同时开始写192 个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4
天才能完成。小明每天写多少个字？


3.丰华农具厂计划20天制造农具2400件，实际每天多制造30件，这样可提前几天< br>完成任务？


【例题3】甲、乙两地相距200千米，汽车行完全程要5小 时，步行要40小时。张强
从甲地出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？


【思维导航】根据题意，汽车5小时行200千米，每小时行200÷5=40千米；步行2 00
千米要40小时，平均每小时行200÷40=5千米，8小时行了5×8=40千米；全程有20 0千
米，乘汽车行了200－40=160千米，所以，还需160÷40=4小时到达乙地。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习3】
1.玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手 工做要20小时才能完成，用机器只需
要4小时。一车间工人先用手工做了5小时，后改用机器生产，还 需要几小时才能完成任
务？


2.甲、乙两地相距200千米，汽车行完 全程要5小时，步行要40小时。张强从甲地
出发，先乘汽车4小时，后改步行，他从甲地到乙地共用了 多少小时？


3.A、B两城相距300千米，摩托车行完全程要5小时，自行车 要25小时。王亮从A
城出发，先骑自行车5小时，后改骑摩托车。他从A城到B城共用了多少小时？


【例题4】某筑路队修一条长4200米的公路，原计划每人每天修4米，派21 人来完
成；实际修筑时增加了4人，可以提前几天完成任务？


【思维导 航】要求可以提前几天完成任务，要知道原计划多少天完成和实际多少天完
成。原计划21人每天修4× 21=84米，修4200米需要4200÷84=50天。实际增加了4人，
每天修4×（21+4） =100米，修同样长的公路需要4200÷100=42天。所以可提前50－42=8
天完成任务。
【练习4】
1.羊毛衫厂要生产378件羊毛衫，原计划每人每天生产3件，派18人来完成 。实际
增加了3人，可以提前几天完成任务？


2.某筑路队修一条长8 400米的公路，原计划每人每天修4米，派42人来完成。如果
每人的工作效率不变，要提前8天完成 任务，需要多少人参加？


3.友谊服装厂要加工192套服装，原计划每人每天 加工2套，8人可以按时完成。如
果每人工作效率不变，要提前4天完成任务，需要增加多少人加工？
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“启航”奥数中级教程（一）
【例题5】自行车厂计划每天生产自行车100辆，可按期完成任务，实 际每天生产120
辆，结果提前8天完成任务。这批自行车有多少辆？



【思维导航】假如以计划生产的时间为准，那么实际完成任务后，再生产8天可多生
产120× 8=960辆。实际每天多生产120－100=20辆，可以求出多生产960辆所用的时间，
这个时 间就是原计划所需要的时间，960÷20=48天。所以，这批自行车有100×48=4800
辆。
【练习5】
1.农机厂生产柴油机，原计划每天生产40台，可以在预定的时间内完成任务。 实际
每天生产50台，结果提前6天完成，这批柴油机有多少台？




2.一辆汽车运一堆黄沙，计划每天运15吨，可以在预定时间内完成任务。实际每天
运20吨，结果提前3天运完。这批黄沙有多少吨？




3 .新兴机械厂原计划30天生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果提前
25天就完成了任 务。这批机器有多少台？
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“启航”奥数中级教程（一）
第20讲 ▍ 速算巧算（一）
知识要点
< br>速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提
高我们的计算能 力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根
据加、减法的运算定律和运算性质 ，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题 法即把所给的算式，
根据运算定律和运算性质，或改变它的运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果 的
算式。
【例题1】 计算9+99+999+9999

【思维导航 】这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时，常使
用减整法，例如 将99转化为100－1。这是小学数学计算中常用的一种技巧。
9+99+999+9999
=（10－1）+（100－1）+（1000－1）+（10000－1）
=10+100+1000+10000－4
=11106
【练习1】
1.计算99999+9999+999+99+9 2.计算9+98+996+9997


3.计算1999+2998+396+497 4.计算198+297+396+495


5.计算1998+2997+4995+5994 6.计算19998+39996+49995+69996.


【例题2】计算489+487+483+485+484+486+488
【思维导航】认真观察每个加数，发现它们都和整数490接近，所以选490为基准数。
489+487+483+485+484+486+488
=490×7－1－3－7－5－6－4－2
=3430－28
=3402
想一想：如果选480为基准数，可以怎样计算？.
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
1.50+52+53+54+51 2.262+266+270+268+264


3.89+94+92+95+93+94+88+96+87 4.381+378+382+383+379


5.1032+1028+1033+1029+1031+1030 6.2451+2452+2446+2453.


【例题3】计算下面各题。
（1）632－156－232 （2）128+186+72－86



【思维导航】在一个没有括号的算式中，如果只有第一级运算，计算时可以根据运算
定律和性质调换加数或减数的位置。
【练习3】
计算下面各题1.1208－569－ 2082.283+69－1833.132－85+684，2318+625－1318+375





【例题4】计算下面各题。
1. 248+（152－127） 2. 324－（124－97） 3. 283+（358－183）



【思维导航】在计算有括号的加减混合 运算时，有时为了使计算简便可以去括号，如
果括号前面是“+”号，去括号时，括号内的符号不变；如 果括号前面是“－”号，去括
号时，括号内的加号就要变成减号，减号就要变成加号。
我们可 以把上面的计算方法概括为：括号前面是加号，去掉括号不变号；括号前面是
减号，去掉括号要变号。
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“启航”奥数中级教程（一）
1.248+（152－127）
=248+152－127
=400－127
=273
【练习4】
计算下面各题
1.348+（252－166） 2.629+（320－129）


3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238)


5.5623－(623－289)+452－(352－211) 6.736+678+2386－(336+278)－186



【例题5】计算下面各题。
（1）286+879－679 （2）812－593+193


【思维导航】在计算没有括号的加减法混合运算 式题时，有时可以根据题目的特点，
采用添括号的方法使计算简便，与前面去括号的方法类似，我们可以 把这种方法概括为：
括号前面是加号，添上括号不变号；括号前面是减号，添上括号要变号。
【练习5】
计算下面各题。
1.368+1859－859 2.582+393－293


3.632－385+285 4.2756－2748+1748+244


5.612－375+275+（388+286） 6.756+1478+346－（256+278）－246

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“启航”奥数中级教程（一）
第21讲 ▍ 速算巧算（二）
知识要点
< br>乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化
规律，通过对算 式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道
题计算中的一些数变得易于口算， 从而使计算简便。
【例题1】计算325÷25


【思维导航】在除法 里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这
一性质，可以使这道计算题简便。
325÷25
=（325×4）÷（25×4）
=1300÷100
=13
【练习1】计算下面各题。
1，450÷25 2，525÷25


3，3500÷125 4，10000÷625


5，49500÷900 6，9000÷225


【例题2】计算25×125×4×8


【思维导航】经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，
可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。
这 就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。
25×125×4×8
=（25×4）×（125×8）
=100×1000
=100000
【练习2】
计算下面各题。
125×15×8×4 25×24 25×5×64×125

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“启航”奥数中级教程（一）
125×25×32 75×16 125×16




【例题3】计算（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15




【思维导航】两个数的和（或差）除以一个数，可以用这个 数分别去除这两个数，再
求出两个商的和（或差）。利用这一性质，可以使这道题计算简便。
（1）（360+108）÷36 （2）（450－75）÷15
=360÷36+108÷36 =450÷15－75÷15
=10+3 =30－5
=13 =25
【练习3】
计算下面各题。
1．（720+96）÷24 2．（4500－90）÷45


3．6342÷21 4．8811÷89



5．73÷36+105÷36+146÷36 6．（10000－1000－100－10）÷10



【例题4】计算158×61÷79×3




【思维 导航】在乘除法混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以根据运算定律
和性质调换因数或除数的位 置。
158×61÷79×3
=158÷79×61×3
=2×61×3
=366
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习4】
计算下面各题。
1，238×36÷119×5 2，624×48÷312÷8



3，138×27÷69×50 4，406×312÷104÷203



【例题5】计算下面各题。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）




【思维导航】这两道题都是乘除混合运算式题，我们可以根据这两道题 的特点，采用
加括号或去括号的方法，使计算简便。其方法与加减混合运算添、去括号的方法类似，可< br>以概括为：括号前是乘号，添、去括号不变号；括号前是除号，添、去括号要变号。
（1）123×96÷16 （2）200÷（25÷4）
=123×（96÷16） =200÷25×4
=123×6 =8×4
=738 =32
【练习5】计算下面各题。
1，612×366÷183 2，1000÷（125÷4）




3，（13×8×5×6）÷（4×5×6）




4，241×345÷678÷345×（678÷241）





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第22讲 ▍ 平均数问题
知识要点
我们经常 用各科成绩的平均分数来比较班级之间，同学之间成绩的高低，求出各科
成绩的平均数就是求平均数。
平均数在日常生活中和工作中应用很广泛，例如，求平均身高问题，求某天的平均
气温等。
求平均数问题的基本数量关系是：
总数量÷总份数=平均数
解答平均数问题的关键 是要确定“总数量”以及与“总数量”相对应的“总份数”，
然后用总数量除以总份数求出平均数。

【例题1】二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？


< br>【思维导航】因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，
是按人数平均 ，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总
棵数为：80+66+54= 200棵，总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。
【练习1】1 ，电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机
6300台。这个月平均每 天生产电视机多少台？



2，小明参加数学考试，前两次的平均分是8 5分，后三次的总分是270分。求小明这
五次考试的平均分数是多少。



3，二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，平均每人植树10棵；第二组有6人，平均每人植树11棵；第三组有6人，平均每人植树9棵。二（1）班平均每人植树多少棵？



【例题2】王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘 米，
一个同学身高152厘米，有两个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平均身高。
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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】这道题可以按照一般思路解，即用身高总和除以总人数。这 道题还可以
采用假设平均数的方法求解，容易发现，同学们的身高都在150厘米左右，可以假设平均< br>身高为150厘米，把它当作基准数，用“基数+各数与基数的差之和÷份数=平均数”。
（153×2＋152＋149×2＋147×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
或：150＋（3×2＋2－1×2－3×2）÷（2＋1＋2＋2）=150厘米
【练习2】
1，五（1）班有7个同学参加数学竞赛，其中有两个同学得了99分，还有三个 同学
得了96分，另外两个同学分别得了97、89分。这7个同学的平均成绩是多少？



2，气象小组每天早上8点测得的一周气温如下：13℃、13℃、13℃、14 ℃、15℃、
14℃、16℃。求一周的平均气温。


3，敬老院有8个 老人，他们的年龄分别是78岁、76岁、77岁、81岁、78岁、78岁、
76岁、80岁。求这8 个老人的平均年龄。



【例题3】从山顶到山脚的路长36千米，一辆 汽车上山，需要4小时到达山顶，下山
沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。



【思维导航】求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往 返的路程是36
×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小 时行72
÷6=12千米。
【练习3】
1，小强家离学校有1200米，早上上学 ，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了
10分钟。求小强往返的平均速度。


2，李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路
返回， 每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。


3，小亮上山时的速度是每小时 走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，
他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？
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“启航”奥数中级教程（一）
【例题4】李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成 绩不算在内，
平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？



【 思维导航】先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332
分，最后 用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。
【练习4】
1，小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三
次得了多少分？


2，小丽在期末考试时，数学成绩公布前她四门功课的平均分数是92分；数学成 绩公
布后，她的平均成绩下降了1分。小丽的数学考了多少分？


3，某班一次外语考试，李星因病没有参加。其他同学的平均分是95分，第二天他的
补考成绩是6 5分，如果加上李星的成绩后，全班的平均分是94分。这个班有多少人？


< br>【例题5】如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最
大的人可能 是多少岁？

【思维导航】因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4 =92岁；
又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一< br>个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。
【练习5】1，如果三个人的平均年龄是22 岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年
龄最大的可能是多少岁？


2 ，如果四个人的平均年龄是28岁，且没有大于30岁的。那么最小的人的年龄可能
是多少岁？


3，如果四个人的平均年龄是25岁，四个人中没有小于16岁的，且这四个人的 年龄
互不相等。那么年龄最大的可能是多少岁？


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“启航”奥数中级教程（一）
第23讲 ▍ 定义新运算
知识要点
我们学过常 用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为
什么运算结果不同呢？主 要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种
运算实际就是两个数与一个数的一种对应方 法。对应法则不同就是不同的运算。当然，
这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个 唯一确定的数与它们对
应。
这一讲，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是
不相同的。

【例题1】设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a
×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。


【思维导航 】解这类题的关键是抓住定义的本质。这道题规定的运算本质是：运算符
号前面的数的3倍减去符号后面 的数的2倍。
5△6=5×3－6×2=3
6△5=6×3－5×2=8
显然，本例定义的运算不满足交换律，计算中不能将△前后的数交换。
【练习1】1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。



2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算：
（1）（5*6）*7 （2）5*（6*7）



3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。



【例题2】对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。



【思维导航】这道题规定的运算本质是：用运算符号前后两个数的积加上这两个数。
6⊕2=6×2＋6＋2=20
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【练习2】
1，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。




2，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。




3，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。




【例题3】如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。



【思维导航】这道题规定的运算本质是：从运算符号前的数加起，每次加的数都比 前
面的一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25
【练习3】
1，如果5▽2=2×6，2▽3=2×3×4，计算：3。



2，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。



3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。




【例题4】对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2 )+…(a+b－1)。已知x□6=27，
求x。


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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】经仔细分析，可以发现这道题规定运算的本质仍然是：从运 算符号前面
的数加起，每次加的数都比它相邻的前一个数多1，加数的个数为运算符号后面的数，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解这个方程，即可求出x=2。
【练习4】
1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知 x□3=5973，求x。



2，对于两个数a与b，规定a□b=a +(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求
x。



3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。




【例题5】 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。



【思维导航】仔细观察和分析这几个算式，可以发现下面的规律：a▽b=2a+b，依此
规律 ：
7▽3=7×2＋3=17。
【练习5】
1，有一个数学运算符号“▽”，使 下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5
▽1=8。按此规律计算：8▽4。



16
4
711
1235



742945
。
23665
32
2，有一个数学运算 符号“□”使下列算式成立：□，□，□
按此规律计算：
8
□
11
。



3，对于两个数a、b，规定a▽b=b×x－a×2，并且已知82 ▽65=31，计算：29▽57。


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第24讲 ▍ 差倍问题
知识要点
解答差倍问 题时，先要求出与两个数的差对应的倍数差。在一般财政部下，它们往
往不会直接告诉我们，这就需要我 们根据题目的具体特点将它们求出。当题中出现三个
或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为与 标准量之间倍数关系对应的数量。
解答差倍应用题的基本数量关系是：
差÷（倍数－1）=小数
小数×倍数=大数 或：小数+差=大数

【 例题1】光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比
踢踺子的多36人。参 加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？



【思维导航】如果把踢踺子的人 数看作1份，那么跳绳的人数是这样的3份。36人是
这样的3－1=2份。这样，把36人平均分成2 份，1份就是踢踺子的人数：36÷2=18人，
跳绳的有18×3=54人。
【练习1】
1，城南小学三年级的人数是一年级人数的2倍，三年级的人数比一年级多130人。
三年级和 一年级各有多少人？



2，一种钢笔的价钱是一种圆珠笔的4倍，这种 钢笔比圆珠笔贵12元。这种钢笔和圆
珠笔的单价各是多少元？


3，农业科技小组有两块小麦试验田，第二块比第一块少6公顷，第一块的面积是第
二块的3倍。两 块试验田各是多少公顷？



【例题2】仓库里存放大米和面粉两种粮食 ，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数
比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千 克？



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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】如果面粉减少100千克，那么面粉的千克数就是大米的2 倍，3900－
100=3800千克，就是大米的2－1=1倍。所以，大米有3800÷1=380 0千克，面粉有3800
＋3900=7700千克。
【练习2】
1，三年级学生 参加课外活动，做游戏的人数比打球人数的3倍多2人，已知做游戏
的比打球的多38人，打球和做游戏 的各有多少人？


2，学校今年参加科技兴趣小组的人数比去年多41人，今年的 人数比去年的3倍少35
人。今年有多少人参加？



3，果园 里种了一批苹果树和桃树，已知苹果树比桃树多1600棵，苹果树的棵数比桃
树的3倍多100棵。苹 果树和桃树各种了多少棵？



【例题3】育红小学买了一些足球、排球 和篮球，已知足球比排球多7只，排球比篮
球多11只，足球的只数是篮球的3倍。足球、排球和篮球各 买了多少只？



【思维导航】由题意可知，足球比篮球多买了7+11 =18只，它是篮球的3－1=2倍。
所以，买篮球18÷2=9只，买排球9+11=20只，买足球 20+7=27只。
【练习3】
1，玩具厂二月份比一月份多生产玩具2000个，三月份 比二月份多生产3000个，三
月份生产的玩具个数是一月份的2倍。每个月各生产多少个？



2，某农具厂第三季度比第二季度多生产2800套轴承，第一季度比第二季度少 生产1200
套。第三季度生产的是第一季度的3倍。求每季度各生产多少？



3，三个小朋友们折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的
是小强的3倍。三个人各折纸飞机多少架？


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“启航”奥数中级教程（一）
【例题4】商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红 糖380千克，
白糖110千克后，红糖和白糖重量相等。商店原有红糖和白商各多少千克？


【思维导航】由“红糖卖出380千克，白糖卖出110千克后，红糖和白糖重量相等”可知原来红糖比白糖多380－110=270千克，它是白糖的3－1=2倍。所以，白糖原有270÷2=135千克，红糖原有135×3=405千克。
【练习4】
1．甲、乙两个仓 库各存一批面粉，甲仓库所存的面粉的袋是乙仓库的3倍，从甲仓
库运走720千克，从乙仓库运走12 0千克后，两个仓库所剩的面粉相等。两个仓库原来各
有面粉多少千克？


2．有两筐橘子，第二筐中橘子的个数是第一筐中的2倍。如果第一筐中再放入48个，
第二筐中再放 入18个，那么两筐的橘子个数相等。原来两筐各有橘子多少个？


3．甲桶的酒 是乙桶的4倍，如果从甲桶中取出15千克倒入乙桶，那么两桶酒的重量
相等。原来两桶酒各有多少千克 ？


【例题5】甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出2本，从乙 书架取
出60本后，乙书架的本数是甲书架的3倍。原来两个书架各有图书多少本？

【思维导航】由“甲、乙两个书架原有图书相等，从甲书架取240本，从乙书架取出
60本”可知乙 书架余下的书比甲书架多240－60=180本，它是甲书架余下的2倍，所以甲
书架余下180÷2 =90本。甲书架原有90＋240=330本。
【练习5】1，两筐同样的苹果，甲筐卖出8千克， 乙筐卖出20千克以后，甲筐剩下
的是乙筐的3倍。两筐苹果原来各有多少千克？


2，甲、乙两个人的存款数相等，甲取出60元，乙存入20元，乙的存款是甲的3倍。
两人原 来各有存款多少元？


3，甲、乙两个书架原有图书本数相等，如果从甲书架取出 120本放到乙书架，乙书
架的本数是甲书架的4倍。原来两个书架各有图书多少本？



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“启航”奥数中级教程（一）
第25讲 ▍ 和差问题
知识要点
已知两个数的 和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差问题。解答和差应
用题的基本数量关系是：
（和－差）÷2=小数
小数＋差=大数（和－小数=大数）
或：（和＋差）÷2=大数
大数－差=小数（和－大数=小数）
解答和差应用题的关键 是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相
等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们 两个数的和与差，可以通过转化求它们的
和与差，再按照和差问题的解法来解答。

【例题1】三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年
级各植树多少棵 ？


【思维导航】假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年 级植树的2
倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－ 20=54棵。
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树
棵数的2倍，由出，先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树
的棵数：54＋20=74棵。
【练习1】1，两堆石子共有800吨，第一堆比第二堆多200吨。两堆各有多少吨？


2，用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。锡和铝各是多少
千克？


3，甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。甲、乙两人各多少岁？


【例题2】两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么 两筐的
梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？

【思维导航】根据题意，第一筐减 少10个，第二筐增加10个后，则两筐梨子个数相
等，可知原来第一筐比第二筐多10×2=20个。 假如从120个中减去20个，那么得到的差
就是第二筐梨子个数的2倍，所以，第二筐原来有（120 －20）÷2=50个，第一筐原来有
50＋20=70个。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
1，红星小学三（1）班和三（2）班共有学生1 08人，从三（1）班转3人到三（2）
班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多少人？



2，某汽车公司两个车队共有汽车80辆，如果从第一车队调10辆到 第二车队，两个
车队的汽车辆数就相等。两个车队原来各有汽车多少辆？



3，甲、乙两笨共有水果60千克，如果从甲箱中取出5千克放到乙箱中，则两箱水果
一样重。两箱原来各有水果多少千克？


【例题3】今年小勇和妈妈两人的年龄 和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今
年妈妈和小勇各多少岁？


【思维导航】3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈
妈小26岁。显 然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）
÷2=6岁。
【练习3】
1，今年小刚和小强俩人的年龄和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁。今年小 刚和
小强各多少岁？



2，黄茜和胡敏两人今年的年龄和是2 3岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。黄茜和胡
敏今年各多少岁？


3， 两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。求胡炜和陆飞今
年各多少岁。


【例题4】甲乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库中取出25袋放到乙仓 库中，
则甲仓库比乙仓库还多8袋。两个仓库原来各有多少袋大米？
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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】先求甲、乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出25 袋放到乙仓
库中，则甲仓库比乙仓库还多8袋”可知甲仓库原来比乙仓库多25×2＋8=58袋。由此 可
求出甲仓库原来有（800＋58）÷2=429袋，乙仓库原来有800－429=371袋。
【练习4】
1．甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比 乙箱
还多6袋。两箱原来各有多少袋？



2．甲、乙两筐香蕉 共重60千克，从甲筐中取5千克放到乙筐，结果甲筐比乙筐还多
2千克。两筐原来各有多少千克香蕉？



3．两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙 笼比甲笼还多1
只。甲、乙两笼原来各有鸡蛋多少只？



【例 题5】把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多
少厘米？


【思维导航】根据题意可知围成的长方形的周长是108厘米，因此，这个长方形长与
宽的和是108÷2=54厘米，由此可以求出长方形的长为（54+12）÷2=33厘米，宽为54－33=21厘米。
【练习5】
1，把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。长和宽各是多少厘米？


2，赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑1080米。< br>游泳池的长和宽各是多少米？



3，刘晓每天早晨沿长和宽相差 40米的操场跑步，每天跑6圈，共跑2400米。这个
操场的面积是多少平方米？



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“启航”奥数中级教程（一）
第26讲 ▍ 巧算年龄
知识要点
年龄问题是 一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。
有些年龄问题往往是和、差、倍 数等问题的综合，需要灵活地加以解决。
解答年龄问题，要灵活运用以下三条规律：
1，无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；
2，随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；
3，随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。

【例题1】爸爸今年43岁，儿子今年11岁。几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？


【思维导航】儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年
龄差是43 －11=32岁。所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，
因此16－1 1=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。
【练习1】1，妈妈今年36岁，儿子今年12岁。几年后妈妈年龄是儿子的2倍？


2，小强今年15岁，小亮今年9岁。几年前小强的年龄是小亮的3倍？



3，爷爷今年60岁，孙子今年6岁。再过多少年爷爷的年龄比孙子大2倍？



【例题2】妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄 和是39岁。妈
妈和女儿今年各多少岁？


【思维导航】从3年前到今年 ，妈妈和女儿都长了3岁，她们今年的年龄和是：39+3
×2=45岁。于是，这个问题可转化为和倍 问题来解决。所以，今年女儿的年龄是45÷（1+4）
=9岁，妈妈今年是9×4=36岁。
【练习2】
1，今年爸爸的年龄是儿子的4倍，3年前，爸爸和儿子的年龄和是44岁。爸爸 和儿
子今年各是多少岁？

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“启航”奥数中级教程（一）
2，今年小丽和她爸爸的年龄和是41岁，4年前爸爸的年龄恰好是小丽 的10倍。小丽
和爸爸今年各是多少岁？



3，今年小芳和她 妈妈的年龄和是38岁，3年前妈妈的年龄比小芳的9倍多2岁。小
芳和妈妈今年各多少岁？



【例题3】今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍。小红 和
小梅今年各多少岁？



【思维导航】小红和小梅的年龄差是 不变的，因此两人的年龄差是小梅今年的5－1=4
倍，也是3年后小梅年龄的2－1=1倍，即：小梅 今年的年龄＋3=小梅今年的年龄×4。所
以，小梅今年的年龄为：3÷（4－1）=1岁，小红今年的 年龄为：1×5=5岁。
【练习3】
1，今年小明的年龄是小娟的3倍，3年后小明的年龄 是小娟的2倍。小明和小娟今年
各多少岁？



2，今年小亮的 年龄是小英的2倍，6年前小亮的年龄是小英的5倍。小英和小亮今年
各多少岁？


3，10年前父亲的年龄是儿子的7倍，15年后父亲的年龄是儿子的2倍。父亲和儿子
今年各 多少岁？



【例题4】甜甜的爸爸今年28岁，妈妈今年26岁。再过 多少年，她的爸爸和妈妈的
年龄和为80岁？


【思维导航】两人的年龄 和每年增加2岁，先求今年爸爸和妈妈的年龄和：28＋26=54
岁，再求80比54多80－54= 26岁。26里面包含多少个2，就是经过的年数。所以，再过
26÷2=13年爸爸和妈妈的年龄和为 80岁。
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【练习4】
1，蜜蜜的爸爸今年27岁，她的妈妈今年26岁 。再过多少年，她爸爸和妈妈的年龄
和为73岁？



2，林星今年8岁，爸爸今年34岁。当他们的年龄和为72岁时，爸爸和林星各多少
岁？


3，今年爸爸56岁，儿子30岁。当父子的年龄和为46岁时，爸爸和儿子各是多少岁？



【例题5】小英一家由小英和她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁，今年全家 年
龄总和是71岁，8年前这个家的年龄总和是49岁。今年三人各多少岁？



【思维导航】已知8年前这个家的年龄总和是49岁，这个条件中8年与49岁看上去
有一个是多余的，有的同学可能认为8年前这个家的年龄总和应该是71－（1+1+1）×8=47
岁，但这与题中所给的条件49不一致。为什么呢？这说明8年前小英还没有出生。这相
差的2岁就是8 年前与小英年龄的差。由此可以求出小英今年是8－2=6岁。今年父母的
年龄和为71－6=65岁。 已知小英的父亲比母亲大3岁，所以今年父亲（65+3）÷2=34岁，
母亲34－3=31岁。
【练习5】
1，父、母、子三人今年的年龄和为70岁，而10年前三人的年龄和为46岁， 父亲比
母亲大4岁。求三人今年各多少岁。


2，全家四口人，父亲比母 亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。4年前他们的年龄和为58
岁，现在全家的年龄和是73岁。现在每个人 各多少岁？



3，吴琪一家由吴琪和他的孪生姐姐吴林还有他们的父母 组成，其中父亲比母亲大2
岁。今年全家的年龄和是64岁，5年前全家的年龄和是52岁。求今年每人 的年龄。



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第27讲 ▍ 较复杂的和差倍问题
知识要点
前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、
差倍、和差问题，这 类问题叫做复杂的和差倍问题。
解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题 目进行合理
的转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。
【例题1】两箱茶叶共重96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙箱的千
克数是甲箱的 3倍。两箱原来各有茶叶多少千克？



【思维导航】由“两箱茶叶共重 96千克，如果从甲箱取出12千克放入乙箱，那么乙
箱的千克数是甲箱的3倍”可求出现在甲箱中有茶 叶96÷（1＋3）=24千克。由此可求出
甲箱原来有茶叶24＋12=36千克，乙箱原来有茶叶9 6－36=60千克。
【练习1】1，书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入 下层，那
么下层的本数正好是上层的2倍。两层原来各有书多少本？



2，甲、乙两人共储蓄2000元，甲取出160元，乙又存入240元，这时甲储蓄的钱数
比 乙的2倍少20元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？



3，某畜牧场共 有绵羊和山羊3561只，后来卖了60只绵羊，又买来山羊100只，现
在绵羊的只数比山羊的2倍多 1只。原来绵羊和山羊各有多少只？



【例题2】甲、乙、丙三个同学 做数学题，已知甲比乙多做5道，丙做的是甲的2倍，
比乙多做20道。他们一共做了多少道数学题？



【思维导航】甲比乙多5道，丙比乙多20道，丙做的是甲的2倍，因 此，20－5=15
道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了15×2=30道，乙做了15－5=1 0道。他们共做
了：（20－5）×（1＋2）＋[（20－5）－5]=55道。
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“启航”奥数中级教程（一）
【练习2】
1，某厂一季度创产值比三季度多2万元，二季度 的产值是一季度产值的2倍，比三
季度产值多42万元。三个季度共创产值多少万元？



2，甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做12个，丙做的比甲的2倍少2 0个，
比乙做的多38个。这批零件共有多少个？



3，果园 里的苹果树是桃树的3倍，管理员每天能给25棵苹果树和15棵桃树洒农药。
几天后，当桃树喷完农药 时，苹果树还有140棵没有喷药。果园里共有多少棵树？



【例题3 】某工厂一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第
二车间比第三车间多15 人。三个车间各有工人多少人？



【思维导航】这是多量的和差问题， 解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如
果以第二车间的人数为标准，第一车间减少10人，第三 车间增加15人，那么280－10＋
15=285人是第二车间人数的3倍，由此可以求出第二车间有 285÷3=95人，第一车间有
95＋10=105人，第三车间有95－15=80人。
【练习3】
1，一个三层书架共放书168本，上层比中层多12本，下层比中层少6本。三 层各放
书多少本？


2，一个三层柜台共放皮鞋120双，第一层比第二 层多放4双，第二层比第三层多7
双，三层各多皮鞋多少双？



3，四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数多20，比第四个数少
12。第一 个数和第四个数是多少？



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“启航”奥数中级教程（一）
【例题4】两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多
少？


【思维导航】从124里去掉商，是124－4=120，它是除数的1＋4=5 倍，除数是120
÷5=24，被除数是24×4=94。
【练习4】
1，在一个 除法算式中，被除数、除数、商的和是123。已知商是3，被除数和除数各
是多少？


2，两个数相除，商是5，余数是7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。


3，两个数相除，商是17，余数是8，被除数、除数、商和余数的和是501， 求被除数
和除数是多少。


【例题5】甲的存款是乙的4倍，如果甲取出 110元，乙存入110元，那么乙的存款
是甲的3倍。甲、乙原来各有存款多少元？



【思维导航】由“乙存入110元，甲取出110元”，可知乙存入110元后相 当于甲存
款数的3倍，取出110×3=330元；而由甲的存款是乙的4倍，可知甲原有存款的3倍相
当于乙原有存款的4×3=12倍，乙现在存入110元后相当于甲原有的12倍，取110×3=33 0
元，所以，330＋110=440元，相当于乙原有的12－1=11倍。所以，乙原有存款440 ÷11=40
元，甲原有存款40×4=160元。
【练习5】1，甲的存款是乙的5倍，如 果甲取出60元，乙存入60元，那么乙的存款
是甲的2倍。甲、乙原来各有存款多少元？


2，刘叔叔的存款是李叔叔的6倍，如果刘叔叔取出1100元，李叔叔存入1100元，< br>那么刘叔叔的存款是李叔叔的2倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？


3，有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16千克，大筐
装的是小筐的4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？


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“启航”奥数中级教程（一）
第28讲 ▍ 周期问题
知识要点
在日常生活中 ，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周
的七天等等。我们把这种特殊的规律 性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果 正
好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周
期里的 第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再
继续算。
< br>【例题1】你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个
图形分别是 什么。
（1）□△□△□△□△……


（2）□△△□△△□△△……


【思维导航】第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10 ，即“□
△”重复出现10次，所以第20个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3=6…2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所
以第 20个图形是△。
【练习1】（1）□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？


（2）盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么
字？

（3）公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜
色？第112只呢？



【例题2】有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。
（1）第129个数是多少？ （2）这129个数相加的和是多少？



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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一 个循环依次重复
出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=32…1，可知有32个“5 、6、4、2”
还剩一个。所以第129个数是5。（2）每组四个数之和是5+6+4+2=17，所 以，这129个
数相加的和是17×32＋5=549。
【练习2】
1，有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…
（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？



2，小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一
直往下排。（1）他 排到第111个是几分硬币？（2）这111个硬币加起来是多少元钱？


3，河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青
桃。接下去一 直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？



【例 题3】假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应
该排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…
【思维导航】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到 大4个数一个循环，我们
可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39÷4=9…3 88÷4=22
所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四 个
字母D下面。
【练习3】
1，有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次 在三条直线上写数（如下图），
22、59、2001各在哪一条线上？
a

7

4
1

3

6
2
9
5

8
c

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b

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“启航”奥数中级教程（一）
2，假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
3，2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…
问：最后一个学生应该排在第几列？
【例题4】1 991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星
期几？（2）1994年1 月1日是星期几？






【思维导航】（ 1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，
可以采用“算尾不算头”的方法。 （22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；
（28－1）÷7=3…6，从星期三开始 （包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2）1991年、1993年是平年，1992年是 闰年，从1991年1月2日到1994年1月1
日共1096天，1096÷7=156…4，从星期 三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。
【练习4】
1，1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？



2，1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？



3，1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？


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“启航”奥数中级教程（一）
【例题5】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪12种动物
按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。< br>如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？





【思维导航】一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、
猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001
年共经历 了2000年（算头不算尾），2000÷12=166…8，从狗年开始往后数8年，公元2001
年 是蛇年。
【练习5】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物
按顺序轮流代表年号。
1，如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？





2，如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？





3，公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？













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“启航”奥数中级教程（一）
第29讲 ▍ 行程问题（一）
知识要点
我们 把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要
包括相遇问题、相背问题和 追及问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时，要理清路程、速度和时 间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=
速度×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点 、时间和运动结果。

【例题1】甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲 每小时走6千米，
乙每小时走4千米。两人几小时后相遇？



【思维导航】这是一道相遇问题。所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作
为出发地作相向运动 的问题。根据题意，出发时甲乙两人相距20千米，以后两人的距离
每小时缩短6＋4=10千米，这也 是两人的速度和。所以，求两人几小时相遇，就是求20
千米里面有几个10千米。因此，两人20÷（ 6＋4）=2小时后相遇。
【练习1】1，甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每 小时行驶18
千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？


2，一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每 小时
行40千米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？

3，甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城
到B城需6 小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后多少小时相遇？



【 例题2】王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，
陆亮每分钟行 90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，
立即回头向王欣跑去；遇到 王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相
遇为止，狗共行了多少米？
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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间 。根据题意
可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主< br>人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即
2000 ÷（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5000米。
【练习2】
1 ，甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个同学骑自行车以每小
时15千米的速度在 两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千
米。两队相遇时，骑自行车的同学共 行多少千米？



2，A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两 地相对开出，甲车每小时行38千米，
乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车 同时出发向乙车飞去，遇
到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇 ？



3，甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队 每小时行60千米，乙
队每小时行50千米。一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往 返联络，
问两车队相遇时，摩托车行驶了多少千米？



【例题3】甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相
背而行，几小 时后两人相隔54千米？




【思维导航】这是一道相背问题 。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问
题。在相背问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成 立，根据题意，甲乙两人共行的路程
应该是54－18=36千米，而两人每小时共行7＋5=12千米 。要求几小时能行完36千米，
就是求36千米里面有几个12千米。所以，36÷12=3小时。
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【练习3】
1，甲车每小时行6千米，乙车每小时行5千米， 两车于相隔10千米的两地同时相背
而行，几小时后两人相隔65千米？



2，甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向北行。
经过3小时后，两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米？



3， 东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路
程是乙的2倍，3小时 后两人相距56千米。两人的速度各是多少？



【例题4】甲乙两人分 别从相距24千米的两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行
13千米，乙步行每小时走5千米。几小时 后甲可以追上乙？



【思维导航】这是一道追及问题。根据题意，甲追 上乙时，比乙多行了24千米（路
程差）。甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，甲每 小时比乙多行13－
5=8千米（速度差），即甲每小时可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的时间 ，就是
求24千米里面有几个8千米。因此，24÷8=3小时甲可以追上乙。
【练习4】
1，甲乙两人同时从相距36千米的A、B两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行
15千米 ，乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙？


2，解放军某部从营地出发，以每 小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急
事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去 联络。多长时间后，通讯员能赶上队
伍？
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3，小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直 的路上行走，
小华每分钟走65米，小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米？



【例题5】甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑27 0米，
跑道一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次
追上乙？



【思维导航】这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同 时同地起跑，方向一致。因
此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400 米。根据“路
程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）= 20分钟。
【练习5】
1，一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟 跑250米，两人同时
同地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星？




2，光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线起跑。亮亮 每秒
跑6米，晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？




3，甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙 的速度是
甲的2倍。现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？





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第30讲 ▍ 假设法解题

知识要点
假设 法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出
某种假设，然后按已知条件 进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正
确答案。
运用假设法的思路解应用 题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假
设要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的 假设，注意到数量关系发生了什么变化
并作出适当的调整。

【例题1】今有鸡、兔 共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问
鸡、兔各有多少只？



【思维导航】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总 数
必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。
假设全是鸡，那么 相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24
只。减少的原因是把一只 兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，
鸡有35－12=23只。
【练习1】
1，鸡与兔共有30只，共有脚70只。鸡与兔各有多少只？


2，鸡与兔共有20只，共有脚50只。鸡与兔各有多少只？


3，鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只。鸡与兔各有多少只？


【例题2】面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民
币各有多少张？


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【思维导航】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民 币，那么27
张人民币是2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把 一张面值2
元的人民币当作一张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有< br>45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。
【练习2】
1，孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？



2，50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船和小船各几只？


3，小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得 5分，猜错一道倒扣3分（不猜
按错算）。小明共得60分，他猜对了几道？

< br>【例题3】一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车
比小车多装 4吨，这批水泥有多少吨？


【思维导航】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键 。如果用36辆小车来运，则剩4
×36=144吨，需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆 小车的装载量是144÷9=16吨，
所以，这批水泥共有16×45=720吨。
【练习3】
1，一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡 车每
辆多装4吨，问这批货物有多少吨？



2，有一堆黄沙， 用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车
比小汽车多运3吨，这堆黄沙有多少 吨？


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3，一批钢材，用小车装，要用35辆，用大车装只用30辆，每辆小车 比大车少装3
吨，这批钢材有多少吨？



【例题4】某玻璃杯 厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果
打碎一个，这个不但不给运费，而且 要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共
得运费920元。求打碎了几个玻璃杯？



【思维导航】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000 =1000元，
实际上少得1000－920=80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个， 不但不给
运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元，所以打< br>碎的玻璃杯数为80÷4=20个。
【练习4】
1，搬运1000玻璃瓶，规定安全 运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬
运费还要赔5角。如果运完后共得运费260元，那 么，搬运中打碎了多少只？




2，某次数学竞赛共20道题 ，评分标准是每做对一题得5分，每做错一题倒扣1分。
刘亮参加了这次竞赛，得了64分。刘亮做对了 多少道题？




3，某校举行化学竞赛共有15道题，规定每 做对一题得10分，每做错一道或不做倒
扣4分。小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题？



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【例题5】某场乒乓球比赛售出30元、40元、50元的门票共200 张，收入7800元。
其中40元和50元的张数相等，每种票各售出多少张？




【思维导航】因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的 门票都
看作45元的门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实 际多
收入9000－7800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30 元的
门票有1200÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=6 0张。
【练习5】
1，某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张，收入15 600元。其中40元和
50元的张数相等，每种门票各售出多少张？





2，数学测试卷有20道题，做对一题得7分，做错一题倒扣4分，不做得0分。 红红
得了100分，她几道题没做？




3，有甲、 乙、丙三种练习簿，价钱分别为7角、3角和2角，三种练习簿一共买了
47本，付了21元2角。买乙 种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍，三种练习簿各买了多
少本？







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第31讲 ▍ 还原问题
知识要点
已知某个数 经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原
问题，还原问题又叫逆运算问题。 解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。

【例题1】小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰
好是100岁。小刚的奶奶今年多少岁？


【思维导航】从最后一个条件恰好是 100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有
扩大10倍之前应是100÷10=10岁；加上2 之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；
没有缩小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后 是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。
所以，小刚的奶奶今年是79岁。
【练习1】
1，在□里填上适当的数。
20×□÷8＋16=26

2，一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？



3，小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，
再乘上3，恰好是30岁。”王老师今年多少岁？



【例题2】某商 场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多
20台，还剩95台。这个商场原 来有洗衣机多少台？



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“启航”奥数中级教程（一）
【思维导航】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向 前倒推，从图
中可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上 午售后
剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来 ，
即230＋10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数 。
【练习2】
1，粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一 半多5
吨，还剩下4吨。粮库原有大米多少吨？



2，爸爸买 了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下
的一半多1个，第三天又吃掉了 剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？


3，某水果店卖菠萝， 第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1
个，第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1 个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，
求每个菠萝多少元？



【例题3】小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又
借给小勇 5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？



【思维导航】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个
人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小
勇5本，那 么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么
小强有25－3 =22本，小明有20＋3=23本。
【练习3】
1，甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡9 0张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，
那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡 多少张？

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2，小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张 ，小丽给小敏
23张，小敏给小红3张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？



3，甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗 ，乙给丙18颗，
丙给丁16颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？


【例题4】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙
桶，再从乙 桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油
原来各有多少千克？



【思维导航】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内 应有油36÷
2=18千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的 油倒入乙
桶，乙桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千克。
【练习4】
1，王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李 强
再拿出和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片
多少 张？


2，甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个 数给乙，
再按丙现有的个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样
的方法给甲、乙，这时，他们三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个？


3，书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中
层，再从中层取 出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书
放到上层，这时三书架所放的书 本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？
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【例题5】两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿 得太多，就抢
去一半；甲猴不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴< br>比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？




【思维导 航】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴
多2个”，可知乙猴现在拿（ 26＋2）÷2=14个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴
那儿抢走一半，又还给乙猴5个 后有12个，如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17
个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现 在有（26－17）×2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，
抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么 甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个。
【练习5】
1，学校运来36棵树苗，小强 和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看
到小强拿太多了就抢了10棵，小强不肯，又从小 萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是
小萍的2倍。问最初小强准备拿多少棵？




2，李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就 抢了
一半；李辉不肯，张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？





3，有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加 到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，
最后从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、 乙、丙三个数原来各是多少？





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