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暑期三升四奥数辅导教案
目录

第一讲速算与巧算……………………………………..……………………. 2
第二讲应用题综合（一）……………………………………..………………9
第三讲应用题综合（二）………………………………..……………………14
第四讲行程问题初步……………………………..…………………………..19
第五讲奇数与偶数………………………………..…………………………..24
第六讲计数问题…………………………………..…………………………..29
第七讲体育比赛中的数学………………………..…………………………..34
第八讲期中测试…………………………………..…………………………..38
第九讲余数与周期…………………………………..………………………..40
第十讲简单的抽屉原理……………………………..………………………..45
第十一讲巧求周长………………………………..……………………………..50
第十二讲数字谜…………………………………..…………………………....55
第十三讲趣题巧解…………………………..………………….……………..60
第十四讲逻辑推理………………………..………………….………………..64
第十五讲期末测试……………………………..………….……………….….68

第一讲 速算与巧算
亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天 的速算技
巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！


你还记得吗？




1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.

2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，

再与第一个数相加，它们的和不变.

3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，

即a×b=b×a,其中a，b为任意数.

4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数

相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c).




1. 计算：378+26+609

分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）
=400+600+9+4
=1013.

[拓展] 计算：1998+198+18
分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2）
=2220-6
=2214.

2. 计算：1000-90-80-20-10

分析：原式 =1000-（90＋80＋20＋10）
=1000-200
=800.


3. 计算：1）63×11 ； 2） 852×11

分析：在这个 数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）.即“两边一拉，中间相加”.
1）63×11=693 （其中9是6+3），
2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.

4. 计算 ：15×15 ；25×25 ；35×35

分析：建议教师先介绍个位数字为5 的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起
来即为所求的积.15×15=22 5 ；25×25=625 ；35×35=1225．


暑假精讲




1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除

数的位置，商不变，即a÷b÷c=a÷c÷b

2. 乘除法混合运算的性质

（1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置，

例如a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a

(2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形

a×(b×c)=a×b×c

a×(b÷c)=a×b÷c

a÷(b÷c)=a÷b×c

(3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即

(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c).




在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性 质和运算中积商的
变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们 通过一些例题介绍
一些运算的速算和巧算的方法.

【例1】 计算：456×2×125×25×5×4×8

分析：解题关键是观察题目可以发现25× 4得100，125×8得1000，将它们分别合并便可达到速算
原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8）
=456×10×100×1000
=456000000.

[巩固] 计算：19×25×64×125
分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2）
= 100×1000×38
=3800000.


【例2】 计算：5÷(7÷11)÷(11÷15) ÷(15÷21)

分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21
=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）
=5×3
=15.

[前铺]计算：5400÷25÷4
分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积.
原式=5400÷（25×4）
=5400÷100
=54.


【例3】 计算：333333÷37÷3-3625÷125+125×50

分析：运用a÷b÷c=a÷(b×c) .
原式=333333÷（37×3）-29+6250
=333333÷111+（6250-29）
=3003+6221
=9224.


【例4】 53×46+71×54+82×54

分析：可以把53，199拆分.
原式=（54-1）×46+71×54+82×54
=54×46+71×54+82×54-46
=54×（46+71+82）-46
=54×199-46
=54×（200-1）-46
=54×200
=54-46
=10800-100
=10700.


【例5】 （873×477-198）÷（476×874+199）

分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分.
原式=[873×（476+1）-198]÷[476×（873+1）+199]
=[873×476+873-198]÷[476×873+476+199]
=[873×476+675]÷[476×873+675]
=1.


【例6】 1111111111×9999999999

分析：原式=1111111111×（1-1）
=1111111111-1111111111
=111111111.

【例7】 99999×26+33333×24

分析：原式=99999×26+33333×3×8
=99999×26+99999×8
=99999×（26+8）
=（100000-1）×34
=3399966.


【例8】 计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4×4+l×2×3×4×5×5

分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3 ×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1)
=l×2-1+l×2×3-1×2+l×2× 3×4-1×2×3+l×2×3×4×5-1×2×3×4+l×2×3×4×5×
6-l×2×3× 4×5
=l×2×3×4×5×6-l
=720-l
=719．


【例9】 计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-200 0-1999+1998+…+5-4-3+2+1

分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算.
原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+ 1998）+…+（5-4-3+2）+1
=2006+0+0+…+0+1
=2007.
（法2）根据符号规律，可以4个数一组.
原式=（2006+2005-2004-2003）+…+（6+5-4-3）+2+1
=4×（2004÷4）+3
=2007.

[拓展] 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-…-1989-1990+1991
分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+…+（4+3-2-1）
=4×（1992÷4）
=1992.


【例10】 计算：（11×10×9×…×3×2×1）÷（22×24×25×27）

分析：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4
=2×2×7×4
=112.

【例11】 计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17

分析：[前铺]分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题.
计算1： 36×19+64×19
=（36+64）×19
=1900.
计算2： 36×19+64×144
=36×19+64×（19+125）
=（36+64）×19+64×125
=1900+8×8×125
=1900+8000
=9900.
例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17
=（9-5）×17+（91+45）÷17
=4×17+136÷17
=68+8
=76.


【例12】 计算：765×213÷27+765×327÷27

分析：原式=765×（213+327）÷27
=765×540÷27
=765×20
=15300.


【例13】 计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7

分析：[前铺]建议教师先讲解拆数法：123456=1×100000+2×10000 +3×1000+4×100+5×10+6×1，
234561=2×100000+3×10000 +4×1000+5×100+6×10+1×1，…
　　１２３４５６
或者观察竖式发现： 每个数位上的和=（1+2+3+4++5+6）×相应的数量单位.讲
　　２３４５６１
清楚 拆数这个问题，题目就迎刃而解了.
　　３４５６１２
　　
原式=（1+2+3+4 +5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7
　　４５６１２３
=21×111111÷7
　　５６１２３４
=3×111111
＋）６１２３４５
=333333.


【例14】 计算：12121212÷3030303

分 析：[前铺]建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=123×1001，1231231 23=123×
1001001，…
分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）
=（12÷3）×（1010101÷1010101）
=4×1=4.

[拓展] 计算：（4545+5353）÷4949
分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101）
=（45+53）×101÷49÷101
=（45+53）÷49
=2.


【例15】 2004×2-2003×2

分析： 原式=2004×2003×100010001-2003×2004×100010001=0.



附加内容

【附1】 计算：99999×22222+33333×33334

分析：原式=99999×22222+33333×（33333+1）
=99999×22222+99999×11111+33333
=99999×33333+33333
=33333×（99999+1）
=33333×100000
=3333300000.


【附2】 计算：888×125÷（1000÷73）+999×73

分析：原式=8×125×111÷（1000÷73）+999×73
=1000×111÷1000×73+999×73
=73×（111+999）
=1110×（70+3）
=77700+3330
=81030.




大显身手

1. 25×17×32×125

分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000


2. 1）57×99 ；2） 17×999

分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.


.

3. 15000÷125÷15

分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.


4. 56000÷（14000÷16）

分析：原式= 64.






数学迷宫

仔细看看图中有几只猴子？

第二讲 应用题综合（一）

春季班同学们已经学习了平均数的应用题，其中包括以两组数的平均数和 它们的总平均数间的关系为
内容的问题．求解时应恰当选取基准数并注意权重．暑假我们学习的平均数问 题包括算术平均数、加权平
均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时 ，主要是弄清楚总数、份数、
一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平 均数.首先，让我们先回顾一下
吧！


你还记得吗？

1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每 天做
4道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那 么，星期
日要做几道题才能达到自己规定的要求？

分析：综合列式为4×7-(3×3＋13)＝6(道).


2. 小明 家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千
克. 小明家养的猪平均多重？

分析：两批猪的总重量为66×3＋42×5＝408(千克). 两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重408
÷8＝51(千克).


3. 中强期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分.问：英语得了多少分？

分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为( 92＋90＋4)
÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩.综合列式为(92＋92＋4)÷2＋4＝ 97(分).


4. 有5个数的平均数是26，如果把其中的一个数改为18，则平均数变成22，未改动前的这个数是多少？

分析：5个数的平均数从26变成22，平均每个数减少了4，一共减少了4×5=20，说 明原来那个数减少20
变为18，所以原来的数是38.


暑假精讲


【例1】 学而思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的 人及格，及格人的平均分
是93分，那么不及格人的平均分是多少分？

分析：不及格人的平均分是（85×50-93×40）÷（50-40）=53（分）．

【例2】 某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调 全部打开时就会烧断保险丝，
因此最多同时使用3台空调.这样，在24小时内平均每户最多可使用空调 几小时？

分析：平均每户最多可用空调24×3÷4=18（小时）.


【例3】 一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是 45岁．两个
房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.


【例4】 某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男 同
学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)，所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40
（人）.


下面我们要学习一类新的应用题——盈亏问题.
盈亏问题就是把一定数 量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配
的物品数与分配的对象数. 解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈
亏问题的公式：分配总 人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈
一亏、两盈、两亏等 情况，所以我们要灵活把握.


【例5】 六一儿童节到了，李老师给同学们准备 了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出
29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给 几个学生发礼物呢？

分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).

【例6】 杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元．这本书的 单价是多少？
顾老师共带了多少元钱？
分析：买5本多3元，买7本少1.8元.盈亏总额为 3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-5＝2（本）
书，因此每本书4.8÷2=2. 4（元），顾老师共带钱2.4×5＋3＝15（元）.


【例7】 学校组织四 年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，
如果租用同样数量的5 5个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？

分析：租55个 座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车
数量(55+ 5)÷(55-45)=6(辆).

【例8】 兰兰 参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如
果每个房间住7 人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？

分析：房间数量：(18+ 7×2)÷(7—5)=16(个)，参加夏令营的人数：16×5+18=98(人).


【例9】 海尔兄弟约好在动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟 ，
如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？

分析：迟到5分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 ×2= 80(米)，所以，
如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)÷(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30×
(23+5)=840(米).


【例10】 早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元．如果买8千克猪肉则还剩2元 ．已
知每千克鱼肉比猪肉贵5元．那么陈奶奶带了多少钱?

分析：由于每千克鱼肉 比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买6千克猪
肉应该剩下： 30—10=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(20—2)÷(8—6)=9(元)，陈奶奶所带钱数 ：
8×9+2=74(元).


【例11】 百货商店委托搬运站运送1 00只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打
破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1 元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花
瓶?

分析：假设 100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1×100=100(元)．实际上只得到92
元，少得100-92=8(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)．因此共打破花瓶8÷2= 4(只)．


附加内容


【附1】 100名学生 参加数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为
70分，那么该校 参赛男同学比女同学多几人？

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)．所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40
（人）．


【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分．计分时，先去掉一个最高 分和一个最低分，在算出
平均分作为该选手的最后得分．下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，8 1，■（第五个分数被盖上了），
最后得分82．请你算算第五位评委打多少分？

分析：如果第五位评委的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数
的平均分不等于82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和
86，第五 位评委的分数是82×3-（83+81）=82（分）.

【附3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就 会
迟到8分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟． 问：
乐乐家离学校有多远?

分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，
他离学校还有50×8=400(米)；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课 还有5分钟，
如果一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)．所以盈亏总额 ，即总的路程相差
400+300=700(米)．两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为70 0-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变
速度起到上课时间有70分钟．所以乐乐家到学校的距离 为50×(2+70+8)=4000(米)．


【附4】 四(2)班在这次的 班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了
一些铅笔和橡皮．刘老师把 这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1
块橡皮2支铅笔，铅笔分完时 橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那
么，刘老师一共买了多少 块橡皮?多少支铅笔?
分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块 橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)
铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完， 可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：
15×3=45(块)，铅笔数为：15 ×6—10=80(支)．




大显身手


1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天 游670米，则
平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均 每天游500米，那么最
后一天应游多少米？

分析：（778-670）÷（49 8-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他
最后 一天应该游670+36×（500-495）=670+180=850米.



2. 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7 分，
那么乙班的平均成绩是多少分？

分析：甲、乙2班总分为81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如 果甲班每人提高
7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+7×51）÷（51+49） =84.57（分）.


3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多5 0厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深
各是多少？

分析：根据题意， （50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190- 30）×30=480
（厘米）.

4. 王 老师带班里的学生去颐和园春游，他们租了一些船在昆明湖上划船，如果增加1条船，正好每条船
坐4人 ，如果减少1条船，正好每条船坐6人，那么，他们总共有几人去了颐和园？

分析：这道题 也可以理解为：原来每条船坐4人正好，后来减少了2条船，每条船坐6人．所以，租的船
的数量为：6 ×(1+1)÷(6—4)=6(条)，去颐和园的总人数为：6×4=24(人).






成长故事


永远看得起自己
有一天某个农夫的一头驴子，不小心掉进一口枯井里，农夫绞尽脑汁想办法救出驴子，但几个小时过
去了，驴子还在井里痛苦地哀嚎着．
最后，这位农夫决定放弃，他想这头驴子年纪大了， 不值得大费周章去把它救出来，不过无论如何，
这口井还是得填起来．于是农夫便请来左邻右舍帮忙一起 将井中的驴子埋了，以免除它的痛苦．
农夫的邻居们人手一把铲子，开始将泥土铲进枯井中．当这 头驴子了解到自己的处境时，刚开始哭得
很凄惨．但出人意料的是，一会儿之后这头驴子就安静下来了． 农夫好奇地探头往井底一看，出现在眼前
的景象令他大吃一惊：当铲进井里的泥土落在驴子的背部时，驴 子的反应令人称奇──它将泥土抖落在一
旁，然后站到铲进的泥土堆上面！
就这样，驴 子将大家铲倒在它身上的泥土全数抖落在井底，然后再站上去．很快地，这只驴子便得意
地上升到井口， 然后在众人惊讶的表情中快步地跑开了！

第三讲 应用题综合（二）

年龄问题和还 原问题春季班都学习过基础的知识：年龄问题的解题要点是分析题意从表示年龄间倍数
关系的条件入手理 解数量关系.关键抓住“年龄差”不变.应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系
式解决；还原 问题我们学习了用倒推法解单、多个变量的还原问题.今天我们再提高和拓展一下.来吧，我
们出发！


你还记得吗？

1. 小明今年8岁，他与爸爸、妈妈年龄的 和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时，小明是
多少岁？

分析：三 人的平均年龄是34岁时，三人的年龄和为：34×3=102（岁），经过的时间是：（102-81）÷3= 7
（年），这时小明的岁数：8+7=15（岁）．


2. 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？

分析：今年爸爸与儿子的 年龄差为“48—20=28”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当
爸爸的年龄为儿子 的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法．当爸爸的年
龄是儿子年龄的5 倍时，他们的年龄差是儿子年龄的4倍，所以儿子的年龄是：（48—20）÷（5—1）＝7
（岁）， 由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍．


3. 一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结
果 窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?

分析：（倒推法）教师可画线段图帮助学生 理解．如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一
天运出后，剩下的一半重量是43-12 =3l(克)；这样，第一天运出后剩下的重31×2=62(克)．那么，一半
的重量是62—12= 50(克)，原有食物50×2=100(克)．即 [(43-12)×2-12]×2=100(克).


4. 小新在做一道加法题，由于粗心，将个位上的5看作9，把十位上的8看作 3，结果所得的和是123．正
确的答案是多少?

分析：（倒推法）把个位上 的5看作9，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去；把十位上
的8看作3，相当于把正 确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是123+50- 4=169．即：
123+(80-30)- (9-5)=169.

暑假精讲


【例1】 父亲15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄．当父亲的年龄是儿子的4倍时，父亲多少岁?

分析：父亲比儿子大15+12=27岁．儿子是27÷(4—1)=9岁．父亲是9×4=36岁．


【例2】 姐姐对妹妹说：“当我是你今年的岁数时，你才6岁．”妹妹对姐姐说 ：“当我的岁数是你现在
的岁数时，你将2l岁．”求姐姐和妹妹今年各几岁?

分 析：姐姐和妹妹的年龄差为(21—6)÷3=5(岁)．妹妹今年的年龄为6+5=11(岁)．姐姐今年的年 龄为
11+5=16(岁)．


【例3】 小明一家有4人：爷爷、爸爸 、妈妈和小明．爷爷比爸爸大26岁，妈妈比小明也大26岁．已知
这家人今年的年龄之和为126岁， 而5年前的年龄之和为107岁，那么小明与他爷爷的年龄之差是几岁？

分析：5年来，小 明家的年龄之和增加了126-107=19岁．这家现有4口人，而19<4×5，这说明小明还不
满 5岁，他今年只有19-3×5=4岁．于是今年妈妈4+26=30岁，爷爷和爸爸的年龄之和为126-4- 30=92岁．又
爷爷比爸爸大26岁，因此今年爷爷(92+26)÷2=59岁，他比小明大59- 4=55岁．


【例4】 达达1999年上二年级，如果把他出生年份的前两位 与后两位看成两个两位数，已知第二个两
位数比第一个两位数大73，求达达1999年的年龄．

分析：根据已知条件知，达达的出生年份的前两位数组成的两位数是19，那么，他出生年份 的后两位数组
成的两位数为19+73=92，因此，达达是1992年出生的．由此可知，1999年 时达达的年龄是7岁.


【例5】 甲、乙、丙、丁四人现在的年龄和是64岁， 甲21岁，乙17岁．甲18岁时，丙的年龄是丁
的3倍．丁现在的年龄是多少岁?

分析：（法1）当甲18岁时，乙的年龄为17—3=14(岁)．丁现在的年龄为(64—18—14)÷( 1+3)=32÷4=8(岁)．
（法2）甲18岁是3年前，所以4人总年龄是64-3×4=52 （岁），所以丙丁年龄和为52-18-14=20（岁），
丁就是20÷（1+3）=5（岁），现在 的年龄是5+3=8（岁）.


【例6】 一个箱子里放着乒乓球．一个小朋友往 外拿乒乓球，拿的规则是：每次总是拿出箱中所有乒
乓球的一半然后再放回去1个．按此规则拿了597 次之后，箱子里还剩2个乒乓球．箱子里原有乒乓球多
少个？

分析：前一次的一半是2-1=1（个），依次倒推，原有2个.

【例7】 新天地广场运进一批新款式彩色电视机，第一天售出总数的一半多 10台，第二天售出剩下的
一半多20台，还剩95台．这批新款彩电有多少台?

分析：根据题意可画出线段示意图进行倒推还原．

由示意图可知：95台加上20 台正好是剩下的一半，所以用(95+20)×2=剩下的台数；剩下的台数加上10
台，正好是总数的 一半，于是可求出这批彩电的台数．

[(95+20)×2+10]×2=480（台）.


【例8】 村姑卖蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二 个；第三次卖出再剩
下的一半又二个，这时篮里只剩下二十个蛋．这篮鸡蛋有多少个?
从上面线段图可以看出：最后剩下20个再加上第三次卖出的再余下的一半以外的2个，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)×2=44(个)．44个再加上第二次卖出余下的一半以外的2 个就是余下
的一半，因此可求出余下的是：(44+2)×2=92(个)．92个再加上第一次卖出一 篮的一半以外的2个就是全
篮的一半，因此可求出全篮鸡蛋的个数是(92+2)×2=188(个)．


【例9】 A，B，C三位小朋友都有若干本图书，如果A将自己的书给B，C， 使B，C的书各增加一倍i
然后B又将现有的图书给A，C，使A，C现有的图书各增加一倍；最后C再 将自己已有的图书给A，B，使
A，B的图书各增加一倍，这时三人的图书都是240本．A，B，C三 位小朋友原来各有图书多少本?

分析：如图：
A B C

第一次
390 210 120

第二次
60 420 240

第三次
120 120 480

240 240 240



【例10】 三人存款不等，只知如果甲给乙40元，乙又给 丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这时
三人都有240元．三人原来各有存款多少元？

分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40= 160（元）；丙原有：
240+20+70-30=300（元）.

附加内容


【附1】 林林1999年上四年级，他出生年份的各位数字之和是最大的一位数的3倍，问他1999年几岁？

分析：他出生于1989年，1999年时他10岁.


【附2】 有代号为A，B，C，D的四位小朋友共有课外读物200本．为了广泛阅读，A给B 13本；B给C 18
本；C给D 16本；D给A2本，这时四个人的本数相等．他们原来各有多少本课外读物?

分析：根据已知条件知道，四个小朋友共有课外读物200本，经过互相交换之后这200本 的总数没有变化，
当四个人的本数相等时，每个人的本数是200÷4=50(本)，用倒推的解题方法 ，可从“50本”人手，把收
进的减去，把给出的加上，就可得到各人原有读物的本数：A原有读物本数 ：50+13—2=61(本)；B原有读
物本数：50+18—13=55(本)；C原有读物本数： 50+16—18=48(本)；D原有读物本数：50+2—16=36(本)．




大显身手


1. 小樱今年16岁，小桃今年11岁，几年后，小樱和小桃的年龄之和是45岁?

分析：小樱 和小桃今年年龄和为16+11=27(岁)．小樱和小桃经过45—27=18(年)两人的年龄之和是45岁
时．这时，小樱和小红每人经过的年数都为：18÷2=9(年)．


2. 已知明明今年2岁，爸爸今年28岁，那么请问11年后爸爸的年龄是小明的年龄的多少倍?

分析：(28+11)÷(2+11)=39÷13=3（倍）．


3. 小龟问老龟：“老爷爷，您今年多少岁?”老龟说：“把我的年龄加上20，再缩小2倍之后减去 15，再
扩大3倍，正好是105岁．你能算出我今年多少岁吗?”

分析：（法1 ）根据题意，从最后一个条件105岁开始倒推：最后的数扩大3倍是105岁，如果没扩大3倍，
应该 是105÷3=35(岁)；这个35岁是减去15得到的，如果没减去15，应该是35+15=50(岁)； 这个50岁
是缩小2倍后得到的，如果没有缩小2倍，应该是50×2=100(岁)；这个100岁是 老龟的年龄加上20后得
到的，那么老龟的年龄应该是80岁．
（法2）设老龟今年x岁．依题意有[(x+20)÷2—15]×3=105．解得x=80．

4. 小 红、小芳、小明三人分苹果，小红得的比总数的一半多1个，小芳得的比剩下的一半多1个，小明
得8个 ．问原来共有苹果多少个?

分析：小明得8个是因为小芳得到剩下的一半多1个，如果小芳 只得了剩下的一半，那么小明应得
8+1=9(个)，也就是得了剩下的另一半，这样也就说明了小芳得 了10个，因此可以算出小红取去后剩下的
是9×2=18（个）.根据同样的道理，如果小红得的是总 数的一半，那么剩下的应该有18+1=19(个).那么
苹果总数应该是19×2=38(个)．即[ (8+1)×2+1]×2=38(个).







成长故事


老鹰和火鸡
有一群火鸡看着老鹰张著翅 膀自由自在地在天上翱翔，十分的羡慕．于是和老鹰的头头商量是否能够
派一个教练来教他们飞行的方法 ，老鹰头头爽快的答应下来．
老鹰教练很有耐心地教导火鸡张开翅膀学飞行：翅膀张开，用力地拍 ！火鸡们在老鹰教练的大力指导
下拼命地张着翅膀、用力地拍，它们好高兴自己会飞了，虽然飞得不是很 高，但是它们已经会飞了！
太阳西下，该是下课回家的时候了，老鹰教练对它们说：你们今天好棒 ！你们都飞得很好，你们可以
飞了！太阳下山了，我也要回家了！结果呢？老鹰是飞着回家，火鸡仍然是 走路回家．

第四讲 行程问题初步

在春季班时我们已经学习了简单的行程问题——相遇问题的基本类型 （两人单次直线相遇），同学们，
你们还记得做行程问题的基本工具是什么吗？没错，就是画“线段图” .今天我们将学习更加复杂的相遇
问题.先来回顾一下相遇问题的基础知识吧！



你还记得吗？


1. 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花 果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，
孙悟空的速度是200千米／小时．猪八 戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千
米，则花果山和高老庄之间的距离 是多少千米？

分析：建议教师画线段图．我们可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程： (200+150)×2=700(千米)，
又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：7 00+500=1200(千米)．


2. 甲乙两辆汽车分别从A、B两地出发 相向而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时
行5O千米，5小时相遇，求A、B两 地间的距离．

分析：这题不同的是两车不“同时”．（法1 ）求A、B两地间的路程就是 求甲、乙两车所行的路程和．这
样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48×（ 1＋5）＝288（千米），5O×5＝25O
（千米），288＋25O＝538（千米）．
（法2 ）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程．（48＋5O ）×5
＝49O（千米），49O＋48＝538（千米）．


3. 甲 乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车
到达 A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

分析：240÷（240÷4+240÷6）＝2.4（小时）．


4. 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地
S
城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车分 别往
南和往北驶去，南辕先生出发2小时后北辙先生才出发，二人的速度分别为50千米时，60千米时 ，那么
北辙先生出发5小时他们相距多少千米?

分析：两人虽然不是相对而行，但 是题目要求的仍是路程和．50×2+（50+60）×5=650（千米）．

暑假精讲


【例1】 两地相距3200米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每 分钟行78米，
已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

分析：（法1）[3200-（82+78）×15] ÷（82+78）=5(分钟）；
（法2） 3200 ÷（82+78）-15=5(分钟）．


【例2】 李明 和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，
两人相遇时距全 程中点3千米．问全程长多少千米?

分析：根据题意，画个草图，能帮助我们找出数量关系．依题意作行程草图如下：

李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了3×2=6(千米)．由< br>已知李明每小时比王亮多走18—16=2(千米)，那么多少小时李明比王亮多行6千米呢?需要6÷2 =3(小时)，
这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求出了．相遇时李明比王亮多行的路 程3×2=6(千米)，
李明比王亮每小时多行的路程18-16=2(千米)，两人相遇时间6÷2= 3(小时)，全程(18+16)×3=102(千米).


【例3】 甲乙两人 同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲
少行3千米．两地相距 多少千米？

分析：两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米.


【例4】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟 走80米，乙每分钟走100
米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟 ?

分析：甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成 了同时相对而行，
把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时间．乙 到达目标时所用时
间：900÷100=9(分钟)甲9分钟走的路程：80×9=720(米)甲距目 标还有：900—720=180(米)相遇时间：180
÷7(100+80)=1(分钟)，共用时 间：9+1=10(分钟).
简便解：画图可知两人总共走了2个全程，所以总全程为1800，所以 时间为1800÷(80+100)=10分钟．


【例5】 一个圆形操场跑道 的周长是500米，两个学生同时同地相背而行．甲每分钟走66米，乙每分
钟走59米．经过几分钟才 能相遇?

分析：500÷（66+59）=500÷125=4分钟.

【例6】 甲乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每 小时行42千米，乙车每小时行45千
米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、 A两地后，立即按原路原速返回．两车
从开始到第二次相遇共用6小时．求A、B两地的距离．

分析：甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进， 各自到B、
A两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB 间的路程．因
此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程．甲、乙速度和42+45=8 7(千米)，3个AB间
路程87×6=522(千米)，A、B相距522÷3=174(千米).


【例7】 阿呆和阿瓜同时从距离20千米的两地相向而行，阿呆每小时走6千米 ，阿瓜每小时走4千米.
阿瓜带着一只小狗，狗每小时走10千米．这只狗同阿瓜一道出发碰到阿呆的时 候，它就掉头朝阿瓜这边
走，碰到阿瓜时又朝阿呆那边走，直到两人相遇，问这只小狗一共走了多少千米 ?

分析：要求狗走的路程，由于狗在两人之间要跑多少个来回，每一次所用的时间是多少， 这些量无法确知，
所以不可能把每次狗与两人相遇走的路程分别求出再相加．仔细分析整个过程，抓住其 中不变的关系：不
论狗在两人之间跑了多少个来回，狗走的路程所用的总时间等于两人相遇所用的时间． 所以，只要求出两
人相遇所用的时间，就可以求出狗所走的路程．这样，问题就转化为求志强与蓝利亚两 人相遇时间的问
题．相遇时间20÷(6+4)=2（小时)，狗共跑路程10×2=20(千米).


【例8】 甲骑自行车每小时行18千米，乙步行每小时行6千米，如果两人同时 在同一地点同一方向出
发，甲走了48千米到达某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇.问：从出发到 相遇共经过多少时间？

分析：由题意知，甲走了48千米到达某地说明全程为48千米， 甲乙从出发到相遇共行了两个全程，则再
依两人的速度和，求出相遇时间.所以甲乙速度和为18+6= 24（千米）.甲乙的相遇时间为48×2÷24=4（小
时）.


【例9】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米。汽车每小时行4 8
千米.两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回.汽车到甲地立即返回.两车在距 离中
点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？

分析：第 二次相遇距中点108千米，说明两车共有108×2=216（千米）的路程差，由此可知两车共行216÷（54-48）=36（小时）.又因为第二次相遇两车共走了3个全程，所以走一个全程用36÷3=1 2（小时）.
记可求出甲乙两地的路程是（54+48）×12=1224（千米）.

附加内容


【附1】 甲乙两人同时从AB两地相向而行，第一次相遇在 距A地的75米，两人到达AB后又立即返回，
第二次相遇距离B地50千米．求AB两地的距离．

分析：相同时间内（两个人都没有停过），两个人每走过与全程的距离相等的时候，所经过的 距离都和第
一次相遇时所走过的距离是相等的．在第二次相遇时两个人一共走了相当于三个全程的距离， 这时甲应该
是走过了75×3=225（千米），而从图上可知甲走过全程后又走过50米，所以全程距 离
应该是225-50＝175千米.

【附2】 有一 个自行车队，以每小时35千米的速度前进，甲选手突然发力，以每小时45千米的速度前进，
车队速度 不变，当甲选手行进了10千米后掉头返回，问再过多久可以与自行车队相遇？

分析：甲走 10千米的时间为
1045
22
（小时），车队走的时间也是（小时），车队走的 路程是：
9
9
2707020
（千米），此时车队与甲相距
10< br>（千米），甲掉头返回与车队相遇的时间为
35
9999
201
（小时）．
(3545)
936




大显身手


1. 某工程兵修铁路开凿山洞的长是300米，两个班从两 端开始凿山洞，甲班每天凿出5米，乙班每天凿
出6米，同时开凿多少天后，还差80米没有凿通？

分析：（300-80）÷（5+6）=20（天）.


2. 两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，
同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？

分析：450-（38+40）×4=138（千米）.


3. 甲乙两 列客车同时由相距680千米的两地相对出发，甲客车每小时行42千米，经过8小时后相遇．问
乙列客 车每小时行多少千米？

分析：680÷8-42=43（千米时）.


4. 甲乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小 时行
36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？相 遇时两
列火车各行多少千米？

分析：（366-37×2）÷（37+36）=4（小时）.

成长故事
砌墙工人的命运
三个工人在砌一堵墙． 有人过来问：“你们在干什么？”第一个人没好气地说：“没看见吗？砌墙．”第二
个人抬头笑了笑，说 ：“我们在盖一幢高楼．”第三个人边干边哼着歌曲，他的笑容很灿烂开心：“我们正
在建设一个新城市 ．” 10年后，第一个人在另一个工地上砌墙；第二个人坐在办公室中画图纸，他成了工
程师；第三个 人呢，是前两个人的老板．

第五讲 奇数与偶数
春季班我们在学习能被2， 3，5整除的数的特征时介绍能被2整除的数的个位数是0，2，4，6，8，
称为偶数；不能被2整除 的数的个位数是1，3，5，7，9，称为奇数.那么今天我们就具体来学习一下奇数
与偶数的重要性质 .



你还记得吗？


1. 不算出结果，直接判断下列各式的结果是奇数还是偶数：
(1)1＋2＋3＋…＋9＋10；
(2)1＋3＋5＋…＋21＋23；

分析：(1)奇数；(2)偶数.


2. 不算出结果，判断数(524+42-429)是偶数还是奇数？

分析：根据奇偶数的运算性质：因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数.又 因为429是奇数，所以
(524+42-429)是奇数.

提示：在全部是加、 减法的运算中，若参加运算的奇数的个数是偶数，则结果是偶数；若参加运算的奇数
的个数是奇数，则结 果是奇数.


3. 1×3×5×7×9×11×12×13的积是偶数还是奇数？

分析：1，3，5，7， 9，11，13都是奇数，由1×3为奇数，推知1×3×5为奇数……推知1×3×5×7×9
×11 ×13为奇数.因为12为偶数，所以(1×3×5×7×9×11×13)×12为偶数，即1×3×5×7× 9×11×
12×13为偶数.


4. 在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？

分析：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2 )，(3，
4)，…，(197，198)，还剩一个199，共有198÷2=99(对)，还剩一个 奇数199.所以奇数的个数=198÷
2+1=100(个)，偶数的个数=198÷2=99(个) .因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，
所以奇数之和比偶数之和 大，大100.

暑假精讲




奇数和偶数的表示方法：

偶数表示方法：如果我们用n表示整数，n=0，1，2 ，3，……那么2×n就表示偶数，简写成2n．

奇数表示方法：因为2n为偶数，比2n 多1或少1的数为奇数．所以我们用2n+1或2n-1表示

奇数．

【例1】 有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意一刀，假设剪出偶数个断口．问：这根毛线被分成的段< br>数是偶数还是奇数？

分析：奇数．分成的线段数比断口数多1．


【例2】 有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？

分析：不可能．每张纸上的两个页码之和是奇数，20个奇数之和是偶数．


【例3】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……的排列规律:前两个数是1，从 第三个数开始，
每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波契数列，在斐波契数列前2004个数 中共有几个偶数？

分析：根据奇数，偶数交替变化的规律，可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶 奇奇偶…这样的变化规律，所以
2004个数有2004÷3=668个偶数.


【例4】 用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数?

分析：因为偶数的个位 是偶数，所以只有0可作个位数组成偶数；因为奇数的个位是奇数，所以只有1和
3可作个位数组成奇数 ．偶数有：0，10，30，130，310共5个；奇数有：1，3，13，31，103，301共6
个．注意0不可以作首位数．


【例5】 任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于
999？

分析：不能．两数和为999，各位数相加时必定没有向上进位，又因为新三位数与原三位数 只是三个数字
的排列顺序不同，所以把两个三位数的个位、十位、百位数字加在一起一定是偶数，而9+ 9+9=27是奇数，
矛盾．


【例6】 有12张卡片，其中有三张上 面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7．问：能否从中
选出五张，使它们上面的数字之和为2 0？为什么？

分析：不能．5个奇数的和是奇数，不可能等于20．

【例7】 在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和 列数加起来，
填在这个方格中，例如a=5+3=8．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?

分析：此题如果按步就班地把每个格子的数算出来，再去数一数奇数和偶数各有多
少 ．然后得出奇数和偶数哪个多，哪个少的结论．显然花时间很多，不能在口试抢
答中取胜．我们应该从整 体上去比较奇偶数的多少．易知奇数行偶数多一个，偶数
行奇数多1个．所以前8行中奇偶数一样，余下 第9行奇数行，答案可脱口而出．偶
数多．

[拓展] 如果把每个方格所在的行数 和列数乘起来，填在这个方格，例如：a=5×3=15．问填入的81个数
中是奇数多还是偶数多?

分析：奇数行奇数多1个偶数行全是偶数，显然偶数多得多．


【例8】 小明爷爷钓鱼回来，小明问：“爷爷您今天钓了多少鱼呀?”爷爷说：“我今天甩出鱼杆和提 起
鱼杆共100次，可是有17次提起鱼杆时没钓着鱼，其余每提一次就钓了一条鱼，你说我今天钓了多 少鱼
呀?

分析：小明爷爷每甩出一次鱼杆都要收回来一次，所以甩出鱼杆次数和收 回鱼杆次数相等．其总次数必为
偶数，故可被2整除．于是收回鱼杆次数为100÷2=50(次)，收 回鱼杆50次有17次没钓着鱼，所以共钓
鱼50-17=33（条）.



奇数和偶数的运算性质

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数；

奇数- 奇数=偶数；奇数-偶数=奇数；偶数-奇数=奇数；偶数-偶数=偶数；

奇数×奇数=奇数；奇数×偶数=偶数；偶数×偶数=偶数



奇偶数加减法的几个常见结论．

结论1：任意个偶数的和是偶数．

我们根据偶数加法的性质，可以把任意个偶数两两结合在一起相加之后再相加，如果还多
1个就接着加．即：(偶数+偶数)+(偶数+偶数)+…+(偶数+偶数)=偶数+偶数+…+偶数=(偶

数+偶数)+…+偶数=偶数+偶数=偶数.



结论2：奇数个奇数的和为奇数．

假设有2n+1个奇数，那么我们把前面2n个奇数两两结合在一起相加，由奇数加法性质可

知，它们都是偶数，再把这些偶数加起来还是偶数，最后与剩下的一个奇数相加，所以结

果为奇数．



结论3：两个数的和加上这两个数的差，得到的一定是偶数

【例9】 1+2+3+4+5+6+7+ …+99+100+99+98+97+96+……+7+6+5+4+3+2+1是奇数还是偶数？

分析：1-99都出现了2次因此是偶数，而100是偶数，所以这个和是偶数．


【例10】 试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999． 如果找得
出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

分析：由结论3可 知，这两数之和与这两数之差的和为偶数，再加1000还是偶数，所以它们的和不能等
于奇数1999 ．


【例11】 桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的 6个，问能否经过若干次翻动，
使得11个杯子的开口全都向下？

分析：不能，杯 子要翻过来的翻奇数次，11个杯子都要翻过来，要把所有被子都翻过来则总共需要翻动奇
数次杯子，而 每次同时翻动6个，那总次数是偶数，偶数不可能等于奇数，因此不能把11个杯子的开口
全都向下．


【例12】 一次聚会时，大家互相握手，则握过奇数次手的人数必定是偶数.请你想一想为什么？

分 析：两人握手一次，每人算一次就是2次，所以握手的总次数必定是偶数.和的奇偶性由加数中奇数的
个 数决定，握手次数之和为偶数说明加数中有偶数个奇数，即握过奇数次手的人数是偶数.




附加内容



【附1】 甲，乙，丙三名 选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲
与丙的位置次序共交换1 3次．比赛结果甲是第几名？

分析：注意到和奇数相邻的一定是偶数，和偶数相邻的一定是 奇数甲每和乙丙交换一次位置次序，自己名
次的奇偶性就发生一次变化变化了13次相当于变化一次，甲 开始在第一，名次是奇数，变化一次后变为
偶数名次只可能是1，2，3，这里面只有2是偶数，因此比 赛结果甲是第2名．


【附2】 沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相 邻两码头间的距离都相等．早晨有甲、乙两船从1号
码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物．傍 晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头．请
说明甲、乙两船的航程不相等．

分析：以相邻两码头间的距离为单位，则乙船从1号码头出发又回到1号码头，其航程必为偶数个单位；
甲船从1号码头出发，最终泊在6号码头，其航程必为奇数个单位．

大显身手


1. 用数字9，8，0可以组成多少个奇数和偶数？

分析：3个奇数9，89，809；8个偶数 0，8，80，90，98，980，890，908.


2. 两个自然数的乘积是奇数，那么这两个数的和是奇数还是偶数？请说明理由.

分析：偶数. 乘积是奇数则说明两个数都数奇数.


3. （古趣题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？

分析：根据奇数的运算性质知，9个奇数的和仍是奇数，36是偶数，所以不能.


4. 如果有9个人坐在3行3列的座位上，要想把这9个人同时调到各自的临座上（每个座位的前后左 右
位置上）．是否可能？

分析：不可能，因为奇数和偶数不相等





成长故事


有一天，著名科 学家爱因斯坦先生被邀请作演讲嘉宾．他的司机对他开玩笑说：“我经常听到你在车
中预备演讲，听得多 了，我也可以一字不漏地背念出来．”爱因斯坦听罢就说：“那就好极了，我昨日整天
都在做研究工作， 疲倦得很，况且邀请我演讲的机构与我素未谋面，你大可替我演讲，我做你的司机好了．”
演讲当晚，司 机果然一字不漏地念出爱因斯坦惯说的演讲内容，令在场的人佩服不已，连坐在观众席最后
排的爱因斯坦 ，也频频点头称是．可是，演讲完结后，突然有一位年青科学家，追问了一个颇为深入的问
题，那当然是 司机的演讲以外的资料，全场都等待着这位冒牌科学家的答复．出乎意料之外，他竟然气定
神闲地开始回 答说：“年青人，请恕我直言，你刚才的问题实在太简单，甚至可以说是个蠢问题，假如你
不信的话，我 可以证明给你看．这问题简单得连我的司机也懂得如何回答．”跟着，司机便邀请爱因斯坦
上台作答，并 且在掌声雷鸣之下离开会场．

第六讲 计数问题
今天我们要学习的计数问题，包括图形计数和数字计数等.计 数问题，尤其是图形计数看起来不难，
但大多数同学一做就错，通过今天的学习，相信你一定能有所收获 ！



暑假精讲


【例1】 数一数：右图中线段的总条数．

分析：（法1）我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数，
由1个基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF5条 ．
由2个基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF4条．
由3个基本线段构成的线段有：AD、BE、CF3条．
由4个基本线段构成的线段有：AE、BF2条．
由5个基本线段构成的线段有：AF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．
（法2）按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图
以A点为共同左端点的线段有： AB AC AD AE AF 5条．
以B点为共同左端点的线段有： BC BD BE BF 4条．
以C点为共同左端点的线段有： CD CE CF 3条．
以D点为共同左端点的线段有： DE DF 2条．
以E点为共同左端点的线段有： EF 1条．
总数5+4+3+2+1＝15条．


【例2】 数一数，右图中共有多少个角?你能用两种方法解答这个问题么？

分析：（法1）我们规定：把相邻两条射线构成的角叫做基本角，我们可以这样
分类数：
由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF共5个．

由2个基本角构成的角有：∠AOC、∠BOD、∠COE、∠DOF共4个．

由3个基本角构成的角有：∠AOD、∠BOE、∠COF共3个．

由4个基本角构成的角有：∠AOE、∠BOF共2个．

由5个基本角构成的角有：∠AOF共1个．

角总数5+4+3+2+1=15(个)．
（法2）以角的起始边分类（注意保持方向的一致）：
以OA边为公共边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOF共5个．
以OB边为公共边的角有：∠BOC、∠BOD、∠BOE、∠BOF共4个．
以OC边为公共边的角有：∠COD、∠COE、∠COF共3个．
以OD边为公共边的角有：∠DOE、∠DOF共2个．
以OE边为公共边的角有：∠EOF只1个．
角总数5+4+3+2+1=15(个)．

【例3】 数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？

分析：（法1）
1个三角形组成的：△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个；
2个三角形组成的：△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个；
3个三角形组成的：△AOD、△BOE、△COF共3个；
4个三角形组成的：△AOE、△BOF共2个；
5个三角形组成的：△AOF共1个；
共有5+4+3+2+1=15（个）.
（法2）我们先数下面的这条线有多少个线段，也就是有多少个三角形．
以A点为共同左端点 的线段有5条，即有△AOB、△BOC、△COD、△DOE、△EOF共5个三角形；
以B点为共同左端点的线段有4条，即有△AOC、△BOD、△COE、△DOF共4个三角形；
以C点为共同左端点的线段有3条，即有△AOD、△BOE、△COF共3个三角形；
以D点为共同左端点的线段有2条，即有△AOE、△BOF共2个三角形；
以E点为共同左端点的线段有1条，即有△AOF共1个三角形；
共有5+4+3+2+1＝15（个）．


【例4】 数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？







分析：（法1）以1个长方形组成的；以2个长方形组成的……教师可参看数线段、角、三角 形的方法1．
（法2）先数一数AB边上有多少条线段，每一条线段可以分别作为长方形的长，再数一 数AD上有多少条
线段，每一条线段可以分别作为长方形的宽，每一条长与一条宽搭配，就确定了一个长 方形，这样就容易
得出一共有多少个长方形了．
先来看图(1)，AB边上包含着的 10条线段中的每一条(想一想为什么)，都可与线段AD对应，惟一确
定一个长方形，所以图(1)中 共有10×1=lO个长方形．
再来看图(2)，与图(1)不同的是在AD上增加了一个分 点，这样就有3条线段时，这3条线段分别与
AB边上不同的线段构成长方形，所以图(2)中共有10 ×3=30个长方形．
最后看图(3)，与上面的思路相同，由于AD边上有3+2+1=6条线段， 所以图(3)中共有10×6=60个长
方形．即：(1)(4+3+2+1)×1=10(个)；(2 )(4+3+2+1)×(2+1)=30(个)；(3)(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个)．


【例5】 数一数：右图中有几个正方形？

分析：（法1） 边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3
的正方形有2个，共20个．即4×3 +3×2+2×1=20
（法2）请教师参看数长方形的法2．

【例6】 数一数，右图中共有多少条线段？

分析：“个人”：BF、CG ；
“集体1”：EH 系列，共3+2+1=6 （条）；
“集体2”：AD 系列，共3+2+1=6 （条）；
所以共14条．


【例7】 数一数，右图中三角形共有几个？

分析：27个．


【例8】 从1-10里取2个不同的数，使得这2个数的和大于10，请问有多少种不同的取法？

分析：（法1）按较小的数来分类，
1） 若较小的数是1，则较大的数必须是10有1种取法
2） 若较小的数是2，则较大的数是9或10有2种取法
3） 若较小的数是3，则较大的数是8，9，10有3种取法
4） 若较小的数是4，则较大的数是7，8，9，10有4种取法
5） 若较小的数是5，则较大的数是6，7，8，9，10有5种取法
6） 若较小的数是6，则较大的数是7，8，9，10有4种取法
7） 若较小的数是7，则较大的数是8，9，10有3种取法
8） 若较小的数是8，则较大的数是9，10有2种取法
9） 若较小的数是9，则较大的数是10 有1种取法
综上所述，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同取法．
（法2）若从大的开始考虑：先取10，那么另一个数就有1—9总共9个数字可以取
再取 9，那么另一个数就有2—8总共7个数字可以取
这样就是一个等差数列，所以总共就是9+7+5+3+1=25种．


【例9】 一个两位数的两个数字之和是7的倍数，这样的两位数有几个？

分析：数字之和是7的倍数有2种可能，要么是7要么是14，因此我们要分2类来枚举
第一类：数字和是7，那么这样的两位数有70 61 52 43 34 25 16 共7个；
第二类：数字和是14，那么这样的两位数有95 86 77 68 59共5个，
综上所述，这样的两位数有12个.


【例10】 一个两位数的数字之差是4的倍数，那么这样的两位数有几个？

分析: 这里要注意数字之 差是4的倍数，那么这个差不仅可能是4和8，还可能是0,因此本题我们要分3
类:第一类：数字之差 为8,那么这样的两位数有19 91 80 共3个；
第二类：数字之差为4,那么这样的两位数有95 59 84 48 73 37 62 26 51 15 40 共11个；
第三类：数字之差为0,那么这样的两位数有11 22 33 44 55 66 77 88 99共9个,
综上所述，满足条件的两位数有3+11+9=23个.

【例11】 在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有几个？

分析：分类讨论：①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9× 4=36个；③百位
是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90+36+36 =162个符合条件的三位数．


【例12】 商店里有100克的茶叶3包 300克的茶叶2包，400克的茶叶一包 500克的茶叶2包，小明
要到商店给爷爷买1千克茶叶， 在不打开包装的情况下，请问售货员阿姨有多少种不同的方法把茶叶交给
小明？

分析：要凑1000克茶叶不难，关键是要做到不重复不遗漏，因此我们按一定的次数来凑.
1）500+500，
2）500+400+100， 500+300+100+100，
3）400+300+300， 400+300+100+100+100，得到共有5种方法.



附加内容


【附1】 如图，有多少个三角形？

分析：分类法，15个.



【附2】 如图，有多少个正方形？

分析：27个.




大显身手



1．数一数，图4－１中共有多少条线段?

分析：10条．


2．数一数，图中有多少个三角形?

分析：（1）5 （2）6 （3）6（4）5

3．分别数出图中各图形里长方形的个数．

分析：（1）6 （2）10


4.图中有多少个正方形?

分析：（1）5 （2）17








成长故事


有一群朋友去郊游，走到一半的时候， 却发现迷路了，折腾了大半天的时间，大伙又饿又累，终于看
到了一个小山丘，走在前面的人很高兴地登 上了山顶，向山下眺望时，隐约地看到远处有一个招牌，上面
写着一个大大的“骨”字，于是他大声吆喝 着：“伙伴们，前面有我们的希望，大家赶快冲啊！我看到远
处有一家排骨饭的店，我们有排骨饭可以吃 了！”大伙一听有排骨饭可吃，卯足了劲往前冲．
到了距离招牌约五十米之处时，全部的人都瘫在地上 ，露出失望的表情，原来招牌上写着是『接骨馆』
三个字．

第七讲 体育比赛中的数学

我们看 看下面的问题：二年级四个班进行小足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几
场?一共要 进行多少场比赛? （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为循环赛）这个问题就是
我们这节 课将要学习的有趣的体育比赛中的数学问题．


暑假精讲


【例1】 我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连
一条线段，那么，
从一个点可以连出几条线段?一共可以连多少条线段?

分析：（法1）题意要求每 两个点之间都连一条线段．先考虑点A(如图)，它与B、
C、D三点能且只能连接三条线段AB、AC 、AD；同样，从点B也可以连出三条线段
BA、BC、BD；从点C可以连出三条线段CA、CB、C D；从点D可以连出三条线段DA、
DB,DC．因此，从一个点可以连三条线段．从每个点都连出三条 线段，共有四个点．3
×4=12(条)
注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点连出 的，并且每一条线段都是这样
(如图)，所以，线段的总数应为12÷2=6(条).
（法2 ）从点A引出三条线．AB、AC、AD，为避免重复计数，从B点引出的线段
只计BC、BD两条，由 C点引出的只计 CD一条．因此，线段的总数为3+2+1=6(条)．


【例2】 甲、乙、丙三人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场?

分析：三人进行循环赛，即每两人都要赛一场，共进行2×3÷2=3场比赛．每场比赛都有 一人获胜，每人
都赛2场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0． 显然，第一名是胜
了2场．


【例3】 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场?

分析：甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛3场，共赛3×4÷2=6(场)．如果其中有三人都胜3
场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三
个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各胜
1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场是不可能的．因此，如果有3
人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．

【例4】 学校组织了一次投篮 比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投了5个球，投进
了3个．那么，他应该得多少分?

分析：（法1）小明投的5个球中， 投进的3个球得到3×3=9(分)，而没有投进的2 个球被扣掉1×2=2(分)，
于是他应得9-2=7(分)
（法2）如果小明投的5个球都 进了，那么他应得3×5=15(分)，但是实际上他只投进了3个球，未投进
的2个球中每个球都由得 3分变为扣1分，多计3+1=4分，共多计了4×2=8(分)，故小明应得15-8=7(分).


【例5】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果大明得3 0分，且知
他有6个球没有投进，那么大明共投了几个球?

分析：大明有6个球没 有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，大明应该得30+6=36(分)，36÷3=12(个)，所以，大明投进了12个球，加上未投进的6个球，大明共投了18个球．


【例6】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分，有一个队< br>没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你< br>说明理由．

分析：有可能 A,B,C,D四个队 A胜B ,B胜C,C胜A,D 和A,B,C都打平.这样的话A,B,C都是4分，D是3
分，D虽然不败但却难逃垫底厄运．


【例7】 四个人进行象棋循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得 1分，比赛结束后统
计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？

分析：根据例1 的结果，四个人循环比赛总共比赛六场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定
是2分，因此最 终四个人的得分加起来一定是2×6=12分．


【例8】 8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？

分析：（法1）8进4进行了 4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4+2+1=7场比赛
（法2）每进行一场比 赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，因此进行了7
场比赛．


【例9】 假设2032年奥运会主办权由51个国家投票，北京，纽约，东京3个城市作为 侯选城市，统
计其中40张选票数的结果是：北京得18票，纽约得12票，东京得10票．北京至少再 得几张票，才能保
证以得票数最多获得奥运会主办权？

分析：还剩下51-18- 12-10=11张，北京再得3张票的话，自己有18+3=21张，而纽约最多只有12+8=20
票，日本不足为虑．北京可以保证获得主办权．而北京只得2张票的话，万一剩下9张全被纽约得到，那
么纽约将以21比20击败北京．因此北京至少再得3张票，才能保证以得票数最多获得
奥运会主办权．

附加内容


【附1】 三人打乒乓球，每场2人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了9场，乙打了6场， 丙
最多打几场？

分析：甲、乙都只与丙打，丙可打9+6=15场，但甲比乙多 打9-6=3（场），不算最后一场输赢，甲应赢丙
3-1=2（场），这样总场数为15-2=13（ 场），丙打了13=2=11（场）.


【附2】 参加世界杯足球赛的国家共有 32个（称32强），每4个国家编入一个小组，在第一轮循环赛中，
每个国家都必须而且只能分别和本 小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国
家用一场比赛定胜负，产生8强、 4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本届世界
杯的所有比赛结束．
根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？

分析：循环赛中，有32 4=8个组．每组4个队．每组4个队中，每个队要与其他3队都比赛1场，每个队
就比3场．因为每场 比赛要2个队．所以1组里有4×32=6场．有8个组，循环赛就有8×6=48场．进
入淘汰赛，有 16个队，淘汰赛每比1场就淘汰1个队，最后决出冠军1个队，就比了16-1=15场，还要
决出第 三名，第四名，又多了1场．淘汰赛就有15+1=16场．世界杯的足球赛全程共有48+16=64场．



大显身手


1. 二年级六个班进行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛?一共要进行几场比赛?

分析：5场，15场．


2. 某班举行乒乓球循环赛，小明是裁判小组 的组长．妈妈问他有多少名选手参赛，小明想了想对妈妈说：
“总共要进行28场比赛，您说有几名选手 参加呢?”你能回答这个问题吗?

分析：8名选手．


3. 有8个选手进行乒乓球循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局?

分析：7场．


4. 甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果甲、 乙、丙三人胜的场数相同，而且知道甲胜了丁，问
丁胜了几场?

分析：0场．

成长故事
青蛙的故事
如果把一只青蛙放在滚烫的热水中，青蛙会很快的从水中跳出．但是如果把一只青 蛙放在湿水里，再慢慢
地将水加热，等到青蛙发现水太烫的时候，它已经跳不出来了．

第八讲 期中测试

同学们，半学期过去了，让我们在回顾的基础上，跟随小新进入美妙的数学天地吧！！

第一节、小试身手吧（20分）
1、判断（2+4+6+．．．198）-（1+3+．．．197）的奇偶性？
解：奇数


2、78×99
解：7722


3、5÷(7÷11) ÷(11÷15) ÷(15÷21)
解： 15.


4、2007×16×125×25×5×4
解：2007000000


第二节、加油哦！（80分）
1、提高班的小新问爷爷多大年龄，爷爷 说：“这样吧，你暑假都学了一半了，我出道题吧！如果你学的好，
就能答出来，我今年的年龄是把我的 年龄加17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁．”请问
你知道小明的爷爷几岁？
解：83


2、回答完爷爷的问题后，爷爷又给小新出了一道加法题，由 于粗心，小新将个位上的4看作8，把十位上
的7看作2，结果所得的和是123．请问正确的答案是多 少?
解：（倒推法）把个位上的4看作8，相当于把正确的和多算了4，求正确的和，应把4减去 ；把十位上的
7看作2，相当于把正确的和少算了50，求正确的和，应把50加上去．所以正确的和是 123+50- 4=169．即：
123+(80-30)- (9-5)=169.


3、第二天小新去参加班级的象棋比赛，老师告诉同学们：所有参赛队员每两人都要赛一场， 共比赛了36
场，问有多少个队员参赛?
解： 1+2+3+…+?=36中的?是几．经过试验可知：?=8．所以应有9个参赛队．


4、回到学校后，学而思老师给每个同学发本子，若每人分5本则多9本；若每人分6本则2人没本子． 问：
有多少个小朋友？总共有几本？
解：（9+2×6）÷（6-5）=21人，总共有21×5+9=114本．

5、期中考试之前，小新前几次数学测验的平均分是84分，这一次要是考了 100分，就能把平均分提高到
86分，则这一次是第几次测验？
解：第8次


6、课间，小新问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才4岁；当你像 我这么大时，
我已经42岁了．”你能算出刘老师有多少岁吗？
解：（42-4）÷2=19 所以年龄差就是19岁，所以老师19+4=23岁．


7、等老师分析完试卷后，小新发现自己还是有道题目不对，请你帮他数一数下图中有多少个正方形

解：还是分类，这次我们按正方形的边长来分类
边长为1的正方形有9个
边长为2的正方形有4个
边长为3的正方形有1个
因此该图里共有9+4+1=14个正方形


8、等小新吧所有的都弄懂 了，小新就乘车回家，这是司机叔叔给小新除了道难题：李明和王亮同时分别
从两地骑车相向而行，李明 每小时行20千米，王亮每小时行16千米，两人相遇时距全程中点6千米．问
全程长多少千米? 解：多走6×2=12千米，12÷（20-16）=3(小时)，多以全程为3×（20+16）=108 （千米）


三、思考题：（两题中任选一题，总分20分）
1、甲乙丙 共有100本课外书．甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，而且余数都是
1．那 么乙有书多少本？
解：甲的本数除以乙的本数，商5余1，说明甲是乙的5倍多1，丙的本数除以甲的 本数，商5余1，说明
丙是甲的5倍多1，是乙的25倍多6（5+1），因此，这是一个和倍问题．乙 的本数=（100-1-6）÷（1+5+25）
=3本．


2、甲、乙 、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，输者得0
分.结果甲 第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？

解：根据比赛结果只能2种情况： 第一种，甲全胜得6分，丁全负得0分，乙、丙各得3分；第二种，甲
只负丁，甲得4分，丁得2分，乙 、丙各得3分.所以，乙得3分.

第九讲 余数与周期

在整数除法运算中，除了春季班学过的整除情形外，更多的是不能整除的情况， 例如65÷3，38÷5…，
不能整除就产生了余数，通常表示为65÷3=21…2，38÷5=7… 3，其中2和3 就是余数，即被除数÷除数
=商……余数；上面两个算式还可以写成65=3×21+ 2，38=5×7+3，即被除数=除数×商+余数，通常把这一
算式称作带余除式.今天我们就来学习 余数问题以及与它紧密相连的周期问题吧！



你还记得吗？


1. 填空：(1)( )÷3=2……1 ( )÷2=4……1
(2)25÷( )=6……1 30÷( )=4……2

分析：(1)2×3+1=7，2×4+1=9（2）25-1=24 24÷6=4；30-2=28 28÷4=7.


2. 找出下面图形的排列规律，根据规律算出第16个图形是什么?


分析：（1）这 一排图形是一个△，两个○，这样三个图形为一个组，不断重复出现的.先算16个图形里面
有几组这样 的图形，16÷3=5（组）……1（个），余数是1，这一个图形是第6组的第一个，应该是△.
（ 2）这一排图形是一个○，一个△，两个□，这样四个图形为一个组，不断重复出现的.先算16个图形
里面有几组这样的图形，16÷4=4（组），没有余数，那么第16个图形是第4组的第四个，应该是□.


3. 有一堆围棋子，按“二黑三白”的顺序排列起来，想一想，第52个是白子还是黑子?第63个呢?
●●○○○●●○○○●●○○○……

分析：52÷5=10（组）……2（个） ，第52个棋子是黑色的；63÷5=12（组）……3（个），第63个棋子是
白色的.


4. 按“从小爱数学从小爱数学从小爱数学……”依次排列，第56个字是什么?

分析：这一列数字是按“从小爱数学”每五个字一组重复出现的，56÷5=11……1，那 么第56个字应该是
第12组的第一个字是“从”.

暑假精讲




余数的几个重要性质：

性质1：在带余除式中，余数总是比除数小.

性质2：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数之和被这个除数

除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.

性质3：A、B 两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B 两数的积被这个除数

除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数.




【例1】 杨老师把1～40号拼音卡片，依次发给小伟、小冬、小军、小辉、小燕，问第27张卡片应发
给谁？

分析：这些卡片按从小到大，每5个数为一个周期.27÷5=5……2，余数是2，也就是 说，第27张卡片发
给小冬.


【例2】 2007年5月1日是星期三，再过20天是星期几?

分析：20÷7=2……6，从星期四开始算，第20天应该是第三周的第6天，应该是星期二.


【例3】 9个人排成一圈，从左到右依次报数，王燕报“1”，张华报“2”， 宋娟报“3”，林红报“4”，
朱桂芳报“5”， 秀秀报“6”，钱晨报“7”，夏婷报“8”，孙亮 报“9”，接着又从王燕开始报，这样每一
个人报的数总比前一个多1.第55是谁报的?第74是谁报 的?

分析：一共有9个同学重复报数，55÷9=6……1，那么报55的应该第一同学是 王燕.74÷9=8……2，那么
报74的应该是第二个同学是张华.


【例4】 甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌，甲把“大王”插在54张扑克牌中间，从上面数下去是第37
张牌，丙想了想，就很有把握地第一个抓起扑克牌来，最后终于抓到了“大王”，你知道丙是怎么算出来
的吗?

分析：“大王”是第37张牌，甲、乙、丙、丁四人轮流摸牌，37÷4 =9……1，那么“大王”会在第10轮
时被第一个人摸到，明白了一个道理，丙就第一个摸牌，就能拿 到大王.

【例5】 在算式( )÷15=12……( )中被除数最大是几？最小是几?

分析：这是一道有余数的除法算式，余数最大时，被除 数最大；余数最小时，被除数最小．因为除数是15，
所以余数最大就是14，余数最小{就是1，由于 被除数等于商乘以除数再加上余数，那么，这个问题就好
解决了．(1)被除数最大是15×12+14 =194，(2)被除数最小是15×12+1=181．


【例6】 哪些数除以6，能使商与余数相等．

分析：我们将原题写成○÷6=口……口，在除法中， 余数一定要比除数小．除数是6，余数只能是5，4，
3，2，l．商与余数相等，所以，商也只能是5 ，4，3，2，l，根据“被除数=商×除数+余数”，就可以求
出被除数．(1)商和余数都是l时是 l×6+1=7，(2)商和余数都是2时是2×6+2=14，(3)商和余数都是3
时是3×6+3 =21，(4)商和余数都是4时是4×6+4=28，(5)商和余数都是5时是5×6+5=35，所以这些 数分
别为7、14、2l、28、35．同时我们不难发现，这些数都是7的倍数．


【例7】 一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几?

分析：我们举个例子加以说明．10÷7=1……311÷7=1…4，那么(10+11)÷7=3， 从以上的例子可以看出，
两个数的和除以7的余数等于这两个加数分别除以7的余数的和除以7的余数， 因为3+4能被7整除，所
以这两个数的和也能被7整除．解：(3+4)÷7=1，所以，这两个数的 和除以7余0．


【例8】 求478×296×351除以17的余数．

分析：性质3 的应用.先求出乘积再求余数，计算量较大．根据性质（5），可先分别计算 出各因数除以17
的余数，再求余数之积除以17的余数．478，296，351除以17的余数分别 为2，7和11，（2×7×11）÷
17=9……1．


【例9】 积的个位数字是几?

分析：2=21个2个位数是2
2×2=42个2相乘个位数是4
2×2×2=83个2相乘个位数是8
2×2×2×2=164个2相乘个位数是6
2×2×2×2×2=325个2相乘个位数是2
2×2×2×2×2×2=646个2相乘个位数是4
由此可知，若干个2连乘积的个位数字依次2、 4、8、6……每4个2连乘，积的个位就重复一次．我们算
一算225里包含多少个4余几，然后再按 2，4，6，8的顺序往下推，便知道225个2连乘的积的个位是
几了．225÷4=56……1，第 一个数是2，那么积是个位就是2了．所以，225个2连乘的积的个位是2．

【例10】 除以6，余数是几?

分析：我们可以先写几个l，除以6，找找规律，看余数是否有规律地重复出现．
l÷6=0……l
1l÷6=1……5
11l÷6=18……3
11ll÷6=185……1
Ll1ll÷6=185l……5
Illlll÷6=18518……3
我们发现，余数是按1，5，3的顺序重复出现的．也就是每3 个数为一个周期，我们算一算1000个数里
包含多少个周期余几个数，再按顺序往下推就知道结果了． 1000÷3=333……1.第1个数是l，那么余数就
是1了．除以6余数是1．



附加内容


【附1】 下面的表格中，每一列的两个数组成一组，如第一组是由“甲A”组成，第二组是由“乙B”组
成……
问：第十七组是由哪两个字组成？
甲
A
乙
B
丙
C
甲
D
乙
A
丙
B
甲
C
乙
D
……
……

分析：（1）求第1 7组是甲、乙、丙中的哪一字？17÷3=5（周期）……2所以第17组上面横排中是“乙”
字.（2 ）求第17组中的字母是A B C D中的哪一个？17÷4=4（周期）……1所以第17组下面横排中是< br>“A”字.（3）根据上面的推理知道，第17组是由“乙A”两字组成的.


【附2】 数8×8×8×……×8（2005个8）的个位数字是几？

分析： 8的幂的末位数字的规律为8，4，2，6，8，4，2，6……，2005被4除余1，所以数8×8×8×… …
×8（2005个8）的个位数字是8．



大显身手


1. 口÷口=口……8，除数最小是几

分析：性质1的应用.除数最小是9.

2. 口÷8=14……口，被除数最大是几?最小是几?

分析：119，113


3. 今年“六一”儿童节是星期五，再过19天是星期几?

分析：今年“六一”儿童节是星期五，从“六一”后一天开始排列是星期六、星期日、星期一……，每七
天为一组重复排列.19÷7=2……5，余数是5，那么再过19天就应该是第八组的第5个，应该是星期三 .


4. 哪些数除以4，能让商和余数相同?

分析：5，10，15．








成长故事


有一只小麻雀飞到森林里，看到了一只孔雀，他觉 得孔雀的翅膀是如此美丽，再看看自己这么丑，这
么小的翅膀，自卑感油然而生．到了晚上，小麻雀做了 一个梦，在梦里边成了一只美丽的孔雀，正兴高采
烈地展现自己的翅膀时，突然有一只狼迎面扑来，小麻 雀努力地振翅想逃，发现自己已经不能飞翔了，吓
得它惊惶醒来．小麻雀心想还好只是个梦．有一天，小 麻雀飞到一座高山上，他看到老鹰飞得好高好高，
又好威风，自己跟老鹰比起来真是太渺小了．一会儿小 麻雀靠着树干睡着了，梦见自己变成了老鹰，任意
飞驰于天空好不神气，但是，他以前的好友却都离他而 去，不敢再与他为伍了．他突然觉得好孤单，还是
当小麻雀的日子比较快乐，醒来后他好庆幸自己还是一 只小麻雀．看重自己，你就会发现其实自己并非一
无是处，保有自己的特性，做个充满自信的人，你将会 是个独一无二的你！

第十讲 简单的抽屉原理


抽屉原理( 也叫鸽笼原理) : 如果把n+1个东西任意放在n只抽屉里，那么必有一只抽屉

里至少有两个东西.




你还记得吗？


1. 如果要把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，会出现什么情况？

分 析：把4个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下1个苹果．剩下的这1个可以任意放在
其 中的一个抽屉里面，这样有两个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了2个苹果．也就是说要把4个苹
果 ，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面有2个苹果．


2. 如果要把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，又会出现什么情况呢？

分析：把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉装1个，还剩下2个苹果．剩下的这2个可 以分开任意
放在其中的一个抽屉里面，这样有1个抽屉放了1个苹果，还有2个抽屉放了2个苹果．也可 以把剩下的
这2个放在其中的一个抽屉里面，这样有2个抽屉放了1个苹果，还有1个抽屉放了3个苹果 ．就是我们
还是发现把5个苹果，放到3个抽屉里面，每个抽屉里面都必须有苹果，一定有1个抽屉里面 至少有2个
苹果．


3. 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？
分析：6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的.


暑假精讲


【例1】 幼儿园有366名2007年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

分析：把365天 看作365个抽屉，将366名小朋友看作366个物品．这样，把366个物品放进365个抽屉
里， 至少有一个抽屉里不止放一个物品．因此至少有2名小朋友的生日相同．


【例2】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．

分析：五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五 种颜色中的
任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有个面颜色相同，这样就有2个
面会被涂上相同的颜色．所以这句话是正确的．

【例3】 把十只小兔放进至多几个笼里，仍能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．

分析：把十只小兔放进9个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔．


【例4】 班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个 小朋友能得
到不少于两本书？

分析：根据抽屉原理，至少要拿51本书．


【例5】 幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两 件不同的，那么至少
要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？

分析：

第一个小朋友
第二个小朋友
第三个小朋友
第四个小朋友

√

小汽车
√
小火车
√
√

√
√
小飞机
有3个小朋友就有三种不同的选择 方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同
学其中的一个选法相同．所以至少 要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的.


【例6】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

分析：（法1）情况1 ：这三个小朋友,可能全部是男的,那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．
情况2：这三个小朋友,可能全部是女的,那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的．
情况3：这三个小朋友,可能其中1男2女,那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的．
情况4：这三个小朋友,可能其中2男1女,那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．
所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的．
（ 法2）三个人只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或
者都是 女孩．


【例7】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可 以借阅其中两本，现有4位小
朋友前来借阅，每人都借了2本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借 阅的图书属于同一种吗?

分析：每个小朋友都借2本有三种可能：数数，英英，数英．第4 个小朋友无论借什么书，都可能是这三
种情况中的一种，这样就有两个同学借得是同一类书，所以可以保 证，至少有2位小朋友，他们所借阅的
两本书属于同类．

【例8】 在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？

分析：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）．

将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根据抽屉原< br>理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在同一个抽屉里，< br>它们之间的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点 ，
它们之间的距离不大于1厘米．


【例9】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

分析：因为任何整数 除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽
屉”．一个整数 除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，
至少有一个 抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同．这两个数的差必能被3整
除．


【例10】 用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见下图 ），每个小方格涂一种颜色．是
否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

分析：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

将上 面的四种情形看成四个“抽屉”．根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于
两列 ，这两列的小方格中涂的颜色完全相同．


【例11】 将每一个小方格涂上红色 、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，
其中至少有两列，它们的涂色方式 相同，你同意吗？

分析：这道题是上一题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色， 要使每列的颜色不同，最多有6
种不同的涂法，涂到第六列以后，就会跟前面的重复．所以不论如何涂色 ，其中至少有两列它们的涂色方
式相同．


附加内容

【附1】 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？
< br>分析：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对
于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配
就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数 的奇偶性，
第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可 知，这5堆
水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为 偶数，所以
在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．


【附2】 在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，至少有两盆花它们之间的距离小于2米．


分析：第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处(这是两盆花之间最近 的距离了，再
近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米!)，第3盆花放在距离第2盆花的 距离2米处，这
样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11 盆花中任意两盆花
之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后l盆花，它只能放在已放好 的11盆花所留出的
10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的( 见下面)．









大显身手


1. 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．

分 析：在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条会任意放在这8个鱼缸其中的一
个 中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．


2. 班上有28名小朋友，老 师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少
于两本书?

分析：老师至少拿29本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书．



3. 有10只鸽笼，为保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以上的鸽子．请问：至少

需要有几只鸽子?

分析：有10只鸽笼，每个笼子住1 只鸽子，一共就是10只．要保证至少有1只鸽笼中住有2只或2只以
上的鸽子．那么至少需要11只鸽 子，这多出的1只鸽子会住在这10个任意一个笼子里．这样就有1个笼
子里住着2只鸽子．所以至少需 要11只鸽子．


4. 用三种颜色给正方体涂色，请你证明：至少有两个面涂色相同．

分析：一个正方体共有6个 面(如图)，用三种颜色可以涂三个不同的面，剩下三个面还
需要选择这三种颜色来涂，这样至少有2个 面涂用同一种颜色．








成长故事


有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上．有一次，年少的阿巴 格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又
累又怕，到最后快走不动了．爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚 硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴
格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老 年各有一枚，你现在才用了一枚，就是
埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地 用，每一次都用出不同来，这样才不枉
人生一世．今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原． 世界很大，人活着，就要多走些地方，
多看看，不要让你的金币没有用就扔掉．”在父亲的鼓励下，那天 阿巴格走出了草原．长大后，阿巴格离
开了家乡，成了一名优秀的船长． 秘诀：珍惜生命，就能走出挫折的沼泽地．

第十一讲 巧求周长

今天我们将学习通过 平移法将不规则图形转化为规则图形来求周长，你会发现原本很复杂的图形其实
业很简单哦！开始吧！


暑假精讲


【例1】 求右图的周长.


分析：平移法转化成长方形，周长是（80+30+40）×2=300（厘米）.
[前铺]求右图的周长.






分析：将原图通过平移转化为右上图，即有周长为500×4=2000（米）.

[拓展]下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．






分析：平移法，将
锯齿状的零件转化成
平行四边形，两组对边相等都等于24厘米 ，所以
这个零
件的周长是24×2=48（厘米）．

【例2】 如图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝1 30米，c＝70米，d＝60米，l＝25O米．杨老
师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？



分析：平移法转化为长方形再求.［(120＋130+60)＋(7 0+250)］×2×3＝3780(米).

【例3】 如图正方形操场边长100米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地走了一圈，谁走的路
长？ 它们各走了多少米？

分析：我们分别求甲、乙的周长.甲的周长可转化为长方形周长（如 图），即为（100+50+30）×2=360（米）.

再求乙的周长. 乙的周长等于 长方形周长加上2个30米，即为（100+50）×2+30×2=360（米）.所以它俩
走的一样 长.


【例4】 如图，AB=7cm，AC=8cm，BD=4cm，DC=6 cm，求三角形ACD的周长比三角形
A
ABD的周长大多少？

分析：三 角形ACD的周长是AC+DC+AD，三角形ABD的周长是AB+BD+AD，AD是公共
B
D
部分，所以周长之差为8+6-7-4=3cm.


【例5】 用20块边长都是1厘米的正方形木块，拼成的长方形中，最小的周长是多少厘米?

分析：三种方案①长20厘米，宽1厘米，周长（20+1）×2=42（厘米）；
②长10厘米，宽2厘米，周长（10+2）×2=24（厘米）；
③长5厘米，宽4厘米，周长（5+4）×2=18（厘米），所以最小的周长是18厘米.






C

【例6】 下图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长．
分析：平移法.{[（3+5）×3+3]+5}×2+6×（5-3）=76（厘米）.


【例7】 求右图的周长.





分析：通过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上AB、CD的长，即有周长为（50+35）×2+ 10×
2=190（厘米）.


【例8】 求右图的周长.


分析：平移法转化成长方形再加上4个10厘米长，周长是（30+20）×2+10×4= 140（厘米）.


【例9】 如下图，阴影部分是正方形．请你求出最大的长方形的周长．

分析：依题意知，9+6正好 是最大的长方形的一个长和一个宽，所以最
大的长方形的周长是（9+6）×2=30.


【例10】如下图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形．如果其中一个长方形的周< br>长是16米，那么这个正方形的周长是多少米？
分析：长方形周长为16米，则(长+宽)=1 6÷2=8（米），又长是宽的3倍，因此长是6（米），
宽是2（米），那么大正方形的边长就是6（ 米），周长是24（米）.

【例11】下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土” 字图形．试求出其周长
．

分析：周长是由24条1厘米的边长组成，所以周长=1×24=24（厘米）.

【例12】右图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、

二层…一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？

分析：我们仍然可以通过平移转化为长方形来求.长方形的长是10块砖的长度，即20×10=200（厘米 ），
宽是10块砖的宽度，即8×10=80（厘米），所以十层砖墙的周长是（200+80）×2= 560（厘米）.



附加内容

【附1】 把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长．


分析：平移法转化为长方形.这个大长方形的长为2×10=20（厘米），宽为1×13＝13（厘米）， 长方形
的周长（2×10+1×13）×2＝66（厘米）.

【附2】 从一张长 75厘米，宽48厘米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，然后从剩下的部
分中再剪下一个 边长尽可能大的正方形，并按此方式不断重复，那么剪下来的前5个正方形的周长之和是
几厘米？ < br>分析：从长方形上剪下的最大正方形的边长即等于长方形两组边中较短边的长度，于是第1次剪下来的正< br>方形的边长是48厘米，余下的部分为一个两邻边长分别为48厘米和75-48=27厘米的长方形．依 此方式
顺次计算可得，第2，3，4，5次剪下的正方形边长的厘米数分别为48与27中的小数27， 27与48-27=21
中的小数2l，21与27—21=6中的小数6，6与21—6=15中的小 数6．5个正方形的周长之和为(48+27+21+6+6)
×4=432厘米．


大显身手


1. 下图的小正方形边长为1厘米.这个图形的外沿的周长是多少
厘米？

分析：平移法．周长是（7+4）×2+6×1=28（厘米）.


2. 图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？

分析：小正方形的周长是20厘米，所以边长是5厘米，大图的周长是32条小正方形的边长 组成的，所以
周长是32×5=160cm.


3. 正方形被分成了五个长方形，每个长方形的周长都是36厘米．求这个正方形的
周长是多少厘米?

分析：长方形周长为36厘米，则(长+宽)=36÷2=18cm，又长是宽的5倍，因此 长是
15cm，宽是3cm，那么大正方形的边长就是15cm，周长是60cm.






成长故事


放手
有一个故事说：在一群群猴戏出没的森林里，捕猴的猎人在树下设置了机关，专门捕小猴子．猎人把空玻璃瓶绑在树干上，瓶内装了一条香蕉，要诱小猴子来拿．这个空玻璃瓶的瓶口恰好可容下小猴子将手伸进去，可是拿了香蕉的手却比瓶口大，往往拔不出来，猎人就利用这个机会把小猴子逮个正着．有一只小猴子到树林子里玩耍，闻到香蕉的香味，兴奋不已，把手伸进瓶罐里要那香蕉来吃，没想到手拔不出来了．小猴子很着急，连忙跟旁边的大猴子求援，大猴子早已看破猎人的诡计，跟小猴子说：“放手啊！把香蕉放开，手就可以出来了！”可小猴子舍不得香喷喷的香蕉，死不肯放手，坚持要大猴子把瓶子打破，让他把手拔出来．猎人的脚步近了……“救我啊，快救我啊！”小猴子喊着．“放手啊，快放手啊！”大猴< br>子叫着》故事的结局有两种：肯放手的小猴子很快的挣脱猎人的陷阱逃跑了．不肯放手的小猴子当然就成< br>了猎人的猎物．我们人生常常遇到许多瓶颈，像小猴子面临的困境一样．我们也常常呼求上帝：救我啊，< br>快救我啊！但在湖就的时候，许多人又不肯放手让上帝采取他的方式施行拯救，仍然执着于自己的方式，< br>坚持要上帝照着自己的方式把玻璃瓶打破，结果当然是失败了．朋友，遇到困难时，不要固执于已过去的< br>想法，试着放手．山不转路转，你将发现赫然又是一片新的天空．

第十二讲 数字谜

在一个数学式子（横 式或竖式）中擦去部分数字或用字母、文字来代替部分数字的不完整的横式或竖
式，这样的式子叫数字谜 .解数字谜的关键是找到“突破口”.


暑假精讲


【例1】 在右面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不
同的数字，求出我 ×爱×数×学等于多少？

分析：由4个“学”的和的各位数字是8，则“学”代表2或7， 若“学”是
2，那么不进位，三个“数”的末位不可能是0，即“学”不是2，只能是7 .
三 个“数”的和与2相加得末位是0的数只有6，即“数”是6.2个“爱”的
和与2相加和的末位是0的 数有4或9.若“爱”代表4，“我”是1，若“爱”代表9，则“我”是0，不
合题意.所以“我”= 1，“爱”=4.我×爱×数×学=1×4×6×7=168.

[巩固1]在下面的式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值：







分析：如图.
[巩固2]下边加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数
字．当它们各代 表什么数字时，算式成立．

分析：克=5 匹=6 林=4奥=1.


【例2】 在图中的□里填上合适的数使算式成立.





分析：个位由□+7=9可以得到□49□的个位上的□为2；十位由9+□的末位数为4可 以得到7□□7十位
上的□为5，且向百位进1；百位由4+□+1的末位数为7，则7□□7的百位上 的□为2；千位□+7=9，易
得出□49□的千位上的□为2.所以原式为如图.

【例3】 下边加法竖式中的每一个汉字都代表一个数 字，不同的汉字代表不同的数字．当它们各代表什么
数字时，算式成立．


分析：找突破口，容易发现“真”=1，那么“好”=9或8，“是”=0，从十位上“啊”+“是”=“好” 可
以发现“好”比“啊”大1，又因为好+好=阿（要进位）所以好=9 啊=8.


【例4】 在图中的□里填上合适的数使算式成立.





分析：个位6-□=8，应向十位借1，16-□=8，7□4□中个位上的□为 8；十位□-4=4，又个位已向十位借
1，所以□8□6十位上□为9；百位由8-□=5，可以得到 7□4□百位上的□为3；千位□-7=0，容易得出
□8□6千位上的□应为7.所以结果如图.


【例5】 在右面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“巧”+“解”+“数”+“字”+“谜”=30，那么“数字谜”
所代表的三位数 是多少？

分析：5ד谜”的个位仍是“谜”，所以“谜”=5，向十位进2；4ד字”
+2的个位数字仍是“字”，得到“字”=6，向百位进2；“数”×3+2的个位
数字仍是“ 数”，得到“数”=9，向千位进2；同理可得“解”=8，“巧”=2.
所以“数字谜”所代表的三位 数是965.


【例6】 下面是一个残缺的算式，请补全．被乘数是多少？





分析：容易得算式如图，即乘数为47568.

【例7】 下面竖式中的字母A、B、C代表三个不同的数字．问A、B、C是什么数字时，算式成立?


分析：观察这个乘法算式可知B×C的个位数是5，那么B×C只可能是1×5(或5×1) ，3×5(或5×3)、5×5、
7×5(或5×7)、9×5(或5×9)，即B、C中至少有一个是 5，另一个为1，3，5，7，9之一．若B=5，则由
乘积是435知C至少是7，即C是7或9．但 不论C是7还是9，都找不到适合算式的A值，所以B≠5．若
C=5，则A为8，B=7符合要求．故 使算式成立的A、B、C分别为8、7、5．


【例8】 字母A、B、C、D分 别代表不同的数字，要使这个不完全的竖式能除尽，
A、B、C、D分别代表什么数字?
< br>分析：由于被除数的个位是l，除数的个位是9，所以只有B=9；由算式形式．，A与349的乘积是一 个四
位数，所以A不会是1，即以至少等于2．而49×349>13CDl．而29×349<13C Dl，所以只有A=3，即商为
39．349×39=13611，C=6，D=1．故A=3，B=9 ，C=6，D=1．


【例9】 下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，当各字母分别是什么数字时算
式成立?




分析：观察算式，被乘数和乘积都是四位数，而且乘积各位 上的数字的排列顺序恰与被乘数各位上的数字
的排列顺序相反．算式中哪个位置是解题突破口呢?因为乘 数是9，且被乘数与乘积都是四位数，所以被乘
数的千位A可以很快确定．(1)确定A的取值．由上面 的分析知A=1，这时算式如图.(2)B取什么数字．由
于算式中乘积的百位不向千位进位，所以B< 2，而已有A=1，由题意可知B只能取0．算式如图.(4)C取什
么数字．由上式可以看到，C与9 的乘积的个位应是2，而只有8×9=72，所以C=8．故A=1，B=0，C=8，
D=9．


【例10】下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们 各代表什么数时，算式成
立?
盼盼盼盼盼盼÷归=香港已经回归





分析：利用乘法与除法是互为逆运算的关系，将原式改写为香港已经回 归×归=盼盼盼盼盼盼，由于横式中
数字之间的关系不如竖式明显所以进一步改写成：在这个算式中，乘 积的六位数字均相同，并且被乘数的
个位与乘数又是相同的汉字，所以我们就从这里入手进行分析．因为 归×归的个位不能还是归，所以归字
只能取2、3、4、7、8、9．下面进行试验：：(1)归=2， 则盼=4，这时算式成为如图.因
为乘数与乘积已确定，所以被乘数可以通过乘积÷乘数得444444 ÷2=222222，即香=港=

已=经=回=2，出现重复，不 符合题目要求，所以归≠2．(2)归=3，则盼=9，乘积=999999，由于999999÷3=3333 33，
则香=港=已=经=回=3，出现重复，所以归≠3．(3)归=4，则盼=6，乘积为6666 66，而666666被4除有余
数，所以归≠4．(4)归=7，则盼=9，乘积为999999，由 于999999÷7=142857，则香=1，港=4，已=2，经=8，
回=5，得到一个解．(5 )归=8，则盼=4，乘积为，4444444÷8有余数，所以归≠8． (6)归=9，则盼=1，乘
积为111111，但111111÷9有余数，所以归≠9．综上，此题有一个解：香=1，港=4，已=2 ，经=8，回=5，
归=7，盼=9．算式为999999÷7=142857．


附加内容


【附1】 如图是一个加减混合运算的算式，现在只知道其中 的几个数字，你能不能在式中的空格内阁填入
一个合适的数字，将算式补充完整.







分析：先看加法，十位：由算式中的第二个加数 以及和的十位上都是9，所以个位上的数字之和一定向十
位进了1，十位上的数字之和也向百位进了1， 因此算式中十位上应是□+9+1=19，故第一个加数的十位上
填9.个位：因个位上1+□的和向十 位进1，故□中只能填9，和的个位就为0.百位和千位：由于是两位数
加三位数，和是四位数，所以百 位上数相加后必向千位进1.这样第二个加数的百位应填9，和的千位填1，
和的百位填0，即加法就是 如图.
再看减法，个位由于被减数的个位是0，差的个位是4，因此减数的个位应填6，这样减法部分 的算式变为
如图.
十位和百位由于被减数是四位数，减数是三位数，差是两位数，所以减数的 百位必须是9，同时十位相减
时必须向百位借1，这样减数与差的十位也只能填9.故答案为如图.


【附2】 在右面的算式中，每个不同的汉字代表0~9中不同的数字，当它们各代表什么数字时算式成立？








分析：本题的突破口在于 乘法算式.首先很容易通过观察得到41×4=164，所以“数”=4，“学”=1.再由加
法算式得 到“好”=7，“爱”=2，故答案如图.

大显身手


1. 下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们各
代表什么数时，算式成立?

分析：争=2，当=1，好=9，学=7，生=8.


2. 下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，它们
各代表什么数时，算式成立?

分析：ABCDEF=145386．


3. 下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们
各代表什么数时，算式成立?

分析：学=1，习=7，好=9．



4. 如图，求A、B、C.

分析：A=8，B=1，C=0.



5. 下式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，它们
各代表什么数时，算式成立?

分析：解=1，题=3，乐=5.



成长故事


一位年轻的修女进入修道院以后一直在从事织挂毯这项工作．做了几个星期之后， 有一天她拂袖而
去．“我再也做不下了！”她叹道，“给我的指示简直不知所云，我一直在用鲜黄色的丝 线编织，却突然又
要我打结，把线剪断，完全没有道理，真是浪费．”在一旁织毯的老修女说：“孩子， 你的工作并没有浪费，
其实你织出的很小一部分是非常重要的一部分．”
老修女带她走到在工 作室里摊开的挂毯面前，年轻的修女看呆了．原来她编织的是一幅美丽的《三王
来朝》图，黄线织出的那 一部分是圣婴头上的光环．

第十三讲 趣题巧解
有些数学问题既不需要复杂的计算，也没有用死板的公式，而是通过 我们思考后就能脱口而出的，这
种题目有一定的智力测试的性质，我们称之为“趣题巧解”.相信你一定 很感兴趣，那还等什么，开始吧！


暑假精讲


【例1】 3只小猫同时吃3条鱼需要3分钟吃完，按照这样的速度计算，100只猫同时吃100条鱼 需要
几分钟？

分析：“3只小猫同时吃3条鱼需要3分钟吃完”也就是1只小猫吃 掉1条鱼需要3分钟，按照这样的速度，
100只猫同时吃100条鱼所用时间也是3分钟.


【例2】 一个人带着两只桶去沟边取水，一只桶可盛3千克水，另一只可盛5千克水，现在 要取4千
克水，应该怎样取？

分析：下把盛3千克水的小桶盛满水，倒进盛5千克 的大桶里，把小桶盛满水，再倒入大桶里，因为大桶
里已经有3千克的水，当倒满5千克时，小桶还剩下 1千克的水．把大桶里的水全倒掉，然后把小桶里的
1千克水倒进大桶里，再把小桶装满水倒入大桶里， 这时大桶里正好有4千克水．


【例3】 一个人带着一只狐狸、一只鹅和一些玉 米渡河，每次只
能带一样，可是人不在时，狐狸要吃鹅，鹅要吃玉米.那么应该怎样
渡河呢？

分析：先带鹅过河，自己划船回来，第二次带狐狸过去，再把鹅带
回来，第三次带玉 米过河，自己划船，第四次再把鹅带过去即可.


【例4】 一根竹笋，从发芽到 长大，如果每天长高1倍，经过10天长到40分米．那么，当长到5分
米时，经过了多少天？

分析：首先要搞清楚“每天长高1倍”是什么意思，然后再考虑问题，我们用倒推来思考这个 问题：经过
10天长到40分米；经过9天长到20分米；经过8天长到10分米；经过7天长到5分米 ，所以当长到5
分米时，经过了7天．


【例5】 幼儿园里有六个男孩 ，他们中除一位较轻以外，其余五人的体重都一样重．现在如何利用翘
翘板用最少的次数来找出较轻的那 位？

分析：先把六人分为两组，让他们分坐在翘翘板的两头，找出了轻的一头，在轻的这头 中，随便指定两位
坐上翘翘板的两头，如果重量相等，那么剩下的那位就是体重较轻者．若重量不相等，
那么翘起来的那人就是较轻的．

【例6】 甲乙两人从 相距10千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米.
甲带着一条狗，甲出发 时狗开始在甲乙两人之间来回奔跑，即碰到乙就掉头跑，碰到甲就再掉头跑，如此
往复，直至甲、乙相遇 为止.如果狗每小时跑20千米，掉头时间忽略不计，那么狗跑了多少千米？






分析：狗跑的时间恰好等于甲乙的相遇时间为1小时，所以狗跑了20×1=20（千米）.


【例7】 蜗牛沿着9米高的柱子往上爬，白天它向上爬5米，而晚上又下降4米，问蜗牛爬到柱顶需
要几天几夜？

分析：一昼夜可以爬1米，爬了4昼夜后再经过一个白天即可爬到柱顶，因此需要5天4夜.

[拓展] 青蛙沿着10米高的井往上跳，每次它向上跳半米，然后又落下去，问青蛙爬需要跳几次就能跳出
井外？

分析：每次青蛙向上跳半米，然后又落下去，等于还在原地，所以永远也跳不出去.


【例8】 世兵赛单打的参赛选手共35人，采用淘汰制，最后产生冠军，
那么一共要比赛几场？
< br>分析：如果考虑如何安排各轮比赛太麻烦，所以整体看，因为是淘汰制，每
比赛一场就要淘汰一人 ，产生冠军要淘汰34人，所以赛34场.


【例9】 红蓝墨水各一瓶，用一根 滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅
拌后，从蓝墨水中吸一滴滴到红墨水中.这时红墨水中的蓝墨水 多还是蓝墨水中
的红墨水多？

分析：如果算红蓝墨水的混合比例算不出来.我们可 以这样想如果红墨水中混进
蓝墨水，那么这些蓝墨水必然挤占了同样体积的红墨水.所以红墨水中的蓝墨 水
和蓝墨水中的红墨水一样多.

[拓展]甲组有26个男生，乙组有20个女生， 从甲乙两组中各选出相同数量的人交换，这样交换10次后，
甲组中女生的人数多还是乙组中男生的人数 多？

分析：一样多.

【例10】 甲、乙、丙三人练习打靶，靶子及环数见右图．每人打了4发， 甲、乙
共命中71环，乙、丙共命中75环，甲、丙共命中76环．乙最多命中几个10环？

分析：甲、乙、丙共命中（71+75+76）÷2=111（环），乙命中111-76=35（环） ．因
为最低为6环，所以乙最多命中2个10环．




附加内容


【附1】 有60名同学到到河对岸的树林里玩耍．岸边只有 一只能载6个人的小船，问最少要分几次才能
全部到达对岸？

分析：这个题目如果 稍不留神，很容易算成606=10次.除了1人撑船之外每次只能运5个人，最后一次可
以运6个人， 前11次运了55个人，最后一次运5个，一共运了12次．


【附2】 有个人 去买葱，他问多少钱一斤.卖葱的人说：“1元1斤”.买葱的人说：“我想全买了，不过要从
中间切开 秤，葱叶2角1斤，葱白8角1斤，你卖不卖？”卖葱的人一想：“2角+ 8角=1元”正好，他
就全卖了.但是后来发现自己赔了，同学们，你们知道为什么吗？

分析：葱叶2角1斤，葱白8角1斤相当于1元钱买2斤葱，卖葱的人当然赔了.


【附3】 集市上有位卖鱼的老人，3条鱼5元，这时来了3个人，准备一起买者3 条
鱼，可 是每人都是2元的钱，卖鱼的老人又没有零钱找，最后三
个人觉得6元买3条鱼也挺值就每人出2元买了 .卖鱼的老人越
想越觉得不合适，怎么能多收1元呢？于是他坐车去追买鱼人，
追上时卖鱼的老 人说：“多收你们1元，坐车用4角，还剩6角，
退给你们每人2角.”可是3个人怎么算也不对，每人 出2元，
又退了2角，等于每人出1元8角，共5元4角，再加上坐车的
4角，一共5元8角， 怎么少2角呢？你知道为什么吗？

分析：其实没少.应当5元4角加上退回的6角共6元.


大显身手



1. 一条小虫由幼虫长到成虫，如果每天长大1倍，20天长到20厘米长，问长到5厘米长时用几天？

分析：20天长到20厘米长，19天长到10厘米长，18天长到5厘米长.


2. 有一批解放军要从河边到对岸，河里只有一只船，每次最多乘8人，撑船的一人要

解放军自己，6次运完，而且最后一次船上坐满了人，问这些解放军有多少人？

分析：7×5+8=43（人）.


3. 一个施工队要完成一项工程， 7月20日开始动工，8月2日到5日因下大雨停工休息，到8月20日
完工．这个施工队一共用了多少 天完成了这项工程？

分析：32-4=28（天）.


4. 王叔叔加工了8个大小，形状完全相同的零件，可是，凭他丰富的工作经验，他知道这8个零件中，
有一 个因为重量重了一些而不合格，他借来一台天平，最少称几次就可以找到那个次品.

分析： 2次.先称3个和3个，若平则次品在剩下的2个中，在称1次即可；若不平，则从重的一侧选两个
称， 若平则次品在剩下的1个，不平则重的是次品.





成长故事


美国有位心理医生，在他退休的时候著作的病例就有3000 多种，医生的成就让人钦佩．可他的所以
学生们不愿让他离开，请求他做最后一次演讲．这位心理医生没 有说的太多，他说：我们人人都是自己的
医生，我们就是太放纵．人生最大的障碍就一句话：“如果”， 人们总在说：如果时光可以倒流，我将会如
何如何……，如果我要不那么做就好了……等等，根治这一疾 病的处方就是把“如果”去掉改成“下一次”，
下一次我一定如何如何……下一次我会做好的……人生路 很漫长，唯一没有的路就是回头路，我们要把上
一次的挫败当作下一次的经验，这样才能走出人生的辉煌 ！

第十四讲 逻辑推理
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题．也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识．
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在 ，找到突破口，由此入手，进
行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案．这类问题我们 称它为逻辑推理．



暑假精讲


【例1】 如图，请问数字1和2的对面是几？

分析：由图知，1的对面不是4和6；也不可能是2和3，所以只能
是5.同理2的对面是6.


【例2】 甲乙丙三人分别说了下面三句话，请你从他们所说的话判定谁说假话？ 甲说：“乙在说谎.”乙
说：“丙在说谎.”丙说：“甲和乙都在说谎.”

分析： 假设甲没说谎，那么乙说谎，也就是丙没有说谎，这样丙所言“甲和乙都在说谎”属实，所以甲一
定说谎 .故乙说：“丙在说谎.”属实，所以丙也说谎，即甲和丙两人都说谎.


【例3】 编号是1，2，3，4的四位同学参加了学校的110米栏比赛，获得了全校的前四名.1号 说：“3
号比我先到终点.”得第三名的同学说：“1号不是第四名.”而另一位同学说：“我们的号码 与我们所得的
名次都不相同.”你能说出他们的名次吗？

分析：得第三名的同学说 ：“1号不是第四名.”推知：1号是第一或二名，又1号说：“3号比我先到终点.”
说明1号是第二 名，3号是第一名.而另一位同学说：“我们的号码与我们所得的名次都不相同.”所以4号
是第三名， 第四名是2号.


【例4】 李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语 文、数学、政治、体育、音乐和图画六
门课的教学，每人教两门．已知：（1）顾锋最年轻；（2）李波 喜欢与体育老师、数学老师交谈；（3）体育
老师和图画老师都比政治老师年龄大；（4）顾锋、音乐老 师、语文老师经常一起去游泳；（5）刘英与语文
老师是邻居.问：各人分别教哪两门课程？

分析：由（1）（3）（4）推知顾锋教数学和政治；由（2）推知刘英教体育；由（3）（5）推知李 波教图画、
语文．李波教语文、图画，顾锋教数学、政治，刘英教音乐、体育．

【例5】 四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子 里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，
陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了．陆老 师问：“是谁打破了玻璃？”宝宝说：“是星星无
意打破的．”星星说：“是乐乐打破的．”乐乐说：“ 星星说谎．”强强说：“反正不是我打破的．”如
果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打 破了玻璃？
分析：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验．假设星 星说得对，即
玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星 说错了．假设
乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了．由强强说错了，推知玻璃是强强打破的．宝宝、 星星确实都说
错了．符合题意．所以是强强打破了玻璃．


【例6】 小 刚在纸条上写了一个四位数，让小明猜．小明问：“是603l吗?”小刚说：“猜对了1个数
字，且位 置正确．”小明问：“是5672吗?”小刚说：“猜对了2个数字，但位置都不正确．”小明问：“是
4796吗?”小刚说：“猜对了4个数字，但位置都不正确．”根据以上信息，可以推断出小刚所写的四位数< br>多少？

分析：由两人的第3次问答可知小刚所写的四位数是由数字4，7，9，6 组成的．因为数字6在603l中出
现，所以据小刚的第1次回答知四位数的千位数字就是6．又数字7 在5672和4796中均出现过，且小刚
说其位置均不正确，所以7应该出现在个位．数字9在479 6中出现，但它的位置也不正确，所以9只能
在百位，进而4是十位数字．综上所述，所求的四位数是6 947．


【例7】 甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“ 短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、
“大作家”和“歌唱家”称呼他们．此外：（1）数学博士夸 跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与
甲一起去看电影；（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（ 4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过
书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家．你知道甲、 乙、丙各有哪两个外号吗？

分析：由（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙 不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小
画家．由此可得到下表：

因为甲是 小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家．因为丙是大作
家，所以由 （2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军．因为乙是跳高冠军，所以由（1）知乙不是数学
博士．将 上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家．

【例8】 学校新来了一位老师，五个学生 分别听到如下的情况：（1）是一位姓王的中年女老师，教语
文课；（2）是一位姓丁的中年男老师，教 数学课；（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；（4）是一位
姓李的青年男老师，教数学课；（5 ）是一位姓王的老年男老师，教外语课．他们每人听到的四项情况中各
有一项正确．问：真实情况如何？

分析：姓刘的老年女老师，教数学．假设是男老师，由（2）（3）（5）知，他既不是青年 、中年，也不是
老年，矛盾，所以是女老师．再由（1）知，她不教语文，不是中年人．假设她教外语， 由（3）（5）知她
必是中年人，矛盾，所以她教数学．由（2）（4）知她是老年人，由（3）知她姓 刘．


【例9】 甲乙丙丁四人进行羽毛球双打比赛，其中已知：①甲比乙年轻： ②丁比他的两个对手年龄都
大；③甲比他的伙伴年龄大：④甲与乙的年龄差距要比丙与丁的年龄差距要大 一些．则甲的伙伴是谁？年
龄最大的人是谁？

分析：丙，丙．由条件①甲比乙年轻 ，可知甲的年龄小于乙的年龄；再由条件③甲比他的伙伴年龄大，可
知甲的伙伴只能是丁或丙．而实际上 丁不可能是甲的伙伴，否则甲、乙、丙3人的年龄顺序就为丁<甲<乙，
这样丁就找不到两个对手都比他 年轻，与条件②矛盾．因此，甲的伙伴只能是丙，故甲与丙搭档，而乙与
丁搭档．根据上述的推理，我们 可以得到甲、乙、丙三人的年龄大小顺序为：丙<甲<乙．再结合条件②，
我们可以推断出甲、乙、丙、 丁4人的年龄顺序应该是：丙<甲<乙<丁或丙<甲<丁<乙．实际上前一种情况
是不可能的，否则甲、 乙的年龄差距要比丁、丙的差距小，这与条件④不符，故4人的年龄顺序为丙<甲<
丁<乙．年龄最大者 为乙．


【例10】 在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得了 前五名（没有并列同一名次的），关
于各人的名次大家作出了下面的猜测：A说：“第二名是D，第三名 是B．”B说：“第二名是C，第四名是
E．”C说：“第一名是E，第五名是A．”D说：“第三名是 C，第四名是A．”E说：“第二名是B，第五名
是D．”结果每人都只猜对了一半，他们的名次如何？

分析：第1名是E，第2名是C，第3名是B，第4名是A，第5名是D．

附加内容


【附1】 现有甲乙两个队比赛，甲队有A、B、C三名队员 ，乙队有X、Y、Z三名队员，从之前的比赛情
况是：A能胜Y，Y能胜C，C能胜Z.但在第一轮比赛 中他们都没有相遇，请问在第一轮比赛中谁与谁“过
招”？

分析：由题意知，C不 与Y、Z相遇，则C只能与X相遇；Y不与A、C相遇，则Y
只能与B相遇，所以A只能与Z相遇.


【附2】 在每四年一次的世界杯足球赛上，四支球队A、B、C、D，已知：A 队两胜一负，B队两胜一和，
C队医胜两负，请问D队成绩如何？

分析：A、B、 C、D一共需赛6场，而每场比赛只有胜、负或者平局两种情况.已知A、B、C三队共获5
场胜利、1 场平局，所以D除了一场平局外不可能再有胜局，所以D是两负一和.

【附3】 根据条件判断旅游团去了A、B、C、D、E中的哪几个地方？
（1）如果去A，就必须去B；（2）D、E两地至少去一地；（3）B、C两地只能去一地；（4）C 、E两地要
去都去，要不去都不去；（5）若去D，则A、E两地必须去.

分析： 从（3）入手，分别假设去B或C：（3）若去B则不能去C，（4）也不能去E，（2）只能去D.（5）必须去A、E，与不能去E矛盾.所以不能去B.假设去C：（4）必去E，（2）需去D，（5）必须去A 、E，（1）
去A必须去B，与（3）B、C不能同去矛盾，所以不能去D.综上只能去C、E.


大显身手


1. 甲乙丙三人中只有一人会开汽车 .甲说：“我会开.”乙说：“我不会开.”丙说：“甲不会开.”三人中只
有一人说真话.请问谁会开 车？

分析：如果甲说真话，那么乙也说真话，矛盾.如果乙说真话，那么甲说假话，丙说真 话，矛盾.所以只能
是丙说真话，只有乙会开车.


2. 甲乙丙三人参 加完田径比赛的100米跑后，甲说：“我第一.”乙说：“我第二.”丙说：“我不是第一.”
已知三 人中有一人说假话.请问谁第一？谁第二？谁第三？

分析：如果丙说的是假话，丙应该第一 ，那么甲说自己第一就矛盾.所以丙不可能说假话，那么丙肯定不是
第一，显然乙不是第一，所以甲第一 ，乙说假话.所以甲第一、丙第二、乙第三.


3. 甲乙丙丁四人，乙的身高不是最高，但比甲、丁高，甲比丁高.请你按从高到矮排列.

分析 ：乙不是最高，但比甲、丁高，甲乙也不可能是最高，所以丙是最高.乙比甲丁高，其次是乙，又已知
甲 比丁高，所以再次是甲，因此从高到矮是丙、乙、甲、丁.




成长故事


智者说：“如何才能在工作上获得100％的成功？”
我们使用26个字母来玩一个游戏．
A=1分，B＝2分，依此类推，Z=26分．
有人说：“知识应该可以吧？”而KNOWLEDGE这个词加起来只有96分．
又有人说：“辛劳的工作可以吗？”但HARDWORK这个词加起来也只有98分．
那么大地怎么才能达到100％的成功呢？
答案是：ATTITUDE（态度）．

第十五讲 期末测试

一． 填空题(每题5分,共8题)
1.2006×20072007-2007×20062006=_____

分析：0．


2.暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了 记录．如果他在暑假的最后一天游670米，则平
均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均 每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最后
一天应游多少米？

分析 ：（778-670）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天，要想平均游 500米的话，他
最后一天应该游：670+36×（500-495）=670+180=850（米 ）．


3.12加上24，减20；再加上24，再减20……如此下去，至少经过几次运算才能得到52？

分析：（52-12）÷（24-20）=10（次）.


4. 甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千 米，乙车
先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇?

分析：甲、 乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所
行的路程不 是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速
度和，才是 甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22×2=44(千米)甲、乙两车同时相对而行
路 程：144-44=100(千米)，甲、乙两车速度和：28+22=50(千米)，甲车行的时间：100÷ 50=2(小时)．


5. (2+4+6+8+……+2000)-(1+3+5+7+……+1999)=

分析：容 易看出第一个括号里的数是1-2000里的偶数之和，而第二个括号里的数是1-2000里的奇数之和
这2个和我们都不好算，怎么办呢？注意到两个括号里都是1000个数，因此我们可以如下分组 原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+……+(2000-1999)=1+1+1+ 1+……+1=1000．


6.一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一 个房间里有11个人，平均年龄是45岁．两个房间的人
合在一起，他们的平均年龄是几岁？

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.

7.甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两地相对开出，甲车每小时 行42千米，乙车每小时行45千米．甲、
乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B、A两 地后，立即按原路原速返回．两车从开始到
第二次相遇共用6小时．则A、B两地的距离是多少千米？

分析：甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB间的路程，第一次相遇后继续前进， 各自到B、A
两地后，又共同行完一个AB间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB 间的路程．因此，
甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB间的路程：甲、乙速度和：42+45= 87(千米)，3个AB间路程：
87×6=522(千米)， A、B相距：522÷3=174(千米)．


8. 下面是一个残缺的算式，请问被乘数是几？

分析：容易得算式为

于是，乘数为47568．


二． 解答题(每题12分,共5题)
1. 小明有4块糖，每天吃若干块，每天至少吃一块，也可以一下全吃完，问小明把糖吃完有多少种不 同
的方法？

分析：1）分4天吃完
4=1+1+1+1 1种
2）分3天吃完
4=1+1+2 4=1+2+1 4=2+1+1 3种
3）分2天吃完
4=1+3=2+2=3+1 3种
4)1天吃完 1种
因此一共有1+3+3+1=8种不同的方法．


2. 有同样甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场?

分析：甲、乙、丙、丁四人进行循环赛，则每人都赛3场，共赛3×4÷2=6(场)． 如果其中有三 人都胜3
场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者 都在这
三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛q-的3 场这三人各
胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场； 三个人都胜0场是不可能的． 因此，如果
有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场．也可能胜3场．所以另一个人可能胜0场 或3场．

3.一只 母鸡生蛋很有规律，总是连着两天每天生一个蛋，以后就要空一天不生蛋，已知2005年元旦这天
没有 生蛋，2005年全年一共生了几只蛋？

分析：243．


4.老师今年45岁，他有三个学生，小明今年15岁，小红今年11岁，小亮今年7岁，要过几年，老师的岁数等于他们三个学生岁数的和．

分析：6年．


5. 甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶．甲车如果每小时行驶60千米，则5小时可追上前方
的 乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车．由上可知，乙车每小时行驶多少千米？(假
设乙车的行驶速度保持不变)

分析：45千米．


三、附加题（20分）
现有1克，3克，9克的砝码各一个，在天平上能称出____种不同 重量的物体（注意：允许砝码分别放在
两个托盘里）

分析：砝码有三个，它们在天 平上的各种组合形式能称出不同的重量，我们按照所使用的砝码的个数这个
顺序一一列举，注意在讨论使 用2个砝码时，既有两个砝码在天平一侧的情况，又有在两侧的情况．三个
砝码也是这样，要考虑全面．
1） 使用一个砝码，可称出1克，3克，9克三种重量
2） 使用2个砝码，可称出4克（1+3） 10克（1+9） 12克（3+9）和2克（3-1） 8克（9-1）6克（9-3）
6种不同的重量
3） 使用三个砝码，可称出13克（1+3+9） 7克（1+9-3） 11克（9+3-1） 5克（9-1-3）4种不同的重量
综上，一共可以称出1-13整数克这13种不同重量的物体．