国庆节的由来和习俗-敬酒词

容斥原理（二）

【例题分析】

例1. 有25人参 加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优
秀的有10人，第二次达到优秀的 有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀
的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？
分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两
次 达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。



例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人
要了冰棍，6人 要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的
没有，只要汽水和雪碧的有1人 ；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？
分析与解：根据题意画图。
（人）
答：只有两次达到优秀的有11人。

方法一：（人）

方法二：
答：共有10个小朋友去了冷饮店。

（人）
例3. 有28人参加田径运动 会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，
参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数 都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有
多少人？
分析与解：“每人至少参加两项 比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，
我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。



例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文 学习小组，其中数学有30人参
加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小 组又参加语文小组
的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全 参
加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
（人）
答：只参加跑和投掷两项的有3人。

三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加
英语的有y人，可以列出这样的方程：
整理后得：
由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。

例5. 某班同学参 加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，
数学、英语两科满分者8人， 数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，
三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人 ？最少多少人？
分析与解：根据题意画图。

设三科都得满分者为x
全班人数
整理后：全班人数＝39＋x
39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数
就最少。x是数 学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得
满分的人数，即且，由此我们得 到。另一方面x最小可能是0，

即没有三科都得满分的。
当x取最大值7时，全班有
人。
人，当x取最小值0时，全班有39
答：这个班最多有46人，最少有39人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有
人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家
登记表如下表（单位：平方米）
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
的人订《少年报》，有的
他们住的一套房子共有多少平方米？

3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人， 又知百米、
跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
4. 某班四年级时，五年 级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续
三好生4人，五、六年级连续三好生3人 ，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、
五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有 多少名同学，最少有多少名同学？

【试题答案】

1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有
人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？
的人订《少年报》，有的

答：两种刊物都订的有16人。
2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家
登记表如下表（单位：平方米）
姓名
小明
小龙
居室
14
20
门厅
12
12
厨房
8
8
厕所
4
4
总面积
38
44
他们住的一套房子共有多少平方米？

答：这套房子共有58平方米。
3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22
人，全班只 有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。



4. 某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续
三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、
五、六三年没 评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？
设三年连续三好生人数为x人
全班人数
……
全班人数

x最大是3，最小是0
所以这个班最多有



名同学，最少有38名同学。