高考填报志愿表-空城计剧本

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组

第七讲 三角恒等式和三角不等式

知识、方法、技能
三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式包括绝对 恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与
求证或所证恒等式等号两边三角式的繁 简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与
求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、 次数以及结构的差别与联系，抓住其主
要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异， 统一形式，完成证明.“和
差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧 。当然有时也可以利
用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于
ttan
x< br>的代数恒等式的证明问题.
2
要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握
各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.





T




T




T

2



相除 相除 相除



S


S



S
2






C



C



C
2



相加减

万
S


能
积化和差
2

公
C



2
式
S
3



T

C
3


2
和差化积

上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和
基础.
此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题
往往可 以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方 法：配方法、比较法、放

缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有 自己的特点——含有三角式，
因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利 武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角
形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正
弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式
Sp(pa)(pb)(pc)[其中p
1
(a bc)]
，大家往往不甚熟悉，但十分有用.
2
赛题精讲
例1：已知< br>sin

Asin(



),|A|1,求证 :tan(



)
sin

.
cos

A
【思路分析】条件涉及到角

、



，而结论涉及到角



，

.故 可利用

(



)

或

(



)

消除条件与结论间角的差异，当 然亦可从式中的“A”
入手.
【证法1】
sin

Asin(



),


sin(




< br>)Asin(



),

sin(
< br>

)cos

cos(



)sin

Asin(



),

s in(



)(cos

A)sin
cos(



),

|A|1,
cos

A0,

从而cos(



)0,

tan(



)
【证法2】
sin

.
cos

A
sin


sin

A
sin

sin(



)sin

< br>
sin

cos

sin(



)sin

cos


sin(



)
sin(



)sin

cos

sin(



)sin[(



)

]
sin(



)sin




cos(



)sin

tan(



).

例2：证明：
cos7x7cos5x21ocs3x35 cosx64cos
7
x.

【思路分析】等号左边涉及角7x、5x、3 x、x右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为
sinx
、
cosx
的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.
【证明】 因为
cos3x4cosx3cosx,所以4cosxcos3x3cosx,

从而有
16cos
6
xcos
2
3x6cos 3xcosx9cos
2
x

33



1cos6x9
3(cos4xcos2x)(1cos2x)

22

32cos
6
x1cos6x6cos4x6cos 2x99cos2x,
64cosx2cos6xcosx12cos4xcosx30co s2xcosx20cosx
7

cos7 xcos5x6cos5x6cos3x15cos3x15cosx20cosx
cos7x7cos5x21cos3x35cosx.
【评述】本题看似“化简为繁”， 实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复
数求解. 令
zcos

isin

,则2cos

z
11
,从而 ,128cos
7

(z)
7
，展开即可.
zz例3：求证：
3tan18

tan18

tan12

3tan12

1.

【思路分析】等式左边同时出现tan18tan12
、
tan18tan12
，联想到公式

tan

(

)
tan

tan< br>
.
1tan

tan

【证明】
3t an18

tan18

tan12

3tan12< br>

3(tan18

tan12

)tan 18

tan12


3tan(18

1 2

)(1tan18

tan12

)tan18< br>
tan12


1

【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证
(1

tan1)(1

tan2)

(1

tan43 )


(1tan44

)2
22
等. 例4：已知
1tan

2001,求证:sec2

ta n2

2001.

1tan

1cos(2
)
1sin2

2
【证明】
sec2

tan2

tan(

)


cos2

4
sin(2

)
2

1 tan

1tan


2001.

例5：证 明：
4sin

sin(60



)sin(6 0



)sin3

.

【证明】< br>sin3

3sin

4sin
3


3
4sin

(sin
2

)
4
31
4sin

(cos
2

si n
2

)
44

4sin< br>
[(
3
cos

)
2
(
1sin

)
2
]

22
4sin

(sin60

cos

cos60

sin< br>
)(sin60

cos

cos60

sin

)
4sin

sin(60


)sin(60



)
【评述】这是三倍角的正弦 的又一表示. 类似地，有
cos3

4cos

cos(60< br>


)cos(60



)


tan3

tan

tan(60



)tan(60



)
. 利用这几个公式可解下例.
例6：求证：①
cos6

cos42

cos66

cos78


②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
()
1

16
1
4
45
610.

【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°

cos42

cos78

=cos6°cos54°cos66°


cos54
cos18

cos42

cos78< br>

4cos54

1
cos(318

)


4

4cos54
1
.
16②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(sin1°sin59°sin61°) (sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin6 0°
=
()


1
4
29
sin3
sin6


sin87


3

4
1
(
)
30
3(sin3

sin5 7

sin63

)(sin6

sin54
< br>sin66

)(sin27

sin33

si n87

)sin30

sin60

4

1
()
40
3sin9

sin18


sin81

4

1
()
40
3( sin9

sin18

)(sin18

sin72
)(sin27

sin63

)(sin36
< br>sin54

)sin45

4

132()
42
sin18

sin36

sin54< br>
sin72

42
13
()
42
2c os72

cos54

cos36

cos18

42
13
()
42
2cos18

cos3 6

cos72

cos54

42

1 3
()
42
2cos18

cos36

si n18

cos54

42
13
()
43
2sin72

cos54

42
13
()
43
2cos18

sin36

42
1
又(cos18

sin36

)
2
(1cos36

)(1cos72

)

4
1
(1 cos36

cos72

cos36

cos72< br>
)
4


1
(1cos36

cos72

)

4
5

16

即
cos18

sin36


5
.

4
所以
sin1

sin2


sin 89

()
45
610.

例7：证明：对任一自然数n及任意实数
x


1
4
m
，有

(k

0,1,2,
,n,m
为任一整数）
k
2
111
cot xcot2
n
x.

n
sin2xsin4x
sin2x
【思路分析】本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，
并 希冀能消去其中许多中间项.
12cos
2
xcos2x2cos
2xcos2x
【证明】
cotxcot2x,

sin2xsin2x2sinxcosxsin2x
1
同理
cot2xcot4x

sin4x
……

1
n1n
cot2xcot2x

n
sin2x
【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
tan

tan2

tan2

tan3

tan(n1 )

tann


tann

n
. < br>tan


tan

2tan2

 2
2
tan2
2



2
n
t an2
n

cot

2
n1
cot2
n1

.

111



c os1cot1

cos0cos1cos1cos2cos88cos89
例8：证明：
sin

sin(



)s in(

2

)sin(

n

)
sin(


nn1

)sin

22
.

sin

2
【证明】
sin

sin

1

[cos(

)cos(

)],

2222
类似地sin(



)sin

13

[cos(



)cos(
< br>)],
2222

153
sin(

2

)sin[cos(



)cos(



)],
2222



12n12n1
sin(

n

)sin[cos(

< br>
)cos(



)],
2222
< br>各项相加得,sin

2
[sin

sin(
< br>

)sin(

2

)

sin(

n

)]

12n1

[cos(



)cos(

)]
22 2

nn1
sin

(

)s in

.
22
所以，
sin

sin(



)sin(

n

)
sin(


nn1

)sin

22
.

sin

2
【评述】①本题也可借助复数获证.
② 类似地，有
cos

cos(



)c os(

n

)
sin
n1n

c os(



)
22
.

sin

2


利用上述公式可快速证明下列各式：
nn1
sin

cos

22

cos

cos2

cos3

cosn
< br>

sin
2

351
cos
cos

.
9772


3571coscos

cos

cos

等.
99992
cos

针对性训练题
1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°.
2． 证明：
sin(2



)sin

2cos(



).

sin

sin

3．已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0.
求证：sin2A+sin2B+sin2C=0，cos2A+cos2B+cos2C=0.
4． 已知

(0,

),求证:sin


5．已知
0


11
sin2

sin3
< br>0.

23



2
,且tan

3tan

,求



的最大值.

6．已知

、

、

、

( 0,),且









.求ysin

sin

sin

sin

的最大值.
2
7．△ABC中，C=2B的充要条件是
cbab.

8．△ ABC中，已知
sinA
、
sinB
、
sinC
成等差数列 ，求证：
cotA
、
cotB
、
cotC
也
成等差 数列.
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
2bac
，求B的最大值.
10．若

、

(0,
11．求函 数
y
12．求函数
y

222
22

2
),
能否以
sin

、
sin

、sin(



)
的值为边长构成一个三角形.
2x83x
的值域.
x
1x
2
2x2
的值域.
2