我的swot分析-实验心得体会

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第六讲 代数式的求值
代数 式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化
简再求值，特别是有附加条件的代数式求 值问题，往往需要利用乘法公式、
绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等 等，
经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，
求值中的方法技 巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合
例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被
采用．

分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，
将会很麻烦．我们可以先将所求的 代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解 已知条件可变形为3x
2
+3x-1=0，所以
6x
4
+15x
3
+10x
2

=(6x4
+6x
3
-2x
2
)+(9x
3
+9x2
-3x)+(3x
2
+3x-1)+1
=(3x
2
+3x-1)(2z
2
+3x+1)+1
=0+1=1．
说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时
要尽 可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再
将已知的代数式的值整体代入，会 使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a
2
+b
2
+c
2
=1，①

求a+b+c的值．
解 将②式因式分解变形如下

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即


所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
(a+b+c)
2
=a
2
+b< br>2
+c
2
+2(bc+ac+ab)
=a
2
+b
2
+c
2
=1，

所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明 本题也可以用如下方法对②式变形：

即


前 一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终
都是将②式变形为两个式子之积等 于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x
3
+y
3
=n，m≠0，求x
2
+y
2
的值．
解 因为x+y=m，所以
m
3
=(x+y)
3
=x
3
+y
3
+3xy(x+y)=n+3m·xy，

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所以


求x
2
+6xy+y
2
的值．
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值
正好是一对共轭无理数，所以很容 易计算出x+y与xy的值，由此得到以
下解法．
解 x
2
+6xy+ y
2
=x
2
+2xy+y
2
+4xy
=(x+y)
2
+4xy

3．设参数法与换元法求值

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些
参数(也叫 辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可
把代数式中某一部分式子，用另外的一个 字母来替换，这叫换元法．

分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示
连比的比值，以便把它们分割成几个等式．

x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．

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u+v+w=1，①


由②有


把①两边平方得
u
2
+v
2
+w
2
+2(uv+vw+wu)=1，
所以u
2
+v
2
+w
2
=1，
即

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两边平方有

所以


4．利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求
值中经常被使用．
例8 若x
2
-4x+|3x-y|=-4，求y
x
的值．
分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求
值，但仔细挖掘题中 的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x
2
-4x+|3x-y|=-4，所以
x
2
-4x＋4＋|3x-y|=0，
即 (x-2)
2
+|3x-y|=0．

所以 y
x
=6
2
=36．
例9 未知数x，y满足

(x
2
＋y
2
)m
2
-2y(x+n)m+y
2
+n
2
=0， 其中m，n表示非零已知数，求x，y
的值．
分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变
形，经过配方之后，看 是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m
2
x2
+m
2
y
2
-2mxy-2mny+y
2
+ n
2
=0，
(m
2
x
2
-2mxy+y2
)+(m
2
y
2
-2mny+n
2
)=0， 即 (mx-y)
2
+(my-n)
2
=0．

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5．利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，
这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：

分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解 根据分式的基本性质，分子、 分母可以同时乘以一个不为零的式
子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四 个
相同．

同理

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分析 计算时应注意观察式子 的特点，若先分母有理化，计算反而复
杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性 是
分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．

同样(但请注意算术根！)


将①，②代入原式有



练习六

2．已知x+y=a，x
2
+y< br>2
=b
2
，求x
4
+y
4
的值．

3．已知a-b+c=3，a
2
+b
2
+c
2
=29，a
3
+b
3
+c
3
=45，求ab(a+b)+b c(b+c)+ca(c+a)
的值．

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5．设a+b+c=3m，求(m-a)
3
+(m-b)
3
+(m-c)
3
-3(m-a)(m-b)(m-c)的值 ．


8．已知13x
2
-6xy+y
2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．




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