西安航天职工大学-验收报告范文

全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
兰州一中数学组
第十三讲：联赛训练之平面图形 立体图形 空间向量
一,基础知识导引
<一>,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法
1,运用定义证明(有时要用反证法); 2,运用平行关系证明;
3,运用垂直关系证明; 4,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明.
例如,在证明:直线
a
直线
b
时.可以这样考虑
(1) ,运用定义证明直线
a
与
b
所成的角为
90
0
; (2),运用三垂线定理或其逆定理;
(3),运用“若
a
平面

,
b

,则
ab
”; (4),运用“若
bc
且
ac
,则
ab
”;
(5),建立空间直角坐标系,证明
v
a
v
b0
.
<二>,空间中的角和距离的计算
1,求异面直线所成的角
(1),(平移法)过 P作
a
'
a
,
b
'
b
,则
a'
与
b
'
的夹角就是
a
与
b
的夹角;
(2),证明
ab
(或
ab
),则
a
与
b
的夹角为
90
0
(或
0
0
);
(3) ,求
v
a
与
v
b
所成的角(

[0,< br>
]
),再化为异面直线
a
与
b
所成的角(

(0,

2
]
).
2,求直线与平面所成的角 (1),(定义法)若直线
a
在平面

内的射影是直线
b
,则
a
与
b
的夹角就是
a
与

的夹角;
(2),证明
a

(或
a

),则
a< br>与

的夹角为
90
0
(或
0
0
);
(3)求
v
a
与

的法向量
v
n
所成的角

,则
a
与

所成的角为
90
0


或

90
0
.
3,求二面角 < br>(1),(直接计算)在二面角

AB

的半平面
内任取一点
PAB
,过P作AB的垂线,
交AB于C,再过P作
< br>的垂线,垂足为D,连结CD,则
CDAB
,故
PCD
为所求的二 面角.
(2),(面积射影定理)设二面角

AB

的大小为

(

90
0
),平面

内一个平面图 形F
的面积为
S
S
2
1
,F在

内的射 影图形的面积为
S
2
,则
cos


S
.(当

为钝角时取“

”).
1
(3),(异面直线上 两点的距离公式):
EF
2
d
2
m
2
n2
2mncos

,其中

是二面角

 AB

的平面角,EA在半平面

内且
EAAB
于点A ,BF在半平面

内且FB



33

< br>AB于B,而
ABd
,
EAm
,
FBn
. < br>(4),(三面角的余弦定理),三面角
SABC
中,
BSC

,
CSA

,
ASB

,又二面角 BSAC

,则
cos


cos
< br>cos

cos

.
sin

sin< br>
uvuuv
(5),(法向量法)平面

的法向量
n
1
与平面

的法向量
n
2
所成的角为

,则所求的二面角为


(同类)或



(异类).
4,求两点A,B间距离
uuuv
(1),构造三角形进行计算; (2),导面直线上两点间的距离公式; (3),求
AB
.
5,求点到直线的距离
(1),构造三角形进行计算; (2),转化为求两平行红色之间的距离.
6,求点到平面的距离
(1),直接计算从点到平面所引垂线段的长度; (2),转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;
(3),(体积法)转化为求一个棱锥的高
h
3V
,其中V为棱锥体积,S为底面面积,
h
为底面上的高.( 4),在
S
uuuv
平面上取一点A,求
AP
与平面的法向量
n
的夹角的余弦
cos

,则点P到平面
的距离为
dAPcos

.
7,求异面直线的距离
(1)(定义法)求异面直线公垂线段的长; (2)(体积法)转化为求几何体的高;
(3)(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;
(4)(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;
(5)(射影 法)如果两异面直线
a,b
在同一平面内的射影分别是一个点P和一条直线
l
,
则
a
与
b
的距离等于P到
l
的距离; (6)(公式法)
dEFmn2mncos

.
8,求平行的线线,线面,面面之间的距离的方法,通常是转化为求点与线或点与面之间的距离.
<三>,多面体与旋转体
1,柱体(棱柱和圆柱)
(1)侧面积
S
侧
cl
(
c
为直截面周长,
l
为侧棱或母线长)(2 )体积
VSh
(
S
为底面积,
h
为高)
2,锥体(棱锥与圆锥)
2222
uuuv
1
ch
'< br>(
c
为底面周长,
h
'
为斜高)(2)圆锥的侧面积:
S
侧


rl

2
1
(
r为底面周长,
l
为母线长)(3)锥体的体积:
VSh
(
S< br>为底面面积,
h
为高).
3
(1)正棱锥的侧面积
S
侧

S
1
h
1
2
V
1
h
1
3
,
3,锥体的平行于底面的截面性质:.
Sh
2
Vh
3

34

4,球的表面积:
S4

R
; 球的体积:
V
2
4

R
3
.
3
二,解题思想与方法导引
1,空间想象能力; 2,数形结合能力; 3,平几与立几间的相互转化; 4,向量法
三,习题导引
<一>,选择题
1,正四面体的内切球和外接球的半径之比为
A,1:2 B,1:3 C,1:4 D,1:9
2,由曲线
x4y
,
x4y
,
x4
,x4
围成的图形绕
y
轴旋转一周所得的几何体的体
22
积 为
V
1
;满足
xy16
,
x(y2)4
,
x(y2)4
的点
(x,y)
组成的图形绕
222222
y
轴旋转一周所得的几何体的体积为
V
2
,则
12
V
2
B,
V
1
V
2
C,
V
1
V
2
D,
V
1
2V
2

23
3,如右图,底面半径< br>r1
,被过A,D两点的倾斜平面所截,截面是离心
A,
V
1

率为
D
2
的椭圆,若圆柱母线截后最短处
AB1
,则截面以下部分的
2
A
C
B
几何体体积是
A,
2
3

)

B,
2

C,

D,
(1
2
2
4,在四面体ABCD中,设
AB1
,
CD3
,直线AB与CD的距离为2,夹角为
面体ABCD的体积等于
A,

,则四
3
33
11
B, C, D,
23
23
5,三个圆柱侧面两两相切,且它们 的轴也两两相互垂直,如果每个圆柱底面半径都是1,
那么,与这三个圆柱侧面都相切的最小球的半径是
A,
21
B,
215151
C, D,
224< br>6,四面体ABCD的顶点为A,B,C,D,其6条棱的中点为
M
1
,M2
,M
3
,M
4
,M
5
,M
6
,共10个
点,任取4个点,则这4个点不共面的概率是
A,
572447
B, C, D,
7103570
''''
<二>,填空题
7,正方体
ABC DABCD
的棱长为
a
,则异面直线C
D
与BD间的距离等于 .
0
8,正四棱锥
SABCD
中,
ASB45
,二 面角
ASBC
为

且
cos

mn
,(
m
,
'

35

n
为整数),则
mn
. < br>9,在正三棱锥
PABC
中,
ABa
,
PA2a
,过A作平面分别交平面PBC于DE.当截面

ADE
的周长最小时,
S
ADE

,P到截面ADE的距离为 .
10,空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这
四个球都相切,则这个小球的半径等于 .
11,三个
1212
的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分成A,B两
片,如图,把这六片粘在一个正六边形的外面,然后折成多面体,则这个
多面体的体积为 .
12,直三棱柱
A
1
B
1
C
1
AB C
中,平面
A
1
BC

平面
ABB
1A
1
,且
AC
=

A
B
3AA
1
,则AC与平面
A
1
BC
所成的角

的 取值范围是 .
<三>,解答题
13,如图,直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中,
ACBC
, 连接
AB
1
,
BC
1
,

CA
1
,若
AB
1
BC
1
,求证:
AB
1< br>CA
1







14,如图,设
SABCD
是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥,
K是棱SC的中点,过AK作平面与线段SB,SD分别交于M,N
(M,N可以是线段的端点).试求四棱锥
SAMKN
的体积V
的最大值与最小值.







C
1

B
1

A
1

C
B
S
N
D
A
A
K
M
B
C
15,有一个
mnp
的长方体盒子,另有一个
(m2)(n2)(p2)
的长方体盒子,
其中
m,n,p
均 为正整数(
mnp
),并且前者的体积是后者一半,求
p
的最大值.







36

四,解题导引
1,B 设棱长 为
a
,外接球的半径为R,内切球的半径为
r
,则
R
2(
3
a)
2
(
6
aR)
2
33

解得
R
6
4
a
,
r
63
a
6
4
a
6
12
a
,有
r
:R=1:3.
2,C 设
A(0,a)(a0)
,则过A的两个 截面都是圆环,面积分别是
(4
2
x
2
)

( 4
2
4a)

和

(x
22
{(42
a
2
)[2
2
(a2)
2
]}
(4
2
1
x
2
)

4a)

,于是
V
1
V
2
.
3,B 在椭 圆中
br1
,又
c
a

2
2
,得a2
,所求的体积
V

1
2
1
1< br>2
2
(

12)2


4,B 过 C作
CEAB
,以
CDE
为底面,BC为侧棱作棱柱
ABFEC D
,则所求四面体的体
积
V
1
1
等于上述棱柱体积V
2
的
3
,而
CDE
的面积
S
1
2
CECDsinECD
,AB与CD
的公垂线MN就是棱柱ABFECD
的高,于是
V
1
2

2
MN CECDsinECD
=

1
2
213
3
2

3
2
,因此
V
11
1
3
V
2

2
.
5,A 三个圆柱的轴为三条两两垂直的异面直线,而异面直线的距离都为2,则所求球的半径为

r21
.
6,D
C
44
10
6C6
63
14147
C
4

.
10
27070
7,
3
3
a
设E是
C D
'
上的点,过E作EH
DC
于H,所以EH

面ABC D,过H在面ABCD
内作HF
BD
,连接EF,所以EF

B D,令
DHx
,
HEax
,
FH
2
2x
,所以EF=
(ax)
2
(
2
2
3< br>2
32
2
2
x)
2
x2axa
2
2
(x
3
a)
a
2
3

3
3
a
.
8,5 因各侧面为全等的等腰三角形.在
SAB
内作高AE,则CE也是
SBC
的高,故

37

45
0
1

AEC

.设
SA1
则
AECE
2
,
ABBC2sin
222
2
,
ACABBC

=
8sin
2
45
0
2
4(1cos45)422
.
cos


AE
2
CE
2
AC
2
0
2AECE
38
,
得
mn385
.
9,
355
64
a
2

35
5
a
将三棱锥的侧棱PA剪开,当
ADE
的周长最小时,其展开图如图
ADE
的周长即是展开图中线段
AA
'
的长.易证
ABD

P
∽
PAB
,又PA=2AB=
2a
,故
ADAB2B Da
,
PDPBBD
3
2
a
,
DE< br>PD
PB
BC
3
4
a
.
ADE
中,
D
E A’
DE上的高
AHAD
2
(1
2
55
a
A
C
2
DE)
8
.于是
B
S
1355
2
ADE
AHDEa
; 从P向底面作高PO.则PO=
PA
2
AO
2
264
< br>=
(2a)
2
(
1
3
a)
2
< br>33
3
a
.于是
V
1333
2
11
3
PABC

3

3
a
4
a
12
a
.
又
S
2
PDE
PD9
S< br>
2

,得
V
APDE

9
V
9

11
a
3

311
a
3.设P到截面的距离
PBC
PB16
16
APBC
1612 64

为
d
,则
V
1
APDE
V3
dS
311
3
35
PADE

ADE

64
a
,于是
d
5
a
.
C
10,
6
11
设半径为3的球心为A,B,半径为2的球心为C,D.则易知
AB=6,CD=4,AC=AD=B C=BD=5.设小球中心为O,半径为
r
,则O在
F
O
B
四面体ABCD内且AO=BO=3+
r
,CO=DO=2+
r
.取 AB中点E,连结
CE,DE,则CE

AB,DE

AB,故平 面CDE为线段AB的垂直平分面

D
E
,所以O在平面CDE内,又由OC=OD=2+
r
知O在CD的垂直平
A
分面

内,故O在等腰
CED
底边CD上的高EF上(F为CD中 点),易算出ED=EC=
5
2
3
2
4
,得
ECD
为等边三角形.于是EF=
3
ED23
.而
OFOC< br>2
CF
2
2

=
(2r)
2
 2
2
r(4r)
.OE=
OA
2
AE
2(3r)
2
3
2
r(6r)
,代入OE+OF

38

6
=EF=2
3
得
r(4 r)r(6r)23
,解得
r
11
.
11,864 将几何体补成一个棱长为12的正方体,几何体的体积为正方体体积的一半,为
12
3
2
.
12,
0
0


30
0
作AD

A
1
B
于D,易证AD

平面
A
1
BC
,所以
ACD

.设
AA
1< br>a
,
ABx
,则
AD
ax
3asin< br>
,故
x
2
3a
2
sin
2
a
2
x
2

13sin
2

.易 证BC

平面
A
1
ABB
1
,
故
CBA90
0
,从而
ABAC
,即
x3a
,于是
0
3a
2
sin
2

13sin
2< br>
3a
2
,
sin


1
2,
又
0
0


90
0
,得
0
0


30
0
.
13,证明:设D,D
1
分别为AB,
A
1
B
1
的中点.连结CD ,
C
1
D
1
及
BD
1
,
DA1
.因为
BDD
1
A
1
,所以
四边形
BD
1
A
1
D
为平行四边形,得
BD
1

DA
1
.因AC=BC,于是
B
1
C
1
 C
1
A
1
.又D,
D
1
分别为
AB,
A
1
B
1
的中点,故CD

AB,
C1
D
1

A
1
B
1
,而
AB
1
在平面ABC(或
A
1
B
1
C
1
)内的射影为AB
(或
A
1
B
1
),得
AB< br>1

CD,
AB
1

C
1
D
1
,又已知
AB
1

BC
1
,所以
AB
1

平面B
C
1
D
1
,从而
AB
1


BD
1
,又
BD
1

DA
1
,所以
AB
1

DA
1
.又AB
1

C
1
D
1
,得
AB
1

平面
A
1
CD,从而得证.
14,解:为了建立V与原四棱锥
SABCD
的关系.我们先引用
下面的事实:
S
(如图)设
A
1
,B
1
,C
1
分别在三棱锥
SABC
的侧棱SA,SB,SC上,
H
1

C
1

A
1

又
SA
B
1

1
B
1
C
1
与
SABC
的体积分别是
V
1
和V,则
V
A
H
1
SA
1
SB
1
SC
1
C
V

SASBSC
.
B
事实上,设C,
C
1
H
1
SC
1
1
在平面SAB的射影分别是H,< br>H
1
.则
C
CH

SC
,
S1
SA
SA
CHS
SA
又
1
B
1
1
SB
1
S

,所以
V
1

3
11
1
B
1
SA
1
SB
1
SC
1
.下面回到原题.
SAB
SASB
V
1

3
CHS
SASBSC
SAB
设
SM
SB
x
,
SN
SD
y
,因
SA BCD
的体积为
V
1
0

3
32
2< br>4
.于是由上面的事实有
V

V
SAMN
< br>V
SKMN

V
SAMK
V
VSMSNSA
V

SANK
1
.得

SMSNSK
=
SABD
V
SCBD
V
SABC
V
S
2

SBSDSASBSDSC
2
V
0
 ADC

39

SMSKSASNSKSA
SBS CSA

SDSCSA
=
xy
1
2
xy
1
2
x
1
2
y
,于是
y
x< br>3x1
,
而由
0y
x
3x1
1
,
x1
,得
1x
2
x1
.则
Vxyx 
3x1
,(
1
2
x1
).
又得
V
'
1
13
(3x1)
2

x(3x2)
(3x1)
2
.所以
(1)当
1
2
x2
3
时,
V
'
0
,V为减函数,(2)当
2
3
x1
时,
V
'
0
,V为增函数.
所以得
V
min
V
x
2

4
3,又
V
33
3
x
1
V
x1
< br>,得
V
max
V
1
V
x1

.
2
2
x
2
2
15,解:由题意,
2mnp (m2)(n2)(p2)
,得
(1
2
m
)(1
22
n
)(1
p
)2
.
(1)当
m8时,由
mnp
,则
(1
2
m
)(1
2
n
)(1
2
p
)(1
2
8
)
3
2
,矛盾!
(2)当
m2
时,
(1
2
m
)(1
2
n
)(1
2
p
)2,矛盾!
(3)当
m3
时,则
6np5(n2)(p2),即
(n10)(p10)120
.
所以
p
的最大值为130;
(4)当
m4
时,则
4np3(n2)(p2)
,即
(n6)(p6)48
.
所以
p
的最大值为54;
(5)当
m5
时,
( 1
222
p
)
,得
p98
.
(1
2
m
)(1
2

n
)(1
2
5)(1
2
5
)
综上所述:
p
的最大值为130.
[参考题]
(如图)在棱长为1的正方体ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
D
1

C
1

(1)求异面直线
A
0
A
1

B
1

1
B与
B
1
C所成的角的大小;(
60
)
(2)求异面直线
A
3
1
B与
B
1
C之间的距离 ;(
3
)
D
C
(3)求直线
A
所成的角的大小;(
30
0
)
A
B
1
B与平面
B
1
CD
(4)求证:平面
A
1
BD平面C
B
1
D
1
;(略)
( 5)求证:直线A
C
1

平面
A
1
BD;(略) (6)求证:平面AB
C
1

平面
A
1
BD;(略 )

40

(7)求点
A
1
到平面CB
1
D
1
的距离;(

36
)(8)求二面角
A
1

B
1
C
D
1
的大小.(
arccos
)
33

41