新加坡国立大学研究生-廉洁自律自查报告

学科教师辅导讲义
学员编号：
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授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：四年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第01讲——寻找规律

P实战演练 S归纳总结
发现排列规律，并依据规律填写数字或算式。

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理

按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列： 2，4，6，8，……
我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空 缺的数。观察是解决问题的
根据。通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可 以从以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
对于较复杂的按规律填数的问题，我们可以从以下几个方面来思考：
1.对于几列数组成的 一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综
合运用其他知识，一种 方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的 变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我
们解这类题的突破口。
3.对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。
典例分析

考点一:发现数列规律
例1、填上合适的数。
（1）3，6，9，12，（ ），（ ）
（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）
（3）2，6，18，54，（ ），（ ）
【解析】（1 ）前一个数加上3就等于后一个数，也就是相邻两个数的差都是3.根据这一规律，可以后推知括
号里填 15和18.
（2）第一个数增加1等于第二个数，第二个数增加2等于第三个数，也就是每相邻两 个数的差依次是
1,2,3,4....，这样下一个数应比11大5，填16；再下一个数应比16大 6，填22.
（3）后一个数是前一个数的3倍，162和486

例2、找出规律，再在括号里填上合适的数。
（1）15，2，12，2，9，2，（ ），（ ）
（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）
（3）3，4，7，3，4，10 , 3 , 4 ,13，（ ），（ ）
（4）187，286，385，（ ），（ ）
【解析】（1）第一个数减3 是第三个数，第三个数减3是第5个数，第二、第四、第六个数不变。应填6,2. （2）
第一个数减 3是第三个数，第三个数减3是第5个数；第二个数加1是第四个数，第四个数加1是第六个数。
应填1 2, （3）每三个为一组，每组中的前两个数都是3,4，每组的第三个数都等于前一组第三个数加上3的和。
填3, 4，16（4）每个数十位上的数字8不变，百位上的数字依次是1,2,3....,个位上 的数字依次是7,6,5.....，并
且百位上的数字与个位上的数字的和是8，应填484,583

例3、 1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什么数？
【解析】经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始 ，每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，
括号里应填的数为：8+13=21或34－13 =21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
例4、下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）
【解析】经仔细观察、分析，不难发现：每个 括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律，□里所填
的数应为：12－9=3

考点二：发现规律填写图形内空缺的数
例1、根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。

（1）






（3）



9
12
3
4
27
36


5 10
9 14

7 12 9
13

14
11 16
(2)
8
4
16
2
8
7
14
9
443
36 12

【解析】（1） 横着看，图形中右边的数比左边的数多5；竖着看，下面的数比上面的数多4；斜着看，和相等。
根据这 一规律，应填18.
（2）通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:4×8÷2=16 ,7×8÷4=14，也就是说中心的数等
于上面的数与左下方的数的乘积除以右下方的数。9×4÷3 =12，应填12
（3）因为9x(9÷3)=27，12x(12÷4)=36，所以36x(36÷12)=108。

例2、按规律填数。


23 31 41 23 35

24
2541 4643

【解析】 通过观察可以发现 前两个图形里的数之间有一定的联系：左上方的数十位上的数字和右上方的数个
位上的数字分别与下面的 数的千位、个位上的数字相同，左上方的数十位上的数字分别与右上方的数十位上的
数字之和与下面的数 百位上的数字相同，左上方的数个位上的数字与右上方的数个位上的数字之和与下面的数
十位上的数字相 同。根据这一规律，应填3594.

例3、根据下表中的排列规


律，在空格里填上适当的数。

【解析】经仔 细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。

例4、根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？



【解析】经仔细观察、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4×20÷10=8
根据这一规律，第三个圈中右下角应填的数为：8×30÷10=24.

考点三：根据规律速求复杂算式的值
例1、先计算下面一组算式的第一题，然后找 出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9= 12345679×18=
12345679×54= 12345679×81=
【解析】题中每个算式的第一个因数都是12345679，它是有趣的“ 缺8数”，与9相乘，结果是由九个1组成
的九位数，即：111111111。不难发现，这组题得数 的规律是：只要看每道算式的第二个因数中包含几个9，
乘积中就包含几个111111111。
因为：12345679×9=111111111
所以：12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666 12345679×81=12345679×9×9=999999999.


例2、找规律计算。（1） 81－18=（8－1）×9=7×9=63
（2） 72—27=（7－2）×9=5×9=45
（3） 63－36=（□－□）×9=□×9=□
【解析】6:；3；27经仔细观察、分析可以发现：一个 两位数与交换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，
只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是 这两个数的差。

例3、计算（1）26×11 （2）38×11

【解析】一个两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两 个数字中间，就是所求的积。（1）
26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418
注意：如果两个数字的和满十，要向前一位进一。

例4、下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：
（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？
【解析】分析一：
数组的第1个分量依次是：1，2，3…构成等差数列，所以第 100个数组中的第 1个数为100；
数组的第2个分量 3，6，9…也构成等差数列，所以第100个数组中的第2个数为3×100=300；
同理，第3 个分量为5×100=500，所以，第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
解： 第100个数组内三个数的和为100+300+500=900。
分析二：
以不去求组里的三个数而直接求和，考察各组的三个数之和。
第1组：1+3+5=9，第2组：2+6+10=18 第3组：3+ 9+ 15= 27…， < br>9，18，27…构成一等差数列，第100项为9×100=900，即第100个数组内三个数的和为 900。
解：9×100=900，即第100个数组内三个数的和为900。
考点四：用周期规律解决数学问题
例1、 求67
999
的个位数字。 < br>【解析】因为67的个位数是7，所以67
n
的个位数随着n的增大，按7，9，3，1 四个数的顺序循环出现。
999÷4＝249……3，
所以67
999
的个位数字与73的个位数字相同，即67
999
的个位数字是3。
例2、求2
91
+3
291
的个位数字。
【解析】因为2
n
的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291 的个位数字
与23的个位数字相同，等于8。类似地，3
n
的个位数字按3，9，7， 1四个数的顺序循环出现，
291÷4＝72……3， 所以3
291
与3
3
的个位数相同，等于7。
最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3、求下式除法运算所得的余数：
5
55
÷3。
【解析】 因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求5
55
的个位数的方法求解。为了寻 找5n÷3

的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：

注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘 以5后，再除以3
去求。比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相 同。这是因为52＝3×8+1，其
中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）× 5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与
1×5除以3的余数相同。由上表看 出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27……1
知，555 ÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2。

例4、某种细菌每小时分裂一次，每次1个细 茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩
下几个细菌？
【解析】1时 后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌，所以本题相
当于“求320÷7的余数”。将3的各次方除以7的余数列表，由表看出，3n÷7的余数以六个数为 周期循环出现。
由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2。所以最后 还剩2个细菌。最后再说明一点，
an÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为 所得余数必然小于b，所以在b个数以内必
会重复出现。


P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1、在括号内填上合适的数。
（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）
（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）
（3）2，8，32，128，（ ），（ ）
【解析】（1）12；14（2）26;37 （3）512;2048

2、按规律填数。

（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）
（2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）
（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）
【解析】（1）8;1 （2）81;2 （3） 9;6

3、找出排列规律，在空缺处填上适当的数。
（1）





3
5
7
9

8 12 12 16
14

10 14 < br>(2)
8
7
28
6
9
27
8
4【解析】（1）18
（2）16；通过观察可以发现前两个图形中的数之间有这样的关系:7 ×8÷2=28；9×6÷2=27
也就是说右下角数字等于三角形上面数字与左下角数的乘积除以2


4、先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）0，1，4，15，56，（ ）
【解析】（1）26，42 后一位数字等于前两位数字之和
（2） 3,1 后一位数字等于前两项数字之差
（3）209 1×4-0=4 4×4-1=15 15×4-4=56 56×4-15=209

5、求以下除法运算所得的余数。
7855÷5
4
＝
13……3
知，
7855
的个位数与< br>83
的个位数相同，等于
2
，所以
7855
可分解为
10×a
【解析】（
1
）由
55÷
a
能被
5
整除，所以
7855
除以
5
的余数是
2
。

＋
2
。因为
10×

6、在方框内填出合适的数。




【解析】（1）13；9+7=16 16+5=21 4+9=13
（2）2； 8+10+12=30 5+9+16=30 17+11+2=30
（3）20；12-12÷4=9 35-35÷7=30 24-24÷6=20

7、找规律，写得数。
1+0×9= 2+1×9= 3+12×9= 4+123×9= 9+12345678×9=
【解析】1；11；111；1111；111111111


8、利用规律计算。
（1）53－35 82－28 92－29 87+78 61－16 95－59 39×11 46×11
（2） 根据 62+26=（6+2）×11=8×11=88，计算87+78=
【解析】（1）18；54；63；165；45；429；506
（2）165

9、求28
128
-29
29
的个位数字。
【 解析】由128÷4＝32知，28
128
的个位数与84的个位数相同，等于6。由29÷2 ＝14……1知，29
29
的个位数
与91的个位数相同，等于9。因为6＜9，在减 法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

➢ 课后反击
1、在括号内填上合适的数。
（1）1，5，25，125，（ ），（ ）
（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）

（3）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）
（4）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）
（5）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）
【解析】（1）625；3125
（2）7;9; 乘积均为24
（3）13；每组数两数之差均为2
（4）42；每组数两数之商均为2
（5）4；每组数两数之积均为48





2、根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。



【解析】15；可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：3×6÷2=9
5×12÷2=30 5×12÷2=30 3×10÷2=15

3、根据规律，在空格内填数。
（1）198，297，396，（ ），（ ）
（2）

32 54

21 45

32

57
3864 2665

【解析】（1）495,594 （2）3897

4、下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，3）
（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）

（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）
（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）
【解析】（1）12;
（2）6; 乘积均为24
（3）21；每对括号里的数，前一个和后一个差分别是 18-17=1 = 1的平方 14-10=4 = 2的平方 10-1=9 = 3的
平方 所以□ -5= 4的平方16+5=21
（4）17；3=2×2-1 ,9=5×2-1 13=7×2-1 ,9×2-1=17
（5）14；每组两数之差依次是1,2,3,4



5、找规律，写得数。
1×1= 11×11= 111×111= 111111111×111111111=
【解析】1； 121； 12321；654321

6、利用规律计算。
（1）61－16 （2）95－59
（3）39×11 （4）46×11
【解析】（1）45；（2）36；（3）429；（4）506

7、求291+3291的个位数字。
【解析】因为
2n
的个位数字按2
，
4
，
8
，
6
四个数的顺序循环出现，91
÷
4
＝
22
……
3
，所以，
29 1
的个位数字
与
23
的个位数字相同，等于
8
。

类似地，
3n
的个位数字按
3
，
9
，
7
，
1
四个数的顺序循环出现，

291
÷
4
＝
72
……
3
，

所以
3291
与
33
的个位数相同，等于
7
。
< br>最后得到
291+3291
的个位数字与
8+7
的个位数字相同，等于
5
。

直击赛场
考

1、下面是一组被打乱的数字，在被打乱之前它们之间有一个非常有趣的规律。你试着找找看，然后按其 原有
的规律重新把下面的数字排列起来，并说明原来的规律是什么。（启智杯2010）
3, 5, 13, 21, 1, 1, 2, 8
【解析】答案不唯一：1，1，2，3，5，8，13，21.或21，13，8，5，3，2，1，1



S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

名师点拨

整数a与它 本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的
三 次方，记作a3，即a3＝a×a×a。一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即

我们需要掌握an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。
因为积的个 位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a
的个位数只 有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数a自乘n次后，乘 积的个位数字的变化规律，我们可以列出表格，看看a，a2，a3，a4，…
的个位数字各是什么。从 表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：
（1）当a的个位数是0，1，5，6时，an的个位数仍然是0，1，5，6。
（2）当a 的个位数是4，9时，随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个
位数是4 时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。
（3）当a的个位数是 2，3，7，8时，随着n的增大，an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a
的个位数是2时 ，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a
的个 位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现。

学霸经验

➢ 本节课我学到









➢ 我需要努力的地方是