张家口学院-客户经理的职责

初中数学竞赛辅导 含答案




初中奥数辅导讲义
培优计划（星空课堂）
















1

初中数学竞赛辅导 含答案


第一讲 走进追问求根公式
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
第三讲 充满活力的韦达定理
第四讲 明快简捷—构造方程的妙用
第五讲 一元二次方程的整数整数解
第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
第七讲 化归—解方程组的基本思想
第八讲 由常量数学到变量数学
第九讲 坐标平面上的直线
第十讲 抛物线
第十一讲 双曲线
第十二讲 方程与函数
第十三讲 怎样求最值
第十四讲 图表信息问题
第十五讲 统计的思想方法
第十六讲 锐角三角函数
第十七讲 解直角三角形
第十八讲 圆的基本性质
第十九讲 转化灵活的圆中角



2

初中数学竞赛辅导 含答案


第二十讲 直线与圆
第二十一讲 从三角形的内切圆谈起
第二十二讲 园幂定理
第二十三讲 圆与圆
第二十四讲 几何的定值与最值
第二十五讲 辅助圆
第二十六讲 开放性问题评说
第二十七讲 动态几何问题透视
第二十八讲 避免漏解的奥秘
第二十九讲 由正难则反切入
第三十讲 从创新构造入手












3

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第一讲 走进追问求根公式
形如
ax
2
bxc0
（
a0
）的方程叫一元二次方 程，配方法、公式法、因式分解法是解一元
二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、 最具有一般性的方法。
求根公式
x
1,2
bb
24ac

内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了
2a< br>一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接
求解可 能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，
从而使问题易 于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】
【例1】满足
(n
2
n1)
n2
1
的整数n有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设
x
1
、
x
2
是二次方程
x
2
x3 0
的两个根，那么
x
1
3
4x
2
2
1 9
的值等于（ ）
A、一4 B、8 C、6 D、0 思路点拨：求出
x
1
、
x
2
的值再代入计算，则计算繁 难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多
项式降次，如
x
1
2
 3x
1
，
x
2
2
3x
2
。
【例3】 解关于
x
的方程
(a1)x
2
2axa0
。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分
a10
及
a10
两种 情况讨论。
【例4】 设方程
x
2
2x140
，求满足该方程的所有根之和。
思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。
【例5】 已知实数
a
、
b
、
c
、
d互不相等，且
abc
1
b
1
c
11
dx
， 试求
x
的值。
da
思路点拨：运用连等式，通过迭代把
b
、
c
、
d
用
a
的代数式表示，由解方程求得
x
的值。
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程
ax
2
bxc0
（
a0
）直接作零值多项式代换；
(2)把方 程
ax
2
bxc0
（
a0
）变形为
ax< br>2
bxc
，代换后降次；
(3)把方程
ax
2
bxc0
（
a0
）变形为
ax
2
bxc< br>或
ax
2
cbx
，代换后使之转化关系
或整体地消去< br>x
。

4

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解合字母系数方程
ax
2
bxc0
时，在未指明方程类型时，应分a0
及
a0
两种情况讨论；
解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到 绝对值一些性质，如
xx
2
x
2
。
2

5

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走进追问求根公式学历训练 1、已知
a
、
b
是实数，且
2a6b20
，那 么关于
x
的方程
(a2)x
2
b
2
xa1
的根
为 。
(x1)
3
 x
2
1
2、已知
x3x20
，那么代数式的值是 。
x1
2
3、若
x
2
xyy14
，y
2
xyx28
，则
xy
的值为 。
4、若两个方程
x
2
axb0
和
x
2
bxa0
只有一个公共根，则( )
A、
ab
B、
ab0
C、
ab1
D、
ab1

5、当分式
1
x3x4
2
有意义时，
x
的取 值范围是( )
A、
x1
B、
x4
C、
1x4
D、
x1
且
x4

6、方程
(x1)x1xx10
的实根的个数是( ) A、0 B、1 C、2 D、3
7、解下列关于
x
的方程：
(1)
(m1)x
2
(2m1)xm30
； (2)
x2x10
； (3)
x
2
4x562x
。




8、已知
x
2
2x20
，求代数式
(x 1)
2
(x3)(x3)(x3)(x1)
的值。




9、是否存在某个实数m，使得方程
x
2
mx2 0
和
x
2
2xm0
有且只有一个公共的实根?如果
存 在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注： 解公共根问题的
基本策略 是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，
可设出公共根，设 而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。



6

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10、若x
2
5x10
，则
2x
2
9x3
5
x1
2
＝ 。
11、已知
m
、n
是有理数，方程
x
2
mxn0
有一个根是
5 2
，则
mn
的值为 。
12、已知
a
是方程
x
2
x20000
的一个正根。则代数式
3
2000
的值为 。
2000
1
2000
1
a
13、对于方程
x2 2x2m
，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于( )
A、1 B、2 C、
3
D、2．5
14、自然数
n
满足
(n
2
2n2)
n
2
47
(n2
2n2)
16n16
，这样的
n
的个数是( )
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知
a
、
b
都是负实数，且
A、
111b
， 那么的值是( )

abab0a
5115
15
15
B、 C、 D、
222
2
x
4
6x3
2x
2
18x23
x
2
8x15
16、已知
x1983
，求的值。
17、已知m、n是一元二次方程
x
2
2001x70
的两个根，求
(m
2
2000m 6)(m
2
2002n8)
的值。




18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边
n
等分， 然后将每个顶
点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为






7
1
，求
n
的值。
3281

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19、已知方程
x< br>2
3x10
的两根

、

也是方程
x
4
px
2
q0
的根，求
p
、
q的值。





20、如图，锐角△ABC中，P QRS是△ABC的内接矩形，且S
△
ABC
=
n
S
矩形< br>PQRS
，其中
n
为不小于3的
自然数．求证：


BS
需为无理数。
AB


8

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参考答案


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第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行< br>里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实
数 根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，
在以下方 面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题求解】
【例1】 已知关于
x
的一元二次方程
(12k)x
2
 2k1x10
有两个不相等的实数根，那么
k
的
取值范围是 。 (广西中考题)
思路点拨：利用判别式建立关于
k
的不等式组，注意< br>12k
、
k1
的隐含制约。
注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二 次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运
用方程、不等式的知识。
【例2】 已知三个关于
y
的方程：
y
2
ya0，
(a1)y
2
2y10
和
(a2)y
2< br>2y10
，若其
中至少有两个方程有实根，则实数
a
的取值范围 是( ) （山东省竞赛题）
A、
a2
B、
a
11
或
1x2
C、
a1
D、
a1

44
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分 类讨论人手，解关于
a
的不等式组，综
合判断选择。
【例3】 已知关于
x
的方程
x
2
(k2)x2k0
，
(1)求证：无论
k
取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三 角形△ABC的一边长
a
＝1，另两边长
b
、c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周
长。 (湖北省荆门市中考题)
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分
bc
或
b
、
c
中有一个与c
相等两种情况讨论， 运用判别式、根的定义求出
b
、
c
的值。

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注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求 解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类
题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。
【例4】 设方程
x
2
ax4
，只有3个不相等的实数根，求< br>a
的值和相应的3个根。
(重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有 3个不相等的实数根，
则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。




【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝
a
，DC＝
b
，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线
将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝
x
，问：这样的点E是否存在?若存在，
这样的点E有几个?请说明理由。 (云南省中考题)
思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满 足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可
设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△B EC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式
讨论点E的存在与否及存在的个数。






注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通 过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构
造方法有：
(1)利用根的定义构造；
(2)利用根与系数关系构造；
(3)确定主元构造。


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判别式——二次方程根的检测器学力训练 1、已知
a4b10
，若方程
kx
2
axb0< br>有两个相等的实数根，则
k
= 。
2、若关于
x的方程
x
2
2kx10
有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是 。
(辽宁省中考题)
3、已知关于
x
方程
x
2
2k4xk0
有两个不相等的实数解，化简
k 2k
2
4k4
= 。
4、若关于
x
的一元二次方程
(m2)
2
x
2
(2m1)x10有两个不相等的实数根，则
m
的取值范围
是( )
A、
m
B、
m
C、
m
3
4
3
4
3
3
且
m2
D、
m
且
m2
(山西省中考题)
4
4
5、已知一直角三角形的三边为
a
、
b
、
c
，∠B＝90° ，那么关于
x
的方程
a(x
2
1)2cxb(x
2< br>1)0
的根的情况为( )
A、有两个相等的实数根 B、没有实数根
C、有两个不相等的实数根 D、无法确定 (河南省中考题)
6、如果关于
x
的方程
(m2)x
2
2(m1)x m0
只有一个实数根，那么方程
mx
2
(m2)x(4m)0< br>的根的情况是( )
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、只有一个实数根 (2003年河南省中考题)
7、在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为
a
、
b
、
c
，已知
a3
，
b
和
c
是 关
于
x
的方程
x
2
mx 2m0
的两个实数根，求△ABC的周长。(济南市中考题)


< br>8、已知关于
x
的方程
x
2
2(2m)x36m0

(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
(2)如果方程的两实根分 别为
x
1
、
x
2
，满足
x
1
=3
x
2
，求实数
m
的值。(盐城市中考题)


1
2

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9、
a
、
b
为实数，关于
x
的方程x
2
axb2
有三个不等的实数根。
(1)求证：
a
2
4b80
；
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求
a
和
b
的值。 (江苏省苏州市中考题)




10、关于的两个方 程
x
2
4mx2m30
，
x
2
(2m 1)xm
2
0
中至少有一个方程有实根，则m的
取值范围是 。(2002年四川省竞赛题)
11、当
a
= ，
b
= 时，方程
x
2
2(1a)x(3a< br>2
4ab4b
2
2)0
有实数根。 (全国
初中数学联赛试题)
12、若方程
x
2
5xa
有且只有相异二实根，则
a
的取值范围是 。
13、如果关于
x
的方程
mx
2
2(m2)xm50
没有实数根，那么 关于
x
的方程
(m5)x
2
2(m2)xm0
的 实根的个数( ) A、2 B、1 C、0 D、不能确定
14、已知一元二次方程
x
2
bxc0
，且
b
、c
可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实
数根的方程共有( ) A、12个 B、10个 C、7个 D、5个 (河南省中考题)
15 、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程
ax
2
(c
2
a
2
b
2
)xb
2
0
，则方程根的情况是
( )
A、有两相等实根 B、有两相异实根 C、无实根 D、不能确定 (河北省竞赛题)
16、若a、b、c、d>0，证明：在方程
x
2
2abxcd0
①；
x
2
2bcxad0②；
1
2
1
2
1
2
1
x2cdx ab0
③；
x
2
2daxbc0
④中，至少有两个方程 有两个不相等的实数根。
22
(湖北省黄冈市竞赛题)


17、已知三个实数a、b、c满足
abc0
，abc＝1，求证： a、b、c中至少有一个大于


15
3
。
2

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18、关于
x< br>的方程
kx
2
(k1)x10
有有理根，求整数是的值。 (山东省竞赛题)



19、考虑方程
(x
2
10xa)
2
b
①
(1)若
a
=24，求一个实数
b
，使得恰有3个不同的实数
x
满足①式。
(2)若
a
≥25，是否存在实数
b
，使 得恰有3个不同的实数
x
满足①式?说明你的结论。 (国家理科
实验班招生试题)



20、如图，已知边长为
a
的正方形ABCD内接于 边长为
b
的正方形EFGH，试求
b
的取值范围。
a

16

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参考答案



17

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第三讲 充满活力的韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最
杰出的数学 家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它 与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，
而解这类问题常用到对称分析、构造等 数学思想方法。
【例题求解】
【例1】 已知

、

是 方程
x
2
x10
的两个实数根，则代数式

2


(

2
2)
的值为 。
思路点拨：所求代数式为

、

的非对称式，通过根的定义、一元二 次方程的变形转化为(例
【例2】如果
a
、
b
都是质数，且
a
2
13am0
，
b
2
13bm0
，那么
A、
3
B、或2 C、 D、或2
22222222
ba

的值为( )
ab

思路点拨：可将两个等式相减，得到
a
、
b
的关系，由于两个等式结 构相同，可视
a
、
b
为方程
x
2
13xm0
的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般 是关于
x
1
、
x
2
的对称式，这类问题可通过变形用
x
1
+
x
2
、
x
1
x
2
表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：
(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
m
2
【例3】 已知关于
x
的方程：
x(m2)x0

4
2
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根
x
1
、
x
2
满足
x
2
x
1
2
，求m的值及相应的
x
1
、
x
2
。


19

初中数学竞赛辅导 含答案
思路点拨：对于(2 )，先判定
x
1
、
x
2
的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设
x
1
、
x
2
是方程
2x2
4mx2m
2
3m20
的两个实数根，当m为何值时，x
1
2
x
2
2
有
最小值?并求出这个最小值 。
思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即 应用韦达定理解题时，须满
足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前 后问题的等价性。
【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于
x
的方程
17
x
2
2mx(m)
2
0
的两个根。
24
(1)当m＝2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由。
(2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABAB、CD的长．
思路点拨：对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求 出m值，还需运用与中点相关知识
找寻CD、AB的另一隐含关系式。





注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性 质将几何问题从
“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负 性．










20

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21

初中数学竞赛辅导 含答案
充满活力的韦达定理学历训练
1、(1)已知
x
1
和
x
2
为一元二次方程2x
2
2x3m10
的两个实根，并
x
1
和< br>x
2
满足不等式
x
1
x
2
1
，则 实数
m
取值范围是 。
x
1
x
2
4
(2)已知关于
x
的一元二次方程
8x
2
(m1)xm70
有两个负数根，那么实数
m
的取值范围
是 。
2、已知

、

是方程的两个实数根，则代数式

3


2


2


2
的值为 。
3、CD是Rt△ ABC斜边上的高线，AD、BD是方程
x
2
6x40
的两根，则△A BC的面积是 。
4、设
x
1
、
x
2
是关于
x
的方程
x
2
pxq0
的两根，
x
1
+1、
x
2
+1是关于
x< br>的方程
x
2
qxp0
的两根，则
p
、
q
的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x

的方程
x
2
7xc70
的两根，那么AB边上的中线长是( )
A． B．
3
2
5
C．5 D．2
2
p
的值是( )
(x
1
1)(x< br>2
1)
6、方程
x
2
px19970
恰有两 个正整数根
x
1
、
x
2
，则
A．1 B．-l C．

D．
1
2
1

2
7、若关于
x
的一元二次方程的两个实数根满足关系式：
x
1
(x
1
1)x
2
(x
2
1)(x
11)(x
2
1)
，判断
(ab)
2
4
是否正确?



8、已知关于
x
的方程
x
2
(2k3)xk
2
10
。
(1) 当
k
是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根
x
1
、
x
2
满足：
x
2
x
1
3
，求
k
的值。




22

初中数学竞赛辅导 含答案
9、已知方程
x
2
pxq0
的两根均为正整数，且
pq 28
，那么这个方程两根为 。
10、已知

、

是方程
x
2
x1 0
的两个根，则

4
3

的值为 。
11、△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程
2x
2
12xm0< br>的两根，则m的取值范围是 。
12、两个质数a
、
b
恰好是整系数方程的两个根，则
A．9413 B．
ba

的值是( )
ab
941394139413
C． D．
194 9997
13、设方程有一个正根
x
1
，一个负根
x
2，则以
x
1
、
x
2
为根的一元二次方程为( )
A．
x
2
3xm20
B．
x
2
3xm20

C．
x
2
14mx20
D．
x
2
14mx20

14、如果方程
(x1 )(x
2
2xm)0
的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值 范
围是( )
A．0≤m≤1 B．m≥ C．
m1
D．
3
4
3
4
3
≤m≤1
4
15、如图 ，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、BC(AB>BC)的长是关于
x
的方 程的两
个根。
(1)求rn的值；
（2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F， 求BE为何值时，△CEF的面积是△CED的面积的，请
说明理由．





16、设m是不小于
1
的实数，使得关于
x
的方程工
x
2
2(m2)xm
2
3m30< br>有两个不相等的
实数根
x
1
、
x
2
。
22
1
3
(1) 若
x
1
x
2



mx
1
2
mx
2
2

的最大值。
6
，求m的值。 （2）求
1x
1
1x
2
23

初中数学竞赛辅导 含答案


17、如图，已知在△A BC中，∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC
2
：BC< br>2
＝
2：1；又关于x的方程
x
2
2(n1)xm2
120
两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的
值。





18、设
a
、
b
、c
为三个不同的实数，使得方程和
x
2
ax10
和
x
2
bxc0
有一个相同的实数
根，并且使方程
x
2
xa0
和
x
2
cxb0
也有一个相同的实数 根，试求
abc
的值。
1
4

24

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参考答案


25

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26

初中数学竞赛辅导 含答案
第四讲 明快简捷—构造方程的妙用 有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是如果我们能构造一元二次方程，那么就能
运用一元 二次方程丰富的知识与方法辅助解题，构造一元二次方程的常用方法是：
1．利用根的定义构造
当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．
2．利用韦达定理逆定理构造
若问题中有形如
xya
，
xy b
的关系式时，则
x
、
y
可看作方程
z
2
azb0
的两实根．
3．确定主元构造
对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
成功的构造是建立在敏锐 的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明
快简捷、出奇制胜的效果．
注： 许多数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，
以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新
的形式 下获得简解，这就是解题中的“构造”策略，构造图形，构造方程、构造函数、构造反例
是常用构造方法 ．
【例题求解】
【例1】 已知
x
、
y
是正整数，并且
xyxy23
，
x
2
yxy
2
120< br>，则
x
2
y
2

．

思路点拨
x
2
y
2
(xy)
2
2xy
，变形题设条件，可视
xy
、
xy
为某个一元二次方程两 根，这样
问题可从整体上获得简解．



a90
及
9b
2
2001b50
，则【例2】 若
ab1
，且有
5a
2
2001
a
的值是( )
b
A．
9520012001
B． C．

D．


59
59

思路点拨 第二个方程可变形为
方程入手．

27
5
b
2

2001
90
，这样两个方程具有相同的结构，从利用定 义构造
b

初中数学竞赛辅导 含答案


【例3】 已知实数
a
、
b
满足
a
2
a bb
2
1
，且
taba
2
b
2
，求
t
的取值范围．

思路点拨 由两个等式可求出
ab
、
ab
的表达式，这样既可以 从配方法入手，又能从构造方程的
角度去探索，有较大的思维空间．

【例4】 已 知实数
a
、
b
、
c
满足
abc2
，
abc4
．
(1)求
a
、
b
、
c
中最大者的最小值；
(2)求
abc3
的最小值．

思路点拨 不妨设a≥b，a≥c，由条件得
bc2a
，
bc
通过△≥0探求
a
的取值范围，并以此为基础去解(2)．





注： 构造一元二次方程，在问题有解的前提下，运用判别式△≥0，建立含参数的不等式，
缩小范围逼近求解，在求字母的取值范围，求最值等方面有广泛的应用．
【例5】 试求出这 样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰
好等于这个四位数． (2003年全国初中数学联赛试题)
思路点拨 设前后两个二位数分别为
x
，y
，则有
(xy)
2
100xy
，将此方程整理成关于< br>x
(或
y
)
的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定< br>y
(或
x
)的取值范围．


学历训练 1．若方程
m
2
x
2
(2m3)x10
的两个 实数根的倒数和是
s
，则
s
的取值范围是 ．
4
．构造以b、c为实根的一元二次方程，
a

28

初中数学竞赛辅导 含答案
2．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5， CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程
x
2
(2m1)x4(m1) 0
的两个根，则m的值是 ．
3．已知
a
、
b
满足
a
2
2a10
，
b
2
2 b10
，则
ab

= ．
ba
4．已 知

2


10
，

2
< br>
10
，，则





的 值为( )
A．2 B．-2 C．-1 D． 0
5．已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若S
△
AOB
＝4， S
△
COD
＝9，则四边形ABCD的面
积S的最小值为( )
A．21 B． 25 C．26 D． 36
6．如图，菱形A6CD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于
x< br>的方程的
根，则m的值为( )
A．一3 B．5 C．5或一3 n一5或3


7．已知
p
2
2 p50
，
5q
2
2q10
，其中
p
、< br>q
为实数，求
p
2


8．已知
x
和
y
是正整数，并且满足条件
xyxy71
，
x
2< br>yxy
2
880
，求
x
2
y
2
的值．

9．已知
3m
2
2m50
，
5n
2
2n30
，其中m、n为实数，则
m

10．如果
a
、
b
、
c
为互不相等的实数，且满足 关系式
b
2
c
2
2a
2
16a14
与
bca
2
4a5
，
那么
a
的取值范围是 ．
11．已知
5x
2
2y
2
2xy14x10y170
，则
x
= ，
y
= ．；
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝b，AB＝c，若D、E分别是AB和AB延长线上的两
1
＝ ．
n
1
q
2
的值．
点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是 ．




29

初中数学竞赛辅导 含答案



13．已知< br>a
、
b
、
c
均为实数，且
abc0
，
abc2
，求
abc
的最小值．


a< br>2
bc8a70
14．设实数
a
、
b
、c
满足

22
，求
a
的取值范围．

bcbc6a60

15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，< br>1113
．

ADBC40
S
梯形ABCD
S< br>ABC

13
53
，梯形的高AE=，且
8
2 (1)求∠B的度数；
(2)设点M为梯形对角线AC上一点，DM的延长线与BC相交 于点F，当
S
ADM

CF、DF的长为根的一元二次方程．






16．如图，已知△ABC和平行于 BC的直线DE，且△BDE的面积等于定值
k
2
，那么当
k
2与△BDE
之间满足什么关系时，存在直线DE，有几条?



1253
，求作以
32
参考答案

30

初中数学竞赛辅导 含答案





31

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第五讲 一元二次方程的整数整数解
在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是 个热点，它将古
老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受 关注，
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：
从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；
从判别式手，运用判别式求出参数或解的 取值范围，或引入参数(设△=
k
2
)，通过穷举，逼近
求解；
从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、
因式分解 求解；
从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．
注 ：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，
又与整除、 奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．
【例题求解】
【例1】若关于
x< br>的方程
(6k)(9k)x
2
(11715k)x540
的解都是整数，则符合条件的整数是的
值有 个．
思路点拨 用因式分解 法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方
程两种情形讨论，这样确定是 的值才能全面而准确．



注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二 次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的
题设条件，看是否要分类讨论．
【例2】 已知
a
、
b
为质数且是方程
x
2
13xc0
的根，那么
A．
1
B． C． D．
22222222
ba

的值是( )
ab
思路点拨 由韦达定理
a
、
b
的关系式，结合整数性 质求出
a
、
b
、
c
的值．



【例3】 试确定一切有理数
r
，使得关于
x
的方程rx
2
(r2)xr10
有根且只有整数根．

32

初中数学竞赛辅导 含答案

思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当
r0
时，由根与系数关系 得到关于r的两
个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．



【例4】 当
m
为整数时，关于
x
的方程
(2m 1)x
2
(2m1)x10
是否有有理根?如果有，求出
m
的值；如果没有，请说明理由．
思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．
设△=
(2m1)
2
4( 2m1)4m
2
4m5(2m1)
2
4n
2
(
n
为整数)解不定方程，讨论
m
的存在性．





注：一元二次方程
ax
2
bxc0
(a≠0)而言，方程的 根为整数必为有理数，而△=
b
2
4ac
为完全
平方数是方程的根 为有理数的充要条件．
【例5】 若关于
x
的方程
ax
2
2(a3)x(a13)0
至少有一个整数根，求非负整数
a
的值．
思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的
a
的两个关系式中消去
a
也较困难，又因
a
的次
数低于
x
的次数，故可将原方程变形 为关于
a
的一次方程．








学历训练

33

初中数学竞赛辅导 含答案
1．已知关于
x
的方程
(a1)x
2
2xa10
的根都是整数，那么符合条件的整数
a
有 ．
2．已知方程
x
2
1999xm0
有两个质数解，则m＝ ．
3．给出四个命题：①整系数方程
ax
2
bxc0
(a≠ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有
理根；②整系数方程
ax
2
 bxc0
(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系
数方程
ax
2
bxc0
(a≠0)的根只能是无理数；④若
a
、< br>b
、
c
均为奇数，则方程
ax
2
bxc0没有有理数根，其中真命题是 ．
4．已知关于
x
的一元二 次方程
x
2
(2a1)xa
2
0
(
a
为整数)的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则
x
1
x
2
= ．
5．设rn为整数，且4< m<40，方程
x
2
2(2m3)x4m
2
14m80
有两个整数根，求m的值及
方程的根．(山西省竞赛题)
6．已知方程
ax
2
(3a
2
8a)x2a
2
13a150 (a≠0)至少有一个整数根，求
a
的值．
7．求使关于
x
的方程
kx
2
(k1)xk10
的根都是整数的
k
值．
8．当
n
为正整数时，关于
x
的方程
2x< br>2
8nx10xn
2
35n760
的两根均为质数，试解 此方程．
9．设关于
x
的二次方程
(k
2
6k8)x
2
(2k
2
6k4)xk
2
4
的两根都 是整数，试求满足条件的所
有实数
k
的值．
10．试求所有这样的正整数
a
，使得方程
ax
2
2(2 a1)x4(a3)0
至少有一个整数解．

11．已知
p
为质数，使二次方程
x
2
2pxp
2
5p10
的两根都是整数，求出
p
的所有可能值．

、
x
2

，且
x
1
x
2
>0，12．已知方程
x
2
bxc0
及
x
2
cxb0
分别各有两个整数根
x
1
、
x
2
及
x
1

x
2

>0．
x
1

<0,
x
2

< 0； (1)求 证：
x
1
<0,
x
2
<0，
x
1
(2)求证：
b1cb1
；
(3)求
b
、
c
所有可能的值．
13．如果直角三角形的 两条直角边都是整数，且是方程
mx
2
2xm10
的根(
m
为整数)，这样
的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存 在，请说明理由．





34

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参考答案

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36

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37

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第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程

数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面 考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概
念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又 该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在
《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典 型的，他们往往不对问题进行正面
攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通
过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求
解．
【例题求解】
【例1】 若
2x
2
5x
8
2 x
2
5x1
50
，则
2x
2
5x1< br>的值为 ．

思路点拨 视
2x
2
5x
为整体，令
2x
2< br>5xy
，用换元法求出
y
即可．


【例2】 若方程
p2xx
有两个不相等的实数根，则实数
p
的取值范围是( )
A．
p1
B．
p0
C．
1p0
D．
1p0


思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注
p2xx0
的隐含制约．



注： 转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径
的转化：实际 问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．
解下列方程：
（1）
x
2
3x
2x
2
2x8
x
2
x4
3x
2
9x

11
；
12

)
3
1
； (2)
(1999x)
3
(x1998

38

初中数学竞赛辅导 含答案

13xx
2
13x
(x)42
． （3）
x1x1

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从
(1999x)(x1998)1
受到启示；对于(3)，设
y
13x< br>，则可导出
xy
、
xy
的结果．
x1






注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．
【例4】 若关于
x
的方程
2kxkx1
只有一个解(相等的解也 算作一个)，试求
k
的值与方

2

x1
xx
x
程的解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出
k
的值．








注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化 ，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能
足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的 整式方程有两个解，而其中一个是原方
程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全 面分析．
【例5】 已知关于
x
的方程
(x)
2
5x 
a
x
5a
6
有两个根相等，求
a
的值．
x

39

初中数学竞赛辅导 含答案
思路点拨 通过换元可得到两个关于
x
的含参数
a
的一元二次方程，利用判别式求出a
的值．





注：运用根的判别式延 伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题
型，尽管这种探讨仍以一元二次 方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．

学历训练
1．若关于
x
的方程
ax12xa
10
有增根，则a
的值为 ；若关于
x
的方程
1
曾＝一1的
x1x2
解为正数，则
a
的取值范围是 ．
2．解方程
11111



得 ．
x(x1)x(x1)(x1)(x2)(x9)(x10)12

3．已知方程
3x2m
4．方程
x
2
3x
3
x3x7
2
1
xm
有一个根是2，则
m
= ．
2
9
的全体实数根的积为( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10
5．解关于
x
的方程
xkx
不会产生增根，则是的值是( )

2

x1
x1
x1
A．2 B．1 C．不为2或一2 D．无法确定
6．已知实数
x
满足x
2

1
x
2
x
1
1
 0
，那么
x
的值为( )
x
x
A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它
的解填在表中的空格处；

40

初中数学竞赛辅导 含答案
(2)若方程
a1
1
(
ab
)的解是
x
1
=6，
x
2
=10，求
a
、
b
的值．该方程是不是(1)中所给的
xxb
一列方程中的一个方程?如果是，它是 第几个方程?
(3)请写出这列方程中的第
n
个方程和它的解，并验证所写 出的解适合第
n
个方程．
序号
1
2
3
…
8．解下列方程：
（1）
（2）
x
2
x1
x
2
1

2x
2
x2
x
2
 x1

19
；
6
方 程
61
1

xx2
81
1

xx3
101
1

xx4
x
1
=
x
1
=4
方程的解
x
2
=
x
2
=6
x
2
=8
x
1
=5
… … …
1
x
2
11x 8

1
x
2
2x8

1
x
2
13x8
0
；
(3)
(x1)(x2)(x3)(x4)120
；
(4)
2(x
2

1
)3(x)1
． 2
x
x
2
1
9．已知关于
x
的方程
x 2x
m
2
1
x2x2m
2
0
，其中< br>m
为实数，当m为何值时，方程恰有三个互
不相等的实数根?求出这三个实数根． < br>10．方程
1
2
x
1
x
2
2xx< br>2
的解是 ．

11．解方程
1
x
2
x

1
x
2
3x2

1
x
2
5x6

1< br>x
2
7x12

4
得 ．
21

12．方程
x1x8x2x7
的解是 ．

x2x9x3x8

13．若关于
x
的方程
ax
2

1
42
1
x0
恰有两个不同的实数解，则实数
a
的取值范围是 ．
23

41

初中数学竞赛辅导 含答案
14．解下列方程：
(1)
(6x7)
2
(3x4)(x1)6
；
( 2)
(x
2
3x4)
2
(2x
2
7x6 )
2
(3x
2
4x2)
2
；
（3）
x
2
(
（4）
1
x
2
)3
；
x1
x10

．
x23
2

x15．当
a
取何值时，方程
x12x2xa
有负数解?

2
x2x1
xx2

16．已知
x
4
5x
3
8x
2
5x 10
，求
x
的值．
17．已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥上AD交BD于E点，交BC于点F．
(1)求证：AD
2
=
1
DE×DB；
2
1< br>x
(2)过点E作EG⊥AE交AB于点G，若线段BE、DE(BEx
2
3mx2m
2
0
(m>0)
的两个根，且菱形 ABCD的面积为
63
，求EG的长．
















42

初中数学竞赛辅导 含答案




参考答案


43

初中数学竞赛辅导 含答案
























44

初中数学竞赛辅导 含答案
第七讲 化归—解方程组的基本思想
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组．
尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：
化归是解方 程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，
代人法、加减法是 消元的两种主要手段．
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析 方程组特点基础
上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．
注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化
无理方程有理化
高次方程低次化
多元方程一元化
通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．
【例题求解】

xyxy8

【例1】已知正实数
x
、
y
、
z
满足

yzyz15
，则
xyzxyz
= ．

zxzx35


思路点拨 由
abab1(a1)(b1)
想到从分解因式入手，还需整体考虑．





【例2】方程组


xzyz23
的正整数解的组数是（ ）

xyyz63
A．4 B．3 C 2 D．1
思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．


45

初中数学竞赛辅导 含答案


【例3】 解下列方程组：
(1)


xyxy13
x(x1)(3x5y)144
（2）

22

xy29

x24x5y24



3
x1
3
y12
(3)



xy26

思路点拨 对于(1)，先求出整体
xy、
xy
的值，对于(2)，视
x
2
x
、
3x 5y
为整体，可得到
(x
2
x)(3x5y)
、
( x
2
x)(3x5y)
的值；对于(3)设
3
x1a
，
3
y1b
，用换元法解．




【例4】 已知
a
、
b
、
c
三数满足方程组


思路点拨 先构造以
a
、
b
为两根的一元二次方程，从判别式入手， 突破
c
的值．






注 ：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用
工具，一个 含多元的方程，往往蕴含着方程组．
【例5】已知方程组

b
11

，
x
1
x
2
ab8

，试求方程
bx
2
 cxa0
的根．
2

abc82c48

x x
2

xx
1

y24x
有两个实数解为
和

且
x
1
x
2
0
，< br>x
1
x
2
，设
y2xa
yy
yy

2
1


(1)求
a
的取值范围；( 2)试用关于
a
的代数式表示出
b
；

46

初中数学竞赛辅导 含答案
(3)是否存在
b3
的< br>a
的值?若存在，就求出所有这样的
a
的值；若不存在，请说明理由．

思路点拨 代人消元，得到关于
x
的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等 知识求解，
解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出
a
的取值范围．



注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性 质的讨论，但这
种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中
y
2
4x0
，则
x0
，这就是一个隐含
条件．

学历训练
1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是

求的方程组 (只要填写一个即可)．



x
2
y< br>2
m
2．若方程组

有两组相同的实数解，则
m
的 取值是 ．

xy2


x2< br>，试写出符合要
y4




x3y2xy2z
2
0
3．实数
x< br>、
y
、
z
满足

，则
x
2yz< br>的值为 ．

x63y

4．已知
x
、
y
、
z
2是正整数，并且满足

于 ．
3x4y0
，那么
xyz
的值等
xyzxyz315


5．已 知
m
2
2mn384
，
3mn2n
2
56 0
，则
2m
2
13mn6n
2
144
的值为 ( )
A．2001 B．2002 C． 2003 D．2004

6．已知
xy1
，
x
3
3x
2
3 x3y3y
2
y
3
37
，则
(x1)
4
(y1)
4
=（ ）
A．337 B．17 C．97 D．1
7．解下列方程组：

47

初中数学竞赛辅导 含答案


xyxy11
x
2
y
2
3x3y
（1）

2
（2）

2

2
2
xyxy30



xxyy27

(3)



x2y15


xy12



xx
2

xx
1
113

y
2
2x

，求< br>m
的值． 8．已知方程组

有两个实数解

和
< br>，且

x
1
x
2
2


y y
2

yy
1

yxm

9．方程组

xy11
的解是 ．
22

xyxy32


1


y
10．已知实数
x
0
，
y
0
是方程组

x
的解，则
x
0
+y
0
= ．


yx1
11．已知
a
2
a
3
a
4
a
5
a1
a
3
a
4
a
5
a
1
a
2
a
4
a
5
a
1
a
2
a
3
a
5
a
1
a
2
a< br>3
a
4
k
，且
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
0
，则
k
是的值为 ．

12．已知方程组的两组解是（
x
1
,y
1
）与（
x
2
,y
2
），则
x
1
y
2
x
2
y
1
的值是 ．
13．已知
mnp
2
40
，
mn4
，则
mn
的值是( )
A．4 B．2 C．一2 D．0



(x1)1

(x1)
3
2003
14．设
x
，
y
为实数，且满足

，则
x y
=（ ）
3

(y1)2003(y1)1

A．1 B．一1 C． 2 D．一2
15．解下列方程组：

1
94


xxy33
xy10

y
(1)

（2）

< br>xy
1


(x
2
9)(y
2
 4)24xy
2xy6


y

(3)
x(x
2
3x2)
2
3(x
2
3x2)2< br>

48

初中数学竞赛辅导 含答案
16．已 知方程组


xx
2

xx
1
x2ya20(1)
的两个解为

和

，且x
1
，
x
2
是两个不相等的
xy10(2)
yy
yy

2
1


实数，若
x
1
2
x
2
2
3x
1
x
2
8a
2
6a11
．
(1)求
a
的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?


x< br>y
1x


ab
2
17．已知
a、
b
是方程
tt10
的两个实根，解方程组


x
y

1y


ba

18．已知
x
、
y
为实数，且满足
xyxy17，
x
2
yxy
2
66
，求
x
4< br>x
3
yx
2
y
2
xy
3
y
4
的值．

















参考答案

49

初中数学竞赛辅导 含答案



50

初中数学竞赛辅导 含答案
第八讲 由常量数学到变量数学
数学漫长的发展历史大致历经四个时期：以自然数、分数体系形成的萌芽期；以代数符号体系
形成的常量 数学时期；以函数概念产生的变量数学时期；以集合论为标志的现代数学时期．
函数是数学中 最重要的概念之一，它是变量数学的标志，“函数”是从量的侧面去描述客观世
界的运动变化、相互联系 ，从量的侧面反映了客观世界的动态和它们的相互制约性．
函数的基本知识有：与平面直角坐标系相关的概念、函数概念、函数的表示法、函数图象概念
及画法．
在坐标平面内，由点的坐标找点和由点求坐标是“数”与“形”相互转换的最基本形式．点的< br>坐标是解决函数问题的基础，函数解析式是解决函数问题的关键，所以，求点的坐标、探求函数
解 析式是研究函数的两大重要课题．
【例题求解】
【例1】 在平面直角坐标系内，已知点A (2，2)，B(2，-3)，点P在y轴上，且△APB为直角三角
形，则点P的个数为 ．
思路点拨 先在直角坐标平面内描出A、B两点，连结A B，因题设中未指明△APB的哪个角是直角，
故应分别就∠A、∠B、∠C为直角来讨论，设点P(0 ，x)，运用几何知识建立x的方程．


注： 点的坐标是数与形结合的桥梁，求点的坐标的基本方法有：
(1)利用几何计算求；
(2)通过解析式求；
(3)解由解析式联立的方程组求．
【例2】 如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水
槽．水槽中水面上 升高度
h
与注水时间
t
之间的函数关系，大致是下列图象中的( )








51

初中数学竞赛辅导 含答案

思路点拨 向烧杯注水需要时间，并且水槽中水面上升高
h0
．






注： 实际生活中量与量之间的关系可以形象地通过图象直观地表现出 来，如心电图、，股市行情
走势图等，图象中包含着丰富的图象信息，要善于从图象的形状、位置、发展 变化趋势等有关信
息中获得启示．
【例3】 南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售 ，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，
现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表 所示：
运输工具 途中速度(千米／时) 途中费用(元／千米)
飞机
火车
汽车
200
100
50
16
4
8
装卸费用(元)
1000
2000
1000
装卸时间(小
时)
2
4
2
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元小时，记A、B两市间的距离为x千米．
(1)如果用W
l
、W
2
、W
3
分别表示使用飞机、火车、 汽车运输时的总支出费用(包括损耗)，求出
W
l
、W
2
、W
3
与小x间的函数关系式．
(2)应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?

思路点拨 每种运输工具总支出费用＝途中所需费用(含装卸费用)+损耗费用；总支出费用随距离< br>变化而变化，由W
l
—W
2
＝0，W
2
一W
3
=0，先确定自变量的特定值，通过讨论选择最佳运输方式．



【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点 C
的坐标为(2
3
，8)．

52

初中数学竞赛辅导 含答案
(1)画出符合题目条件的菱形与直角坐标系；
(2)写出A、B两点的坐标；
( 3)设菱形ABCD的对角线交点为P．问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱
形ABC D的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．






思路点拨 (1)关键是探求点A 是在y轴正半轴上、负半轴上还是坐标原点，只须判断∠COy与∠
CAD的大小；(2)利用解直角三 角形求A，B两点坐标；(3)设轴上存在点F(0，y)，则P与F只可
能关于直线DC对称．



注：建立函数关系式，实际上都是根据具体的实际问题和一些特殊的关 系、数据而抽象、归纳建
立函数的模型．
【例5】 如图，已知在Rt△ABC中，∠B ＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、
BC边上的中点，若P为AB 边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的
右侧作正方形PQMN，记P QMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
(1)当AP＝3cm时，求的值；
(2)设AP=cm时，求y与x的函数关系式；
(3)当y=2cm
2
，试确定点P的位置．(2001年天津市中考题)
思路点拨 对于(2)，由于点P的位置不同，y与x之间存在不同的函数关系，故需分类讨论；对于
(3)，由相 应函数解析式求x值．





53

初中数学竞赛辅导 含答案
注：确定几何元素间的函数关系式，首先是借助 几何知识与方法把相应线段用自变量表示，再代
入相应的等量关系式，需要注意的是：
(1)当图形运动导致图形之间位置发生变化，需要分类讨论；
(2)确定自变量的几何意义，常用到运动变化、考虑极端情形、特殊情形等思想方法．


学力训练
1． 如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝9 0°，有直角三角形与Rt△ABO
全等且以AB为公共边，请写出这些直角三角形未知顶点的坐标 ．
2．在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当 点C的坐标
为 时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标)．








3．根据指令 [S，A](S≥0，0°度 A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S．现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴的正
方向，( 1)若给机器人下了一个指令[4，60°]，则机器人应移动到点 ；(2)请你给机器人下一个
指令 ，使其移动到点(一5，5)．

4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴的夹角为60°，且点A的坐标为(一2，0)，点B
在x轴上方，设AB＝
a
，那么点B的横坐标为( )
A．
2
B．
2
a
2
aaa
C．
2
D．
2

222



54

初中数学竞赛辅导 含答案



5．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一 段路程，爸爸才开
始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程(米)与登山所用的时 间(分钟的关
系)(从爸爸开始登山时计时)，根据图象，下列说法错误的是( )
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快
6．若函数
y
1
x
2
2xm
的自变量
x
的取值范围为一切实 数，则
m
的取值范围是( )
A．ml D．m≤1
7．如图，在直角坐标系中，已知点A(4，0)、点B(0，3) ，若有一个直角三角形与Rt△ABO全等，
且它们有一条公共边，请写出这个直角三角形未知顶点的坐 标(不必写出计算过程)．
8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）设铺设地面所用瓷砖的总块数为
y
，请写出
y
与
n
(
n
表示第
n
个图形)的函数关系式；
(2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时
n
的值；
(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少元钱购买瓷砖?
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等情形?请通过计算说明为什么?






9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A(10，0)，B (0，10)，
C(一10，0)，D(0，一10)，则该正方形内及边界上共有 个整点(即纵横坐标都是整数的
点)．

55

初中数学竞赛辅导 含答案




1 0．如图，已知边长为l的正方形OABC在直角坐标系中，A、B两点在第一象限内，OA与
x
轴的
夹角为30°，那么点B的坐标是 ．
11．如图，一个粒子在第一象 限运动，在第一分钟内它从原点运动到(1，0)，而后它接着按图所
示在与
x
轴、< br>y
轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在1989分钟后这个
粒 子所处位置为 ．

12．在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x
轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的
点P共有( )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
13 ．已知点P的坐标是(
2a
l，
2b
)，这里
a
、b
是有理数，PA、PB分别是点P到
x
轴和
y
轴的垂线段，且 矩形OAPB的面积为
2
，则P点可能出现的象限有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．甲、乙二人同时从A地 出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度V
l
与
V
2
(Vil
、另一半的路程使用速度V
2
；关于甲乙二人从A地到达B
地的路程与时间的函数图象及关系，有图中4个不同的图示分析．其中横轴
t
表示时间，纵轴
s
表
示路程，其中正确的图示分析为( )
A．图(1) B．图(1)或图(2) C．图(3) D．图(4)





15．依法纳税是每个公民应尽的义务．《中华人民共和国个人所得税 法》规定，公民每月工资、
薪金收入不超过800元，不需交税；超过800元的部分为全月应纳税所得 额，都应交税，且根
据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：

56

初中数学竞赛辅导 含答案
级别
1
2
全月应纳税所得额
不超过500元部分
超过500元至2000元部
分
超过2000元至5000元
部分

税率(％)
5
10
3
…
15
…
(1)某公民2002年10月的总收人为1350元，问他应交税款多少元?
(2)设表示 每月收入(单位：元)，
y
表示应交税款(单位：元)，当1300y
关
于
x
的函数关系式；
(3)某企业高级职员2002年11月应交税款55元，问该月他的总收入是多少元?

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB上任意一点(A、B两点 除外)，过
D作AB垂线与△ABC的直角边相交于E，设AD=
x
，△ADE的面积 为
y
，当点D在AB上移动时，
求
y
关于
x
之间的 函数关系式．




17．现计划把甲种货物1240吨和乙种 货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B
两种不同规格的货车厢共40节，使用A型 车厢每节费用6000元，使用月型车厢每节费用为8000
元．
(1)设运送这批货物的总 费用为
y
万元，这列货车挂A型车厢
x
节，试写出
y
与x
之间的函数关系
式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙 种货物15吨，每节月型B车厢最多可装甲种
货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排
车厢的方案?
(3)在上述方案中，哪个方案运费最高?最少运费为多少元?

57

初中数学竞赛辅导 含答案
18．如图，梯形OABC中，O为直角坐标系 的原点，A、B、C的坐标分别为(14，0)，(14，3)，(4，
3)．点P、Q同时从原点出发 ，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个
单位；点Q沿OC、CB向终点B运 动，当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
(1)设从出发起运动了
x
秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试分别写出这时点Q在OC上或在
CB上时的坐标(用含
x
的代数式表示)；
(2)设从出发起运动了
x
秒，如果点P与点 Q所经过的路程之和恰好为梯形OABC的周长的一半，
①试用含
x
的代数式表示这时 点Q所经过的路程和它的速度；②试问：这时直线PQ是否可能同
时把梯形OABC的面积也分成相等的 两部分?如有可能，求出相应的
x
的值和P、Q的坐标；如不
可能，请说明理由．
























58

初中数学竞赛辅导 含答案














59

初中数学竞赛辅导 含答案
参考答案


60

初中数学竞赛辅导 含答案


















61

初中数学竞赛辅导 含答案

第九讲 坐标平面上的直线
一般地，若
ykxb
(< br>k
、
b
是常数，
k0
)，则
y
叫做
x
的一次函数，它的图象是一条直线，
函数解析式
ykxb
式中的系 数符号，决定图象的大致位置及单调性(
y
随
x
的变化情况)。如图
所示：






一次函数、二元一 次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数
ykxb
都可看作是关于
x、
y
的一个二元一次方程
kxyb0
；任意一个关于
x< br>、
y
的二元一次方程
axbyc0
，可
化为形如
yx
(
b0
)的函数形式。坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一 次方程，
而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数
解析式联立的方程组。
【例题求解】
【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形 OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)，P为线段OC上一
点，若过B、P两点的直线为
y
1
k
1
xb
1
，过A、P两点的直线为
y< br>2
k
2
xb
2
，且BP⊥AP，则
k
1
k
2
(k
1
k
2
)
= 。
a
b
c
b
思路点拨 解题的关键是求出P点坐标，只需运用几何知识建立OP的等式即可。





【例2】 设直线
nx(n1)y2
(
n
为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为
S
n
(
n
＝1，2，…
2000)，则S
1
+S
2
+…+S
2000
的值为( )
A．1 B．
1
C． D．
2


62

初中数学竞赛辅导 含答案
思路点拨 求出直线 与
x
轴、
y
轴交点坐标，从一般形式入手，把
S
n
用含
n
的代数式表示。




【例3】 某 空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过
程中，设运输飞机的 油箱余油量为Q
1
吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q
2
吨，加油时间为t
分
．．．．
钟，Q
1
、Q
2
与
t< br>之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?
(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q
1
(吨)与时间
t
(分钟)的函数关系式；
(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．
思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。



注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变 量取
值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。
（2）当一次函数图 象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发
掘隐含条件是解相关综合题的 基础。
3
x1
与
x
轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直 角边在第一象限
3
1
内作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限内有 一点P(
a
，)，且△ABP的面积与△A
2
【例4】 如图，直线
y
ABC的面积相等，求
a
的值．
思路点拨 利用S
△
ABP
＝S
△
ABC
建立含
a
的 方程，解题的关键是把S
△
ABP
表示成有边落在坐标轴上的三
角形面积和、 差。






63

初中数学竞赛辅导 含答案

注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面 积来表
示，这样面积与坐标就建立了联系．
【例5】 在直角坐标系中，有以A(一1，一 1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方
形，设它在折线
yx aa
上侧部分的面积为S，试求S关于的函数关系式，并画出它们的图象。

思路点拨 先画出符合题意的图形，然后对不确定折线
yxaa
及其中的字母
a
的取值范围进
行分类讨论，
a
的取值决定了正方形在折线上侧部分 的图形的形状。






注：我们把有自变 量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函
数．去掉绝对值符号，把绝对值 函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路。
学历训练
1．一次函数的自变量的取值范围 是-3≤
x
≤6，相应函数值的取值范围是-5≤
y
≤-2，则这个函数的< br>解析式为 ．
2 ．已知
k
abcabcabc
，且
m5n
2< br>96n
，则关于自变量
x
的一次函数

cba
ykxb
的图象一定经过第 象限．
3．一家小型放影 厅的盈利额(元)与售票数
x
之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公
安 消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：
(1)当售票数满足0<
x
≤150时，盈利额
y
(元)与之间的函数关系式是 。
(2)当售票数满足150y
(元)与
x
之间的函数关系式是 。
(3)当售票数为 时，不赔不赚；当售票数
x
满足 时，放影厅要赔本；若放影厅要获得
最大利润200元，此时售票数
x
应为
(4)当售票数
x
满足 时，此时利润比
x
＝150时多．


64

初中数学竞赛辅导 含答案





4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC， 与平
行四边形的两条边分别交于点E，F，设BP=
x
，EF=，则能反映
y
与
x
之间关系的图象是( )






5．下列图象中，不可能是关于x
的一次函数
ypx(p3)
的图象是( )





6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场 去销售，在销售了部分西瓜之
后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间 关系如图所示，那么小
李赚了( )
A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元






7 ．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2
小时时血 液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10
-3
毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液 中

65

初中数学竞赛辅导 含答案
含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量 (微克)随时间
x
(小时)的变化如图所示，当成人按
规定剂量服用后。
(1)分别求出
x
≤2和
x
≥2时
y
与
x
之间的函数关系式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的 ，那么这个有效时间
是多长?





8．如图，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系
x
O
y< br>中，使AB在
x
轴的正
半轴上，A点的坐标是(1，0)
(1)经过 C点的直线
y
48
x
与
x
轴交于点E，求四边形AEC D的面积；
33
(2)若直线
l
经过点E且将正方形ABCD分成面积相等 的两部分，求直线
l
的方程，并在坐标系中
画出直线
l
．
9．如图，已知点A与B的坐标分别为(4，0)，(0，2)
(1)求直线AB的解析式。
(2)过点C(2，0)的直线(与
x
轴不重合)与△AOB的另一边相交于点P， 若截得的三角形与△AOB相
似，求点P的坐标．
10．如图，直线
y2x6
与
x
轴、y轴分别交于P、Q两点 ，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R
处，则点R的坐标是 ．






11．在直角坐标系
xO
y
中，
x
轴上的动点M（
x
，0）到定点P(5，5 )、Q(2，1)的距离分别为
MP和MQ，那么，当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标为 。

66

初中数学竞赛辅导 含答案

12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线
yxb
恰好将矩形
OABC分成面积相等的两部分，那么b＝ 。







13．如果—条直线
l经过不同的三点A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直线
l
经过 ( )象
限。
A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四
14．一个一次函数的图象与直线
y
595
x
平行，与
x
轴、
y
轴的交点分别为A、B，并且过点(一
44
1
3
l，—25)，则在线段AB(包括端点A、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（ ）
A．4个 B．5个 C． 6个 D．7个

15．点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C是
yx2
的图 象上的动点，则满足上述
条件的直角△ABC可以画出( )
A． 1个 B． 2个 C．3个 D．4个
16．有—个附有进、出水管的容器， 每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分
钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水 又出水，得到时间
x
(分)与水量
y
(升)之间的关系如
下图．若 20分钟后只出水不进水，求这时(即
x
≥20)y与
x
之间的函数关系式。






1
2

67

初中数学竞赛辅导 含答案
17．如图，△AOB为正三角 形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于
E，且使△ADE和△D CO的面积相等，求直线
l
的函数解析式。

18．在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，
n
)， D(
m
，0)，当四边形ABCD
的周长最短时，求
m
的值．
n
19．转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而 降低
污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关．现经过试验得到下列数据：
通过电流强度（单位A）
氧化铁回收率（%）
1
75
1.7
79
1.9
88
2.1
87
2.4
78
如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。
（1） 将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代
表点（1，70）；
（2） 用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y
关于 通过电流x的函数关系，试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时的表达式；
（3） 利用题（2） 所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该
控制的范围（精确到0.1A）。

20．如图，直线OC、BC的函数关系式分别为
yx
和
y2x6< br>，动点P(x，0)在OB上移动(0<
x
<3)，过点P作直线
l
与
x
轴垂直。
(1)求点C的坐标；
(2)设△OBC中位于直线
l
左侧部分的面积为S，写出S与
x
之间的函数关系式；
(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象；
(4)当
x
为何值时，直线
l
平分△OBC的面积?

68

初中数学竞赛辅导 含答案
参考答案



69

初中数学竞赛辅导 含答案












70

初中数学竞赛辅导 含答案
第十讲 抛物线
一般地说来，我们称函数
yax
2
bxc
(
a
、< br>b
、
c
为常数，
a0
)为
x
的二次函数， 其图象
为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：
1．
a
、
b
、
c
的符号决定抛物线的大致位置；
2．抛物线关于
x
bb
对称，抛物线开口方向、开口大小仅与
a
相关，抛物线在顶点(

，
2a2a
4acb
2
)处取得 最值；
4a
3．抛物线的解析式有下列三种形式：
①一般式：
yax
2
bxc
；
②顶点式：
ya(xh)
2
k
；
③交点式：
ya(xx
1
)(xx
2
)
，这里
x
1< br>、
x
2
是方程
ax
2
bxc0
的两个 实根．
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．
注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线 是轴对称图形，解题中应积极
捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方 式有：
(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；
(2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被
x
轴所截得的弦长获得对称信息．
【例题求解】
【例1】 二次函数
yx
2
bxc
的 图象如图所示，则函数值
y0
时，对应
x
的取值范围
是 ．
思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出
b
，
c
值，先求出
y0
时，对应
x
的
值．







71

初中数学竞赛辅导 含答案
【例2】 已知抛物线
yx
2
bxc
(
a
< 0)经过点(一1，0)，且满足
4a2bc0
．以下结论：①
ab0；②
ac0
；③
abc0
；④
b
2
2ac5a
2
．其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而 判定
a
、
b
、
c
的符号；由特殊点的坐标得等
式或 不等式；运用根的判别式、根与系数的关系．




【例3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离
是4分米，要在 铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，
问这样截下的矩形 铁皮的周长能否等于8分米?

思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出M、N及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解析式，设A(
x
，
y
)，建立含
x
的方程，矩形铁皮的周长能否 等于8分米，取决于求出
x
的值是否在已求得
的抛物线解析式中自变量的取值范围内．





注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成 数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系
下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有 不同的建模方式，通过分析比较可获得简
解．
【例4】 二次函数
yx
2
xm2
的图象与
x
轴交于A、两点(点A在点B左边)，与
y
轴交
于C点，且∠ACB＝90°．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设计两种方案：作一条与
y
轴不重合，与△A BC两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC
相似，并且面积为△BOC面积的
明)． < br>1
，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设计的方案不必证
4
1
2
3
2

72

初中数学竞赛辅导 含答案

思路点拨 (1)A、B、C三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含 m的方程；
(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．







注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的 坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分
发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题 的关键．
【例5】 已知函数
y(a2)x
2
2(a
2
1)x1
，其中自变量
x
为正整数，
a
也是正整数， 求
x
何值
时，函数值最小．
a
2
13
3
(a2)
思路点拨 将函数解析式通 过变形得配方式，其对称轴为
x
，因
01
，
a2a2a2
a
2
1a
2
1
a2a1
， 故函数的最小值只可能在
x
取
a2
，
a2
，时达到．所 以，解决本例
a2
a2
的关键在于分类讨论．

学历训练
1．如图，若抛物线
yax
2
与四条直线
x1
、
x2
、
y1
、
y2
所围成的正方形有公共点，则
a
的取值范围是 ．
2．抛物线
yax
2
bxc
与
x
轴的正半轴交于A， B两点，与
y
轴交于C点，且线段AB的长为1，
△ABC的面积为1，则
b
的值为 ．
3．如图，抛物线的对称轴是直线
x1
，它与
x
轴交于A、B两点，与
y
轴交于点C，点A、C的
坐标分别为(-l，0)、(0，
3
)，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点P为此抛物线上位
2
于
x
轴上方的一个动点，则△ABP面积的 最大值为 ．




73

初中数学竞赛辅导 含答案






4．已知二次函数
yax
2
bxc
的图象如图所示，且OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下含有
a
、
4acb
2
b
、
c
三个字母的式子①1
，②
acb10
，③
abc0
，④
a bc0
，>0，其中正
4a
确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)．
5．已知
a1
，点(
a1
，< br>y
1
)，(
a
，
y
2
)，(
a1
，
y
3
)都在函数
yx
2
的图象上，则( )
A．
y
1
y
2
y
3
B．
y
1
y
3
y
2
C．
y
3
y
2
y
1
D．
y
2
y
1
y
3


6． 把抛物线
yx
2
bxc
的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位 ，所得图象的解析式为
yx
2
3x5
，则有( )
A．
b3
，
c7
B．
b9
，
c15
C．
b3
，c＝3 D．
b9
，
c21


7．二次函数
yax
2
bxc
的图象如图所示，则点(
ab
，
ac
)所在的直角坐标系是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限






8．周长是4m的矩形，它的面积S(m
2
)与一边长
x
(m)的函数图象大致是( )





74

初中数学竞赛辅导 含答案



9．阅读下面的文字后，回答问题：
“已知：二次函数
yax
2
bxc
的图象经过点A(0，
a
)，B(1，-2) ，求证：这个二次函
数图象的对称轴是直线
x2
．
题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
(1)根据现有的信息，你能否求出 题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不能，说
明理由．
(2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整．
10．如图， 一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离
为2.5米时，达到 最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1. 8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他
跳离地面的高度是多少?






11．如图，抛物线和直线
ykx4k
(
k0
)与
x
轴、y轴都相交于A、B两点，已知抛物线的对称
轴
x1
与
x
轴相交于C点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式．

12．抛物线
yax
2
bxc
与
x
轴交于A、B两点，与
y
轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则
ac
．

13．如图，已知直线
y2x3
与抛物线
yx
2
相 交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的
面积等于 ．

75

初中数学竞赛辅导 含答案
k
2
14．已 知二次函数
yaxbxc
，一次函数
yk(x1)
．若它们的图 象对于任意的实数是都
4
2
只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ．



15．如图，抛物线
yax
2
bxc
与 两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，
AE＝BE，则下列关系式中不能总 成立的是( )
A．b=0 B．S
△
ADC
＝c
2
C．ac＝一1 D．a+c＝0
16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数
yx
2
bxc
的图象过点(1，
0)…求证：这个二次函数的图象关于直线< br>x2
对称．
根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( )
A．过点(3，0) B．顶点是(2，一2)
C．在
x
轴上截得的线段长为2 D．与
y
轴的交点是(0，3)

17．已知A(x
1
，2002)，B(x
2
，2002)是二次函 数
yax
2
bx5
(
a0
)的图象上两
xx
1
x
2
时，
二次函数的值是( )
2b
2
b
2
5
B．
5
C． 2002 D．5 A．
a4a

18．某种产品的年产量不超过1000吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间函 数
的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与销售单价< br>(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图2所示)．若生产出的产品都能在当年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)．







76

初中数学竞赛辅导 含答案
19．如图，已知二次函数
y2x
2
2
的图象与
x
轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与
y
轴交
于点C，直线：x＝ m(m>1)与
x
轴交于点D．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)在直线x＝m (m>1)上有一点P (点P在第一象限)，使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、
C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)成立 的条件下，试问：抛物线
y2x
2
2
上是否存在一点Q，使得四边形AB PQ为平行
四边形?如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

20．已知二次函数
yx
2
x2
及实数
a2，求
(1)函数在一2(2)函数在a≤x≤a+2的最小值．
21．如图，在直角坐标：
x
O
y
中，二次函数图象的顶点坐标为C (4，
3
)，且在
x
轴上截得的
线段AB的长为6．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在
y
轴上求作一点P (不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；
(3)在
x
轴的上方的抛物线 上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相
似?如果存在，求出Q点的坐标 ；如果不存在，请说明理由．






22 ．某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一
是发现抛物 线y=ax
2
+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当 实数
a变化时，若把抛物线y=ax
2
+2x+3的顶点的横坐标减少
把顶点 的横坐标增加
y=ax
2
+2x+3上．
(1)请你协助探求出当实数 a变化时，抛物线y=ax
2
+2x+3的顶点
所在直线的解析式；
．．

77
1
，纵坐标增加，得到A点的坐标；若
a11
，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线
aa

< br>初中数学竞赛辅导 含答案
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗?并说明理由；
(3)在 他们第二个发现的启发下，运用“一般——特殊—一般”的思想，你还能发现什么?你能
用数学语言将你 的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立请说明理由．























参考答案


78

初中数学竞赛辅导 含答案


79

初中数学竞赛辅导 含答案

















80

初中数学竞赛辅导 含答案
第十一讲 双曲线
形如
y
k
(
k0
)的函数叫做反比例 函数，它的图象是由两条曲线组成的双曲线，与双曲线相
x
关的知识有：
1． 双曲线解析式
y







2．双曲线图象上的点是关于原点O成中心对称，在
k
>0时函数的图象关于 直线
yx
轴对称；
在
k
<0时函数的图象关于直线
y x
轴对称．
3．自变量的取值是不等于零的全体实数，双曲线向坐标轴无限延伸但不能接近坐标轴．
【例题求解】
【例1】 已知反比例函数
y
k
的图象与直线
y2x
和
yx1
过同一点，则当
x0
时，这个反比
x
k
中的系数
k
决定图象的大致位置及
y
随
x
变化的状况．
x
例函数的函数值
y
随
x
的增大而 (填增大或减小)．

思路点拨 确定
k
的值，只需求出双曲线上一点的坐标即可．





注：(1)解与反比函数相关问题时，充分考虑它的对称性(关于原点 O中心称，关于
yx
轴对称)，
这样既能从整上思考问题，又能提高思维的周密性 ．
(2)一个常用命题：

81

初中数学竞赛辅导 含答案
如图，设点A是反比例函数
y
轴于C，则
①S
△
AOB
=
1
k
；
2
k
(
k0
)的图象上一点，过A作AB⊥
x
轴于B，过A作AC⊥
y< br>x
②S
矩形
OBAC
=
k
．
【例2】 如图，正比例函数
ykx
(
k0
)与反比例函数
y
AB⊥
x
轴于B，连结BC，若S△ABC的面积为S，则( )
A．S=1 B．S =2 C．S=
k
D．S=
k
2





思路点拨 运用双曲线的对称性，导出S
△
AOB
与S
△
OBC
的关系．











【例3】 如图，已知一次函数
yx8
和反比例函数
y
同的公共点A、B．
(1)求实数
k
的取值范围；
(2)若△AOB面积S＝24，求
k
的值．
(2003年荆门市中考题)

82
1
的图象相交于A、C两点，过A作
x
k
(
k0
)的图象在第一象限内有两个不
x

初中数学竞赛辅导 含答案
思路点拨 (1)两图象有两个不同的公共点，即联立方程组有两组不同实数解；
(2)S
△
AOB=
S
△
COB
S- S
△
COA
，建立
k
的方程．





【例4】 如图，直线
y
⊥
x
轴于B，S
△
ABP
=9．
(1)求点P的坐标；
(2)设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB 的右侧，作PT⊥
x
轴于F，当
△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．
思路点拨 (1)从已知的面积等式出发，列方程求P点坐标；(2)以三角形相似为条件，结合线段 长
与坐标的关系求R坐标，但要注意分类讨论．




【例5】 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在
x
轴上，点C 在
y
轴上， 点
B在函数
y
kk
(
k0，
x0
)的图象上，点P(
m
，
n
)是函数
y
(
k0
，
x0
)的图象上的任
xx
1< br>x2
分别交
x
、
y
轴于点A、C，P是该直线上在第一象限 内的一点，PB
2
意一点，过点P分别作
x
轴、
y
轴的垂线 ，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不
重合部分的面积为S．
(1)求B点坐标和
k
的值；
(2)当
S
9
时，求点P的坐标；
2
(3)写出S关于m的函数关系式．

思路点拨 把矩形面积用坐标表示，A、B坐标可求，S矩形OAGF可用含
n
的代 数式表示，解题的
关键是双曲线关于
yx
对称，符合题设条件的P点不惟一，故思考 须周密．


83

初中数学竞赛辅导 含答案







注：求两个函数图象的交 点坐标，一般通过解这两个函数解析式组成的方程组得到，求符合某种
条件
的点的坐标，需根 据问题中的数量关系和几何元素间的关系建立关于纵横坐标的方程(组)，解方程
(组)便可求得有关点 的坐标，对于几何问题，还应注意图形的分类讨论．


学历训练
1． 若一次函数
ykxb
的图象如图所示，则抛物线
yx
2
kxb
的对称轴位于y轴的
侧；反比例函数
y
kb
的图象在第 象限，在每一个象限内，y随x的增大而 ．
x









2．反比例函 数
y
k
的图象经过点A(m，n)，其中m，n是一元二次方程
x
2
kx40
的两个根，
x
则A点坐标为 ．
3 ．如图：函数
ykx
（
k
≠0）与
y
点C，则△B OC的面积为 ．

84
4
的图象交于A、B两点 ，过点A作AC⊥
y
轴，垂足为
x

初中数学竞赛辅导 含答案





4．已知，点P(n，2n)是第一象限的点，下面四个命题：
(1)点P关于y轴对称的点P
1
的坐标是(n，-2n)； (2)点P到原点O的距离是
5
n；(3)直线 y=-
nx+2n不经过第三象限； (4)对于函数y=
n
，当x＜0时,y随x的增大而减小；其中真命题
x
是 .(填上所有真命题的序号)

5．已知反比例函数y=
1m
的图像上两点A(x
1
，y
1
)、B（x
2
，y
2
），当x
1
＜0＜x
2
时，有y
1
＜y
2
,
x
则m的取值范围是( )
A．m＜O B．m＞0 C. m＜
11
D.m＞
22

6．已知反比例函数
y
k
的图象如图所示，则二次函数
y2kx
2
xk
2
的图象大致为( )
x







7．已知反比例函数
y
图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

k
(k0),
当
x0
时，y 随x的增大面增大，那么一次函数
ykxk
的
x

85

初中数学竞赛辅导 含答案
8．如图，A、B是函数
y
1
的图象上的点，且A、B关于原点O对称，AC⊥
x
轴于C，BD⊥
x轴
x
于D，如果四边形ACBD的面积为S，那么( )
A． S＝1 B．12 D．S＝2





9．如图，已知一次函数y=kx+b(k≠O)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点， 且与反比例函数
y=
m
(m≠0)的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足 为D．若OA=OB=OD=l．
x
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

10．已知A(x
1
、y
1
)，B(x
2
，y2
)是直线
yx2
与双曲线
y
(1)求
k
的取值范围；
(2)是否存在这样
k
的值，使得< br>(x
1
2)(x
2
2)
说明理由．

11．已知反比例函数
y
点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A点坐标；
(3 )利用(2)的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使ΔAOP为等腰三角形？若存在，把符合条件
的 P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.




86
k
(
k0
)的两个不同交点．
x
x
2
x
1

?若存在，求出这样的
k
值；若不存在，请
x
1
x2
k
和一次函数y＝2x-1，其中一次函数图像经过(a，b)，(a+1，b+k)两
2x

初中数学竞赛辅导 含答案





12．反比例函数
y
k
的图象上有一点P(m，n)，其中m、 n是关于t的一元二次方程
t
2
3tk0
x
的两根，且P到原 点O的距离为
13
，则该反比例函数的解析式为 ．
13．如图，正比 例函数
y3x
的图象与反比例函数
y
k
(
k0)的图象交于点A，若
k
取1，2，
x
3…20，对应的Rt△AOB的 面积分别为S
1
，S
2
，…，S
20
，则S
1+S
2
+…+S
20
= ．

14．老师给出一个函数y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数图像不经过第三象限；
乙：函数图像经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个
函数： ．
．．

15．已知反比例函数
y
12
的图象和一次函数
ykx7的图象都经过点P(m，2)．
x
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数
的图 象上，两底AD、BC与
y
轴平行，且A、B的横坐标分别为
a
和
a 2
，求
a
的值．
16．如图，直线经过A(1，0)，B(0，1)两点 ，点P是双曲线
y
1
(
x0
)上任意一点，PM⊥
x< br>轴，
2x
PN⊥
y
轴，垂足分别为M，N．PM与直线AB交于点E， PN的延长线与直线AB交于点F．
(1) 求证：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB的直线与双曲线只有一个公共点，求公共点的坐标．
(2003年江汉油田中考题)


87

初中数学竞赛辅导 含答案





17．已知矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系
，设点 A的坐
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
标为(x，y)，其中x>0，y>0．
(1)求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；
(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，并用下列方法，解答后面的问题：
2
k
方法：∵
a
2
(a
k
)
2
2k
(k为常数且k>0，a≠0)，且
(a
k
)
2
0

a
aa
2
k
2
∴．
a
2
2k
．
a
2
k
2
k
2
∴当
a
=0，即
ak
时，
a
2
取得最小值2k．
a
a
问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆面积S最小?并求出S的最小值；
(3)如果直线y =mx+2(m<0)与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m，
使得点P、Q与 (2)中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的
若不存在，请说明理由．













88
1
?若存在，请求出m的值；
6

初中数学竞赛辅导 含答案




参考答案


89

初中数学竞赛辅导 含答案










90

初中数学竞赛辅导 含答案
第十二讲 方程与函数
方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后< br>运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想
的 实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．
方程 与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，
在确定函数解析 式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问
题转化为解方程或方程组 ；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函
数图象能获得直观简捷的解答．
【例题求解】
【例1】 若关于的方程
1xmx
有解，则实数m的取值范围 ．

思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数
y1x
，< br>ymx
函数图象，
原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取值范围．



【例2】设关于
x
的方程
ax
2< br>(a2)x9a0
有两个不相等的实数根
x
1
，
x< br>2
，且
x
1
<1<
x
2
，那么
a
取值范围是( )
A．
a
2
7
2
222
B．
a
C．
a
D．
a0

11
57
5

思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与
x
轴的交点满足
x
1
<1<
x
2
的
a< br>的值，注意判别式的隐含制约．




【例3】 已知抛物线
yx
2
(12a)xa
2
0
(a0
)与
x
轴交于两点A(
x
1
，0)，B(
x
2
，0)(
x
1
≠
x
2
)．
(1)求
a
的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；
(2)若抛物线与
y
轴交于点C，且OA+OB＝OC一2，求
a
的值．

91

初中数学竞赛辅导 含答案

思路点拨
x
1
、
x
2
是方程
x
2
(12a)xa
2
0
的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转 化为二
次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．



【例4】 抛物线
y
1
2
5
x2(m)x 2(m1)
与
y
轴的正半轴交于点C，与
x
轴交于A、B两点， 并
24
且点B在A的右边，△ABC的面积是△OAC面积的3倍．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)判断△OBC与△OCA是否相似，并说明理由．

思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类讨论．







【例5】 已知抛物线< br>yx
2
pxq
上有一点M(，
y
0
)位于x
轴下方．
(1)求证：此抛物线与轴交于两点；
(2)设 此抛物线与
x
轴的交点为A(
x
1
，0)，B(，0)，且
x
1
<
x
2
，求证：
x
1
<
x
0
<
x
2
．

思路点拨 对于(1)，即要证
p
2
4q0
；对于(2)，即 要证
(x
0
x
1
)(x
0
x
2
)0
．





92

初中数学竞赛辅导 含答案




注 ：(1)抛物线与
x
轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨， 需
综合运用判别式、韦达定理等知识．
(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常 转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐
标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置 的约束条件建立不等式组．
(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数
y ax
2
bxc
（
a0
）的图象与
x
轴交于 A
（
x
1
，0），B(，0)两点，顶点为C．
①△ABC是直角三角形的充要条件是：△=
b
2
4ac4
．
②△ABC是等边三角形的充要条件是：△=
b
2
4ac12





学历训练
1．已知关于
x
的函数
y(m6)x
2
2(m1)xm1
的图象与
x
轴有交点，则m的取值范围
是 ．
2．已知抛物线
y x
2
(k1)x3k2
与
x
轴交于A (
，0)，B(

，0)两点，且

2


2< br>17
，则
k
．
3．已知二次函数y=kx
2
+(2k－1)x—1与x轴交点的横坐标为x
1
、x
2
(x1
2
)，则对于下列结论：①
当x=－2时，y=l；②当x>x< br>2
，时，y>O；③方程kx
+l(2k－1)x—l=O有两个不相等的实数根x1
、
2
14k
2
x
2
；④x
1<－l，x
2
>－l；⑤x
2
－x
1
=，其中所有正确 的结论是 (只需填写序号) ．
k< br>4．设函数
yx
2
(k1)x4(k5)
的图象如图所示， 它与
x
轴交于A、B两点，且线段OA与OB
的长的比为1：4，则
k
＝( )．
A．8 B．一4 C．1l D．一4或11




93

初中数学竞赛辅导 含答案


5．已知：二次函数y＝x
2
+bx+c与x轴相交于 A(x
1
,0)、B(x
2
，0)两点，其顶点坐标为P(－
4c- b
2
)，AB＝｜x
1
－x
2
|，若S
△
APB
＝1，则b与c的关系式是 ( )
4
b
，
2
A．b
2
－4c+1= 0 B．b
2
－4c－1=0
C．b
2
－4c+4=0 D．b
2
－4c－4=0

6．已知方程
xax1
有一个负根而且没有正根，那么
a
的取值 范围是( )
A．
a
>-1 B．
a
＝1 C．
a
≥1 D．非上述答案
7．已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点， A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，
如图，二次函数y=ax
2
＋bx ＋c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=4
3
，求a、c的值．







8．已知：抛物线
yax
2
bxc
过点A(一1，4)，其顶 点的横坐标为
C(x
2
，0)两点(其中且
x
1
<
x
2
)，且
x
1
2
x
2
2
 13
．
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
(2)设此抛物线与
y
轴交于D点，点M是抛物线上的点，若△MBO的面积为△DOC面积的
点M的坐标．
2
倍，求
3
1
，与
x
轴分别交于B(x
1
,0)、
2

94

初中数学竞赛辅导 含答案
9．已知抛物线
y
1
2
3
xmx2m
交x轴 于A（
x
1
，0）、B（
x
2
，0），交y轴于C点，且< br>x
1
＜0
22
＜
x
2
，

AOOB

2
12CO1
.
（1）求抛物线的解析式； < br>（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.

10．设
m
是整数，且方程
3x
2
mx20
的两根都大于

而小于

11．函数
yx
2
3x7
的图象与函数
yx
2
3xx
2
3x6
的图象的交点个数是 ．

12．已知
a
、
b
为抛物线
y(xc)(xcd) 2
与
x
轴交点的横坐标，
ab
，则
accb的值
为 ．
1 3．是否存在这样的实数
k
，使得二次方程
x
2
(2k1)x (3k2)0
有两个实数根，且两根都在2
与4之间?如果有，试确定
k
的取值范围；如果没有，试述理由．
14．设抛物线
yx
2
(2a1 )x2a
的图象与
x
轴只有一个交点．
(1)求
a
的值；
(2)求
a
18
32a
6
的值．
15．已知以
x
为自变量的二次函数
y4x
2
8nx3n2
，该二次函 数图象与
x
轴的两个交点的横坐
5
4
9
5
3
，则= .
7
标的差的平方等于关于
x
的方程
x2
(7n6)x2(n1)(n4)0
的一整数根，求
n
的 值．
16．已知二次函数 的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与
x
轴交于点A，B，与
y 轴交于点C，且满足关系式
OC
2
OAOB
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．

17．设
p
是实数，二次函数
yx
2
2px p
的图象与
x
轴有两个不同的交点A（
x
1
，0）、B（
x
2
，
0）．
(1)求证：
2px
1
 x
2
2
3p0
；

95

初中数学竞赛辅导 含答案
(2)若A、B两点之间的距离不超过
2p3
，求P的最大值．
(








96

初中数学竞赛辅导 含答案
参考答案



97

初中数学竞赛辅导 含答案



















98

初中数学竞赛辅导 含答案
第十三讲 怎样求最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、
产值最高 、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，
这就是我们要讨 论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：
1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；
3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值．
注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，
所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．
一次函数、反比例函数 并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取
得；定义在全体实数上的二次函数 最值在抛物线的顶点处取-得．即：
对于
yax
2
bxc
（
a0
）
4acb
2
b
(1)若a>0，则当
x
时，
y
最小值

；
4a
2a
4acb
2
b
(2)若a<0，则当
x
时，
y
最大值

．
4a
2a
【例题求解】
【例1】 设a、b为实数，那么
a2
abb
2
a2b
的最小值是 ．

思路点拨 将原式整理成关于
a
的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设
a
2
abb
2
a2bt
，将等式整理成关于
a
的二次方程
a
2
(b1)a(b
2
2bt)0
，利用判别式
求最小值．



【例2】若
x1
A．3 B．
y1
z2
，则
x
2
y
2
z
2
可取得的最小值为( )

23
599
C． D．6
142

99

初中数学竞赛辅导 含答案
思路点拨 设
x1



y1
z2k
，则
x
2
y
2
z
2
可用只 含
k
的代数式表示，通过配方求最小值．
23
【例3】 设
x1
、
x
2
是方程
2x
2
4mx2m
2
3m20
的两个实根，当
m
为何值时，
x
12
x
2
2
有最小
值，并求这个最小值．
思路点拨 由韦达定理知
x
1
2
x
2
2
是关于
m
的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就
要看自变量
m
的取值范围，从判别式入手．







注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：
(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
【例4】 甲、乙两个 蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规
定向A提供45吨，向B提 供75吨，向C提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100
吨．甲、乙与A、B、C的距离 千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?
求出最小的总运费值．

思路点拨 设乙基地向A提供
x
吨，向B提供
y
吨，这样总运费就 可用含
x
，
y
的代数式表示；因
为
0xy1000，
0x45
，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．
A B
5
8
C
6
15
甲
10
乙

4

100