写中秋节的诗-股东协议

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
年 级：三年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第13讲-
乘除巧算

P实战演练 S归纳总结
①
熟练运用运算律进行简便运算

②
建立简算意识，培养数感，提高心算和运算速度.


T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理

本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘 、除法之间的
关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题 ．
一、乘法凑整
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与 前面的数相乘，使得运算简便。
例如：
425100
，
812510 00
，
520100


123456799111111111
（去8数，重点记忆）

711131001
（三个常用质数的乘积，重点记忆）
理论依据：乘法交换率：a×b=b×a
乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c
积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)
二、乘、除法混合运算的性质
⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：
ab(an )(bn)(am)(bm)　　m0
，
n0

⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：
abcacb

⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．
例如：
abcacbbca

⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则
去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即
a(bc)abc　　　a(bc)abc

②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即
a(bc)abc　　　a(bc)abc

添加括号情形：加 括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即
abca(bc)　　　abca(bc)
abca(bc) 　　　abca(bc)

⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即
(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．




典例分析

考点一：乘5、15、25、125
例1、下面这些题你会算吗？
(1)
125(408)

(2)
(1004)25

【解析】(1)
125(408)125401258500010006 000

(2)
(1004)25100254252500100 2400


例2、你知道下题怎样快速的计算吗？

7865

【解析】
7865786(52)2786023930
或
786539325393103930


例3、聪明的你也来试试吧！
(1)
2415
(2)
8475
(3)
3975
(4)
56625

【解析】 (1)
2415(24242)10(2412)10360

( 2)
8475(214)(253)(213)(425)63100630 0

(3)
3975 (401)7540751753000752925

(4)
56625(78)(1255)(75)(8125)35100035000

例4、计算：
45000

2590

＝
【解析】
45000

2590

=45000< br>
5045

=450005045=100050=20

考点二：乘9、99、999
例1、下面各题怎样算简便呢？
(1)
129
(2)
1299
(3)
12999

【解析】(1)利用公式，可以得出结果：
12912012108
；
(2)
12991200121188
，此题也可用小技巧：
“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.
注意：只适用于“两位数乘
99
”．
12×　　99=1188
1 2
去
1
是
11
12
的补数是
88

(1)
12999120001211988
，
此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法.
注意：只适用于“两位数乘
999
”．
12×　　999=11988
12
去
1
是
11
中间隔
9
12
的补数是
88

例2、小朋友，相信你一定能行噢．
(1)
6297
(2)
123998
(3)
626997
(4)
12349998

【解析】因为
97
，
998< br>分别比
100
，
1000
小
3
、
2
，利用乘法分配律可得
(1)原式
62(1003)62001866014

(2) 原式
123(10002)123100012321230002461227 54

(3)原式
626(10003)
6260001878 624122

(4)原式
1234(100002)
12341 00001234212340000246812337532

例3、计算：
333333

333333
【解析】原式< br>31111113111111

99999911111 1
（10000001）111111

111111000 000111111
111110888889

考点三：乘11、111、101
例1、你能快速的写出结果吗？
4511

5611

222211

245611

【解析】(1)可以用公式
a11a( 101)10aa
得出：
451145045495

另外，还有一种小技巧—— 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”，
4
4
+
9
5
5

(2)用公式< br>a11a(101)10aa
得：
561156056616
也可用小技巧得：
5
进
1
+
6
1
6

6
(3)用公式
a11a(101)10aa
得出
222211222 21022222444

用小技巧得：
2
2
+
4
2
+
4
2
+
4
2
2
这是因为：< br>2
×
2
2
2
2
4
22
2
1 1
222
22
442

⑷用公式得：
a11a(10 1)10aa
得出：
245611245610245627016

用小技巧得：
2
2
4
5
6
6
，这是因为 ：
+
进
1
+
进
1
+
1
7
0
24
56
×1 1
24
56
24
56
27
0
1
6

所以
27016
为结果．

例2、请你根据“乘法的凑整”思路，推算下列各题．

3561002

231030

< br>【解析】(1)原式
356(10002)3560003562356000 712356712

(2)原式
23(100030)2300069023690


例3、计算：
2007711132

【解析】原式
2007(71113)2

200710012

200720025


考点四：其它乘法
例1、试着用一点技巧吧．
(1)
295295
(1)
705705

【解析】(1)
29529529(291)1002587000258702 5

(1)
70570570(701)100254970002 5497025


例2、
57223949
．
【解析】原式
5721131377

（52）（71113）（377）


例3、用简便方法计算下面的算式:
(1)
7278

(2)
7179

(3)
7838

(4)
4363
．
【解析】直接套用速算法：
(1) 原式
7（71）100285616
；
(2) 原式
7（71）100195609

(注意：我们在实际计算中不会这样详细列出式子，学生容易将答案错写成569．互补数如果
是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”)；
(3) 原式
（738）100882964
；
（463）100332709
． (4)原式


101001147101471471471470

例4、计算：< br>35
2
、
993
2
、
2009
2
．


（355）（355）5
2
1225
【 解析】
35
2

（9937）（9937）7
2
 98600049986049

993
2


2009< br>2
（20099）（20099）9
2
4036081

考点五：除法
例1、小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦．
(1)
(8172)9

(2)
(20461069735)3

(3)
29150950

(4)
22595

【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办 法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的
特点,选择不同的定律进行计算.
(1)我们一眼就可以看出
8199
,
7298
,所以运用除法的分配律可以简便运算.

(8172)98197299817

(2)括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.
(2 0461059735)32046310593735368235324584

(3)
291
和9都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用 除法分配律的逆运算,
29150950(2919)50300506

(4)这是一个连除,
2259
计算起来会比较复杂,但是
2255< br>相比较就会简单一些,根据连除的性质:
交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算:
22595225594595
．
例2、计算的方法很重要，我们要仔细听啦。
(1)
(13065)13
(2)
(20461069735)3

(3)
981501950
(4)
2275135

【解析】(1)我们一眼就可以看出
1301310
，
6513 5
,所以运用除法的分配律可以简便运算.

(13065)1313013651310515

(2)括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算.
(2 0461059735)32046310593735368235324584

(3)
981
和
19
都不是
50
的倍数 ,但是它们的和却是
50
的倍数,运用除法分配律的逆运算
981501950 (98119)5010005020

(4)
227513
计算起来会比较复杂,但是
22755
相比较就会简单一些,根据连除的性质:
交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算:
227513522755134551335
．

考点六：乘除混合
例1、聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧．
(1)
13658

(2)
2560(104)

(3)
527155

【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质,根据算式不同的特征选择不同的性质进行巧算, 可以减
少计算时间并大大提高正确率,不信你就试试吧!
(1)利用带着符号搬家, abcacbbca
，
13658136851758 5
；
(2)利用去括号的性质,
a(bc)abc
，
2560(104)25601041024
；
(3)利用添括号的性质,
abca(bc)
，
527155527(155)527 31581
；

例2、
9999999998888888881333333332

【解析】通过观察算式中的3个数字可以看出，它们都与
111111111
有关，前两个数很 容易看出，第三个数
1333333332266666666626111111111< br>，所以有：
原式
91111111118111111111
< br>（2666666666）
98111111111111111111261 11111111

1111111116666666666

< br>例3、东东参加智力竞猜，有道计算题他暂时算不出来，于是选择了求助场外朋友．这道题是：
等 于多少？如果你是东东的朋友，你能帮东东解出来吗？
1（23）（34）（45） （56）
【解析】根据乘除混合运算中去括号的性质：
a（bc）abc


1（23）（34）（45）（56）
123344 556
126
1（62）
3

例4、
（235711131719）（38516577）
【解析】这道题中被除 数以
8
个因数相乘形式出现，除数以
4
个因数相乘形式出现，仔细观察，可以 发现被除
数中的
8
个因数可通过交换位置两两相乘所得之积恰好分别是除数中四个因数 相等，即
21938
，
31751
，

51365
，
71177
，所以，这道题的计算就十分简单了．
原式


（219）（317）（513）（711）（ 38516577）
38516577（38516577）

1

P(Practice- Oriented)——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1.为了考察大头儿子的速算能力，小头爸爸给他出了一道题，并且限时一分钟，小朋友，你能做到吗？

192564125

【解析】把
64
分成
482
，用乘法结合律便可速算．
原式


（254）（1258）（192）

1001000383800000

2..下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！

2625
【解析】
26
不能被
4
整除，但
26
可以拆成
642
，这样
2625
，可转化为
6425
再加上
225
，这样就
可速算了．
原式
（642）25

6425225
60050
650

3. 计算：
564251252009
．
【解析】把64拆成
248
，然后配方．
原式
5（248）251252009

（52）（254）（1258）2009

10100100 02009
2009000000
4.请快速计算下面各题．
(1)
200425
⑵
125792

【解 析】(1)
200425(20004)2520002542550100

(2)
125792125(8008)1258001258100 010010001000(1001)99000

5.计算：
813125
=
【解析】根据乘法凑整 原则
81312581251310001313000

6.计算：
125161119
____________．
【解析】根据乘法凑整原则整理为

125161119

=12582999
2000

10001

200010001
1001

7.算式
65432163
值的各位数字之和为多少。
【解析】
6543216311111111111111111179

777777777999999999777777777(10000000001)< br>
777777777000000000777777777777777776222 222223
，
所以它的各位数字之和为
78628381
。
8.我们快来做做吧？
(1)
1239
(2)
23499
(3)
2569999

【解 析】利用公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数
9
，在该数后添
0
，再减此数；一个
数
×99
，在该数后添
00
，再减此数； 一个数
×999
，在该数后添
000
，再减此数……
(1)
123912301231107

(2)
2349923410023423166

(3)
256999925600002562559744

9.计算：
1999999999

【解析】方法一：
19999999991000999999999


100099910 001000
(
9991
)
1000000
．
方法二：
19999999991999999
(
10001
)
1999999000999


(
1999999
)
9990001000000
．
10.两个十位数1 111 111 111与9 999 999 999的乘积中有几个数字是奇数？
【解析】方法一：
11111111119999999999


1111111111（100000000001）
111111111100000000001111111111
111111111
有10个数为奇数．
方法二：
199
奇数的个数为1
11991089
奇数的个数为2
111999110889
奇数的个数为3
1111999911108889
奇数的个数为4
……

11111111119999999999111111 111
显然其奇数的个数为10．

11.你会应用计算性质吗？
(1)
123155
； (2)
1251625

(3)
5600
(4)
450546

（257）

【解析】(1)利用“添 括号”的性质，
123155123（155）1233369

(2)利用“带着符号搬家”可以简便运算，
125162512525165168 0

(3) 利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算，
5600（2 57）5600257（56007）258002532

(4) 利用“添括号”的性质，
450546450（546）450950

（711）（1115）（1521）
12.计算：
5

【解析】原式
571111151521

5（1111）（1515）（217）

53
15
➢ 课后反击
1.计算：125×32×25
【解析】 由数字“125，25”及符号“连乘”的特征，可以想到“8，4”，结合上章所学，因为 他们的乘积是整千、
整百数。而32＝4×8，所以，可以将一个乘数“32”拆成需要的几个因数。
即：125×32×25＝125×8×4×25
＝（125×8）×（25×4）
＝1000×100
＝100000
2.计算： 1200÷25÷4
【解析】观察题目发现有两个显著的特征：一是连除；二是25和4的积是100 所以我们有两种方法：
解法一：可以用25去除以被除数1200，也可以先用4除以被除数1200，
即1200÷25÷4
＝48÷4
＝12
或 1200÷4÷25＝300÷25＝12
解法二：一个数连续除以几个数，等于这个数除以这几个数的积
原式＝1200÷(25×4）

＝1200÷100
＝ 12
3.计算： 12÷5+13÷5 32÷3－20÷3
【解析】观察题目的数字特征，根据四则运算法则直接计算较困难，但各题中，除数数字都相同，因而：
12÷5＋13÷5＝（12＋13）÷5＝5
32÷3－20÷3＝（32－20）÷3＝4
技巧：两个商的和（或差），在除数相同的情况下，可以先算两个被除数的和（或差），再除以除数。 用字母
表示：a÷c+b÷c＝(a+b)÷c a÷c-b÷c＝(a-b)÷c
4.计算： 120×80÷60
【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时，可以先算÷60，再算×40，就像 是“带着符号
搬家”因而：
120×80÷60＝120÷60×80＝2×80＝160
技巧：四则元算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”（符号在前，数字在后）。
5.计算： 25÷10×4
【解析】观察题目的数字和符号特征，都是第二级运算。计算时 ，可以先算25÷10的商是2.5，在现在所学的
知识还远远不能解决，再算×4，特别麻烦。我们可 以“带着符号搬家”
因而： 25÷10×4＝25×4÷10＝100÷10＝10
技巧：四则运算中，若是同级运算，可以“带着符号搬家”（符号在前， 数字在后）。
6.
1000001999999
．
【解析】 原式
（10000001）9999999999990000009999999999 99999999
．
另，可由叠数的性质
直接得出答案为
999999999999

（35）（57）（79）
7.计算：
1

【解析】原式
13557791391（93）3

8.计算：
903903043043

原式
903100 10(431001)90343100101001210

（11109L321）（22242527）
9.计算：
【 解析】这道题中被除数以
11
个因数相乘形式出现，除数以
4
个因数相乘形式 出现，
仔细观察，可以发现被除数中有
8
个因数通过交换位置两两相乘所得之积恰好 分别是除数中四个因数的倍数，
即
11222
，
105252，
96272
，
8324
，

所以，这道题的计算就十分简单了．
原式
（11222）（10525 ）（9627）（8324）74

122174

112
（45691117）（366685）
10.计算：
【解析】原式


（49）（611）（517）（3666 85）
366685（366685）

1


直击赛场

1（2008年，学而思杯）计算：
6543219

【解析】原式


111111111

9


999999999111111111


0000000111111111


11111111

2
(Summary- Embedded)——归纳总结
S
名师点拨

乘除法中的简便运算，要熟练地运用乘法的运算定律与除法的运算性质。
乘法交换律：
abba

乘法结合律：

ab
ca

bc


乘法分配律：

ab

cacbc

商不变的性质：
ab

ac



bc< br>
；
ab

ac



b c



b0,c0


除法的运算性质：
abca

bc


积不变的性质：
ab(ac)

bc


学霸经验

➢ 本节课我学到了

➢ 我需要努力的地方是