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学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第01讲—— 平均数

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
① 进一步理解和掌握平均数应用题的意义和数量关系
② 进一步学会以多补少的方法解决平均数问题，并进一步学习解答稍为复杂的求平均
数应用题

授课日期及时段
T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理
一、基本公式
平均数×总份数=总数量 总数量÷总份数=平均数 总数量÷平均数=总份数
二、平均数问题



日常生活中 我们会遇到这样的问题：几个杯子中的水有多有少，为了使每个杯子中的水一样多，就将水多的
杯子里的 水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移多补少”，通
常称 之为平均数问题。
求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。解答平均数问题的 关键是要求出总数量和总份
数的，然后根据基本总量关系式来解答。也可采用假设平均数的方法，即找一 个基数，用“基数+各数与基数
的差之和÷份数=平均数”公式求平均数。


1

典例分析

考点一：用基本关系式求平均数
例1、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是8厘米、5 厘米、4厘米、3厘米。这4个杯子里水面的平均
高度是多少厘米？


例 2、数学测试中，一组学生中的最高分为98分，最低分为86分，其余5名学生的平均分为92分。这一组学生的平均分是多少分？



例3、明明期中考试语文、数学、科学 的平均分数是91分，英语成绩公布后，他的平均分提高了2分。明明
英语考了多少分?



考点二：利用基数法求平均数
例1、求下列20个数的平均数：401 ，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，3 98，
405，401，400，402，403，400。





2

例2、王老师为四年级羽毛球队的同学测量身高。其中两个同学身高153厘米，一个同学身 高152厘米，有两
个同学身高149厘米，还有两个同学身高147厘米。求四年级羽毛球队同学的平 均身高。



考点二：航行中的平均数问题

例1、两地相距360千米，一艘汽艇顺水行驶完全程需要10小时，已知这条河的水流速度为每小时6 千米。
往返两地的平均速度是每小时多少千米？


例2、张师傅开汽车从 A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／
时；从C到D为 下山路，车速是42千米／时.已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅
开车从A 到D共需要多少时间？





3

考点四：改动中的平均数
例1、有五个数，平均数是9。如果把其中一个数改为1 ，那么这五个数的平均数为8，这个改动的数原来是多
少？





例2、五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位 同学的98分误作89分计算了。
经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？



例3、有4个数，这4个数的平均数是21，其中前2个数的平均数是 15，后3个数的平均数是26.那么第二个
数是多少？





P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37
个。一箱苹果多少个？




4

2、小英4次数学测验的平均成绩是92分，5次数学测验的平均成绩比4次数学测验的平均 成绩提高了1分。
小英第5次数学测验得了多少分？





3、一辆小轿车，装有4个轮胎，还有2只备用轮胎，司机适当地轮换这6只轮胎，使每只轮 胎行程相同。小
车共行驶了360千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？




4、A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样 计算了4次,得到下面4个数 23,
26, 30, 33。 A、B、C、D 4个数的平均数是多少？




5、五个数排一排，平均数是9 。如果前四个数的平均数是七，后四个数的平均数是10，那么第一个数和第五
个数的平均数是多少？




6、王华的期末考试成绩单被弄污了，有两个字看不清楚，请你想办法把语文、数学成绩算出来




5

 课堂反击
1、小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这次要考到100分 ，才能把平均成绩提高到86分。问这是他第
几次测验？




2、一艘轮船往返于甲乙两个码头距离为75千米，顺水每小时航行25千米，逆水每小时航行20千米 。这艘
轮船往、返的平均速度是每小时多少千米？




3、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄< br>成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在这次考试中得了多少分？




4、第三小队11位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是92, 86,92,87,90,94,91,88,89,92,89，求
每个人平均每分钟跳绳多少个？



直击赛场

1、（2007年4月希望杯四年级 2试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最
后又沿原路返回．假设赵伯 伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，在每
天锻炼中，他共行走多少千米？



6

S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

1、用基本关系式求平均数
2、利用基数法求平均数
3、航行中的平均数问题
4、改动中的平均数
名师点拨

1、求平均数问题的基本数量关系是：总数量÷总份数=平均数。解答平均数问题的关键是要求出总数量和总< br>份数的，然后根据基本总量关系式来解答。
学霸经验

 本节课我学到




 我需要努力的地方是












7

学科教师辅导讲义
学员编号：
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授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第02讲——等差数列

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
③ 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；
④ 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理


一、数列的概念
按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为 首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列
100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列
二、等差数列与公差
一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的 叫做等差数列，其中相邻两项的
差叫做公差。
三、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）

项数

2
项数=（末项-首项）

公差+1
末项=首项+公差

（项数-1）
首项=末项- 公差

（项数-1）
公差=（末项- 首项）

（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项

项数



8

中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于 首项与
末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
典例分析

考点一：等差数列的基本认识
例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；



例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？


例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第 1项是多少？第19项是多少？



例4、2、4、6、8、10、12、


例5、5、8、11、14、17、20、


是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．
，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？

9

考点二：等差数列求和
例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？



例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？



例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006 个数的和时，他少算了其中的一个数，
但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小 1。小马虎求和时漏掉的数是 。



例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？
111213
121314< br>131415
202122
1920
2021
2122

2829




考点三：等差数列的应用
例1、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，




，问2009是这个数列的第多少项？

10

例2、在11～45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？



例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时 ，按这种方式摆下去，当N=5
时，共需要火柴棍 根。


例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个 小圈，
第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有____ _______个小圈。



P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？






11

2、全部三位数的和是多少？






3、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、……49、50；
2、3、4、5、……50、51；
3、4、5、6、……51、52；
……
49、50、51、52、……97、98；
50、51、52、53、……98、99。


4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最 外圈有多少人？最
内圈有多少人？






5、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数< br>是 。







6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有7 0个座位，这个剧
院共有 个座位。








12

7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放 本书，最下
面一层放 本书。






8、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？






9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如 下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有
95根，问：这堆圆木一共有多 少根？





10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？



 课堂反击

1、观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ 。





13

2、2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？



3、在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．




4、有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？



5、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后， 相邻两个数的差都是5，那么，第1个数
与第6个数分别是多少？



6、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、



7、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？





14

，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？

5

2

20201055
8、观察下列四个算式：
1
=20，
2
=10，
4
=
2
，
8
=
16
。从中找出规律，写出第五个算式： 。



9、 若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如
对于a，差为7-5=2，所有差的总和为 。

直击赛场

1、（2005年，第3届，希望杯，4年级，1试）从1开始的奇数 ：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。




2、（2006年，第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式：
2＋4＝6＝2×3，
2＋4＋6＝12＝3×4
2＋4＋6＋8＝20＝4×5
……
然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ 。

3、（2 005年，第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1～N中去掉一个数，剩下的(N一1)个数的平均值是15.9，去掉的数是_____。




15

S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

一、等差数列的定义
⑴定义：从第二项起，每一项都比前一项 大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差
数列．
⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用
a
1
表示
末项：一个数列的最后一项，通 常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n
项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用
d
来表示；
和 ：一个数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示 ．
二、等差数列的相关公式
（1）三个重要的公式
① 通项公式：递增数列：末项< br>
首项

(项数
1
)

公差，
a
n
a
1
（n1）d

递减数列：末项
< br>首项

(项数
1
)

公差，
a
n
a
1
（n1）d

② 项数公式：项数

(末项

首项)

公差+1
③ 求和公式：和=(首项

末项)

项数÷2
（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首
项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
本节课我学到了
 我需要努力的地方是







16

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第03讲——鸡兔同笼问题

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
⑤ 掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题；
⑥ 掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理



大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。





17

解决鸡兔同笼问题的主要方法有：
1、砍足法（抬腿法）
解 答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双
脚兔” ．这样，鸡和兔的脚的总数就由
94
只变成了
47
只；如果笼子里有一只兔子 ，则脚的总数就比头的总数
多
1
．因此，脚的总只数
47
与总头数< br>35
的差，就是兔子的只数，即
473512
（只）．显然，鸡的只数就是
351223
（只）了．
2、假设法（经典）
鸡兔同笼问题的基本关系式是：
如果假设全是兔，那么则有：
鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
鸡数=鸡兔总数-兔数

3、方程法

根据鸡兔的脚之和列方程解答。
典例分析

考点一：图解法和列表法
例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？




例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？







18

例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？



考点二：假设法
例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？




例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？




例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克 ，大瓶比小瓶共多装20千克。
问：大、小瓶各有多少个？




例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280 元。问：
两种文化用品各买了多少套?



例5、100个和尚 140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人?




19

考点三：列方程解决鸡兔同笼问题
例1、鸡、兔共笼，鸡比兔多20只，足数共280只，问鸡、兔各几只？




例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人 ，每条小船坐4人，问大船、
小船各租几条？




例 3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛．小明数
了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？


例4、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又 知
道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？





P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？




20

2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？





3、在一个停车场上，现有车辆
41< br>辆，其中汽车有
4
个轮子，摩托车有
3
个轮子，这些车共有
1 27
个轮子，那
么三轮摩托车有多少辆？




4、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每
分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下?




5、列方程解答：鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？




6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽 5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生
多4人，该班男生和女生各多少人？



7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入25 70元．已知其中售出每
千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的 糖果售出了多少千克？



21

 课堂反击
1、鸡兔同笼，头共
46
，足共
128
，鸡兔各几只？




2、鸡、兔同笼，鸡比兔多
26
只，足数共
274
只，问鸡、兔各几只？




3、工人运青瓷花 瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，
工人共 得4400元，则损坏了多少个？





4、某学校 有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中
有多 少间大宿舍？




5、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一 副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋
与跳棋各有多少副?








22

6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分．小华得了88分， 问他做对几题？




7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与 明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明
信片各买了几张?





直击赛场





S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾




名师点拨

解决鸡兔同笼问题的主要方法有：
1、列表法
根据鸡与兔的数量和，把所有可能的 情况列举出来，找到符合条件的解。一般采用半数列举法，即假定鸡
兔各占一半，这样列举可以减少列举 的次数，提高效率。
2、图示法


23

先画出所有的头，再把每个头上画上2只脚，再把剩下的脚画在部分图上，每个图上加上2只 脚，直到脚
全部用完。这样，有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。也可以把每个头上画上4只脚，再 从有4只脚的头
上取下2只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。这样有4只脚的就是兔子，2只脚 的就是鸡。
3、假设法
假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因解题。
变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。
4、方程法
利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和
变形题注意数量关系的变化。
5、关于鸡兔同笼变形题
先在题中找到对应的“鸡”和“兔”，“鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。

学霸经验

 本节课我学到




 我需要努力的地方是












24

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第04讲——长方形、正方形的周长

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标
⑦ 熟悉掌握基本图形周长的求法
⑧ 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计算的公
式求解。
⑨ 能够分析图形的特点，提高几何图形的思维能力

授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理


一、基本概念及公式

周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。
长方形周长=（长+宽）×2
正方形周长=边长×4
二、方法技巧
对于基本的长方形和正方形图形，可 以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则的比较复杂的几
何图形，我们可以采用转化的数学 思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计
算的公式求解。








25

典例分析

考点一：平移法
例1、有两个形同的长方形，长7 厘米，宽5厘米，把他们按下图的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少
厘米？



7
厘
米
7
厘
米

5厘米 7厘米



例2、下面是一个楼梯的侧面，如果在楼梯上铺地毯，求地毯的长度









26

例3、下图由1个正方形和2个长方形组成.求这个图形的周长
20
9
15


50

例4、求下面这个图形（每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，且边相互平行）的周长？






考点二：合并法
例1、如下图所示,长方形长4厘米,宽2厘米.现沿其对角线BD对折得到 一几何图形,试求图形阴影部分周长。





27

例2、用一个长8厘米、宽4厘米的长方形与7个边长为4厘米的正方形，拼成一个大正方形 。拼成的大正方
形的周长是多少？


考点三：分解法
例1 、如图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形.如果AF=10厘米,HC=7厘米,那么长方形ABCD的 周长是多少厘米?



例2、下图是由4个一样的长方形和1个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形，每< br>个长方形的长与宽各是多少分米？周长是多少分米？











28

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、如图一，
一个正方形分成甲、乙两 部分，比较甲、乙两部分周长的长短，求出乙的周长。







2、一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形，每个长方形的周长是1 4厘米。原正方形的周长是
多少厘米？







29

3、由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，如果这个图形的面积是400平方厘 米，它的周长是多少
厘米？








4、下图是一个零件的平面图，图中每一条最短线段均长5厘米，零件长45厘米，高 30厘米。这个零件的周
长是多少厘米？










30

5、用同样的长方形瓷砖，在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框，边框的周长是264cm ,里面小正方形的面积
是900平方厘米。求每块瓷砖的周长。





6、一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4 厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板
的周长是多少厘米？





 课后反击
1、有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着 ，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，
求重叠后图形的周长。





31

2、求下列图形的周长。（单位：厘米）





3、已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？





4、如图8所示，在正方形中ABCD，BC=4BM．若 梯形AMCD的周长比三角形ABM的周长大12，求正方形的边长。








32

直击赛场

1、从长方形纸片上裁掉两个正方形ABCD和正方形CE FG，其中正方形ABCD的面积是49平方厘米，求余
下的长方形纸片DGFH的周长





2、求下图的周长（单位厘米）

10+12=22
19









33

S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长 和面积。对于一些不规则的比较复杂的
几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等 技巧成基本图形，利用长方形、正方形周
长及面积计算的公式求解。
名师点拨

我们可以采用转化的数学思想方法通过分解、平移、合并等技巧，将一些较复杂图形的周长问题转化为简 单
的长方形、正方形周长问题求解。
学霸经验

 本节课我学到




 我需要努力的地方是













34

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第05讲—— 长方形、正方形的面积

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标
⑩ 熟悉掌握基本图形面积的求法。
⑪ 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算公式
求解。
⑫ 能够分析图形的特点，提高几何图形的观察能力和思维转换能力。

授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理
一、基本公式
长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一 些已
知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有 关概念，
利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积 的问题，从而正确
解答。


二、方法技巧
对于基本的长方 形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，
我们可以采 用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算的公式
求解。

典例分析






35

考点一：分解法
例1、把一张长4米、宽3米的长方形木板，锯成一个面积最大的 正方形木板，这个正方形木板的面积是多少
平方米？






例2、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40 平方厘米。求大、小正方形
的面积各是多少平方厘米？






例3、求下面图形的面积。（单位：厘米）









36

例4、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘 米。大正方形和
小正方形的面积各是多少？



考点二：平移法
例1、已知两相同的长方形ABCD和DFEG的长是6，求阴影部分的面积





例2、把20分米长的线段 分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，
大正方形的面积是多 少平方分米？






37

例3、有一块菜地长16米，宽8米。菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平均分成了4块 ，每一块地的面
积是多少？




考点三：合并法

例1、一个正方形中套着一个长方形。已知正方形的边 长是16分米，长方形4个角的顶点恰好把正方形四条
边都分成两段，其中长的一段是短的3倍。阴影部 分的面积是多少？




例2、一个长方形与一个正方形部分重合（如图），求两块阴影部分的面积相差多少？(单位：厘米)







38

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、将一块长3米，宽2米的长方形布剪成一块面积最大的正方形布，剩下部分的面积是多少平方米？



2、计算下图的面积。

30-20=10




3、一个边长为8厘米的正方形，依次连接4边中点得到第二个正方形，这样继续下去可以得到第三个、 第四
个、……求第四个正方形的面积。






39

4、长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这 四个正方形的面积的
和是68平方米，求长方形ABCD的面积




5、正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积






6、一个大长方形被两条 平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，
求第四个长方形的 面积。





40

 课后反击
1、下图是一个养鸡专业户用一段长24米的篱笆围成一个长方 形的养鸡场，其中一面利用墙，求占地面积有
多大？

2、三角形EBC的面积是40平方厘米，且阴影部分面积比三角 形EFG的面积大10平方厘米。求平行四边形
ABCD的面积。



3、如下图，一块正方形玉米田，边长是9米。中间有两条1 米宽的小路。求种着玉米的土地的面积(图中阴
影部分的面积)
8

8



41

4、长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图），其中图形甲的长 和宽的比是a：b=2：
1，其中图形乙的长和宽的比是多少？








直击赛场

1、如下图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4，△CED的面积是6 。问：四边形
ABEF的面积是多少？










42

S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

分解、平移、合并三种方法的运用
名师点拨

对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。对于一些不规则的比较复杂的几何 图形，
我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积 计算的公
式求解。

学霸经验

 本节课我学到



 我需要努力的地方是











43

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
T同步课堂
年级：五年级
辅导科目：奥数
课时数：3
学科教师：
第06讲——分类数图形

P实战演练 S归纳总结
①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；
②学会数基本图形的个数；
③掌握数图形的规律。
授课日期及时段
T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理

一、学会数图形
同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必
须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关 键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，
然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长 方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂
的几何图形。要想准确地计数这类图 形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用
有关的知识和思考方法，掌握数图 形的规律，才能获得正确的结果。

二、解题策略
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。




44

典例分析

考点一：基本图形
例1、数出下图中有多少条线段？




例2、数出图中有几个角？



例3、数出右图中共有多少个三角形？



例4、数出下图中有多少个长方形？




45

例5、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）





考点二：较复杂的问题
例1、有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？




例2、从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车 的车票？这些
车票中有多少种不同的票价？



例3、求下列图中线段长度的总和。（单位：厘米）




例4、下图中共有多少个三角形？





46

例5、数出下图中所有三角形的个数。




例6、如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？





例7、数一数，下图中共有多少个三角形？










47

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、数出下图中有多少条线段？





2、数出图中有几个角？





3、数出图中共有多少个三角形？








48

4、数出下图中有多少个长方形？



5、银海学校三年级有9个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？



6、从上海到武汉的航运线途中，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票？





7、数一数，图中共有多少个三角形。





8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？








49

 课后反击
1、数出下图中有几个长方形？




2、数出图中有几个角？




3、数出图中共有多少个三角形？



4、数出下图中有多少个长方形？







50

5、有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字各用一次，能组成多少个不同的两位数？




6、从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价？




7、下面图中共有多少个三角形？




8、下图中共有多少个正方形，多少个三角形？



9、下图中共有6个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？





51

直击赛场

1、下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B 中，有___个；在图C中，有______个。

（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第1试）



2、数一数，图中有_________个三角形。
（第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试）





S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

（1）认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；
（2）学会数基本图形的个数；
（3)掌握数图形的规律

名师点拨

重点和难点突破：
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。


52

2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
学霸经验
 本节课我学到了




 我需要努力的地方是

















53

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
⑭
培养分析问题和解答问题的能力。
授课日期及时段

T同步课堂
年 级：五年级 课 时 数：3
辅导科目：数学 学科教师：
第07讲——复合应用题

P实战演练 S归纳总结
⑬
掌握解答应用题的一般步骤，能用综合算式解答一般应用题；
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理


一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是 间接的，数量关系比
较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解 题规律可循。解答一般应
用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数 量关系时，我们可以从条件出
发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条 件（分析法）。在实际解时，可以根
据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
典例分析

考点一：简单的一般应用题
对于简单的一般应用题，我们在解题过程中 只需要读懂题目所表达的意思，根据题目给出的数量关系列出
式子即可。
例1、五年级有六个 班，每班人数相等。从每班选16人参加少先队活动，剩下的同学相当于原来4个班的人
数。原来每班多 少人？





54

例2、某车间按计划每天应加工50个零件，实际每天加工56个零件。这样，不 仅提前3天完成原计划加工零
件的任务，而且还多加工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件 ？





例3、甲、乙二 人加工零件。甲比乙每天多加工6个零件，乙中途停了15天没有加工。40天后，乙所加工的
零件个数 正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？






例4、服装厂要加工一批上衣，原计划20天完成任务。实际每天比计划多加工60件，照这 样做了15天，就
超过原计划件数350件。原计划加工上衣多少件？




例5、王师傅原计划每天做60个零件，实际每天比原计划多做20个，结果提前5在完成任 务。王师傅一共做
了多少个零件？








55

考点二：较复杂的一般应用题
较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组 以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通
过“转化”向基本的问题靠拢。因此，我们 在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确
解答。
例1、把一条大鱼分 成鱼头、鱼身和鱼尾三部分。鱼尾重4千克，鱼头的重量等于鱼尾的重量加鱼身一半的重
量，而鱼身的重 量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量。这条鱼重多少千克？







例2、工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要 35根。已知这两种管子的长
相差2米，这段排水管道长多少米？








例3、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹 果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。结帐时，甲和乙都要
付给丙24元，每千克苹果多少元？









56

例4、甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2 吨，大、小卡车跑
一趟的耗油量分别是10升和5升。用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？






例5、有一栋居民楼，每家都订2份 不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中北京日报34份，江海晚报
30份，电视报22份。那么订 江海晚报和电视报的共有多少家？







例6、一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已进水800桶。一台抽水机每分钟 抽水
18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完。每分钟进水多少桶？







考点三：复合应用题
解答一般应用题时，可以按下面的步骤进行：
1、弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3、拟定解答计划，列出算式，算出得数；
4、检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。



57

例1、甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产700个。由于改进技术，甲每天多 生产100个，乙的
日产量提高了1倍，这样二人一天共生产1020个。甲、乙原计划每天各生产多少 个零件？



例2、把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹 竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的
一半长13厘米。求竹竿的长。




例3、将一根电线截成15段。一部分每段长8米，另一部分每段长5米。长8米 的总长度比长5米的总长度
多3米。这根铁丝全长多少米？



例4、甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去2.5小时改装机器，因此前4小时甲比乙少做400个零件。又
同时加工4小时后，甲总共加工的零件反而比乙多4200个。甲、乙每小时各加工零件多少个？



例5、加工一批零件，单给甲加工需10小时，单给乙加工需8小时。 已知甲每小时比乙少做3个零件，这批
零件一共有多少个？







58

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、做一批零件，原计划每天生产40个，实际 每天比原计划多生产10个，结果提前5天完成任务，原计划要
生产多少个零件？




2、甲、乙两个车间都要安装240台电机，乙车间每小时安装24台 ，当甲车间完成任务时，乙车间还有48台
没有装好，甲车间每小时装多少台？




3、一堆煤，原来每天烧1.8吨，可以烧30天。技术革新后，这堆煤能多烧6 天，技术革新后每天少烧多少吨
煤？




4、亮亮 买了一批纸，订了一本练习册后还剩下30张纸，计划30天用完，25天后，用完了练习册又10张纸，
这本练习册是多少张纸？







59

5、4辆大卡车5次运煤80吨，3辆小卡车8次运煤36吨，现有51吨煤，用1辆大卡车 和3辆小卡车同时运，
需运几次才能运完？




6 、一次速算比赛共有100道题，李明一分钟做了3道题，张强做5道题比李明少用10秒钟，那么，张强做完100道题时，李明做完了几道题？




7、甲、乙 装订练习本，甲装订2小时后乙才开始，因此，前3小时甲比乙多装订了120本，又同时装订了3
小时 后，乙比甲多装订了600本，求每小时各装订多少本？





8、有面值分别为拾元、伍元、贰元的人民币27张，共108元，拾元的张数比伍元的张数 少7张，那么，三
种面值的人民币各有多少张？




9、有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间迟3小时开工，所以比甲车间晚30
分钟完成。已知乙车间加工1个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多少分钟？





60

10、有红、白球若干，若每次拿出1个红球和1个白球，则拿到没有红球时，还剩下50个 白球；若每次拿出
1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球；问这堆红球、白球共用 多少个？




11、老师和学生共100人去植树，老师每 人栽3棵，学生每3人栽1棵，一共栽了100棵，问：老师、学生
各多少人？





 课后反击
1、甲买一箱苹果和一箱梨，共付55元；乙 买了一箱梨和一箱橘子，共付50元；丙买了一箱苹果和一箱橘子，
共付45元；求三种水果每箱的价钱 。





2、爸爸买一套西服、一条领带和一双皮鞋 共用了1425元，已知西服的价钱比领带贵703元，西服和领带一
共比鞋贵809元，求西服、领带 、皮鞋的单价。








61

3、甲、乙两个车间织同样多的布，原计划每天共织700米，现技术改进，甲车间每天多织 布100米，乙车间
的日产量提高一倍，这样，两车间一天共织了1020米。甲、乙两车间原计划每天 各织布多少米？





4、一根铁丝，截去四分之三，剩下部分正好做一个边长为5厘米的正方形框架，这根铁丝原长多少？





5、甲、乙两人加工某种零件，甲先做了3分钟 ，而后两人又一起做了2分钟，一共加工零件610个。已知甲
每分钟比乙每分钟多加工10个，那么， 甲比乙多加工多少个零件？






6、 720人外出参观，1辆大客车比1辆面包车多载20人，6辆大客车和8辆面包车载的人数相等，如果都乘面包车，需要几辆？如果都乘大客车呢？








62

7、师、徒两人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务。 已知徒弟每小时比
师傅少做了3个，师傅每小时做多少个？



8、一次竞赛，五年级和六年级共20人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12人不是六年级的，该
校有多少人获奖？


9、甲乙丙三人都以均匀的速度进行60米赛跑， 当甲冲过终点时，比乙领先10米，比丙领先20米，当乙到
达终点时，比丙领先多少米？



直击赛场

1、（第二届“希望杯”）暑假期间，小强每天 都坚持游泳，并对所游的距离作了记录。如果他在暑假的最后一
天游670米，则平均每天游495米； 如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500
米，那么最后一天应游多 少米？



2、如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离 相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相
向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又 继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300
米又追上小强。问甲、丙两站的距离是多少数？




63

S(Summary-Embedded)——归纳总结
名师点拨

一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，数量关系比< br>较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答一般 应
用题时，可以借助线段图、示意图、直观演示手段帮助分析。在分析应用题的数量关系时，我们可以从 条件出
发，逐步推出所求问题（综合法）；也可以从问题出发，找出必须的两个条件（分析法）。在实际 解时，可以根
据题中的已知条件，灵活运用这两种方法。
应用题解答的关键步骤，是分析数量关系和线段图比较。线段图比较直观，可以把 一道应用题的条件、
问题以及它们之间的内在联系清晰地反映出来。画线段图既是一个审题过程，同时也是一个分析应用题的 数量
关系过程，线段图画正确了，应用题的数量关系也就清楚了。应用题的解题思路也随之而出，问题迎 刃而解。

学霸经验

 本节课我学到了


 我需要努力的地方是









学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：五年级

课 时 数：3

64

学员姓名：
授课主题
授课类型
辅导科目：奥数 学科教师：
第08讲——尾数与余数

T同步课堂
⑮ 了解尾数、余数概念；
P实战演练 S归纳总结
教学目标
⑯ 掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法；
⑰ 培养学生观察发现、总结归纳的学习能力。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理
一、基本概念
1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。
377896的尾数是6,573450的尾数是0.
2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
35÷6=5……5,余数是5； 18881÷3=6293……2,余数是2.
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。



二、方法技巧
解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答：
1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题；
2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周期就是几；
3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直接求出余数了 。

典例分析

考点一：分解被除数写出符合条件的除数


65

例1、写出除213后余3的全部两位数。



例2、写出除1290后余3的全部三位数。




考点二：确定一个乘积结果的尾数
例1、125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？



例2、4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？




考点三：确定循环类结果的数字或余数
1
例1、 把 化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？
7



66

例2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中 ，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这
串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少 ？



考点四：采用试除法解决余数问题
例1、555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？







例2、444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？






P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练



67

 课堂狙击
1、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？


2、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21 ×26）]积的尾数是几？



3、9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？



5
4、 写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？
7


5、666…6÷4[100个6] 当商是整数时，余数是几？


< br>6、94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位 是多少？




68

7、有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数起，每 个数恰好是前两个数的和。在
这一串数中，第1991个数被3除，所得的余数是几？



 课后反击
1、写出除109后余4的全部两位数



2、1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？



3、（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（1 2×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？


1
4、把 化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。
11

5、888…8÷7[200个8] 当商是整数时，余数是几？




69

6、一列数1,2,4,7,11,16,22,29，……。这列数的规律是第 二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2，
第四个数比第三个数多3。依次类推，这列数左起第 1992个数被5除余数是几？




7、已知，甲数除以9余7，乙数除以9余5，甲数比乙数大。
（1）甲、乙两数的和除以9余数是几？
（2）甲、乙两数的差除以9余数是几？
（3）甲、乙两数的积除以9余数是几？



8、1×2×……×100+1×2×……×99+……+1×2×3+1×2+1的个位数字是几？






直击赛场

1、【2015•希望杯初赛】9个13相乘，积的个位数字是



70

2、【2015•希望杯初赛】如果自然数ɑ、b、c除以14都余5，则ɑ+ b+c除以14，得到的余数是



3、【2016鹏程杯】设
ɑ
=1+2+2+2+2+……+2



4、【2016• 华罗庚金杯小学高年级组决赛题C】
n
为正整数，形 式为
2-1
的质数称为梅森数，例如：
2-1=3
，
n2
1234999
+2
1000
，则
ɑ
被3除的余数是
2
3
-1=7
是梅森数。最近，美国学者刷新了最大的梅森数，
n< br>=74207281，这个梅森数也是目前已知的最大的质
数，它的个位数字是







S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

1、分解被除数写出符合条件的除数


71

2、确定一个乘积结果的尾数
3、确定循环类结果的数字或余数
4、采用试除法解决余数问题
名师点拨

1、当需要求解有规律的 一组数字的尾数（个位数字时），找到循环周期是关键，最后用要求解的数除以周期，
根据余数得到个位 数字的顺序，最终得到答案。
2、两个数分别除以同一个数，得到2个不同的余数，则这两个数和、差 、积的余数就是这2个余数的和、差、
积与这个除数作商的余数。

学霸经验

 本节课我学到




 我需要努力的地方是




学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第09讲——数 阵

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结


72

教学目标
授课日期及时段
⑱ 学会掌握数阵图形的基本分析方法；
⑲ 会运用数阵图的几类解法。

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理
一、数阵图

把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方演变而来的
数 字图。


二、数阵图的分类

封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
三、数阵图的解法
（1）
辐射型数阵图

方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、
最小数或中间数；
方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1
（2）封闭型数阵图
公式：线和×线数=数字和+重叠数之和
（3）复合型数阵图
综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。


典例分析

考点一：辐射型数阵图
例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。



73

例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。




考点二：
封闭型数阵图

例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.





例2、将1～8这八个自然数分别填入下图 中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字
1出现在四边形的一个顶点上。应如 何填？


74

例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。


考点三：复合型数阵
例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之 和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？



P
(Practice-Oriented)
——实战演练



75

实战演练

 课堂狙击
1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出两种本质上不
同的填法)

2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

3、在右图 的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）
顶点 上的数字之和都相等。



4、把1～8这八个数字分别填入下图（ 1）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个数之和都相等，给出
一种具体的填法.

5、将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。


76

6、把5、6 、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。


 课后反击
1、将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。






2、 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六 个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而


77

且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？



3、
把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个 数之和相等。





4、将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。



5、将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条 边上五个数的和相等，并且


78

尽可能大。这五个数之和最大是多少？






直击赛场



S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

一、数阵图的分类：
封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

二、数阵图的解法
名师点拨

（1）
辐射型数阵图

方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、
最小数或中间数；
方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1
（2）封闭型数阵图
公式：线和×线数=数字和+重叠数之和

学霸经验




79

 本节课我学到




 我需要努力的地方是











80

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年级：五年级
辅导科目：奥数
课时数：3
学科教师：
第10讲——周期问题

P实战演练 S归纳总结
教学目标
①学会对一个周期问题进行分析、推理；
②利用我们的规律来解决一些较简单的问题；
③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思 维，培养学生学习的主动性和坚韧
不拔、勇于探索的意志品质。
授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理

一、周期问题
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十 二生肖，一年有春夏秋冬四个季
节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题， 我们称为简单周期问题。这类问
题一般要利用余数的知识来解答。
二、解题策略
在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的
固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。


典例分析

考点一：一般周期问题
例1、小丁把同样大小的红、白、黑珠 子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），
请你算一算，第32个珠子是什么颜 色？



81

例2、你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……





例3、100个3相乘，积的个位数字是几？







例4、有一列数按“4327943279186……”排列，那么前54个数字之和是多少？






例5、小红买了一本童话书，每两页 文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本
书有128页，而第1页是文字， 这本童话书共有插图多少页？






82

考点二：较复杂周期问题
例1、有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。

（1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？






例2、假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…




例3、199 1年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1日
是星期几？





例4、我国农历用鼠、牛、虎、 兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例
如，第一年如果属鼠年，第二 年就属牛年，第三年就是虎年…。如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属
什么年？





83

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第2010个字是什么？






2、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？





3、2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？




4、100个2相乘，积的个位数字是几？





84

5、有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前50个数字之和是多少？





6、同学们做早操，36个同学排成一列，每两 个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多
少人？




7、我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。
（1）如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？
（2）如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
（3）公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？



8、有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001 各在哪一
条线上？


85

 课后反击

1、把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？






2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？






3、2001年6月1日是星期五，9月1日是星期几？







86

4、50个7相乘，积的个位数字是几？






5、有一列数“72365……”，请问从左起第2个数字到第25个 数字之间（含第2个与第25个
数字）所有数字的和是多少？






6、一个圆形花辅周围长30米，沿周围每隔3米插一面红旗，每两面 红旗中间插两面黄旗。花辅周围共插
了多少面黄旗？





7、河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接 下去一直这样排
列。问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？






87

8、2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
…
问：最后一个学生应该排在第几列？
直击赛场

1、
●表示实心圆，○表示空心圆，若干个实心圆与空心圆排成一行如下：
○●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●……
在前200个圆中有 ________个实心圆。
（第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试）


2、
今天（2010年4月11日）是星期日，则2010年的六一儿童节是星期 。

（第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛 四年级 第2试）



S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

（1）能够发现周期问题的规律；
（2）利用我们的规律来解决的问题；



88

名师点拨

重点和难点突破：
（1）在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循
环的固定数
（2）然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。

学霸经验
 本节课我学到了



 我需要努力的地方是













89

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第11讲—— 盈亏问题

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
⑳ 了解盈亏问题是什么，能够分辨出是属于盈亏问题类型
21 掌握盈亏问题的几种基本情况，以及基本的解题方法
22 熟悉复杂的盈亏问题，能用方法巧妙转化为基本盈亏问题

授课日期及时段
T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理
一、基本方法
盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不 同的情况．分配不足时，称之为
“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品 平均分给一定数量的人时，如果每人少
分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足( 也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈
亏问题”。
可以得出盈亏问题的基本关系式：
(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数
(盈－盈)÷两次分得之差=人数或单位数
(亏－亏)÷两次分得之差=人数或单位数
物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”。


二、方法技巧
注意1.条件转换 2.关系互换


90

典例分析

考点一：直接计算型盈亏问题
例1、三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则 少2块
砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？




例2、明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4 元．那
么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？

例3、老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃， 那么
一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？



例4 、猴王带领一群猴子去摘桃．下午收工后，猴王开始分配．若大猴分5个，小猴分3个，猴王可留10个．若大、小猴都分4个，猴王能留下20个．在这群猴子中，大猴（不包括猴王）比小猴多少只？




91

考点二：条件关系转换型盈亏问题
例1、一位老师给学生分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒正好分完，问：有多少位 学生？
共多少粒糖果？





例2、猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那 么一共
有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？





例3、实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人， 恰好多
出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？





92

考点三：复杂的盈亏问题
例1、国庆节快到了，学校的少先 队员去摆花盆．如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中2人各摆4
盆，其余的人各摆6盆，这些 花盆正好摆完．问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？



例2、妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果 其中一
人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?




例3、堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则 多2元.已
知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？



例4、四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒 果13千克，还差4元； 如
果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了 多少元钱？


93

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

 课堂狙击
1、 有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班 有多少学
生，多少练习本呢？

2、王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30 元，问儿
童小提琴多少钱一把？王老师一共带了多少钱？




3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这 批花瓶后，
工人共得4400元，则损坏了多少个？







94

4、幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。如全 部分给小
班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？



5、有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两 块，这
些糖共有多少块？



6、卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，每只大熊猫分5个还多余10棵竹子，如 果 大熊猫
数增加到3倍还少5只，那么每只大熊猫分2棵竹子还缺少8棵竹子，问有大熊猫多少只，竹子多 少棵？




7、小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已 知每千克
牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？




8、小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比 上课时


95

间提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？





 课后反击
1、某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有 床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几
间?住宿生几人?


2、秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出 48个萝卜；
如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？计划吃多少天？





3、甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封信用3 张 信纸，一
段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多
少张信纸？


4、王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分 7个，少5
个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？




96

5、李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣 粉比买碧
浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？




6、王老师由家里到学校，如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米， 就可以
比上课时间提前2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？




直击赛场



S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

盈亏问题知识点说明：盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况． 分配不足时，称之
为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一 定数量的人时，如果每
人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏) ，凡研究这一类算法的应用题
叫做“盈亏问题”。
名师点拨

1.条件转换 2.关系互换 这两种典型例题的常见类型以及复杂问题转化为基本盈亏问题。
学霸经验

 本节课我学到
 我需要努力的地方是




97

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：五年级
辅导科目：奥数
课 时 数：3
学科教师：
第12讲——长方体和正方体

P实战演练 S归纳总结
1、能够以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
教学目标 2 、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3、求一些不规则的 物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

知识梳理

一、专题简析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、常见问题
在长 方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个
物 体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。解答上述问题，必须掌
握这样几点：


98

1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
解答有关长方体和正方体的拼、切问题 ，除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算方法，仔细分析
每一步操作后表面几何体积的等比情 况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平方向或垂直方向切割
成两部分，新增加的表面积等于切 面面积的两倍。
典例分析

考点一：重合或者挖出立体的面积及体积
例 1、一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）



例2、有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图）， 你能算出它的体积和表面积吗？（单位：
厘米）



例3、一个 正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加
了50 平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米？


99

考点二：已知面积求体积或者已知体积求面积
例 1、把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。



例2、一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长 方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是
质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？




考点三：体积转换
例1、有两个无盖的长方体水箱，甲水箱 里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水
面高20厘米；乙水箱长30厘米 ，宽24厘米，深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度
一样，现在水面高多少厘米 ？




100