河南财专-四川师范大学录取分数线

学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：四年级 课 时 数：3
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
授课日期及时段
T同步课堂
辅导科目：奥数 学科教师：
第09讲-
和倍问题

P实战演练 S归纳总结
1. 学会分析题意并且熟练的利用线段图法能够分析和倍问题
2. 掌握寻找和倍的方法解决问题．

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

知识梳理


和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题．
它的结构可用下图来表达：
倍数（小数）

几倍数（大数）

数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数）
小数×倍数=大数（几倍数）
两数和—小数=大数（几倍数）
和 倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就
是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数.
和倍问题的数量关系式是：
和÷(倍数+
1
)=小数
小数×倍数=大数 或 和一小数=大数
如果要求两个数的差，要先求
1
份数：

l
份数×(倍数－
1
)=两数差.
解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。

和

典例分析

例1、小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的
7
倍.爷爷比小华大多少岁？
【解析】小华：
72(17)9
（岁），
爷爷：
9763
（岁），

63954
（岁）或
9(71)54
（岁）.


例2、一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）
把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应 的就是3份，
所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）
长是：6×2=12（厘米）
这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）


例3、师、徒两人 共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？


【解析】引导学生画图时，一定要注意“多5个”的画图方法，并找和与份数之间的关系．
从线段图上可以看出，把徒弟加工的个数看作1份数，师傅加工的个数就比3份数还多
5
个，
如果师傅少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为(105-5)个，
这样这道题就转化为例5类型的题目，就可以求出师傅和徒弟各加工多少个了.
列式：如果师傅少做5个，师、徒共做：
1055100
(个)，
徒弟做了：
100(31)25
(个),
师傅做了：
253580
(个)．

例4、维尼熊和跳跳虎 去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4
个.维尼熊摘了 80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么
其中 维尼熊摘的有________个.
【解析】依题意有相同时间内若跳跳虎摘了7份，则维尼熊摘了4份。
所以最终维尼熊摘了4×80=320份，
跳跳虎摘了7×50=350份。
故每份有2010÷（320+350）=3个。

那么维尼熊摘了3×320=960个。

例5、二⑴班的图书角里有故事书和连环 画共
47
本，如果故事书拿走
7
本后，故事书的本数就是连环画的
4
倍.
原有连环画和故事书各有多少本？

【解析】从线段图可以看出，如果故事书拿走
7
本以后，
则正好是连环画的
4
倍.这时故事书与连环画总数应减少
7
本，
列式成
47740
(本)，正好是连环画本数的(
1+4
)倍.
（1）如果故事书拿走
7
本，总本数为：
47740
(本)
（2）现在连环画与故事书的倍数和为：
4+1=5

（3）连环画有：
4058
(本)
（4）故事书有：
84739
(本)

例6、实验一小、实 验二小两校共有学生2346人，如果实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学
生人数就 相等，你知道两校实际各有多少人吗?
【解析】已知两校的人数和是2346人，而两校人数的差没有 直接告诉我们．只要求出两校人数的差，就能解
决问题了．

从图上可以看出，实验一小增加146人，实验二小减少88人，两校的学生人数就相等．
在实验一小人数没有增加，实验二小人数没有减少之前，两校的人数相差：146＋88＝234 (人)，
利用(和＋差)÷2＝大数，就可以求出实验二小实际的人数：
实验二小：(2346＋146＋88)÷2＝1290(人) 实验一小：2346－1290＝1056(人)
例7、两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组 的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参
加义务劳动的学生共有多少人？
【解析】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：

甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，
则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3=）9倍。
所以，乙组人数为：40÷（9-1）=5（人）；
参加义务劳动的学生共有：5×（1+3）=20（人）。



例8、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流 入
乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？
【解析】甲、乙两水池共有水：2600＋1200=3800（立方米）
甲水池剩下的水：3800÷（4+1）=760（立方米）
甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）
经过的时间（分钟）：1840÷23＝80（分钟）。



例9、大头 儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，
从起 点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级台阶？
【解析】大头儿子踏过的台阶数是：
3002150
（级），
小头爸爸踏过的台阶数是
3003100
（级），
父子俩每
236
（级）台阶要共同踏1级台阶，
共重复踏了
300650
（级），
所以父子俩共踏了：
15010050200
（级）．

例 10、一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，
那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，
已知三口人年龄和是72岁，那么，
=8
(岁)， 孩子的年龄为：
72(144）
妈妈的年龄是：
8432
(岁)，
爸爸和妈妈同岁为32岁．

例11、学校买来篮球、足球、排球共
49< br>个，其中篮球的个数是足球的
3
倍．排球比足球多
4
个．问学校买来< br>的篮球、足球、排球各多少个？

【解析】从线段图 上可以看出，把足球的个数看作
1
份数，篮球的个数是
3
份数，
如 果排球少买
4
个，也是
l
份数，这时三种球一共(
494
)个，总份数是(
131
)，
就可先求出足球的个数，再分别求篮球和排球的个数．
如果排球减少
4
个，
三种球一共多少个？
49445
(个)
足球多少个？
45(131)9
(个)
篮球多少个？
9327
(个)
排球多少个？
9+4=13
(个)

例12、小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多
13
只，比白鸡少
18
只．白鸡的只数是黄鸡的
2
倍，白鸡、黄鸡、 黑
鸡一共有多少只?
【解析】（1）黄鸡多少只？
18(21)18
(只)
（2）白鸡多少只？
18236
(只)
（3）黑鸡多少只？
18135
(只)
（4）白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只？
1836559
(只)

例13、有100块糖，分给甲乙丙三 位小朋友，甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分得多
少块糖?
【解析】此 题从两个数量扩展到三个数量．已知甲比乙多分了3块，乙比丙多分了5块，从线段图上可以清
楚地看出 ：

甲比丙多分了3＋5＝8(块)．如果甲少拿7块，乙少拿5块，
那么糖的总数就要减少8＋5＝13(块)，总共就是100－13＝87(块)．
87块相当于丙所有的糖块数的3倍，由此可以算出甲乙丙三人各自糖块的数量．
丙：[10 0－(3＋5)－5]÷3＝29(块)；乙：29＋5＝34(块)；甲：34＋3＝37(块)。

例14、甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是 多少？
我们把丙数看作一份，画出线段图如下：

【解析】假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，
则这时候三个数的总和为：183+4-7=180，
和对应的份数为：1+2+3=6。
所以，一份数即丙数为：180÷6=30；
乙数为：30×2-4=56；甲数为：30×3+7=97。

例15、超市运来 一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的颗数比巧克力糖的3倍还多10颗．售货员将这
些糖包装成相同的 小袋，每袋内装了3颗巧克力糖和7颗水果糖．最后巧克力糖全部装完，水果糖还剩
下170颗．请问： 这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？
【解析】由题意，如果每袋里装3颗巧克力糖和9颗水果糖，则只剩下10颗水果糖；
现在每袋里装了3颗巧克力糖和7颗水果糖，结果剩下了170颗水果糖．
由此可以算出总的袋数为：
(17010)(97)80
（袋），
因此水果糖总数为
807170730
（颗），巧克力糖总数为
8032 40
（颗）．


P(Practice- Oriented)——实战演练

实战演练

➢ 课堂狙击
1 、果园里有梨树和苹果树共
54
棵，苹果树的棵数是梨树的
5
倍，苹果树比梨 树多多少棵？
【解析】把梨树的棵数看作
l
份数，苹果树的棵数就是
5份数，
54
棵就相当于(
5+1)
份数，分别求出梨树和苹
果树的棵数，再把苹果树的棵数减去梨树的棵数，就是苹果树比梨树多的棵数.
这道题还可以 这样想，先求出
1
份数，再求苹果树比梨树多几份，就可直接求出苹果树比梨树多多少棵了.
方法一：梨树：
54(51) 9
(棵)，
苹果树：
9545
(棵)，
苹果树比梨树多：
45936
(棵)
方法二：梨树：
54(51)9
(棵)，

苹果树比梨树多：
9(51)36
(棵)

2、实验小学三 、四年级的同学们一共制作了
318
件航模，四年级同学制作的航模件数是三年级的
2

倍，三、四年级的同学各制作了多少件航模？
【解析】已知四年级同学制作的航模件数是三年级的
2
倍，
可以想到三年级同学制作的航模件数是
1
倍数．
两个年级共制作了
318
件，这
318
件就相当于
123
倍，
这样就可 以求得
1
倍数——三年级同学的制作件数是：
3183106
(件)．
再根据四年级同学和三年级同学制作航模件数的倍数关系，
求出四年级同学制作航模的件数是：
1062212
(件)或
318106212
(件)。
【答案】三年级制作
106
件，四年级制作
212
件
< br>3、学校买来一些乒乓球和羽毛球共
40
个，乒乓球的个数是羽毛球的
4
倍.买来的乒乓球和羽毛球各多少个？
【解析】根据题意和线段图可知，羽毛球的个数看作
1
份数，乒乓球的个数就是
4
份数，
40
个就相当于
(4+1)
份数，这样就可求出
1
份数，也就是羽毛球的个数，
把羽毛球的个数乘
4
就是乒乓球的个数.
羽毛球有：
40(4 1)4058(个)
，乒乓球有：
8432
(个)．
4、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
【解析】设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，
那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.
还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，
然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：

乙班：160÷（3+1）=40（本）
甲班：40×3=120（本）或 160-40=120（本）
验算：120＋40=160（本） 120÷40=3（倍）
答：甲班有图书
120
本，乙班有图书
40
本。

5、《水浒传》中的
108
将中，男将是女将的
35
倍，男将共有 名，女将共有 名。
【解析】
108

351
3
名女将，
335105
名男将。

6.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
【解析】把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，
如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）
男生人数：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）
验算：560＋200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。
答：男生有560人，女生有200人。


7、北京某小学的同学为幼儿 园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的
2
倍少30朵。
问两种 花各有多少朵？
【解析】我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：

从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。
所以黄花朵数为：（3 00+30）÷（1+2）=110（朵）。红花朵数为：300-110=190（朵）

8、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修80米，因而提前3天完成了任务。这< br>条路全长________千米。
【解析】由于实际每天比原计划多修
80
米 ，而提前
3
天完成了任务，
所以实际上总共多修的公路即等于按原计划
3
天修的公路，
所以实际上修的天数为：
72038027
（天），
所以，这条路全长为：

(72080)2721600
（米），即
21.6
千米。

➢ 课后反击
1、六张卡片上分别标上
1193
、
1258
、
1842
、
1866
、
1912
、
2494< br>六个数，甲取
3
张，乙取
2
张，丙取
1
张，
结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的
2
倍，则丙手中卡片上的数是__ ______．
【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的
2
倍”可知，
甲、乙手中五张卡片上的数之和应是
3
的倍数．

计算这六个数的总和是
11931258184218661912249410565< br>，
10565
除以
3
余
2
；
因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是
3
的倍数，
那么丙手中的卡片上的数除以
3
余
2
．
六个数中只有
1193
除以
3
余
2
，
故丙手中卡片上的数为
1193
．

2、桌子上放着6包糖，分别 装糖3、4、5、7、9、13块，小华拿走2包，小明拿走3包。已知小明拿走
的糖的块数是小华的2 倍，那么剩下的那包中的糖有_______块。
【解析】由题意，小明拿走的糖的块数是小华的2倍，
已知小明拿走3包，小华拿走2包，也就是其中3个数的和是另外两个数的2倍，
那么，3个数中必然包含较大的数，且3个数的和是偶数。
因为13+7+4=2×（3+9），所以剩下的那包中的糖有5块。

3、一筐苹 果、一筐梨、一筐香蕉共重
112
千克．已知苹果的重量是梨的
3
倍，香蕉的 重量比梨少
3
千克．一
筐苹果、一筐梨、一筐香蕉各重多少千克？
【解析】梨的重量是：
(1123)(113)23
（千克）
苹果的重量是：
23369
（千克）
香蕉的重量是：
23320
（千克）

4、玩具厂生产红、 黄、白气球共
125
个，其中红气球的个数是黄气球的
3
倍，白气球比黄气球 少
25
个．问三
种气球各生产了多少个？
【解析】黄气球：
(12525)(311)30
（个）；
红气球：
30390
（个）；
白气球：
30255
（个）

5、果园里有桃树、梨树、苹果 树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树
和苹果树各有多少棵 ？
【解析】下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，
苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.

又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；
再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，

而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。
梨树的棵数：（552＋20-12）÷（1＋1＋2）=560÷4=140（棵），
桃树的棵数：140×2＋12=292（棵），
苹果树的棵数： 140-20=120（棵），
桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

6、某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛．这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持
3
小时，另一支
可以维持
5
小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支 剩下的长度是另一支剩下长度的
3
倍．这次停电时间是多
少小时？


【解析】两支蜡烛长度相同，一支可以维持
3
小时，另一支可以维持
5
小时，
所以从两支蜡烛中取相同长度的部分，可以燃烧的时间之比为
3:5
．
现在可以维持
5
小时的那支蜡烛剩下的长度是另外一支的
3
倍， < br>所以剩下的部分可以燃烧的时间是另外一只剩下部分可以燃烧时间的
3535
倍，
由于燃烧了相同的时间，所以这支剩下的部分可以燃烧的时间比另外一只剩下部分可以燃烧的时间
要长
532
小时．
所以另外一支剩下的部分可以燃烧的时间为
2(51)0.5
小时，
这次停电的时间为
30.52.5
小时．

7、用中国象棋的 车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车÷马=2，炮÷车=4，炮-马=56，那么“车+马+炮”
等于多少？
【解析】车、马、炮表示的三个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准，画出线段图如下：

把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份，
所以，马表示的数为：56÷（2×4-1）=8。
“车+马+炮”等于：8×（1+2+2×4）=88。

直击赛场


1、三只小猫去钓鱼，它们共钓上36条鱼，其中黑猫和花猫钓到的鱼的条数是白猫钓到的鱼 的条数的5倍，

花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条。黑猫钓上 条鱼。
（2006年，希望杯，第四届，四年级，二试，第8题）
【解析】白猫钓到36÷（5+1）＝6条，
花猫和黑猫共钓30条花猫钓到的鱼比另外两只猫钓到的鱼的条数的2倍少9条，
那么就比黑猫钓到的2倍多3条，黑猫钓到（30-3）÷3＝9条

2、甲、乙、 丙三个小朋友共有
73
块巧克力，如果丙吃掉
3
块，那么乙和丙的巧克力就一 样多；如果乙给甲
2
块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的
2
倍，丙原有 块巧克力．
（2008年，第四届，IMC，国际数学邀请赛，新加坡，四年级，复赛）
【 解析】方法一：由题意可知，丙比乙多
3
块，所以如果乙给甲两块巧克力，则丙比乙多
5
块，
此时乙的巧克力数为
(735)(1 12)17
（块），丙原有
172322
（块）。
方法二：如 果丙吃掉
3
块，那么乙与并的糖就一样多，说明丙比乙多
3
块；如果乙给甲< br>2
块糖，
那么甲的糖就是乙的糖的
2
倍，即甲的糖 加
2
是乙的糖减
2
后的
2
倍，
说明甲的糖是丙的糖的
2
倍少
2226
块．
所以，乙有
(7336)(112)19
块糖，丙
193=22
（块）

(Summary-Embedded)——归纳总结

名师点拨

解答此类应用题时要根据题目中所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了 然，从而找出解题
规律，正确迅速地列式解答。
学霸经验

➢ 本节课我学到了




➢ 我需要努力的地方是