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中小学1对1课外辅导专家

龙文教育学科老师个性化教案

教师
学科
类型
学案主题
李传辉
数学
学生姓名
年级

五年级
上课日期
教材版本
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第（ ）课时


第（ ）课时
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知识讲解
□
： 考题讲解
□:

新课
教学内容
课时数量
（全程或具体时间）

数的整除性
教学目标
个性化学习问题解决
灵活运用整除性质，解决有关整除的问题

教学重点、
灵活运用整除性质，解决有关整除的问题

难点
考点分析
内容

数的整除性（一）


数的整除性质主要有：



（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整
除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互
质的自然数的乘积 整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数
中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，
教学过程
25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的
个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。
例2 由2000个1组成的数111„11能否被41和271这两个质数整除？
分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。
按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节，

因为2000个1组成的数11„11能被11111整除，而11111能被41和271整除， 所以
根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111„11能被41和271整除。
例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数， 使它们的乘
积能被12整除？
分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。
要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；
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（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；
（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。
容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。
对于第（2）种情况，四个 数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所
以可以选76554和765 50，76554和76552。
对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，7 6551和76554都能被3整除，
所以可以选76552和76551，76552和76554。
综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550
和76554， 76552和76554， 76551和 76552。
例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：
①各数位上的数字之和等于43；
②能被11整除。
因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43 的五位数较少，所以应
选择①为突破口。有两种情况：
（1）五位数由一个7和四个9组成；
（2）五位数由两个8和三个9组成。
上面两 种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数
的特征，如果奇数位 数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。
满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。
例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。
假设题目的要 求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之
和都能被3整除，推知1～10 的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3
整除。这个矛盾说明假设不成立，所以 题目的要求不能实现。

练习1
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个
四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4.1­­6六个数字组成一个六位数abcdef，其中不同的字母代表1­­6中不同的数字。要
求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。这样的六位数有几个？各是多少？
小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分是A95B，这个班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

数的整除性（二）
我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7×11×13，所以凡 是1001的整数倍的数
都能被7，11和13整除。
例1 abcabc能否被7、11、13整除？

能被7，11和13整除的数的特征：
如果数A的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小
数）能 被7或11或13整除，那么数A能被7或11或13整除。否则，数A就不能被7或
11或13整除。
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例2 判断306371能否被7整除？能否被13整除？
解：因为371-306=65，65是13 的倍数，不是7的倍数，所以306371能被13整除，不
能被7整除。
例3 已知10□8971能被13整除，求□中的数。
解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。
上式的个位数是7，若是13的 倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的
数是8。
下面再告诉大家两个判断整除性的小窍门。
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的
数连加，如果所得 的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，
这个数就不能被27（ 或37）整除。
例4 判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；（2）8990615496。
解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。
因为810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。
（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。
2，109大于三位数，可以再对2，109的各节求和，2+109=111。
因 为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进
一步推知8 990615496能被37整除，不能被27整除。
由上例看出，若各节的数之和大于三位数，则可以再连续对和的各节求和。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为 k9（= 10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的 （k+1）倍。连续进行
这一变换。如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这 个数就不能被
k9整除。
例5 （1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
解：（1）上述变换可以表示为：


由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除
。一般地，每进行一次变换，被判断的数的位数就将减少一位。当被判断的数变换到小
于除 数时，即可停止变换，得出不能整除的结论。


练习2
1.下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？
88205， 167128， 250894， 396500，
675696， 796842， 805532， 75778885。


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2.六位数175□62是13的倍数。□中的数字是几？


6.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。


7.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？
1861026， 1884924， 2175683， 2560437，
11159126，131313555，266117778。


8.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？
55119， 55537， 62899， 71258，
186637，872231，5381717。


课堂练习
课后作业
本节课教学计划完成情况：照常完成
□
提前完成
□
延后完成
□
____________________________
学生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________
学生的课堂表现：很积极
□
比较积极
□
一般积极
□
不积极
□
___________________________
学生成长
记录
学生上次作业完成情况： 优
□
良
□
中
□
差
□
存在问题 _____________________________
学管师（ 班主任）______ __________________________________________________ _______

备

注




签字时间

班主任审批 教学主任审批
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