我的座右铭作文-中秋节美文

如何抓好初中数学竞赛
九江同文中学 蔡理政

初中数学课程应 突出体现基础性、普及性和发展性，使不同
的人在数学上得到不同的发展。怎样才能实现新课程标准下的 这
一理念，既强调个性差异又重视学生个性发展，使学有余力的学
生得到充分的发展呢？途径可 能有很多，其中数学竞赛就是被实
践证明的行之有效的途径之一，因为数学竞赛不仅可以激发学生
对数学的兴趣，使学生体会学习数学的快乐，加深对数学的理解，
从而更好地培养独立思考、概括归纳 、创新求异的能力，而且对
人的发展和完善都是十分有益的。如果你经历过数学竞赛，你就
能领 会一位外国数学大师M·克莱因的话：“数学是人类最高超
的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音 乐能激发和抚慰情
怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，
科学可改善物 质生活，但数学能给予以上一切。”
数学竞赛现在广泛被视为一门独立的学科，在很多地区和学校正越来越受到重视，同时也被广大家长接受，作为学生提高自身素
质、增强学习兴趣的手段。作为笔 者，因为曾担任数学竞赛辅导的
工作，那么就如何普及、近几年竞赛考题的趋势、内容的分析、如
何训练学生解题这四个方面谈点个人的体会，不当之处，请多指正。
一、无论什么数学竞赛，其本身 都是为了培养学生学习数学
的兴趣，促进数学教学改革，从中发现人才。因此必须真正的做
好普 及，才能稳固提高。就我市目前情况来看，初中主要有“希
望杯”全国邀请赛和初三年级的“全国联赛” 。“希望杯”又分一
试和二试，特别是第一试的试题，难度适中，内容也与教材很贴
近，知识点 都是学生已有知识的最近发展区（或者跳一跳就能够

1

着）可以为 我们做好普及工作、奠基工作。20年来初一、初二
两个年级的试题培训题已累计超3000个，几乎覆 盖了初中数学
的全部及初中数学课本外的很多内容。二试试题难度略大一点，
更突出对科学思维 能力的培养，但不属于摸不着够不到的内容。
对培养学生学习的兴趣和热情有很大的作用。这本书中提到 的留
德博士马维民，当年就是获得了第二届的铜牌，这一枚铜牌就成
了他人生的一个转折点。因 为它给他带来了学习的乐趣、增添了
他的信心和勇气，其实这样的例子我们身边也有不少。但为什么还有很多人逐渐对数学竞赛失去兴趣呢？原因有多方面的。杨乐
院士曾在《中国教师报》上接受记者 采访时谈到一点原因是学生
努力程度不够，他还没尝到成功带来的喜悦，所以我们作为辅导
老师 ，不能一味地求难题做难题而不注重基础训练，如果一味地
加大难度脱离我们平时的教学，只会扼杀学生 的兴趣，使他们沮
丧从而厌恶数学竞赛。只有把数学竞赛与常规教学相结合才能把
数学竞赛普及 工作做好，而初一、初二年级的希望杯竞赛正是这
项工作的落实。
数学老师如何让学生对数学 感兴趣，对竞赛感兴趣。激发兴
趣，靠应用价值、靠历史的起源、靠数学游戏；发展兴趣，靠智
性、靠不断产生的适合最近发展区的问题；保持兴趣，靠成功与
失败的交错作用、靠问题的挑战、靠个人 对数学的体验、靠数学
本身的魅力。
数学竞赛的普及并不是指人人都参加竞赛，而是数学竞赛 有
一个良好的环境氛围，是指广大教师、家长能理性的思考，不仅
仅是培养个别数学尖子，而是 能激发广大青少年学习数学的热
情。不能“一刀切”，更不能象现在有的媒体宣传的“洪水猛兽”，而是数学竞赛这座高塔有一个坚实的基础，当然越到塔顶人数越

2

少，这也是正常的、自然的。
二、数学竞赛辅导要长期准备，要具有系统性，同时要关注
数学竞赛的基本走势。
作 为辅导老师，首先要研究中国数学会普及工作委员会制订
的《初中数学竞赛大纲》，初中三年要根据大纲 内容制订出较系
统、易执行的计划。每学期根据学生实际情况，应该学会哪些内
容、增加课本上 没有的哪些知识，选取一、二本权威性的教材。
我一般选用《希望杯数学能力培训教程》和华东师范大学 出版社
的《奥数教程》。
近几年初中数学竞赛的基本走势包括：
1、试题的价值取 向。传统竞赛强调数学形式，关注数学本身
的问题，人为设置陷阱，诱使学生用特殊技巧去应对，新出现 的竞
赛题则更加突出数学的本质；注重数学的应用、数学的情境，关注
现实生活中的数据、现象 规律，应用题、情境题是这一趋势的代表：
例1 （2009年江西预赛）一个自行车轮胎，若把它安 装在前轮，则自行
车行驶5000km报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废。< br>行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎要使一辆自行
车的一对新轮胎同时报废 ，那么这辆车将能行驶 km。
2、试题所用的语言。不只是自然语言，符号语言也重 视图
形语言，不仅用图形提供停息，要求考生从图形中发现规律，也
可以用图形作答。图形成为 数学竞赛的基本语言之一（包括几何
图形、函数图象、统计图等）。
例2 （2008年全国 联赛江西决赛）将正三角形每条边四等分，然后过这
些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边 的菱形个数为（ ）
A．15
C．21
B．18
D．24


3

3、试题的类型。题型更加丰富，不仅有常规解答题 和证明
题，还有发现规律的探索题、图案设计题。通过操作解决问题的
实验题。
例3 （2006年“希望杯”初二第二试试题）在2、3两个数之间，第一次写上
23
=5，第二 次在2、5之间和5、3之间分别写上
25
=
7
和
53
=4如下所示：
22
12
第0次操作：2 3
第1次操作：2 5 3
第2次操作：2
7
5 4 3
2
第3次操作：……
第k次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写 上这两个
数的和的
1
。
k
⑴请写出第3次操作后所得到的9个数，并求出它们的和。
⑵经过k次操作后所有 数的和记为S
k
，第k+1次操作后所有数的和记为
S
k+1
，写出 S
k+1
与S
k
之间的关系式；⑶求S
6
的值。
4、试题中知识的组合。不要求记忆知识，如有可能，可以
用常识、经验代替知识，有许多初中赛题，如 果从知识的角度分
析，不过是小学水平，但必须具备初中的数学素养才能作答。
例4 （20 09年江西预赛）10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：
每个人心里都想好一个数，并把自己想 好的数如
实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁
的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来
的数如图所示，则报3的人心理想的数是方块6。
1
10 2
9 3
8 4
7 5
6
例5 （2005年全国竞赛）有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张
是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，
每种花色的牌又按A，2，3… …，J、Q、K的顺序排列，然后从上到下把

4

第一张丢掉，把第 二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底
层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所 剩的这张牌是 。
5、试题不在单一知识上做文章，而是强调知识的联系，特
别是在 代数、几何、统计等多学科的交汇处挖掘素材，从而提出
具有一定挑战性和综合性的问题，注重几何问题 用代数方法处
理，更加注重代数问题的几何意义。
例6 （《中学数学参考》第4届中学生数学智能通讯赛八年级试题）设
05≤
x
2
1
+
1(1x)
2
<1+
2

简析：本题可以用分析法，但如果构造几何图形，用数形结合思想解决更
巧妙、 学生更容易接受。
D M C
P
如图：构造边长为1的正方形ANMD和BCMN，

设MP=x，由图中三角形三边关系不难得出
AC≤PC+PA＜AM+MC，从而问题得证。


A N B
三、数学竞赛尤其是初三全国联赛近几年考察的主要内容及
考察重点、 热点是什么，我认为了解这个问题同我们把握中考命
题方向是同样重要的，它可以让老师和学生少走很多 弯路，让我
们的辅导和训练有一定的针对性。
1、数这一模块内容是每年考察的重点，其中包 括：质数和合
数、最大公约数与最小公约数、奇数与偶数、完全平方数、数的
整除等，并且每年 都有一道与一元二次方程相结合的整数根问题。
年份
题目
2009年 2008年 2007年 2006年 2005年
题数
分值
3
34
5
48
2
27
2
27
5
48
例7 （2005年全国联赛）设n为自然数，如果2005能写成n个正的奇合
数之和，就称n为“好数”则这种好数有 111 个。
例8 （2008年江西卷）5
55
的末尾三位数字是（A）
A．125

B．375
5
C．625 D．875

2、代数式这一 模块内容包括：综合除法、余式定理、因式
分解、添项、拆项、待定系数法、整式、分式、根式的恒等变 形、
恒等式的变形，尤其是重二次根式等问题是常考常新的问题。
年份
题数
分值
2009年
4
28
2008年
2
14
2007年
4
28
2006年
2
14
2005年
2
14
例9 （2009年江西卷）化简
A．
2

32
－
32
的结果是（A）
17241724
B．
3

2
3
C．
6

3
D．
7

4
例10 （2009年江西卷） 若
f(x)
=
)
f( 1)
+
f(3)
+
f(5)
+…+
f(2009
3
1
x2x1x2x1x1
2
3
2
3
2
则
2010
。
2
例11（2008年江西卷）化简
25
的结果是（ ）
15
3
A．
1

2
B．
5

4
C．
3

8
D．
15

7
例12 （2008年江西卷）不超过(
5
+
3
)
6
的最大整数是 3903 。
3、方程与不等式模块中包括含字母系数的一元一次方程，
一元二次方程根的分 布、简单的不定方程（组），含字母系数的
一元一次不等式的解法，尤其是一元二次方程整数根问题，韦 达
定理等经常出现。
年份
题数
分值
2009年
3
34
2008年
3
34
2007年
2
32
2006年
5
48
2005年
3
34
例13 （2007年全国卷）已知a是正整数，如果关于x的方程
x
2
+(a+17)x
2
+(38－a)x－56=0的根都是整数，求a的值及方程的 整数根。
例14（2008年江西卷） 设a为整数，使得关于x的方程ax
2
－( a+5)x+a+7=0
至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根。
例15 （200 9年江西卷）若关于x的方程x
4
－16x
3
+(81－2a)x
2
+(16a－
142)x+a
2
－21a+68=0的各根为整数，求a的值 并解此方程。

6

例16 （2009年全国卷）已知t是实数， 若a、b关于x的一元二次方程
x
2
－2x+t－1=0的两个非负实根，则(a2
－1)(b
2
－1)的最小值是 -3 。
4、函数主要考察二次函数、简单分式函数的最值及含字母
分数的二次函数问题。
年份
题数
分值
2009年
1
7
2008年
1
7
2007年
2
27
2006年
2
14
2005年
1
7
例17 （2008年全国卷）实数x、y、z满足x+y+z=5、xy+yz+zx=3，则z
的最大值是 。
例18 （2007年全国卷）设m、n为正整数，且m≠2，如果对一切实数t、
二次函 数y=x
2
+(3－mt)x－3mt的图像与x轴的两个交点间的距离不小于
|2t +n|，求m、n的值。
5、几何除初中教材中的内容外，还包括三角形中的两边角
之间的不 等关系、面积及等积变换、三角形的四心及其性质、相
似形的共圆及圆幂定理等。
年份
题数
分值
2009年
2
32
2008年
2
32
2007年
4
46
2006年
4
46
A



E
I

B D C




O
B C
2005年
4
46
例19 （2009年江西卷）若AD、BE为△ABC
的两条角平分线，I为内心，若C、D、I、E四
点共圆，DE=1，则ID=
3
。
3
例20 （2008年江西卷）在边长为1的正
三角形ABC中，由两条含120º圆心角的
弓形弧AOB、AOC及边BC所围成的（火炬
形）阴影部分的面积是
3
。
12
⌒
⌒
6、还有其它的方面的内容包括抽屉原理、简单的排列组合、< br>概率统计、极端原理的简单应用、反正法、枚举法的简单应用等，

7

而且每一年的最后一道大题都基本上属于以上范围。
例21 （2009年全 国卷）将前300个正整数1，2，3，4„300顺
次在黑板上排成一行，然后划去前两位数1，2， 而将这两位数
的和写在最后面，成为3，4，5，6„299，300，3；接着再划去
前两数 3，4，而将这两数的和写在最后面，写成5，6„299，300，
3，7；象这样进行下去，直到最 后黑板上只剩下一个数为止；试
求黑板上出现过的所有的数的和（包括每次划去的数在内）。
四、作为一名奥赛辅导教师，除了充分调动学生学习数学的
积极性，让学生自觉主动去学习，认真把握竞 赛的方向、重点、
热点外，还有关键一点就是要学会解题，老师只有自己能熟练解
题分析，才能 向学生重点展示由已知条件到未知结论的沟通过
程，才能让学生明白答案是怎样得到的。美籍匈牙利数学 家、数
学教育家波利亚对数学解题理论的建设主要是通过风靡世界的
“怎样解题表”来实现的。 解题表的通俗解说是：⑴弄清问题。
常称理解题意，主要是明确已知是什么，求证（解）是什么。⑵拟定计划。通常叫做寻找解题思路；⑶实现计划，即把自己看清
楚、想明白的问题用文字具体表达出 来。⑷回顾。最简单的要求
是复查检验，看计划是否准确、推理是否合理、思维是否周密，
更深 层的回顾表现为解题后对数学命题的重新认识和对解题方
法的评价，如解题中用到了哪些知识？哪些方法 ？怎么想到它们
的？困难在哪里？关键是什么？遇到什么障碍，后来是怎么解决
的？是否还有其 他方法、更一般的方法、更特殊的方法、更简单
的方法？同样的方法能用来处理更一般性的命题吗？命题 能推
广吗？条件能减弱吗？结论能加强吗？这些方法体现了什么样
的数学思想？„„如此等等的 思考不仅改进和完善眼前的解题，
而且能提练出对未来解题有指导作用的信息。它的长期积累会升
华为人们搜索、捕捉、分析、加工和运用信息能力的总和——数

8

学才能、数学素养。
其次是老师要让学生通过四个阶段学会解题。
第一阶段：简单模仿。即模仿老师或辅导书上的示范去解决
一些问题，获得问题的表象，玻利亚在《数学 的发现》序言中说：
“解题只能通过模仿和实践来学到它。”通过模仿：当堂会做，过
几天又不 会做，是一种正常情况。人会遗忘，遗忘是一种心理规
律，除非它已升华成了思想和精神，或者获得的过 程伴随难以忘
怀的故事，所以说“兴趣是最好的老师”，有了兴趣自然会重复。
第二阶段：变 式练习。即在简单模仿的基础上再主动实践，
主要是做数量足够、形式变化的干扰性习题，其作用通过变 换方
式或添加次数而增强效果。巩固记忆、熟悉技能，学习数学不能
缺少这两个阶段又不能单靠 这两个阶段，没有亲身的体验、没有
足够的过程、没有过硬的“双基”，数学理解就被架空了，就会出现“一看就会，一听就懂，但一做就错”。
第三阶段：自发领悟。在模仿与干扰练习的基础上加 理解—
—解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系），主要表
现为从事实到规律的领悟 ，从实践到理论的提升。但在这一阶段，
领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可
意会，不可言传”，当然这与一个人的综合素质、数学素养等先
天智力因素有关也与后天的努力 、勤奋、自信心、顽强的意志力
等非智力因素有关。
第四阶段：自觉分析。即对解题过程进行 自觉的反思，使理解
进入到深层结构，是一个通过已知、通过分析“怎样解题”而领悟
“怎样学 会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到
主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到 外显的飞跃阶段。
实际上，反思是一种非常有益的思维活动和再学习方式。教师和学
生不能仅仅 满足于获得经验而不对经验进行深入的思考。

9

10