万州高级中学-工程造价毕业论文

前言
21世纪，数字化时代已经来临，数学在人类社会中发挥着日益重要的作用。作
为基础教育的核心课程，数学学习与孩子的思维发展密切相关。
为了激发孩子的学习兴趣，培养良好学 习习惯，提高孩子的逻辑思维能力和创
新能力，帮助孩子考上一所名牌中学，我们特此编写了本教材。
具体来说本教材有以下几个方面的亮点：
1．内容丰富：本书根据新课标对小学阶段数学知识 的划分，安排了数的认识、
数的运算、空间与图形、解决问题、实战模拟五个板块的内容。分类系统学习 ，各
个击破，提高效率，针对性和指导性更强。
2．循序渐进：本书的例题讲解由浅入深，解 答过程剖析详尽。拓展演练与例题
讲解的要点密切配合，引导学生拾级而上，循序渐进地进行学习。 < br>3．专题辅导：精心摘录了各校试卷中相关内容的不同题型，方便教师和家长有
针对性地辅导，也 可使学生从题海中解脱出来，精练典型题，从而实现举一反三的
学习目的。
4．选题新颖：所 选例题和练习题内容丰富，贴近学生的现实生活，开阔学生的
数学视野，激发学生的学习兴趣，培养孩子 创新思维能力。
今天，我们为孩子提供一套点拨方法、启迪思维的数学学习礼物。希望通过我
们的引导，让孩子拥有学习数学的智慧和快乐，在学习中找到成功的喜悦，培养孩
子的创新思维能力，帮 助他们塑造一个真正富有竞争力的未来。





1

目录
一、数的认识
第1讲 数的认识 ................... .................................................. ......................................... 1
第2讲 数的整除 ..................................... .................................................. ....................... 5
二、数的运算
第3讲 简便运算（1） .......................................... .................................................. ........ 8
第4讲 简便运算（2） ....................... .................................................. ......................... 10
第5讲 简便运算（3） ..... .................................................. ........................................... 14
第6讲 简易方程 ..................................... .................................................. ..................... 10
第7讲 定义新运算 ........... .................................................. ........................................... 19
三、空间与图形
第8讲 巧求面积（1） ...................... .................................................. .......................... 22
第9讲 巧求面积（2） .... .................................................. ............................................ 25
第10讲 长方体的表面积和体积 .............................. .................................................. .. 28
第11讲 圆柱体的表面积 ........................... .................................................. ................. 31
第12讲 圆柱和圆锥的体积 ........... .................................................. ............................. 34
四、解决问题
第13讲 画图法解应用题 ................................. .................................................. ........... 37
第14讲 假设法解应用题 .................. .................................................. .......................... 40
第15讲 列方程解应用题（1） .................................................. .................................. 43
第16讲 列方程解应用题（2） ....................................... ............................................. 46
第17讲 行程问题之多次相遇 ............................... .................................................. ..... 49
第18讲 行程问题之环形赛道 ...................... .................................................. .............. 52
第19讲 行程问题之巧用比例 ............. .................................................. ....................... 54
2

第20讲 图示法解分数应用题 ............................... .................................................. ..... 57
第21讲 还原法解分数应用题 ...................... .................................................. .............. 61
第22讲 转化法解分数应用题 ............. .................................................. ....................... 64
第23讲 抓住不变量解分数应用题 .. .................................................. .......................... 67
第24讲 巧用比解分数应用题 . .................................................. ................................... 70
第25讲 对应法解分数应用题 ........................................ .............................................. 73
第26讲 假设法解分数应用题 ............................... .................................................. ..... 76
第27讲 百分数应用题—溶剂问题 .................... .................................................. ........ 79
第28讲 工程问题（1） ..................... .................................................. ......................... 82
第29讲 工程问题（2） .... .................................................. .......................................... 85
第30讲 按比例分配 ................................... .................................................. ................. 87
第31讲 比例的应用（1） ........... .................................................. ............................... 90
第32讲 比例的应用（2） ......................................... .................................................. . 93
第33讲 牛吃草问题 .............................. .................................................. ...................... 96
第34讲 时钟问题 .......... .................................................. .............................................. 99
第35讲 容斥原理 .................................... .................................................. ...................102
第36讲 抽屉原理 ............. .................................................. ..........................................105
五、实战模拟
小升初选校模拟试卷（一） ...................... .................................................. .................107
小升初选校模拟试卷（二） ............ .................................................. ........................... 110
小升初选校模拟试卷（三） . .................................................. ...................................... 113
小升初选校模拟试卷（四） ................................. ........................ 错误！未定义书签。8
3

第1讲 数的认识
一、夯实基础
1．数的意义
（1）自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，像1、2、3……叫做自然数。
（2）小数
把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之
几、百分 之几、千分之几……可以用小数表示。
（3）分数
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
（4）百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫百分率或百
分比。百分数不能表示一 个确定的数量，因此，百分数后面不带计量单位。
2．数的大小比较
（1）整数的大小比较
比较两个整数的大小，先看位数，位数多的数大；位数相同，从最高位看起，
相同数位上的数大 的那个数就大。
（2）小数的大小比较
比较两个小数的大小，先看整数部分，整数部分大的 小数比较大；如果整数部
分相同，就看十分位，十分位大的小数比较大；如果十分位相同，再看百分位， 百
分位大的小数比较大……
（3）分数的大小比较
整数部分相同的同分母分数，分子大的分数比较大。例如：＜
1351
，2＞2。
4 466
2244
整数部分相同的同分子分数，分母小的分数比较大。例如：＞，3＞3。 3557
分子、分母不相同的分数，一般先通分再比较，也可以把各个分数化成小数再
进行 比较。
3．小数、分数、百分数的互化
（1）小数化成分数。原来是几位小数，就在1后面 写几个零做分母，把原来的小数
去掉小数点做分子，能约分的约分。
（2）分数化成小数。分 母是10、100、1000的分数，可以直接去掉分母，看分母中
1后面有几个零，就在分子从最后一 位起向左数出几位，点上小数点。分母是任意
1

自然数的分数化成小数的一般方法是分母去除分子。一个最简分数，如果分母中有
除了2和5以 外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
（3）小数化成百分数。只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
（4）百分数化成小数。只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
（5）分数化成百 分数。通常把分数化成小数后（遇到除不尽时常要保留三位小数），
再化成百分数。
（6）百分数化成分数。先把百分数改成分母是100的分数，再约分成最简分数。
二、典型例题
例1．比较下列各组分数的大小
（1）
34
32
和 （2）和
59
8271
分析：进行分数的大小比较时，首先要仔细观察每组分数的特点，然后再灵活选
择比较方法，比较的方 法越简单越好。
32
和这两个分数的分母比较大，分子比较小，可变为同分子比较。
8271
34111
（2）和这两个分数一个大于，一个小于，可用为标准进行比较。
59222
66
3
32
223
解（1）：==，==，
82
822164
71713
213
66
32
＞，得出＞。
164213
8271
314134
解（2）：＞，＜，得出＞。
529259
（1）
例2．某数增加它的20%后，再 减少20%，结果比原数减少了（ ）。
A. 4% B. 5% C. 10% D. 20%
分析：宜用设数验证法。可以通过设数计算来加以判断。
解：设某数为100
则100×（1+20%）=120，
120×（1－20%）=96，
（100－96）÷100=4%。
故应选A。




2

数的认识课堂过关卷
一、细心填空
1．用3个0和3个6组成一个六位数，只读一个零的最大六位数是（ ）；
读两个零的六位数是（ ）；一个零也不读的最小六位数是（ ）。
2．一个三位小数，四舍五入后得4.80，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）。
3．若被减数、减数与差这三个数的和为36，那么被减数为（ ）。
4．把0.35，，，34%，
5．某班男生人数是女生的
3
8
1
3
4
从大到小排序（ ）。
11
2
，女生人数占全班人数的（ ）％
3
3
，这个分数是（ ）。
7
6．甲数比乙数多25%，则乙数比甲数少（ ）%。
7．一个分数 的分子比分母少20，约分后是
8．写出三个比
2
1
小，而比大的最简分数是 （ ）、（ ）、（ ）。
3
3
1
5
9．
m
中有（ ）个。
9
9
10．有一个最简真分数，分子和分母的积是36，这个分数最大是（ ）。
11．A+B=60，A÷B=
2
，A=（ ），B=（ ）。
3
11111
12．( )＋( )= (填两个分母小于12的分数) ＋ = (填两个不同
12( )( )5
的整数)。

13．一个最简分数，若分子加上1，可以约简为
21，若分子减去一，可化简成，
32
这个分数是（ ）。
14．修一段600米长的路，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修
（ ）天完成它的
9
。
10
15．一种商品，先提价20%，又降价20%后售价为96元，原价为（ ）元。
16．甲、乙两个数的差是35.4，甲、乙两个数的比是5：2，这两个数的和是（ ）。
17．有甲、乙、丙三种，甲种盐水含盐量为4%，乙种盐水含盐量为5%，丙种盐水
含 盐量为6%。现在要用这三种盐水中的一种来加水稀释，得到含盐量为2%的盐水
60千克。如果这项工 作由你来做，你打算用（ ）种盐水，取（ ）千克，
加水（ ）千克。 < br>18．[x]表示取数x的整数部分，比如[13.58]=13。若x=8.34，则[x]＋[2x] ＋[3x]=
（ ）。
3

二、选择
1． 最大的小数单位与最小的质数相差（ ）。
A． 1.1 B． 1.9 C． 0.9 D． 0.1
2．3.999保留两位小数是（ ）。
A． 3.99 B． 4.0 C．4.00 D．3.90
3．下列四个数中，最大的是（ ）。
A．101% B．0.
9
C．

2008
D．1
2009
4.平均每小时有36至45人乘坐游览车，那么3小时中有 人乘坐游览车。
A．少于100 B．100与150之间 C．150与200之间 D．200与250之间
5.小明所在班级的数学平均成绩是98分，小强所在班级的数学平均成绩是 96分，
小明考试得分比小强的得分（ ）。
A．高 B．低 C．一样高 D．无法确定
6．一次数学考试，5名同学的分数从小到大排列是74分、 82分、a分、88分、92
分，他们的平均分可能是（ ）。
A．75 B．84 C．86 D．93
7．
3
的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（ ）
10
A．加上20 B．加上6 C．扩大2倍 D．增加3倍
8．书店以50元卖出两套不同的书，一套赚10%，一套亏本10%，书店是( )
A．亏本 B．赚钱 C．不亏也不赚
9．把1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。
A．1：99 B．1：100 C．1：101 D．100：101
10．甲、乙两个仓库所存煤的数量相同，如果把甲仓煤的调入乙仓
的煤的数量比乙仓少（ ）。
A.50% B.40% C.25%
1
，这时甲仓中
4
三、星级挑战
★1．财会室会计结账时，发现财 面多出32.13元钱，后来发现是把一笔钱的小数点
点错了一位，原来这笔钱是多少元？

★★2．暑假期间，明明和亮亮去敬老院照顾老人。7月13日他们都去了敬老院，
并约好明明 每两天去一次，亮亮每3天去一次。
（1）7月份，他们最后一次同去敬老院的日子是（ ）。
（2）从7月13日到8月31日，他们一起去敬老院的情况有（ ）次。
4

第2讲 数的整除
一、夯实基础
整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整 数而没有余数，我们就说a能被
b整除，也可以说b能整除a。如果数a能被数b整除，那么a就叫做b 的倍数，b
就叫做a的因数。
能被2整除的数叫偶数。也就是个位上是0、2、4、6、8的 数是偶数。不能被
2整除的数叫奇数。也就是个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。
一个 数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本
身，还有别的因数，这个数叫做 合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因
数。把一 个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。公因数只有1的
两个数或几个数，叫做互质数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因
数。几个数公有的 倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这个数的最
小公倍数。
二、典型例题 < br>例1．从0、7、5、3四个数字中选三个数字组成一个三位数，使组成的数能同时被
2、3和5 整除．这样的三位数有几个？
分析：根据能被2、3、5整除的数的特征，确定出所组成的三位 数要能同时被2、
3、5整除，这个三位数的个位数字必须是0。现在一共有四个数字，这个三位数的< br>十位和百位上的数字只能从7、5、3三个数字中选取，且每位上数字的和要能被3
整除。
解：一共有两个：570或750。
例2．有四个小朋友，他们的年龄刚好一个比一个大1岁 ，又知它们年龄的乘积是
360。问：其中年龄最大的小朋友是多少岁？
分析：360是年龄 的乘积，故可将360分解质因数，再将这些质因数依据题意，
组合成4个连续自然数的乘积。再经过比 较、分析，便可找到年龄最大的小朋友的
年龄数。
解：360=2×2×2×3×3×5=3×（2×2）×5×（2×3）=3×4×5×6
答：年龄最大的小朋友是6岁。
例3．同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站 成10行、15
行、18行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？
5

分析：题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、
1 8、和24的最小公倍数。
解：




10、15、18和24的最小公倍数是:2×3×5×1×1×3×4=360
答：操场上的同学最少是360人。
数的整除课堂过关卷
一、填空
1．在l至20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是合数。
2．一个数，如果用2、3、5去除，正好都能整除，这个数最小是（ ），用一个
数去除30、40、60正好都能整除，这个数最大是（ ）。
3．8（ ）5（ ）同时是2， 3 ，5的倍数，则这个四位数为（ ）。
4．一个五位数7□35△，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么□代表的数字是
（ ），△代表的数字是( )。
5．从0、5、8、7中选择三个数字组成一个同时能被2 、3、5整除的最大三位数，
这个三位数是（ ），把它分解质因数是：（ ）。
6．把84分解质因数：84=（ ）。72和54的最大公约数是（ ）。
7．12的约数有（ ），从中选出4个数组成一个比
例是（ ）。
8．公因数只有（ ）的两个数，叫做互质数，自然数a和（ ）一定是互质数。
9．a、b都是非零自然数，且a÷b=c，c是自然数，（ ）是（ ）的因
数，a、b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。
10．A、B分解质因数后分别是：A=2×3×7，B=2×5×7。A、B最大公因数是（ ），
最小公倍数是（ ）。
11．A=2×2×3，B=2×C×5， 已知A、B两数的最大公约数是6，那么C是（ ），
A、B的最小公倍数是（ ）。
12．在括号里填上合适的质数：（ ）＋（ ）=21=（ ）×（ ）。
13．两个质数的和是2001，这两个质数和积是（ ）。
14．45与某数的最大公因数是15，最小公倍数是180，某数是（ ）。
15．已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（ ）和（ ）。
6

二、解决问题
1．有两根绳子，第一根长18米，第二根长24米，要把它们剪成同样长短的 跳绳，
而且不能有剩余，每根跳绳最长多少米？一共可剪成几根跳绳？




2．一块长方形木板长20分米，宽16分米。要锯成相同的正方形木板，要求正方形
木板的面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的
面积是多少平方分米 ？




3．汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽 车每隔15分钟开出一辆；到
乙地的汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆。 三路汽车
在同一时刻发车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？




三、星级挑战
★1．有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21 ，34，55……，从第三个数开始，每个
数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？




★★2．有一堆苹果，如果3个3个的数，最后余2个，如 果5个5个的数，最后余
4个，如果7个7个的数，最后余6个，这堆苹果最少有多少个？


7

第3讲 简便运算（1）
一、夯实基础
所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和 运算性质以及运算技巧，来解决一
些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。
简便运算中 常用的技巧有“拆”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一
个整十、整百、整千或者有利于简 算的数，凑是指把几个数凑成整十、整百、整千……
的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算 定律或性质再进行简算。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b
乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×c a×（b－c）=a×b－a×c
二、典型例题
例1. （1）9999×7778＋3333×6666 （2）765×64×0.5×2.5×0.125
分析（一）：通过观察发现这道题中9999是3 333的3倍，因此我们可以把3333
和6666分解后重组，即3333×3×2222=9999 ×2222 这样再利用乘法分配律进行简算。
解（一）: 原式=9999×7778＋3333×3×2222
=9999×7778＋9999×2222
=（7778＋2222）×9999
=99990000
分析（二）：我们知道0.5×2，2.5×4，0.125×8均可得到整数或整十数，从而 使
问题得以简化，故可将64分解成2×4×8，再运用乘法交换律、结合律等进行计算。
解（二）： 原式=765×（2×4×8）×0.5×2.5×0.125
=765×（2×0.5）×（4×2.5）×（8×0.125）
=765×1×10×1
=7650
例2．399.6×9－1998×0.8
分析：这道题我们仔细观察两个积的因数 之间的关系，可以发现减数的因数
1998是被减数因数399.6的5倍，因此我们根据积不变的规律 将399.6×9改写成
（399.6×5）×（9÷5），即1998×1.8，这样再根据乘法分配 律进行简算。
解: 原式=（399.6×5）×（9÷5）－1998×0.8
=1998×1.8－1998×0.8
=1998×（1.8－0.8）
=1998×1
=1998
8

例3．654321×123456－654322×123455
分析：这道题通 过观察题中数的特点，可以看出被减数中的两个因数分别比减
数中的两个因数少1和多1，即65432 1比654322少1，123456比123455多1，我
们可以将被减数改写成（654321） ×（123455＋1），把减数改写成（654321＋1）
×123455，再利用乘法分配律进行 简算。
解： 原式=654321×（123455＋1）－（654321＋1）×123455
=654321×123455＋654321—654321×123455－123455
=654321－123455
=530866
三、熟能生巧
1．（1） 888×667＋444×666 （2）9999×1222－3333×666




2．（1） 400.6×7－2003×0.4 （2）239×7.2＋956×8.2





3．（1） 1989×1999－1988×2000 （2）8642×2468－8644×2466





四、拓展演练
1．1234×4326＋2468×2837 2． 275×12＋1650×23－3300×7.5




3． 7654321×1234567－7654322×1234566

9

五、星级挑战
★1．31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷5



★★★2．3333×4＋5555×5＋7777×7




★★★3．99＋99×99＋99×99×99




★★★4. 48.67×67＋3.2×486.7＋973.4×0.05




第4讲 简便运算（2）
一、夯实基础
在进行分 数的运算时，可以利用约分法将分数形式中分子与分母同时扩大或缩
小若干倍，从而简化计算过程；还可 以运用分数拆分的方法使一些复杂的分数数列
计算简便。同学们在进行分数简便运算式，要灵活、巧妙的 运用简算方法。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
乘法结合律：a×b×c=a×（b×c）=（a×c）×b
乘法分配律：a×（b＋c）=a×b＋a×c a×（b－c）=a×b－a×c
拆分：
1
a
11a11
=－ =
（
－
）
(nk)n
k
(n1)n
n1nnkn
二、典型例题
10

例1．（1）2006÷2006
20063
1
（2）9.1×4.8×4÷1.6÷÷1.3
2
200720
2006
分 析（一）：把2006化为假分数时，把分子用两个数相乘的形式表示，
2007
解（一）: 原式=2006÷
则便于约分和计算。
200620072006

2007
20062008
=2006÷
2007
20072007
=2006×=
200620082008
3
1
分析（二）：根据除法的性质可知9.1×4.8× 4÷1.6÷÷1.3可以写成
2
20
3
1
9.1×4.8×4÷（ 1.6××1.3），又根据分数与除法的关系，可以将其写成分数形式，
2
20
3< br>1
其中9.1与1.3，4.8与1.6，4与存在倍数关系，可以进行约分后再计算。
2
20
9.14.84.5
解（二）： 原式=
1.60.151.3
=7×3×30
=630
例2．（1）
200520061
225
5
（2）（9＋7）÷（＋）
7979
200520042006
分析（一）：仔 细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中2005×2006
可变形为（2004＋1）×20 06=2004×2006＋2006－1，同时发现2006－1=2005，这样
就可以把原式转化 成分子与分母相同，从而简化运算。
(20041)20061

200520042006
2004200620061
==1
200520042006
解（一）： 原式=
分析（二）：在 本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把
1
和
7
1
的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多。
9
55
6565
解（二）： 原式=（＋）÷（＋）
79
79
11

=[65×（
1111
＋）]÷[5×（＋）]
7979
=65÷5=13
例3．
1111
＋＋
……＋

12 233499100
11
=1－，
122
分析：因为这个算式中的每 个加数都可以分裂成两个数的差，如
111111
=－，=－……其余的部分分数可以互相抵消 ，这样计算就简
23233434
便许多。
111111
1
）＋（－）＋（－）＋……＋（－）
22334
99
100
111111
1
=1－＋－＋－＋……＋－
22334
99
100
199
=1－=
100100
三、熟能生巧
3
238
1． （1）238÷238 （2）3.41×9.9×0.38÷0.19÷3÷1.1
10
239
解: 原式=（1－



2．（1）




3．





12

362548361836354
（2）（＋1＋）÷（＋＋）
362548
11111
1
＋＋＋＋＋
1223344556
67

四、拓展演练
1331
1
4
1．（1）123÷41 （2）×2.84÷3÷（1×1.42）×1
5
13452
39





2． （1）





3．




2045848
（2）（96（32
36
）÷
12
）
199258438
2222
1
＋＋＋……＋＋
979999101
13
3557

五、星级挑战
111
1
11
1
★1． ＋＋＋＋＋＋
246
8
16
32
64




★★2.
12334
＋＋＋……＋
35353535


13

★★★3．





★★★4． 1





22
12
＋＋＋……＋ < br>4850
2446
68
179
11
13
15
－＋－＋－
31220
30
42
56
第5讲 简便运算（3）
一、夯实基础
所谓简算，就是利用我们学过的运算法则和运算性质以及运算 技巧，来解决一
些用常规方法在短时间内无法实现的运算问题。
简便运算中常用的技巧有“拆 ”与“凑”，拆是指把一个数拆成的两部分中含有一
个整十、整百、整千或者有利于简算的数，凑是指把 几个数凑成整十、整百、整千……
的数，或者把题目中的数进行适当的变化，运用运算定律或性质再进行 简算。
让我们先回忆一下基本的运算法则和性质：
等差数列的一些公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
某项=首项＋公差×（项数－1）
等差数列的求和公式：（首项＋末项）×项数÷2

二、典型例题
例1． 2＋4＋6＋8……＋198＋200
分析：这是一个公差为2的等差数列，数列的首项是2 ，末项是200。这个数列
的项数=（末项－首项）÷公差＋1=（200－2）÷2＋1=100项， 如何求和呢？我们先
用求平均数的方法：首、末两项的平均数=（2＋200）÷2=101；第二项和 倒数第二
项的平均数也是（4＋98）÷2=101……依次求平均数，共算了100次，把这100个
平均数加起来就是数列的和。即和=（首项＋末项）÷2×项数。
解: 原式=（2＋200）÷2×100=10100
14

例2． 0.9＋9.9＋99.9＋999.9＋9999.9＋99999.9
分析：通 过观察我们可以发现题目中的6个加数都分别接近1、10、100、1000、
10000、1000 00这6个整数，都分别少0.1，因此我们可以把这6个加数分别看成1、
10、100、1000、 10000、100000的整数，再从总和中减去6个0.1，使计算简便。
解: 原式=1＋10＋100＋1000＋10000＋100000－0.1×6
=111111－0.6=1111110.4
例3．2008×20092009－2009×20082008
分析：这道题数值较大， 计算起来比较繁琐，但观察这些数，可以发现具有规
律性，即被减数和减数中因数具有相同的排列规律， 因此我们可以把20092009写成
2009×10001，把20082008写成2008×10 001，这样题目中被减数和减数的因数就完
全相同，我们也就可以直接算出结果为0。
解: 原式=2008×2009×10001－2009×2008×10001=0

三、熟能生巧
1． 1＋3＋5＋7＋……＋65＋67 2． 9＋99＋999＋9999＋99999




3．1120×1－1221×0




四、拓展演练
1．（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99
（2）8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.2




2．（1）98＋998＋9998＋99998＋999998
（2）3.9＋0.39＋0.039＋0.0039＋0.00039

15

3．（1）1234×432143214321－4321×4
（2）2002×60066006－3003×40044004





五、星级挑战
★1． （1）438.9×5 （2）47.26÷5 （3）574.62×25 （4）14.758÷0.25




★★2. （44332－443.32）÷（88664－886.64） ★★3． 1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8





★★★4． 2002－1999＋1996－1993＋1990－1987＋……＋16－13＋10－7＋4






第6讲 简易方程
一、夯实基础

含有未知数的等式叫做方程，求方程的解的过程叫做解方程。解方程是列方程
解应 用题的基础，解方程通常采用以下策略：
①对方程进行观察，能够先计算的部分先进行计算或合并，使其化简。
②把含有未知数的式子 看做一个数，根据加、减、乘、除各部分的关系进行化
简，转化成熟悉的方程。再求方程的解。
16

③将方程的两边同时加上（或减去）一个适当的数，同时乘上（或除以）一个
适当的数，使方程 简化，从而求方程的解。
④重视检验，确保所求的未知数的值是方程的解。
二、典型例题
例1．解方程4（x－2）＋15=7x－20
分析：先运用乘法分配律将其展开，再运用等式的基本性质合并求解。
4（x－2）＋15=7x－20
解： 4x－8＋15=7x－20
3x=27
x=9
经检验x=9是原方程的解。
例2．解方程x÷2=（3x－10）÷5
分析：根据等式的基本性质，将方程两边同乘2和5的最小公倍数，使方程转
化为x×5=（3x－10 ）×2再求解。
x÷2=（3x－10）÷5
解： x÷2×10=（3x－10）÷5×10
x×5=（3x－10）×2
5x=6x－20
x－20=0
x=20
经检验x=20是原方程的解。
例3．解方程360÷x－360÷1.5x=6
分析：根据等式性质，将方程左右两边同乘3x使方程转化后再求解。
360÷x－360÷1.5x=6
解： 1080－720=18x
18x=360
x=20
经检验x=20是原方程的解。

三、熟能生巧
1．①12－2（x－1）=4 ②5x＋19=3（x＋4）＋15




17

2．①（2x＋4）÷18=28 ②（5.3x－5）÷7=x－8




3．①7（x－3）=3（x＋5）＋4 ②x＋x÷3＋2x－30=180




四、拓展演练
1．①
2
5
（x+10）＝6 ②8－4.5x＝3
1
2




2．①x＋
15
2
—
6
x＝
4
5
②
3
2
x＋7.4=
3
5
x＋9.2



3．①
3
20
：18%＝
6.5
x
②
x
2.4
＝
15
0.8




五、星级挑战
★1．解方程： 13x－4（2x＋5）=17（x－2）－4（2x－1）





★2．解方程： 17（2－3x）－5（12－x）=8（1－7x）

18

★3．解方程：
x1
x3
2
1
－=2 ★★4. 解方程：（x－5）=3－（x－5）
33
3
5




第7讲 定义新运算
一、夯实基础
同学们，我们都知道四则运算包括加 、减、乘、除，我们接触到的运算符号也
无外乎“＋”、“－”、“×”、“÷”。而在升学考试中，经 常会出现一些崭新的题目，
这种题目中又出现了新的运算符号，如：⊙、※、◎……并赋予它们一种新的 运算
方法。这种运算符号本身并不重要，重要的是在题目中，各种运算符号规定了某种
运算以及 运算顺序。这种运算非常有趣，同学们，你们想了解吗？这一节我们就来
学习定义新运算。
二、典型例题
例1． （1）a◎b=a＋b，求95的值。（2）定义新运算“⊙ ”，m⊙n=m÷n×2.5。
求： ① 60.4⊙0.4的值是多少？ ② 351⊙0.3的值是多少？
分析（1）：本题中的新运算符号“◎”表示的是求“◎”前后两个数的 和，
也就是求9与5的和是多少。
解（1） ： 9◎5=9＋5=14
分析（2）：本题中新运算“⊙”的含义是求“⊙”前后两个数的商的2.5倍
是多少。
解（2）：① 60.4⊙0.4=60.4÷0.4×2.5=151×2.5=377.5
② 351⊙0.3=351÷0.3×2.5=1170×2.5=2925
例2． 对于任意两个自然数，定义一种新运算“*”，a*b=（a－b）÷2，求34*（52*48）
值。
分析：新运算“*”的含义表示：求“*”前后两数差的一半。本题在计算时，
要注意运算顺序 ，先计算括号内的“52*48”，再用34与“52*48”的结果在进行一
次这样的运算。
解：52*48=（52－48）÷2=4÷2=2
因此34*（52*48）=34*2=（34－2）÷2=32÷2=16。
19

例3．定义两种新运算“◇”和“*”，对于任意两个 数x、y，规定x◇y=x＋5y，
x*y=（x－y）×2 ，求5◇6＋3.5*2.5的值。
分析：本题包含两种新运算，第一种新运算“◇”表示求“◇”前面的数与后
面数的5 倍的和是多少；第二种运算“*”表示“*”前面的数减去“*”后面数的差
的2倍是多少。所以可以根 据他们各自的含义分别求值再作和。
解：5◇6=5＋5×6=35
3.5*2.5=（3.5－2.5）×2=2
5◇6＋3.5*2.5=35＋2=37
三、熟能生巧
1．（1） a★b=a－b，求45.2★38.9的值。
（2）x、y是两个自然数，规定x⊙y=（x+y）×10，求3⊙8的值。



2．定义一种新运算“◎”，规定A◎B=2×（A＋B），求0.6◎（5.4◎5）的值。




3．定义两种新运算“☆”和 “●”，已知a☆b=a÷2＋4.1×b，a●b=8＋3（a－b），求6☆1
＋4●2的值。




四、拓展演练
1． （1）定义一种新运算“※”，规定A※B=4A＋3B－5，求（1）6※9 （2）9※6。
（2）定义一种新运算“◆”，规定a◆b=（3x＋y）＋2＋x，
求：①10◆15 ②15◆10





20

2．（1）定义新运算“♂”，规定m♂n=（m－n）÷2，那么8 ♂（12♂2）与12♂
（8♂2）是否相等？如果不相等，哪个大？
（2）定义一种新运算 “

”，已知a

b=5a＋10b，求3

7＋5

8的值。




3．定义两种运算“
< br>”和“⊙”，对于任意两个整数a，b，a

b=a＋b－1，
a⊙b=a× b－1。计算4⊙[（6

8）

（3

5）]。



五、星级挑战
★1．定义新运算“※”，若2※3=2＋3＋4，5※4=5＋6＋7＋8。
求2※（3※2）的值。


★★2. 设a、b表示两个数如果a≥b，规定：a◎b=3×a－2×b；如果a＜b，规定：
a◎b=（a＋b）×3。求： ①9◎6 ② 8◎8 ③2◎7



★★3．设a、b表示两个数，a⊙b=a×b－a+b，已知a⊙7=37，求a的值。




★★★4．设a、b表示两个整数，规定：a ◎b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）
＋…＋（a＋b－1），求1◎100的值。


21

第8讲 巧求面积（1）
一、夯实基础
小学数学教材中学习了长方形、正方形、平 行四边形、三角形、梯形、圆等基
本图形面积的计算方法。常用的面积公式如下：
正方形

长方形

平行四边形

三角形

梯形

边长×边长
长×宽
底×高
底×高÷2
（上底+下底）×高÷2
S=a
2

S=ab
S=ah
S=ah÷2
S=(a+b)h÷2
在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补 、做差等一些基本的几何解题思
想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。
二、典型例题
例1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的
面积。 分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而
它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它 的面积。因
为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC
后，根据差不变性质 ，差应相等，即阴影部分与直角梯形
OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯
形OEFC的面积。
解：直角梯形OEFC的上底为：10－3=7（厘米），
直角梯形OEFC的面积为（7+10）×2÷2=17（平方厘米）。
答：阴影部分的面积是17平方厘米。
例2．如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米 ，直角三角形ECB的直角边EC
长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘 米，求平行四
边形ABCD的面积。
分析：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘
米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新
图形的面积差不变，即平行四边行 ABCD比直角三角形ECB
的面积大10平方厘米。
解：三角形EFG的面积为：10×8÷2=40（平方厘米）。
平行四边形ABCD的面积为：40+10=50（平方厘米）。
答：平行四边形的面积为50平方厘米。
例3．如图,在三角形ABC中， BC=8厘米， AD=6厘米，E、F分别为AB和AC
的中点.那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
22

分析:由“ E、F分别为AB和AC的中点”可知，AF=CF，AE=BE，所以三
角形A BF和三角形CBF是同底等高的三角形，面积相等；三角形AEF和三角形
BEF面积也相等，故有S
三角形
EBF
=
11
S
三角形
ABF
，S
三角形
ABF
=S
三角形
ABC

22
解：S
三角形
ABC
=8×6÷2=24（平方厘米）
11
S
三角形
ABC
=×24=12（平方厘米）
22
11
S
三角形
EBF
=S
三角形
ABF
=×12=6（平方厘米）
22
答：三角形EBF的面积是6平方厘米。



三、熟能生巧
S
三角形
ABF
=
1．如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴 影部分的面积。（单位：厘米）


2．如图，正方形
ABCD
边长 是10厘米，长方形
EFGH
的长为8厘米，宽为5厘米。
阴影部分甲与阴影部分乙的 面积差是多少平方厘米？




3．如图，在三角形ABC中 ，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，
求三角形ABC的面积。





四、拓展演练
1．如图，在长方形内画了一些直 线，已知边上有三块面积分别是13，35，49，那么图
中阴影部分的面积是多少？（单位：平方厘米 ）



23

2． 如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米？


3．如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、 G分别是
AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积。








五、星级挑战
★1．如图，梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米 ，求三角形
BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？

★★2．有两种 自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的
面积是36平方厘米，两个正方形的 面积分别是多少？


24

第9讲 组合图形面积（2）
一、夯实基础
不规则图形常由圆、扇形、弓形与三角 形、正方形、长方形等规则图形组合而
成的，计算时常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼 补、旋转，使之
转化为规则图形的和、差关系，有时要和“容斥原理”合并使用才能解决。
计算圆的周长与面积的主要公式有：
（1）圆的周长=π×直径=2π×半径，即：C=πd=2πr
(2)中心角为n的弧的长 度=n×π×(半径)÷180，即：l=
（3）圆的面积=π×(半径)
2
，即：S=πr
2
°

°
n

r

180

2
n
r
2
1
(4)中心角为n的扇形的面积==n×π×(半径)÷360 ，即：S== l=lr
360
2
二、典型例题
例1．如下图（1），在 一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径
向内作三个半圆，求阴影部分的面积。

分析（一）：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆 ，得到图
（2）。这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面
积 相等。所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
分析（二）：将上半个“弧边三角形”从中 间切开，分别补贴在下半圆的上侧边
上，如图（3）所示。阴影部分的面积是正方形面积的一半。 分析（三）：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，
如图（4）所示。阴影 部分的面积是正方形的一半。
解：4×4÷2=16（平方厘米）
例2．如下 图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米
为半径在正方形内画圆，求阴影部分 面积。
分析：阴影部分的面积等于两个扇形的面积之和减去正方形的面积。
解：
S
阴影
=S
扇形
ACB
＋S
扇形
ACD
－S
正方形
ABCD

(1)
(2)
(3)
(4)
25


×AB
2
×2－AB
2

4

2
=×4×2－4
2

4
3.142
≈16×=9.12（平方厘米）。
2
=
A
B
D
C
例3．如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
分析： 阴 影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）
的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积 等于边长为6的
1
正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。
4
解：S阴影
=S
三角形
ACD
－（S
正方形
BCDE
－S
扇形
EBD
）
=
G
E
F
D
11
(106)6(66

6
2
)

24
(I)
A
10
B6
C
=40.26（平方厘米）。
三、熟能生巧
1．如下图，圆的直径为8cm，求阴影部分的面积。






2．如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm，
分 别以A、B为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC
内画弧，求阴影部分的面积。





3．如下图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且A B=20
厘米，如果阴影（1）的面积比阴影（2）的面积大7平方
厘米，求BC长。




A
(1)
(2)
B
C
26

四、拓展演练
1．如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影
部分 面积占大圆面积的百分之几？




2．如下图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。求阴影部分的面
积。






3．如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是1：2：1，和为24厘米。图
中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？




五、星级挑战
★1．如下图，将直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC
的位置， 求阴影部分的面积（取π=3.14）。













27

★★2．求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）






第10讲 长方体的表面积和体积
一、夯实基础
长方体和正 方体六个面的总面积，叫做它们的表面积。长方体的六个面分为上
下、左右、前后三组，每组对面的大小 、形状完全相同；正方体的六个面是大小相
等的六个正方形。
长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6 物体占空间的大小，叫做物体的体积。容积是指所能容纳物体的体积。一个物
体的容积计算方法与体 积计算方法相同，不过体积是从物体外面测量出长度再进行
计算，容积是从物体内部测量出长度再进行计 算。通常物体的体积要大于容积，当
厚度忽略不计时，容积就等于体积。
长方体体积=长×宽×高
正方体体积=棱长×棱长×棱长
二、典型例题
例1．一块长方形铁皮长24厘米，四角剪去边长3厘米的正方形后，然后通过折叠、
焊接，做成一个无 盖的长方体铁盒，铁盒的容积是486立方厘米。求原来长方形铁
皮的面积。
分析：要求原来长方形铁皮的面积，关键要能求出原长
方形铁皮的宽。根据题意，画出示意图， 结合空间相像，可
知做成的长方体铁盒的长是24－3×2=18（厘米），高就是剪
下的小正 方形的边长，也就是3厘米。又知铁盒的容积是
486厘米，这样就可以算出铁盒的宽。铁盒宽并不是原 来长
方形铁皮的宽，再加上3×2=6（厘米）才是原铁皮的宽。
解：长方体铁盒的长：24－3×2=18（厘米）
长方体铁盒的宽：486÷3÷18=9（厘米）
长方形铁皮的宽：9＋3×2=15（厘米）
28

长方形铁皮的面积：24×15=360（平方厘米）
答：原长方形铁皮的面积是360平方厘米。
例2．如右图，用3条丝带捆扎一个礼盒，第一 条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，
第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均 为5cm，求礼盒的体积。
分析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带
中最长的一根去掉 接头的5cm，剩余部分的长度
等于长方体长与宽和的2倍。
解：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm）
长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）
宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm）
长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm）
长：295－115＝180（cm）
宽：295－220＝75（cm）
高：295－255＝40（cm）
礼盒体积： 180×75×40=540000（cm
3
）=540（dm
3
）
答：这个礼盒的体积是540立方分米。
例3．如图（1），一个密封的长方 体玻璃缸长15厘米，水深3厘米。如果把玻璃
缸按图（2）放置，里面的水深是多少厘米？（玻璃的厚 度忽略不计）

分析：长方体玻璃缸中的水的体积没有变化，长也没有变化，只是宽和水深相
应的变化了。
解：设容器侧放后水深是x厘米
15×8×3＝15×4×x
x＝6
答：如果把玻璃缸按图（2）放置，里面的水深是6厘米。
三、熟能生巧
1．在一 个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这
个立体图形的表面积。



29

2．一个密闭的长方体水箱，长10分米，宽8分米，高6分米，内装3分米深的水，
若将长方 体的长边竖立起来，水深会是多少分米？

3．右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是
多少？




四、拓展演练

1．如图所示是一个棱长 12厘米的正方体，从前住后，有一个“十”字型的洞。“十”
字最短边长都是2厘米，求它的表面积和 体积？

2．如图，在一块平坦的水泥地上，用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池，墙厚为< br>10厘米(底面利用原有的水泥地)。这个水泥池的体积是多少？ .

3．图中的一些积木是由16块棱长为2厘米的正方体堆成的，它的表面积是多少平
方厘米？



五、星级挑战
★1．一个长方形水箱，从里面量长40厘 米，宽30厘米，深35厘米。原来水深10
厘米，放进一个棱长20厘米的正方形铁块后，铁块的顶面 仍然高于水面，这时水面
高多少厘米？



30

★★2．有一个棱长是5厘米的正方体木块，它的表面涂上红油漆。将这个大正方体
木块锯成棱 长是1厘米的小正方体，散乱为一堆。在这些小正方体木块中，三面涂
红漆的有几块？两面涂红漆、一面 涂红漆的各有几块？没有涂上红漆的有几块？



第11讲 圆柱体的表面积
一、夯实基础
圆柱体是常见的立体图形。它的表面是由一个侧面（展开是长 方形）和两个相
同的圆形底面组成。圆柱从中间竖切成两个半圆柱后，切面是一个长方形；从中间
横切成两个圆柱后，切面是一个圆形。
圆柱的表面积=侧面积+两个底面积，即
S
表
=S
侧
＋2S
底
，S
表
=2πrh+2πr< br>2

二、典型例题
例1．把一段长20分米的圆柱形圆木沿底面直径剖成相同 的两块，表面积增加了320
平方分米，原来这段圆柱形圆木的表面积是多少平方分米？
分析：按这种方法，截面是相同的两个长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是
圆柱的底面直径。
解：长方形面积是320÷2=160（平方分米）；
底面直径：160÷20=8（分米）；
侧面积：3.14×8×20=502.4（平方分米）；
底面积：3.14×（8÷2）
2
=50.24（平方分米）；
表面积：502.4＋50.24=552.64（平方分米）
答：原来这段圆柱形圆木的表面积是552.64平方分米。
例2．有一个圆柱体的零件，高10厘米 ，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆
柱形的直孔，如下图。圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如 果将这个零件接触空
气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
分析：解题时，既要注意圆 柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还
要注意到零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的 长度不相同，所以在孔内还
要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略。但是，我们可以把小圆的 底面
与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面。
31

解：3.14×（6÷2）
2
×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5
＝3.14×（18＋60＋20）
＝3.14×98
＝307.72（平方厘米）．
答：涂油漆面积是307.72平方厘米。
例3． 在一棱长为4厘米的正方体的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，
深为1厘米的圆柱形的孔， 求打孔后它的表面积是多少？
分析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有 被打
透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完
全一样的 圆柱的侧面积。
解：4×4×6＋2π×1×6=133.68（平方厘米）
答：打孔后它的表面积是133.68平方厘米。
三、熟能生巧
1．把一个圆柱体 的侧面展开，得到一个边长6.28分米的正方形，这个圆柱体的底
面周长是多少分米？底面积是多少平 方分米？




2．一个圆柱体的零件，高20厘米，底面直径 是14厘米，零件的上面有一个圆柱形
的圆孔，圆孔的直径是8厘米，孔深12厘米（见右图）。如果将 这个零件接触空气
的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？




3．有一个长方体木块，高20厘米，底面是个长方形，长30厘米，宽15厘米，上
面有一个底面直径和高都是10厘米的圆柱形的孔，它的表面积是多少平方厘米？


32

四、拓展演练
1．将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱体组 成一个物
体，求它的表面积。


2．右图是一个零件的直观图。下部是一 个棱长为40cm的正方体，
上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。



3．右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布
做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？






五、星级挑战
★1．一根圆柱形钢材，如图沿底面直径割开 成两个相等的半圆柱体。已知一个剖面
的面积是960平方厘米，求原来钢材的侧面积。




★★2．有一张长方形铁皮，如图剪下阴影部分制成圆柱体，求这个圆柱体的表面积。




33

第12讲 圆柱和圆锥的体积
一、夯实基础
本节主要是对圆柱和圆锥的认识，圆柱的表面积以及圆柱、圆锥体积计算。
圆柱的特征：圆柱有 一个侧面（展开是长方形）和两个底面（完全相同的圆），
圆柱有无数条高（两个底面之间的距离）。
圆柱的侧面积=底面周长×高，S
侧
=ch=2πrh；
圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积；
圆柱的体积=底面积×高，即V=sh=πr
2
h；
圆锥的特征：圆锥的底面是一个圆，侧面（展开是扇形）。
圆锥的高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。（一个圆锥只有一条高）；
圆锥的体积=
111
×底面积×高，即V=sh=πr
2
h；
333
圆锥的表面积=扇形面积+底圆面积。
二、典型例题
例1．把高1 0厘米的圆柱体按下图切开，拼成近似的长方体，表面积就增加了60
平方厘米，圆柱的体积是多少立方 厘米？
分析：把圆柱体按上图切开并拼成近似长方体，表面积比原来增加了左、右两个
侧面（长方形），长方形的长是底面半径，宽是圆柱的高。
解：60÷2=30（平方厘米）
30÷10=3（厘米）
3.14×3
2
×10=282.6（立方厘米）
答：圆柱的体积是282.6立方厘米。
例2．把一块长18.84厘米，宽5厘米，高4厘米的长方 体钢锭和一块底面直径是8
厘米，高25厘米的圆柱形钢块，熔铸成一个底面半径为8厘米的圆锥形钢块 ，这个
圆锥形钢块的高是多少厘米？
分析：要求圆锥的高，必须知道圆锥的体积和底面积，而 题中的圆锥是两个不
同形体的几何体熔铸而成的，所以这个圆锥的体积等于长方体体积与圆柱体积的和。
解：设圆锥的高为厘米。

1
×（3.14×8< br>2
×）=18.84×5×4＋3.14×（8÷2）
2
×25
3
=24.375
答：这个圆锥形钢块高是24.375厘米。
例3．下图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头
处忽略不计） 。求这个油桶的容积。
34

分析：图中的两个圆是圆柱的底面，长方形是圆柱的侧面，因为刚好做成一个
圆柱形 油桶，所以长方形的长相当于圆柱的底面周长，也就是说：以底面直径为1
倍，长方形的长应是直径的< br>
方形的宽是直径的2倍。
解：设底面直径为




厘米。


倍。从图中可以看出长
3.14×（4÷2）
2
×（4×2）=100.48（立方厘米）=100.48（毫升）
答：这个油桶的容积是100.48毫升。
三、熟能生巧
1．把一个底 面直径是10厘米的圆柱形木块沿底面直径分成相同的两块，表面积增
加了100平方厘米。求这个圆柱 体的体积。



2．求空心机器零件的体积。（单位：厘米）




3．有一张长方体铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长 方形，正好可以做成一个
圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么圆柱的体积是多少立方厘米？


四、拓展演练
1．一种儿童玩具——陀螺（如下图），上面是圆柱体， 下面是圆锥体。经过测试，
只有当圆柱直径3厘米，高4厘米，圆锥的高是圆柱高的
3
时，才能旋转时稳又快，
4
35

试问这个陀螺的体积是多大？（保留整立方厘米）





2．一个圆柱形水桶，若将高改为原来的一半，底面直径为原来的2倍 ，可装水40
千克，那么原来的水桶可装水多少千克？



< br>3．如下图：用一张长82.8厘米的铁皮，剪下一个最大的圆做圆柱的底面，剩下的
部分围在底 面上做成一个无盖的铁皮水桶，算一算这个铁皮水桶的容积是多少？（铁
皮厚度不计）。




五、星级挑战
★1．一个胶水瓶（如图），它的瓶身呈圆柱 形（不包括瓶颈），容积为32.4立方厘
米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高为8厘米，瓶子倒放时， 空余部分高为2厘米。
请你算一算，瓶内胶水的体积是多少立方厘米？






★★2．有一块棱长分别为6dm、8dm、10dm的长 方体木块，把它切割成体积尽可
能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积？







36

第13讲 画图法解应用题
一、夯实基础
在解答一些应用题时，用作图法可以把题 目的数量关系揭示出来，使题意形象
具体，一目了然，从而有助于快速找到解题的途径。作图法解题可以 画线段图，也
可以画示意图，对解答条件隐蔽，复杂疑难应用题，能起到化难为易的作用。
例如在解答和差、和倍和差倍三类问题时，都可以用画图法表示。简图如下：
（1）和差问题 （2）和倍问题 （3）差倍问题
二、典型例题
例1．哥弟 俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥
哥和弟弟原来各有邮票多少 张？
分析：由已知条件“哥哥给弟弟4 张后，还比弟弟多2 张”画图如下，可知哥哥
的邮票比弟弟多4×2＋2＝10 （张）。

解：弟弟有邮票：（70－10）÷2=30 张，
哥哥有邮票：30+10=40 张。
答：弟弟有邮票30张，哥哥有邮票40张。
例2．果园里有桃树、梨树、苹果树共 146棵。桃树比梨树少7棵，苹果树比桃树
多4棵，三种树各有多少棵？
分析：先用线段图表示出三种树棵数之间的关系：

从图上可以看出，梨树的棵数比桃树多7 棵，苹果树的棵数比桃树多4棵，假
设移动多的棵数，则两种果树共减少了7＋4=11（棵），相应的 总棵数就减少11棵：
146－11=135（棵），而135棵对应的就是桃树棵数的3倍。
解：桃树：（146－7－4）÷3=45（棵），
37

梨树：45+7=52（棵），
苹果树：45+4=49（棵）。
答：桃树有45棵，梨树有52棵，苹果树有49棵。
例3．某公司三个厂区共有员工1900人，甲 厂区的人数是乙厂区的2倍，乙厂区比
丙厂区少300人，三个厂区各有多少人？
分析：先用线段图表示出三厂区人数之间的关系：

从图上可以看出，假设丙厂人数减少30 0人，总人数也减少300人，为1900－
300=1600（人），此时总人数恰好是乙厂的4倍。
解：乙厂：（1900－300）÷4=400（人），
甲厂：400×2=800（人），
丙厂：400+300=700（人）。
答：甲厂有800人，乙厂有400人，丙厂有700人。
三、熟能生巧
1．一个两层书架 共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层比下层多4本。
上、下层各放书多少本？




2．张明用272元买了一件上衣，一顶帽子和一双鞋子。上衣比鞋贵 60元，鞋比帽
子贵70元。求上衣、鞋子和帽子各多少钱？




3．三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，< br>三个队各筑了多少米？


38

四、拓展演练
1．姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么 姐姐
和妹妹原来各有糖果多少块？



2．城东小学共有篮球、 足球和排球共95只，其中足球比排球少5只，排球的只数
是篮球只数的2倍。篮球、足球、排球各是多 少只？



3．甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆。每天从甲站开 往乙站的汽车是21辆，从
乙站开往甲站的汽车是24辆。经过几天后，甲站汽车的辆数是乙站的7倍？




五、星级挑战
★1．有货物164吨，分放在甲 、乙、丙、丁四个仓库里，乙仓存放吨数是甲仓存放
吨数的3倍，甲仓比丙仓少5吨，比丁仓多3吨，甲 、乙、丙、丁四个仓库各放多
少吨？



★★2．甲油库存 油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多
少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下 油的2倍？





39

第14讲 假设法解应用题
一、夯实基础
所谓“假设法”就是依照已知条件进行推 算，根据数量上出现的矛盾，做适当调
整，从而找到正确答案。
我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用假设法解题的一个范例，其基本关系式是：
方法1:设鸡求兔
（总足数－2×总头数）÷（4－2）=兔头数
总头数－兔头数=鸡头数
方法2:设兔求鸡
（4×总头数－总足数）÷（4－2）=鸡头数
总头数－鸡头数=兔头数
二、典型例题
例1．学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球 贵8
元，篮球、排球的单价各多少元？
分析：假设买的是9个排球，可以少花8×4 =32（元），即如果买9个排球会花
185－32=153（元），当然，也可以假设买的是9个蓝球 。会多花8×5=40（元），
即如果买9个篮球会花185＋40=225（元）
解（一）：假设买回的是9个排球
排球的单价：（185－8×4）÷9=17（元）
篮球的单价：17＋8=25（元）
解（二）：假设买回的是9个篮球
蓝球的单价：（185＋8×5）÷9=25（元）
排球的单价：25－8=17（元）
答：排球的单价是17元，篮球的单价是25元。
例2．一只松鼠采松子，睛天每天 采24个，雨天每天采16个，它一连8天共采168
个松子，问这8天当中有几天睛天？
分 析：假设这8天全是睛天，应采24×8=192（个），比实际采到的多192－168=24
（个） ，怎么会多24个呢？因为这8天中有雨天，每个睛天比每个雨天多采24－
16=8（个），24里面 有3个8，所以有3个雨天，5个睛天。亦可以假设全是雨天，
求出睛天的天数。
解（一）：假设这8天全是睛天
雨天：（24×8－168）÷（24－16）=3（天）
睛天： 8－3=5（天）
40

解（二）：假设这8天全是雨天
睛天：（168－16×8）÷（24－16）=5（天）
答：这几天中有5天睛天。
例3．鸡兔同笼，数头共10只，数脚共24只，鸡、兔各有多少只？
分析：假设这10只全 是鸡，应有脚2×10=20（只），比实际的脚数少24－20=4
（只），怎么会少4只脚呢？因为 这10只动物中有兔子，每只鸡的脚比每只兔子少
4－2=2（只），4里面有2个2，所以有2只兔子 ，8只鸡。亦可以假设全是兔子，
求出鸡的数量。
解（一）：假设这10只全是鸡
兔：（24－2×10）÷（4－2）=2（只）
鸡： 10－2=8（只）
解（二）：假设这10只全是兔
鸡：（4×10－24）÷（4－2）=8（只）
兔： 10－8=2（只）
答：鸡有8只，兔有2只。
三、熟能生巧
1 ．商场运进200双童鞋，分别装在3只木箱和4只纸箱里，刚好全部装满。如果2
只纸箱装的童鞋与1 只木箱装的同样多，那么每只纸箱和木箱各装童鞋多少双？



2．六年 级师生参观科技展览馆，买儿童票52张，成人票7张，共花了330元。成
人票是儿童票的2倍。两种 票价各是多少元？



3．鸡兔同笼，共有27个头，72只脚，问：笼中鸡、兔各有多少只？



4．学校组织学生和教师共460人春游，刚好共租了10辆客车，已知大客车每辆坐
50人，小客车每辆坐30人，大、小客车各租了几辆？


41

四、拓展演练
1．玲玲的储蓄盒里有二分、五分硬币共65枚，共值2.86元，那么二分、 五分的硬
币各有多少枚呢？



2．李华参加射击比赛，共打2 0发，规定每中一发记10分，脱靶一发则倒扣6分，
结果得了168分，他一共打中了多少发？



3．一名搬运工人从批发部搬运500只瓷砖到商店，货主规定：运到 一只完好的瓷砖
得运费3角，打破一只赔9角，结果他领到运费136.80元。问在运输中，搬运工打
破了多少只瓷砖？



五、星级挑战
★1．有一堆黄 沙，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽
车比小汽车多运3吨，这堆黄沙有 多少吨？




★★2．蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对 翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有这
三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问：每种小虫各 几只？






42

第15讲 列方程解应用题（1）
一、夯实基础
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）弄清题意，找出未知数，并用x表示；
（2）找出应用题中数量间的相等关系，列方程；
（3）解方程；
（4）检验，写出答案。
二、典型例题
例1．父亲今年50岁，儿子今年14岁，问几年前父亲的年龄是儿子的5倍？
分析：根据“几年前父亲的年龄=几年前儿子年龄的5倍”，可建立等量关系。
解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。
50－x=5（14－x）
x=5
答：5年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍。
例2．涛涛家4口人的年龄之和147岁，妈妈比涛涛大 27岁，爷爷的年龄是妈妈和
涛涛年龄之和的2倍，且比爸爸大38岁。问：涛涛家四口人的年龄各是多 少？
分析：由一家四口人的年龄之和为147岁知等量关系为：“涛涛岁数＋妈妈岁数＋爸爸岁数＋爷爷岁数=全家年龄和”。另外，经分析，设涛涛的年龄为x，则此
题化难为宜。
解：设涛涛年龄为x岁，则妈妈是（x+27）岁，爷爷是[(x+x+27)×2]岁，爸 爸
是[(x+x+27)×2－38]岁。
x＋（x+27）＋[(x+x+27)×2－38]＋[(x+x+27)×2]=14
解得：x=5
妈妈年龄：x+27=5＋27=32(岁)
爸爸年龄：x+x+27)×2－38=（5＋5＋27）×2－38=36（岁）
爷爷年龄：(x+x+27)×2=（5＋5＋27）×2=74(岁)
答：涛涛5岁，妈妈32岁，爸爸36岁，爷爷74岁。
例3．一个三位数，个位上的数字是 5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上
的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所 成的新数比原数小108，
原数是多少？
分析：这题是数字问题，根据“新数比原数小1 08”可以列出等量关系式：“原数
＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位 数为x，则原三位
数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）
43

解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x。
10x＋5＝5×100＋x＋108
10x－x＝500＋108－5
9x＝603
x＝67
10×67＋5＝675
答：原三位数是675。
三、熟能生巧
1．今年爸爸的年龄是儿子的4倍，2 0年后，爸爸的年龄是儿子年龄的2倍，问：
爸爸和儿子今年各是多少岁？




2．一条大鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长加身长的一半的 和。
这条大鲨鱼全长多少米？




3．某车间22名 工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000
个，一个螺钉要配两个螺母，为 了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生
产螺钉，多少工人生产螺母？




四、拓展演练
1．学校里白色粉笔的盒数是彩粉笔的4倍，如果再增加 白粉笔130盒，再增加彩粉
笔50盒，则白粉笔是彩粉笔的3倍。求白粉笔和彩粉笔原来各有多少盒？



44

2．78只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉138条青虫，已知每只公鸡吃4条青虫，每只母
鸡吃3 条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多18只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小
鸡各有多少只？




3．一个六位数，个位数字是2，如果把2移到最高位，那么原数就是 新数的3倍。
求原来的六位数。






五、星级挑战
★1．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个 ，乙做
的个数减去20个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好
相等 ，那么乙实际做了多少个？




★★2．箱子里有红、白两 种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里
取出7个白球，15个红球。如果经过若干次后 ，箱子里只剩下3个白球，53个红球，
那么，箱子里原有红球比白球多多少个？






45

第16讲 列方程解应用题（2）
一、夯实基础
列方程的实质是把题中的“生活语 言”化为“代数语言”，即把文字等量关系式
用已知数与未知数代入即得方程。
列方程解应用题的两个关键点：
（1）用x表示未知量。（2）建立等量关系
二、典型例题
例1．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种 零件
全部合格，甲种零件只有
了多少个？
分析：我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程。
解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个。
（x+ 12）× +x= 42
4
合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产
5
4
5
948
x+= 42
55
x= 18
甲种零件个数为：18+12=30（个）
答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
例2．袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球，黄球 个数是红球的
的
4
，蓝球个数是红球
5
23
，黄球个数的比 蓝球少2个。袋中共有多少个球？
34
分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球进行 比较，所以设红球个数
为x比较简单。再根据“黄球个数的
3
比蓝球少2个”建立等式 ，可列出方程。
4
42
x，蓝球个数为x。
53
解：设红球个数为x，则黄球个数为
234
x－×x=2
345
x=30
46

x＋
42
x＋x=30＋24＋20=74（个）
53
2
，第二次放出30立方米水，第三次又放
5
答：袋中共有74个球。
例3．有一个水 池，第一次放出全部水的
出剩下水的
2
，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方 米？
5
2
x，第二次放
5
22
出水是30立方米，第三次 放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样
55
分析：如果用x表示全池的蓄水量， 那么第一次放出的水应为
的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池 水量”。
解：设全池蓄水量为x立方米。
222
x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x
555
26
x－x－x= 72
525
x=200
答：全池蓄水为200立方米。
三、熟能生巧
1．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的
所存的钱数 相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？


2．六年级有学生300人，从六年级 男生中选出
2
，乙取出12元后，两人
5
31
，女生中选出参加校运 动会，
42


这样全年级还剩下91人参加布置会场工作。六年级有男、女生各多少人？，
3．长江文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的
文具店共运来多少支笔？


31
和钢笔的相等，长江
72
47

四、拓展演练
1．某人装修房屋，原预算25000元。装修时因材料费下降了20％，工资 涨了10％，
实际用去21500元。求原来材料费及工资各是多少元？



2．某商店因换季销售某种商品，如果按定价的5折出售，将赔30元，按定价的9
折出售，将赚20元，则商品的定价为多少元？



3．某书店出售一 种挂历，每售出1本可得18元利润。售出一部分后每本减价10
元出售，全部售完。已知减价出售的挂 历本数是减价前出售挂历本数的
完这种挂历共获利润2870元。书店共售出这种挂历多少本？



2
。书店售
3
五、星级挑战
★1 ．甲、乙两人各有钱若干，现有18元奖金，如果全部给甲，则甲的钱为乙的2
倍，如果全部给乙，则乙 的钱为甲的


★★2．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊 的只数，发现
剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却
又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。
这群羊原来有多少 只？





7
。问原来两人各有多少元钱？
8
48

第17讲 行程问题之多次相遇
一、夯实基础
在一些稍复杂的行程问题中，出现了 第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难
理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，画图弄清数量关系， 明确运动过程以及
路程、速度、时间三个量之间的关系，解答起来也十分方便。
二、典型例题
例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两
车继续前进 ，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B
地60千米处相遇。求A、B两地间 的路程。
分析：根据题意可画出下面的线段图：

从图中可知，甲、乙两车从同时 出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一
次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80 千米。两车同时出发同时
停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米 ），从图
中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米。
解：80×3－60＝180（千米）
答：A、B两地间的路程是180千米。
例 2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两
车继续前进，甲车到达 B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A
地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。
分析：根据题意可画出线段图：

由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇 ，共行驶了3个全程，第一
次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米。两车同时出 发同时
停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝240（千米），
从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米。
49

解：（80×3＋60）÷2＝150（千米）
答：A、B两地间的路程是150千米。 < br>例3．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路
上巡逻，大警 卫每秒走0.5厘米，小警卫每秒走0.3厘米，每天早晨俩人同时从路的
两段相向走来，走到对方出发 地点再向后转接着走。当他们第三次相遇时，大警卫
走了多少厘米？
分析：第一次相遇，两人 共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两
人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走 了5个全长，5个全长除以速
度和求出相遇时间是：20×5÷（0.5＋0.3）=125秒，再乘以 大警卫的速度就是所求。
解：20×5÷（0.5＋0.3）×0.5
=100÷0.8×0.5
=125×0.5
=62.5（厘米）
答：当他们第三次相遇时，大警卫走了62.5厘米。
三、熟能生巧
1．甲、乙两 车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，
乙车每小时行57千米，甲车 到达西城后立刻返回。两车从出发到相遇一共经过多长
时间？



2．客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地
方，相遇后两车仍 以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，
结果它们又在离乙站20千米的地方相 遇。求甲、乙两站之间的距离。



3．李明和王华步行同时从A、B 两地出发，相向而行，第一次在距离A地520米
处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返 回，第二次在距离A地440
米处相遇，计算A、B两地之间距离。




50

四、拓展演练
1．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每 分钟跑
110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后
再 返回继续跑。他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？



2．快、慢两 辆汽车同时从A、B两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小
时行30千米。两车不断往返于A 、B两地运送货物。当两车第三次相遇后，快车又
行了270千米才与慢车相遇。求A、B两地间的距离 。



3．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走50米，小华每分 钟比小明快10米，
小丽每分钟比小明慢10米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小
华和小明相遇后，过了15分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？





五、星级挑战
★1．甲、乙两人在相距90米的直路上来回 的跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的
速度是每秒钟2米，如果他们分别在直路的两端出发，跑了12分 钟，共相遇多少次？



★★2．小张与小王分别从甲、乙两村同时 出发，在两村之间往返行走（到达另一村
后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离 乙村2千米处第二次相
遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？


51

第18讲 行程问题之环形赛道
一、夯实基础
在封闭的环形上，如果是同时同地背向而行，合走一个周长相遇一次。
相遇时间是：环形周长÷速度和=相遇时间。
如果是同时同地同向而行，速度快的追上速度慢 的时候，正好比速度慢的多行
一个周长的路程，一周的长度就是追及距离，追上一次。
追及时间是：环形周长÷速度差=追及时间
二、典型例题
例1．小张和小王各以一 定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是
180米分。
（1）小张和小王 同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张
的速度是多少米分？
（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追
上小王？
解：（1）75秒=1.25分，两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程。小张
的 速度是：500÷1.25－180=220（米分）。
（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），
因此需要的时间是：
500÷（220－180）＝12.5（分）；
220×12.5÷500＝5.5（圈）。
答：（1）小张的速度是220米分；（2）小张跑5.5圈后才能追上小王。

例2．如图 ，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行
走，他们在C点第一次相遇，C离 A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60
米.求这个圆的周长。
解：第一次相遇 ，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，
两个人合起来又走了一圈。从出发开始算，两个人合起来走了
一周半。因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次
相遇时合起来所走的行程的3倍， 那么从A到D的距离，应该
是从A到C距离的3倍，即A到D是
80×3＝240（米）；240－60=180（米）；180×2＝360（米）。
答：这个圆的周长是360米。
例3．甲、乙两人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发（甲速度比乙快），
52

同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？
分析： 两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次
走到一起，看作追及问题 ，追及的路程是600米，追及的时间30分钟，根据“追及
的路程÷追及的时间＝速度差 ”，可求出速度差是 600÷30＝20 (米)。又背向而行4
分钟相遇，属相遇问题，相遇的路程 是600米，相遇时间是4分钟，根据“相遇路程
÷相遇时间＝速度和”，可求出速度和是 600÷4＝150 (米)。然后根据“和差问题”(和
＋差)÷2＝大数，(和－差)÷2＝小数，可求出两人的速度。
解：速度差： 600÷30＝20 (米分) ； 速度和： 600÷4＝150 (米分)
甲速度：(20＋150)÷2＝85 (米分) ； 乙速度： (150－20)÷2＝65 (米分)
答：甲每分钟行85米，乙每分钟行65米。
三、熟能生巧
1．甲、乙二 人骑车同时从长为10千米的环形公路的某点出发，背向而行，已知甲
每分钟骑100米，乙每分钟15 0米，经过多少分钟两人相遇？



2．如右图，有一个圆，两只小虫 分别从直径的两端Ａ与C同时出发，绕圆周相向
而行。它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次 相遇在离c点处6厘米的
Ｄ点，这个圆周的长是多少？



< br>3．在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒
相遇，如果 背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？



四、拓展演练
1．一个圆形跑道长1350米，甲、乙二人同时从同一起点绕着跑道向相反方 向跑去，
甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米。经过多长时间甲与乙第二次相遇？



53

2．甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒跑
6米，乙每 秒跑4米，经过20分钟两人共同相遇6次，问这个跑道多长？



3． 在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的
速度，同时同向出发 ，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次？



五、星级挑战 ★1．甲、乙两名同学在周长为300米的环形赛道上从同一地点同时背向练习跑步，
甲每秒跑3. 6米，乙每秒跑3.9米。当他们第5次相遇时，甲还需要跑多少米才能回
到出发点？



★★2．一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B， C分
别在这3个点上。它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行。A的速度是10厘米
秒，B 的速度是5厘米秒，C的速度是3厘米秒，3只爬虫出发后多少时间第一次
到达同一位置？




第19讲 行程问题之巧用比例
一、夯实基础
行 程问题常和比例结合起来，题目虽然简洁，但是综合性强，而且形式多变，
运用比例知识解决复杂的行程 问题经常考，而且要考都不简单。
我们知道行程问题里有三个量：速度、时间、距离，知道其中两个量 就可以求
出第三个量。速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。如果要用比例
做行程问题，这三个量之间的关系是：
（1）时间相同，速度比=距离比；
（2）速度相同，时间比=距离比；
（3）距离相同，速度比=时间的反比。
54

二、典型例题
例1．客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后， 客车
到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的34，甲、乙两城相
距多少 千米？
分析：客车速度：货车速度=4：3，客车路程：货车路程=4：3，客车行驶的路
程 为4份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车多行了1份，多行了30
千米；所以客车走了30 ×4=120千米，所以两城相距120×2=240千米。

解：30×4×2=240(千米)
答：甲、乙两城相距240千米。
例2．甲、 乙两车同时从A、B两地相向而行，它们相遇时距A、B两地中心处8
千米，已知甲车速度是乙车的1. 2倍，求A、B两地的距离。
分析：甲车速度是乙车的1.2倍，甲、乙两车速度比是6：5，相遇时 甲车和乙车
行驶的路程比是6：5，甲车行驶的路程为6份，乙车行驶的路程为5份，甲车比乙
车多行驶了1份路程，一份是2×8=16千米，A、B两地的距离就是11×16=176千米。
解：2×8×（6+5）=176(千米)
答：A、B两地相距176千米。
例3 ．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，
乙车每小时行42千米。 当乙车行至全程的
两地相距多少千米？
分析：因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正 比例，根据甲、乙速度
比，可推知路程比，根据乙行了全程的
根据甲车距中点24千米，即与全 程的
距多少千米。
解：甲车速度：乙车速度=48:42=8:7
甲车路程：乙车路程=8:7
甲行的路程：
7
时，甲车距中点还有24千米 ，A、B
20
7
，可以求出甲行了全程的几分之几，再
20
1
的差是24千米。最后可求出A、B两地相
2
782
×=
2075
55

全程：24÷（
12
－）=240（千米）
25
答：A、B两地相距240千米。
三、熟能生巧
1．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的
3
的地方与乙相遇。
7
甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时。求A、B两地之间的路程。



2．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是 货车的速度的
2
，两车相遇时，客车比货车少行8千米。求甲、乙两地间的距离。
3



3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲 车每小时行56千米，乙
车每小时行40千米。当乙车行至全程的
地相距多少千米？




2
时，甲车已超过中点12千米，A、B两
5
四、拓展演练
1．甲 、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的
5
，正好与乙相遇，已
11
知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？



2．客车和货车同时从A、B两地相对开出，货车的速度是客车的
中点30千米处相 遇。A、B两地相距多少千米？

56

2
。两车在离两地
3

3．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车速度的
当乙车行至全程 的



5
。
6
2
时，甲车距中点还有30千米，A、B两地相距多少千米？
5
五、星级挑战
★1．一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行40千米，返回时每小时 行50千米，结果
返回时比去时的时间少48分钟。求甲乙两地之间的路程？



★★2．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到终点时，乙离终点还有40米，丙
离终点还有50米，如果甲、乙、丙赛跑的速度都不变，那么当乙到达终点时，丙离
终点还有多少米？



第20讲 图示法解分数应用题
一、夯实基础
图 示法就是用线段图（或其它图形）把题目中的已知条件和问题表示出来，这
样可以把抽象的数量关系具体 化，往往可以从图中找到解题的突破口。运用图示法
教学应用题，是培养思维能力的有效方法之一。 < br>图示法不仅可以形象地、直观地反映分数应用题中的“对应量和对应分率”间
的关系，启发学生的 解题思路，帮助学生找到解题的途径，而且通过画图的训练，
可以调动学生思维的积极性，提高学生分析 问题和解决问题的能力。
二、典型例题
例1．一条鱼重的
33
加上千克就是这条鱼的重量，这条鱼重多少千克？
54
57

分析与解：从题意可以知道，这条鱼的重量是单
位“1”，用线段图帮助我们分析数量关系从图 上可以
33
千克对应的分率是（1－）。
45
337
鱼的重量：÷（1－） = 1（千克）。
458
7
答：这条鱼重1千克。
8
1
例2．一桶油第一次 用去，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原
5
看出
来这桶油有多少千 克？
分析与解：

从图中可以清楚地看出：这桶油的千克数×（1－
则这 桶油的千克数为：（20+22）÷（1－
答：原来这桶油有70千克。
例3．缝纫机厂女职工占全厂职工人数的
工多少人？
分析与解：解题的关键是找到与具体数量144人的相对应的分率。

11
－）=20+22
55
11
－）=70（千克）。
55
7
，比男职工少144人，缝纫机厂共有职
20
58

7713
，男职工占1－=，女职工比男
202020
13733
职工少占全厂职工人数的－=，也就是144人与全厂人数的相对应。
20201010
77
全厂的人数为：144÷（1－－）=480（人）
2020
从线段图上可以清楚地看出女职工占
答：缝纫机厂共有职工480人。
三、熟能生巧
1．张亮从甲城到乙城，第一天行了全程的40%，第二天行了全程的
有18千米，甲、乙两城相距多少千米？



2．李玲看一本书，第一天看了全书的
一半。李玲第一天看书多少页？


3．某工程队修筑一条公路，第一周修了这段公路的
9
，距乙城还
20
1
，第二天看了18页，这时正好看了全书的
6
12
，第二周修了这段公路 的。
47
第二周比第一周多修了2千米，这段公路全长多少千米？



59

四、拓展演练
1．汽车从学校出发到太湖玩，
63
小时行驶了全程的，这时 距太湖边还有4千米。
74
照这样的速度，行完全程共用多少小时？

< br>2．某书店运来一批连环画。第一天卖出1800本，第二天卖出的本数比第一天多
余下总数的< br>

3．一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了
1
，
93
正好第三天全部卖完，这批连环画共有多少本？
7
1
，第2小时比 第1小时少行了16千
7
米，这时汽车距甲地94千米。甲、乙两地相距多少千米？



五、星级挑战
★1．水果店购进一批水果，第一天卖了30%，第二天 卖出余下的50%，这两天共
卖出195千克。这批水果共多少千克？



★★2．用绳子测井深，把绳子折成三股来量，井外余
井外余





4
米，把绳子折成四股来量，
3
1
米，井深多少米？
3
60

第21讲 还原法解分数应用题
一、夯实基础
有些题目，如果按照一般方法，顺着 题意一步一步求解根本无从下手或计算过
程比较繁琐，那么在解题时，我们可以从最后的结果出发，运用 加与减，乘与除之
间的互逆关系，从后往前一步一步的逆推，从而推算出原数，这种思考问题的方法叫做还原法或逆推法。
用还原法解答的关键是：
①根据题目所求的问题，找出相应的两 个条件，弄清所求的单位“1”是谁，“量”
和“率”是否对应。
②数量关系比较复杂的可借助表格、线段图或流程图等帮助分析。
二、典型例题
例1．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘
岁，小明奶奶今年多少岁？
11
，再加上4后除以，恰好是100
45
11
，那就是100×
55
11
= 20（岁）；不加上4，就是20 – 4 = 16（岁）；不乘，就是16÷ = 64（岁）；最
44
分析与解：从最后的结果出发，如果 小明奶奶的年龄不除以
后再加上15就是奶奶今年的年龄。
（100×－4）÷+ 15 = 79（岁）
答：小明奶奶今年79岁。
例2．菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这 批大白菜的
1
5
1
4
12
，第二天卖出余下的，
3 5
这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？
分析与解：

61

从线段图上可以清楚地看出240千克的对应分率是第一天卖出
－
1
后余下的 （1
3
22
）。则第一天卖出后余下的大白菜千克数为：240÷（1－）=400（ 千克）
55
1
同理400千克的对应分率为这批大白菜的（1－），则这批 大白菜的千克数为：
3
1
400÷（1－）=600（千克）
3
答：这批大白菜有600千克。
例3．有一条铁丝，第一次剪下它的
11
又1米，第 二次剪下剩下的又1米，此时
23
1
又1米的结
3
还剩15米，这条 铁丝原来有多长？
分析与解：此铁丝最后还剩15米，这是第二次剪去第一次剩下的
果，那 么第二次剪之前（即第一次剪后）应该是（15+1）÷（1－
而24米又是第一次剪去全长的
的长度为（24+1）÷（1－
1
）= 24（米）；
3
1
又1米 的结果，那么那么第一次剪之前（即原来）
2
1
）= 50（米）
2
11
（15+1）÷（1－ ）÷（1－ ）= 50（米）
32
答：这条铁丝原来长50米。
三、熟能生巧
1．人民机械厂加工一批零件，甲车间加工这批零件的
丙车间在加工余下的


131
2．一瓶油第一次吃去 ，第二次吃去余下的 ，这时瓶里还有 千克，这个瓶里原
545
来有油多少千克？



62

11
，乙车间加工余下的，
54
2
，还剩3600个零件 没有加工，这批零件一共有多少个？
5

3．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，
这些铅笔 原有多少支？



四、拓展演练
1．一堆西瓜，第一次卖出总数的
个。这对西瓜共有多少个？



2．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了
猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的
子多少 只？



3．某水果店有一批苹果，第一天卖出
进第二天剩下的



11
多4个，第二次卖出余下的多2个，还剩2
42
11
，第二只猴子吃了 剩下的，第三只
33
1
，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃
4
21
，第二天卖出第一天剩下的，第三天补
97
1
，这时还存有698千克 ，问原来有苹果多少千克？
2
五、星级挑战
★1．某厂有三个车间，一车间人数占 全厂人数的
11
，二车间人数比一车间少，
45
三车间人数比二车间人数多3 0%，三车间有156人，求这个厂全厂共有多少人？



63

★★2．甲、乙两个仓库各有一些粮食，从甲仓运出
11
到乙仓后，又从乙仓运出到< br>44
甲仓，这时甲、乙两仓各有粮食90吨，原来甲、乙两仓各有粮食多少吨？



第22讲 转化法解分数应用题
一、夯实基础
有些稍复杂的 分数应用题中经常有好几个单位“1”量，要正确地解答这些题
目，必须先分清楚各个不同单位“1”量 ，然后再把题中的某一种量看作单位“1”，
把其他所有的分率都转换为这个单位“1”的几分之几，再 按照简单应用题的方法来
计算。
二、典型例题
例1．果园里有苹果树和梨树共420棵，苹果树棵数的
果树各有多少棵？
14等于梨树的，问这两种
39
14
是以苹果树为标准量，是以梨树为标准量，解题时 必须统
39
14
一成一个标准量。若以苹果树为单位“1”，则有1×＝梨树×，那么 梨树就相当于
39
1414
单位“1”的÷，两种果树的总棵数就相当于单位“1”的 （1＋÷）。
3939
14
解：苹果树：420÷（1＋÷）＝240（棵）
39
14
梨树：240×（÷）＝180（棵）
39
分析：题中的
答：苹果树有240棵，梨树有180棵。
例2．兄弟四 人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的
是另外三人出钱总数的
1
，老二出 的钱
2
11
，老三出的钱是另外三人出钱总数的，老四比老三多出
34
40元。求这台彩电多少钱？
分析：本题关键在于在于统一单位“1”，可以通过转化单位“1”，先求出老
64

大、老二、老三出的钱分别占总钱数的几分之几。老大出的钱是总钱数的
老二出的钱是总钱数的
11
=，
213
1111
=，老三出的钱是总钱数的=。
314415
11113
解： 老四出的钱占总钱数的：1－(＋＋)=
34560
1311
老四比老三多出的40元对应的分率为：－=
6056 0
11111
这台彩电的钱数为：40÷[1－(＋＋)－]=40÷=2400(元)
345560
1
，丙的钱数又比乙多
10
答：这台彩电钱数为2400元。
例3．甲、乙、丙三人各有人民币若干元，丙的钱数比甲少
1
，已知甲的钱数比乙的钱数多200元，求甲、乙、丙三人各有人民币多少元？
2
分析：根据题意可知，200元是甲钱数和乙钱数的差，因此只要找到甲的分率
和乙的分率就可以了。而 题目中给出的甲和乙都是单位“1”，因而需要转换单位
“1”，我们可以把丙看作单位“1”，求出甲 的钱数是乙丙的几分之几，乙的钱数
是丙的几分之几。
解：甲钱数是丙钱数的：1÷（1－
110
）=
109
12
乙的钱数是丙的钱数的：1÷（1＋）=
23
102
丙的钱数：200÷（－）=450（元）
93
10
甲的钱数：450×=500（元）
9
2
乙的钱数：450×=300（元）
3
答：甲的钱数是450元，乙的钱数是300元，甲的钱数是500元。
三、熟能生巧
1． 甲、乙二人共有存款1800元，甲取出他的
1
2
，乙取出他的以后，二人余存数4
5
正好相等。甲、乙两人原来各有存款多少元？


65

2．一位老人去世后留下一笔遗产分给其三个子女。老大分的财产是其余两人的
1
2< br>，
1
老二分的财产是其余两人的，老三分的财产是12000元。问老人留下的遗产是多
3
少元？



3．甲、乙、两三人共加工735个零件 ，已知甲加工的零件个数是乙的
的零件个数是丙的



6
，乙加工
7
7
。甲、乙、丙三人各加工零件多少个？
8
四、拓展演练
1．逸仙小学有学生1350人，秋游组织全校男生的
43
和全校女生的参观静海寺，
54
其余的学生参观南京大屠杀纪念馆，结果发现参观南京 大屠杀纪念馆的男生和女生
人数正好相等，逸仙小学男生和女生各有多少人？



2．甲、乙、丙三人存钱，甲存钱数是另两人的
存钱660元。三人平均存多少钱？



3．甲、乙、丙各有钱若干元，甲的钱数是乙的
数是乙的几分之几？



66

1
，乙存钱数是另两人的25%，丙
3
31
，丙的钱数比甲多，求丙的钱
54

五、星级挑战
★1．有两根绳，甲绳比乙绳长35米。已知甲绳的
多少米？



★★2．阿木达是一位勤劳的牧民，他养了许多骆驼和毛驴。已知阿木 达养的骆驼数
占骆驼和毛驴总数的
多少头毛驴？
53
和乙绳的相等，两 根绳各长
94
59
，毛驴数比骆驼数的少2头。求阿木达养了多少头骆驼，
9 11


第23讲 抓住不变量解分数应用题
一、夯实基础
有些 分数应用题，数量变化多，分析难度大，不易列式计算。但是，如果我们
仔细分析就会发现，变来变去， 总有一个量是不变的，这就是我们所说的“不变量”。
对于这类分数应用题，我们通常是抓住“不变量” ，巧设单位“1”，把其他分率统
一转化为同一个单位“1”，求出单位“1”的量，把它作为解题的中 间条件，问题
就迎刃而解了。
运用“量不变”的思维方法解题时，大体上有以下几种情况：
（1）分量发生变化，总量没有变化；
（2）总量发生变化，但其中有的分量没有发生变化；
（3）总量和分量都发生变化，但分量之间的差没有发生变化。
二、典型例题
例1 ．学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占
这时女生人数占所有看书人数的
4
， 后来又有几名女生来看书，
9
9
。问后来又有几名女生来看书？
19
分析：解这道题的关键在于抓住不变量（男生人数前后未变），根据男生人数占
原来看书总人数的1－
45
=，可求出原来看书的男生有多少人。根据男生人数占现
99
67

在看书人数的1－
910
=，可求出现在看书的总人数，进而可求出新来了几名女生。
1919
49
解：36×（1－）÷（1－）－36=38－36=2（人）
919
答：后来又有2名女生来看书。
例2．有两缸金鱼，如果从甲缸中取 出1尾放入乙缸，则两缸的金鱼尾数相等，如
果从乙缸中取出1尾放入甲缸，则乙缸是甲缸的
少 尾？
分析：本题中，甲、乙两缸金鱼的尾数都在变，但两缸中金鱼的总尾数不变，
所以 把两缸的金鱼总尾数作为单位“1”。由题意可知，从甲缸中取出1尾放入乙缸时，
乙缸中的金鱼是总尾 数的
数的
1
。求原来甲、乙两缸各有金鱼多
2
1
；从乙缸中 取出1尾放入甲缸时，乙缸中的金鱼是总尾
2
11
＝ 。两种情况，乙缸中的金鱼相差 1+1=2（尾），这2尾就是总尾数的
123
1111
－＝ 。所以总尾数为：2÷=12（尾）。
2366
11
解：2÷（－）=12（尾）
212
甲缸原有：12÷2＋1＝7（尾）
乙缸原有：12－7＝5（尾）
答：甲缸原有7尾，乙缸原有5尾。
例3．一筐香蕉，筐的重量是香蕉的
量的
1
，卖掉19千克后，剩下的香蕉重量是筐重
12
5
倍，求原来筐里有香蕉 多少千克？
2
1
，香蕉的重量为“1”倍
12
分析：这道题的总量 是由香蕉和筐的重量两部分组成，香蕉的重量前后发生了
变化，但筐的重量始终没变。因为原来筐的重量 是香蕉的
量，由此我们可以求出香蕉的重量是筐重量的1÷
1
=12（倍）。这样，筐 重就转化
12
5
成了“1”倍量。而香蕉的重量先是筐重的12倍，后又是筐重的倍， 卖掉的19千克
2
对应的就是两个倍数之差，因此可先求出筐重，然后再求出香蕉的重量。
解：筐重：19÷（1÷
15
－）=2（千克）
122
68

香蕉重：2÷
1
=24（千克）
12
答：原来筐里有香蕉24千克。
三、熟能生巧
1．某校原有科技书和文艺书共630本，其 中科技书占20%，后来又买进一些科技
书，这时科技书占总数的30%，求又进科技书多少本？



2．小芳在看一本小说，晚饭前，已看的页数是未看的
这时已看的页数是未看的



3．某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工 人
数的2倍。这个车间的女工有多少人？




1
，晚饭后，她又看了8页，
7
1
，这本小说有多少页？
6
四、拓展演练
1．一批葡萄运进仓库时的质量是100千克，测得含水量为99% ，过一段时间，测
得含水量为 98%，这时葡萄的质量是多少千克？



2．有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的
到甲粮库，甲粮库存粮的吨数就是乙 的


5
。如从乙粮库调6吨
7
4
。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？
5
69

3．袋中有若干个皮球，其中花皮球占
花皮球占皮球总数的


< br>5
，后来往袋中又放入了6个花皮球，这时
12
1
，现在袋中有多少个 皮球？
2
五、星级挑战
★1．小强和小明各有图书若干本。已知小强的图书本数占 两人图书总数的60%，
当小强借给小明20本后，小强和小明图书本数的比是2：3。两人一共有图书 多少
本？



9
，如果这两种手机的价格都分别下降< br>17
15
600元，那么甲种手机的价格是乙种手机价格的。甲种手机原来的价格是多少 元?
31
★★2．甲种手机的价格是乙种手机价格的



第24讲 巧用比解分数应用题
一、夯实基础
对分数应用题，巧妙地应用 比的知识，能使复杂的题目简单地解决。在比中，
如果甲数：乙数=4：5，我们可以把甲数看作4份， 把乙数看作5份，甲、乙两数的
和看作9份。在分数应用题，如果已知“男生人数是女生人数的
3
”，我们也可以
5
把男生人数看作3份，女生人数看作5份。同样的，如果“男生人 数比女生人数多
1
”，我们就可以把女生人数看作6份，男生人数就是（6+1）份。正因为有 这样
6
的联系，我们就可以把分数应用题用比的知识来解答。
二、典型例题
70

例1．水结成冰，体积增加了
1
，当冰融成水后，体积要减少几分之几？
1 0
1
分析：水结成冰，体积增加，即水的体积10份，冰的体积是10＋1=11份。
10
求冰化成水后，体积减少几分之几，就是求减少的体积占冰体积的几分之几，用“减
少的体 积÷冰的体积”就可得到。
解：（11－10）÷11=
答：体积要减少
1
。
11
1
。
11
2
，求甲、乙两仓库
7
例 2．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少
各存粮多少吨？
分析：根据题目 中的“甲仓库的存粮比乙仓库少
2
”，可以把甲、乙存粮用份
7
数表示，乙仓 库的存粮是7份，那么甲仓库的存粮就是（7－2）份，由此我们就可
以根据按比例分配的知识，把60 0吨按5：7分配，就可以求出来甲、乙两仓库原来
存粮的吨数。
解：甲：乙=（7－2）：7=5：7
每份数：600÷（5+7）=50（吨）
甲仓库存粮的吨数：50×5=250（吨）
乙仓库存粮的吨数：50×7=350（吨）
答：甲仓库存粮250吨，乙仓库存粮350吨。
例3．甲、乙两人共有存款108元，如果 甲取出自己存款的
人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？
分析：根据题目中的 “甲取出自己存款的
2
，乙取出12元后，两
5
2
”，可以把甲、乙 存款用份数表示，
5
甲的钱数现在是3份，那么甲的钱数原来是5份，乙现在的钱数和甲相等也 是3份，
甲原来的钱数+乙现在的钱数=108－12=96（元），正好对应3+5=8份。
解：甲现在的钱数：甲原来的钱数=（5－2）：5=3：5
每份数：（108－12）÷(3+5)=12(元)
甲原来的钱数：12×5=60（元）
乙现在的钱数：12×3=36（元）
乙原来的钱数：36+12=48（元）
71

答：甲原来的钱数60元，乙原来的钱数48元。
三、熟能生巧
1．明明在书店买 了一本字典和一本作文选。已知字典比作文选贵1.8元，作文选的
价钱是字典的


2．甲绳比乙绳长



3．水果店运来苹果和香梨一共210千克，香梨的质量是苹果的
少千克？



4．甲、乙两个养猪专业户共养猪2000头，如果甲卖掉他所养猪的
2
。字典的价钱是多少元？
5
31
米，乙绳比甲绳短。甲、乙两绳各长多少米？
410
2。运来香梨有多
5
1
，乙卖掉110
4
头，则甲、乙两户剩余的 猪的头数相等，甲、乙两户原来各养猪多少头？



四、拓展演练
1．两根铁丝共长363米，各剪去3米，则第二根是第一根的



2．甲、乙两个书架，甲书架上的书是乙书架的
8
。原来第一根长几米？
9
8
。若从乙书架取出75本放入甲书
13
架，两个书架上的书相等。原来两书 架各有书多少本？


72

3．有两个桶共装油44千克，若第一桶里倒出
桶里的油相等。原来每只桶各装油多少千克？




1
，第二桶里倒进2.8千克，则两个
5
五、星级挑战
★1．甲、 乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油重量的
7
。如果从乙桶倒出5千克油
8
到甲 桶，这时两桶油就相等了。甲、乙两桶油原来各有多少千克？



★★ 2．五年级有3个班，一班人数占全年级的
1
10
，三班人数比二班人数多，如
11
33
果从三班调走4人后，和二班人数同样多，求五年级共有多少人？




第25讲 对应法解分数应用题
一、夯实基础
对 应法是一种极为重要的解题方法，我们在分析分数除法应用题时，大都建立
在“量”与“率”对应的基础 上。
在分数、百分数的复合应用题中，根据题目中的已知量，找出和已知量对应的
分率，就可 以求出单位“1”量。
二、典型例题
例1．小华看一本书，第一天看了全书的
11
还多21页，第二天看了全书的少6页
86
还剩下172页。这本故事书共有多少页？
分析：要想求这本书共有多少页，需要找条件里的多21页，少6页，剩下 172
页所对 应的百分率．也就是说，要从这三个量里找出一个能明确占全书的几分之几
的量。画线段图如下：
73

解：（172－6＋21）÷（1－
1117
－）=187÷ =264（页）
8624
答：这本故事书共有264页．
例2．学校买来一 批图书，放在两个书柜中，其中第一个书柜中的图书占这批图书
的58%，如果从第一个书柜中取出32 本，放到第二个书柜中，这时两个书柜的图
书各占这批图书的
1
，求这批图书共有多少 本？
2
分析 ：从第一个书柜取出32本放在第二个书柜中，第一个书柜少了32本，但是两个书柜的总本数不变，可以将总本数看作单位“1”，则第一个书柜减少32本后，
本数占总本 数的分率由原来的58%减少到
1
，所以32本正好和第一书柜原来的分
2
率 和现在的分率的差相对应，这样可以用除法算出单位“1”量，也就是这批图书的总
数。
解：32÷（58%－
1
）=400（本）
2
答：这批图书共有400本。
例3．有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘 米。把两根都燃掉同样长的一部
分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的
3
。每段 燃掉多少厘米？
5
分析：这两根蜡烛长度的差没有变。两根蜡烛都燃掉同样长的 一部分，燃烧
前与燃烧后的长度都相差8－6=2（厘米），2厘米相当于所剩的长的一段的1－
32
=。
55
解：（8－6）÷（1－
3
）=5（厘米）
5
8－5=3（厘米）
答：每段燃掉3厘米。
三、熟能生巧
1．用米尺测量一根铁丝，从一端量出全长的40%，做一个标记；从另一端量 出全
长的

74

3
，再做一个标记，这两个标记间长6米，问这根铁丝长多少米？
4

2．小青看一本小说，第一天看的页数比总页数的
页数的


1多16页；第二天看的页数比总
8
1
少2页，还余下88页。这本书共有多少页？
6

3．仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后， 仓库里
所剩下的大米袋数是面粉的



3
。仓库里原来有大米和面粉多少袋？
4
四、拓展演练
1．一批课外读物，借出的占这批读物的
有本数的



2 ．某校男生人数比全校学生总人数的
7
，后来又添置了125本，这时存书占原
81
，求原有课外读物多少本？
3
13
多72人，女生人数比全校学生总 数的少
35
20人，这个学校男、女生各有多少人？



3．一瓶酒精，当用去酒精的50%后，连瓶共重700克；如只用去酒精的
瓶共重800克。求瓶子 的重量。





75

1
后，连
3

4．一本书，已经看了130页，剩下的准备8天里看完。如果每天看的页数相等，3
天看的页 数恰好是全书的



5
。这本书共有多少页？
22
五、星级挑战
★1．一块西红柿地今年获得丰收。第一天收了全部的
3
，装了3筐还余12千克，
8
第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了 多少千克西红柿？



★★2．某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖 重量的
11
比白糖重量的还多2千
54
克，两袋糖共重82千克，求红糖和白 糖各多少千克？



第26讲 假设法解分数应用题
一、夯实基础
假设法的思维方法是数学中经常使用的一种推测性思维方法。当有些应用题用< br>直接推理或其他推理方法不能寻找解题途径时，就可以将题目中的两个或两个以上
的未知条件，假 设成相等的数量，或将一个未知条件假设成已知，从而使题目中隐
蔽或复杂的数量关系趋于明朗化和简单 化，这是假设思维的一个突出特点。
用假设法解题时，一定要抓住假设的结果与实际结果之间的不同， 找出不同的
缘由，就是解题的突破口。
二、典型例题
例1．甲、乙两筐苹果共19 5千克，如果从甲筐取出
出75千克，问：甲、乙两筐原来各重多少千克？
分析：假设甲、乙 两筐均取出
31
，从乙筐取出，两筐共取
73
111
，根据乘法分配 律，甲筐重量×＋乙筐重量×=
333
76

（甲筐重量＋乙筐重量）×=195×=65。假设的结果比75千克少10千克，原因
13
1
3
331
，少算了甲筐重量的（－），即可求出甲筐的重量。
773
1
解：假设甲、乙两筐均取出了。
3
1
195× =65（千克）
3
31
2
甲筐重量：（75－65）÷（－）=10÷=105（千克）
73
21
是甲筐实际取出了
乙筐重量：195－105=90（千克）
答：甲筐原有苹果105千克，乙筐原有苹果90千克。
例2．学校有排球和足球共58个，排球借出
球各有多少个？
分析：根据“排球借出
排球借出
1
后，还比足球多8个。原来排球和足
6
1
后，还 比足球多8个”可以假设足球增加8个，就和
6
1
后剩下的同样多。以排球原有的个数 为单位“1”，足球增加8个后，
6
11
相当于排球个数的（1－），排球原来有（5 8+8）÷（1+1－） = 36（个），足球
66
原来有58 – 36 = 22（个）。
解：（58+8）÷（1+1－
1
） = 36（个）
6
58 – 36 = 22（个）
答：原来排球有36个，足球有22个。
三、熟能生巧
1．甲、乙两班共84人，甲班人数的
有多少人？




77

53
与乙班人数的共有58人，甲、乙两班各
84

2．师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件的总数的
零件总数的



3．由于浮力的作用，金放在水里称，重量减轻
3
与徒弟加工的
8
4
的和为49个，师、徒各加工零件多少个？
7
11
， 银放在水里称，重量减轻。
1910
有一块重500克的金银合金，放在水里称减轻了32克， 这块合金含金多少克？






四、拓展演练
1．两根电线共长52米，第一根的
多少米？



2．甲、乙两人共有人民币700元，甲用去自己钱数的
12
和第二根的的 和是16米，求两根电线各长
45
31
，乙用去自己钱数的，
53
两 人总共还剩下360元，求原来甲、乙两人各有人民币多少元？




3．育红小学上学期共有学生750人，本学期男生增加
人，本学期男女学生各有多少人？


78

11
，女生减少，共有710
65

五、星级挑战
★1．袋子里原有红球和黄球共104个。将红球增加
32
， 黄球减少后，红球和黄
85
球的总数变为112个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？




★★2．我校图书室去年买了科技书与文艺书共475本， 今年又买了科技书与文艺书
共640本。其中科技书比去年多买了48%，文艺书比去年多买了20%， 今年买的新
书中科技书与文艺书各有多少本？




第27讲 百分数应用题—溶剂问题
一、夯实基础
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题， 即浓度问题。如将糖溶于水就得到
了糖水，其中糖 叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加的越
多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程 度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖＋水）二
者质量的比值决定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量 。即：
浓度=
溶质质量
溶质质量
×100%=×100%
溶液质 量
溶质质量溶剂质量
浓度问题变化多，有些题目的难度较大，计算也比较复杂。要根据题目的 条件
和问题逐一分析，也可以分步解答，也可以列方程解答。
二、典型例题
例1．现有浓度为20％的糖水20千克，要得到浓度为10％的糖水，需加水多少千
克？
分析：根据加水前后糖水中含糖的重量相等列方程解，也可以根据含糖的重量
先求出当 浓度为10％时的糖水总重量，再减去原有的20千克，即是所加水的重量。
79

解：①设需加x千克水，
则有（20＋x）×10％=20×20％，
解得x=20。
②20×20％÷10％=40（千克），
40－20=20（千克）
答：需加水20千克。
例2．一容器内有浓度为25％ 的糖水，若再加入20千克水，糖水的浓度变为15％。
这个容器内原来含有糖多少千克？
分 析：由于加水前后容器中所含有的糖的重量并没有改变，所以我们只需将加
水前后容器中所含糖的重量表 示出来，即可计算出结果。
解：设容器中原有糖水x千克，
则有25％x=（x＋20）×15％，
解得x=30。
30×25％=7.5（千克）
答：容器中原来含糖7.5千克。
注：上述解法中 ，我们是设容器中原有糖水重量为x千克，而没有直接以题中
提出的问题设x，这种设间接未知数的方法 在解题中常常用到。
例3．要配制浓度为20％的盐水1000克，需浓度为10％和浓度为30％的 盐水各多
少克？
分析：这是一个溶液混合问题，混合前后溶液的浓度改变了，但是总体上溶 质
及溶液的量均没有改变，即混合前两种溶液重量和=混合后溶液重量，混合前溶质重
量和=混 合后溶质重量。
解：设需浓度为10％的盐水x克，则需浓度为30％的盐水（1000－x）克，
则有10％x＋（1000－x）×30％=1000×20％，
解得x=500。
1000－500=500（克）
答：需浓度为10％的盐水500克，则需浓度为30％的盐水500克。
三、熟能生巧
1．浓度为10%，重量为80克的糖水中，加多少克水就得到浓度为8%的糖水？

80

2．在浓度为40％的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30％，原来有多少千克酒
精？




3．配制含糖量为20％的糖水500克，需要用含糖量为18％和23％的糖水各多少克？





四、拓展演练
1．有含糖6％的糖水900克，要使其含糖量加大到10％，需加糖多少克？



2．一容器内盛有浓度为45％的盐水，若再加入16千克水，则浓度变为25％。这个容器内原来含有盐多少千克？



3．现有浓度为10％和浓度为3 0％的盐水，要想配制浓度为22％的盐水250千克，
需上述两种盐水各多少千克？




五、星级挑战
★1．现有浓度为10％的盐水20千克，再 加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得
到浓度为22％的盐水？



81

★★2．甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3
升；要配制成 50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？





第28讲 工程问题（1）
一、夯实基础
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。
工作总量：把一项工程，一块地、一堆煤、一段路程等看成一个整体，用“1”表示。
工作效率：单位时间内完成的工作量。（如每小时，每天完成工作的的几分之几）。
工作时间：完成工作总量所需的时间。
这三个量之间有下述一些关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
二、典型例题
例1．一项工程，由甲队单独工作需 要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，
由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲、乙两个工 程队共同工作了3天后，剩下
的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？
分析： 这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，甲队工作效率
11
，乙队单独工作需要12天完成，乙队工作效率应是，丙队单独工作需
1512
1
10 天完成，丙队工坐效率应是，现由甲、乙两队先共同工作3天，可完成这项
10
119911< br>工程的(＋)×3＝，还剩下1－＝ ，剩下的由丙队去完成，需要的
1512202020
111
天数÷。
2010
1111
解： [ 1－（＋）×3 ]÷ ＝5（天）
1512102
1
答：丙队还需要工作5（天）
2
应是
82

例2．一批零件，甲独做8天完成，乙独做10天完成，现在由两人合作完成这批零
件，中途甲 因事请假一天，完成这批零件共用多少天？
解法（一）：假设甲没请假，则甲、乙工作时间相同，共完 成这批零件的（1+
（1+
1
）。
8
111
）÷（+）=5（天）
8810
解法（二）：甲休息一天相当于让乙先做一天，然后两人合做。

（1－
111
×1）÷（+）+1=5（天）
10810
答：完成这批零件共用5天。
例3．一项工程，甲、乙两队合做12天 完工，如果由甲队先做6天，余下的再由乙
队接着做21天，刚好完成，若由乙队单独完成，需要多少天 ？
分析：把已知条件中“甲队先做6天，余下的再由乙队接着做21天”转化为
“甲、乙两队 合做了6天，乙队又做了15天”，问题即可解决。
解：（1）甲、乙两队合做6天后，还项工程还剩下几分之几？
1－
11
×6=
122
（2）乙队每天完成这项工程的几分之几？
11
1
÷（21－6）=÷15=
22
30
（3）乙队单独完成这项工程需要多少天？
1÷
1
=30（天）
30
1
×6）÷（21－6）]=30(天)
12
综合算式：1÷[（1－
答：若由乙队单独完成，需要30天。
三、熟能生巧
1．师徒两人共同加工一批零件，2天后已加工总数的
1
，这 批零件如果全部由师傅
3
单独加工，需要10天完成，如果全部由徒弟加工需几天完成？



2．一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他 们两人合干，又
知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工
到结束一共花了多少天？
83

3．一项工程，甲队独做要120天完成，如果甲队先做10天，乙队再做5天，就可
以完成这 项工程的
5
，乙队单独做这项工程需要多少天？
24



四、拓展演练
1．希望小学用部分捐款给同学们买体育用品，如果只买篮球可以买50个，如 果只
买足球或只买排球都可以买40个。现在买篮球和足球各15个，剩下的钱可以买多
少个排 球？



2．一项工程，甲单独完成要10天，丙和乙单独完成各要20 天，现三人一起合做，
但甲途中因事离开，完成这项工程共用了6天。求甲做了几天？



3．师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出 ，
由徒弟接着做3天。共完成任务的



7
。如果每人单独做这批零件各需几天？
10
五、星级挑战
★1 ．一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，其
间甲队休息了2天，乙 队休息了8天（不存在两队同一天休息）。问开始到完工共用
了多少天时间？




★★2．甲、乙两个工程队，甲队3天的工作量相当于乙队4天的工作量。现有一 项
工程，甲队24天完成全工程的80%，余下的由两队合做，还需要多少天完成？



84

第29讲 工程问题（2）
一、夯实基础
解答工程问题的关键是把工作总量看作“ 1”，这样，工作效率就是工作时间的
倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以 根据工作量、工
作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作总量＝工作效率×工作时间，
工作效率＝工作总量÷工作时间，
工作时间＝工作总量÷工作效率。
二、典型例题
例1．一项工程，甲、乙两队合作 需12天完成，乙、丙两队合作需15天完成，甲、
丙两队合作需20天完成，如果由甲、乙、丙三队合 作需几天完成？
分析：设这项工程为1个单位，则甲、乙合作的工效为
为
1
，乙、丙合作的工效
12
11
，甲、丙合作的工效为。因此，甲、乙、丙三队合作的工 效的两倍为
1520
111
++，可以求出合工效。
121520
1111
解：1÷[（++）÷2]=1÷=10（天）
12152010
答：甲、乙、丙三队合作需10天完成．
例2．加工一批零件，甲 、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后乙再
做12天，还剩下这批零件的
批零件 共多少个？
分析：欲求这批零件共多少个，只需算出3个零件相当于总数的几分之几，即
甲、乙两人工作效率的差。由条件知甲做16天乙做12天共完成这批零件的
即相当于甲、乙二人合作1 2天，甲又做4天，即可求出甲、乙工作效率。
311
解：甲工效：（ － ×12）÷（16－12）= ，
52440
111
乙工效： － = ，
244060
11
零件总数：3÷（ － ）=360（个）
4060
85

2
没有完成。已知甲每天比乙多加工3个零件，求 这
5
3
，也
5

答：这批零件共360个。
例3．一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。 若甲先做若干天后乙接
着做，共用10天完成，问甲做了几天？
分析：甲做的工作量+乙做的工作量=总量“1”
解：设甲做了x天，可得方程：
11
x＋（10－x）× =1，
129
解得x＝4。
答：甲做了4天。
三、熟能生巧
1．一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、 丙两人合作45天完成，甲、丙两人
合作要60天完成。问甲一人独做需要多少天完成？




2．做一批儿童玩具，甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成 ，丙组每天可生
产64件。如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成。现在决定三个组合做< br>这批玩具，需要多少天完成？




3．一项工程，甲、乙单独做分别需要 18 天和 27 天。如果甲做若干天后，乙接着
做，共用 20 天完成。求甲、乙完成工作量之比。




四、拓展演练
1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可 以完成任务。如果甲单独加工，便需要
12小时完成。现在甲、乙两人共同生产了2
2
小时后，甲被调出做其他工作，由乙
5
继续生产了420个零件才完成任务。问乙一共加工零件 多少个?



86

2．有一个蓄水池，甲、乙两管同时打开，9分钟注满水池。现在，先打开甲管，10
分钟后， 再打开乙管，3分钟就注满水池。已知甲管比乙管每分钟多注入0．6立方
米水，这个水池的容积是多少 立方米？




3．修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独 做要用24天。现在两队同时从两端开
工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米？



五、星级挑战
★1．制作一批零件，甲车间要10天完成， 如果甲车间与乙车间一起做只要6天就
能完成。乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成。现在三个车 间一起做，完成
后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。问丙车间制作了多少个零件？





★★2．一项工程，甲单独做要12小时完成， 乙单独做要18小时完成．若甲先做1
小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，两人如此 交替工作，问完
成任务时，共用了多少小时？




第30讲 按比例分配
一、夯实基础
把一个总量按照一定的比分成若干个分量的应 用题，叫做按比例分配。按比例
分配的方法是，将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总 份数，各
项与总份数之比 就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。
解答按比例分配应用题的步骤是;
第一：求出按比例分配的总数量；
第二：找出分配的比，并求各个部分占总数量的几分之几；
87

第三：用总数量乘以部分量占总数的几分之几得到各部分量。
二、典型例题
例1． 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边
的长各是多少厘米？
分析：根据“三条边的比是3∶4∶5”，可求出三条边分别占周长的几分之几。
解：总份数为：3＋4＋5＝12
3
＝15（厘米）
12
4
60×＝20（厘米）
12
5
60×＝25（厘米）
12
60×
答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。
例2．学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二
班有48人，三班 有45人，三个班各植树多少棵？
分析：可求各班的人数占总人数的几分之几，然后再分配植树任务。
解：总份数为：47＋48＋45＝140
47
＝188（棵）
140
48
二班植树 ：560×＝192（棵）
140
45
三班植树 ：560×＝180（棵）
140
一班植树：560×
答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。
例3．某工 厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80
人，三个车间共多少人？
分析： 由于“第一车间比第二车间少80人”，而对应的份数是（12－8）份。可
以列人数与对应数量的关系表如下：
人 数
对应的份数
80人
12－8
一共多少人？
8＋12＋21
解：80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三个车间一共820人。
三、熟能生巧
1．建筑工人用水泥、沙子、石子按2：3：5配制成96吨的混凝土，需要水 泥、沙
子、石子各多少吨？

88

2．把280棵树苗栽在两块长方形地上，一块长15米，宽8米；另一块长12米，宽
4米， 如按面积大小分配栽种，这两块地分别要栽多少棵？




3．甲 、乙两个建筑队原有水泥的重量比是4：3。当甲队给乙队54吨水泥后，甲、
乙两队的水泥的重量比是 3：4。原来甲队有水泥多少吨？




四、拓展演练
1．某农场把61600亩耕地进行规划，其中粮田与棉田的比是7：2，棉田与其他作
物田的比是6 ：1，每种耕地各有多少亩？




2．王晓峰的书架有上、中、 下三层。上层存书本数与存书总数的比是5：21。如果
从下层拿18本书放到上层，则每层书架的存书 本数相等。这个书架共有存书多少
本？




3．甲、 乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工
地水泥袋数的比为3：4， 甲、乙两工地原有水泥多少袋？





89

五、星级挑战
★1．纸箱里有红绿黄三色球，红色球的个数是绿色球的
3
， 绿色球的个数与黄色
4
球个数的比是4：5，已知绿色球与黄色球共81个，问三色球各有多少 个？



★★2．从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三 个儿子，大儿子分总
数的
111
，二儿子分总数的，三儿子分总数的，并规定不许把羊 宰割分，求三个
239
儿子各分多少只羊？




第31讲 比例的应用（1）
一、夯实基础
两个数的比实际上就是两个数的商，两 个数a与b（b≠0）的比记作a：b=
a
，
b
（b≠0），其中“：”是比 号，比号前的量叫比的前项，比号后的量叫比的后项，比
的前项除以后项的商叫做这个比的比值。如5： 6=
55
，就是5：6的比值。
66
因此，除法，分数，比实质上是一回事 ，但各有用处，有了“比”，处理分数、
百分数及有关倍的问题，就将更加灵活方便。
如果a 与b的比同c与d的比相等，那么就称这四个量a、b、c、d成比例，或
者说，相等的两个比组成比例 ，记作：a：b=c：d或
a
c
=。
b
d
二、典型例题
例1．一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新
合金内铜 和锌的比？
分析： 要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量。
应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克。铜的
重量始终没有 变。
解：铜和锌的比是2∶3时，合金重量：36－6＝30（克），
90

铜的重量：30×
3
=12（克），
32
新合金中锌的重量：36－12＝24（克），
新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2，
答：新合金内铜和锌的比是1∶2。
例2 ．一个分数，分子与分母之和是100。如果分子加23，分母加32，新的分数约
分后是
2< br>，原来的分数是多少？
3
分析：新分数的分子与分母之和是（100+23+32），而分子与分母之比是2：3
2
=62，
23
3
分母=（100+23+32）×=93，
23
6223
39
原来的分数是=，
9332
61
39
答：原来的分数是。
61
解：分子=（100+23+32）×
例3． 甲、乙两个长方形，它们的 周长相等。甲的长与宽之比是3∶2，乙的长与宽
之比是7∶5。求甲与乙的面积之比。
分析：甲、乙两个长方形的周长、长及宽都未知，可以设出周长的值，进而求
出各自对应的长与宽，即可 求出面积比。
解：设甲的周长是2，
甲的长与宽分别是
32
与，
55
75
乙的长与宽分别是与，
1212
3275
×）：（×）=864:875。
551212
甲与乙的面积之比是：
（
答：甲与乙的面积之比是864∶875。
三、熟能生巧
1．大、小两瓶油共重2.7千克。小瓶用0.3千克后，大瓶油与小瓶油剩下 的重量比
是2：1。小瓶原来有油多少千克？



91

2．分子、分母之和为23，分母增加19以后，得到一个新的分数，把这个分数化为
最简分数 是


3．一个平行四边形与一个三角形底边长的比是1：5，高的比是2：3。它们 的面积
比是多少？



1
，原来的分数是几分之几？
5
四、拓展演练
1．一种合金，铜与锌的比是2：3，现在加入120克铜，40克 锌。可得合金660克，
求新合金中铜与锌的比。



2．六年 级原有240名学生，男女生人数之比8：7，后来又转来几名女生，这时女
生与男生人数之比是15： 16，后来又转来几名女生？



3．两个长方形，它们面积的比是8：7，长的比是4：5，那么宽的比是多少？



五、星级挑战
★1．小军走的路程比小红多
度比是多少？



★★2．一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图数字所示，另 两
个小矩形的面积用A、B表示，求大矩形的面积。（单位：平方厘米）
11
，而小红行走的时间比小军多，小红与小军的速
410
92

A 25 20
36 B 16
第32讲 比例的应用（2）
一、夯实基础
在行程和工 程应用题中，有一类题与数量之间的（正、反）比例关系有关，在
解答这类应用题时，我们需要对题中各 个量之间的关系作出正确的判断。
在行程问题中，“路程=速度×时间”，因而当路程一定时，速度与 时间成反比；
当时间一定时，速度与路程成正比。
在工程问题中，“工作量=工作时间×工作 效率”，因而当工作量一定时，工作时
间与工作效率成反比；当工作时间一定时，工作量与工作效率成正 比。
二、典型例题
例1．一架飞机所加的油最多能够航行9小时，某天这架飞机要外出执行 任务，去
时顺风，每小时能飞900千米，返回时逆风每小时能飞行720千米，问飞机最多飞
出多少千米就必须返航才能安全回家？
分析：根据条件可知，要保证飞机安全返航，它飞出的路程必须 与飞回的路程
相等。根据路程一定，速度与时间成反比例，即可求出飞机往返的时间比，求出往
返时间就能够求出飞机飞行的最大距离。
解：飞机顺风与逆风的速度分别是每小时900千米和每小时 720千米，速度比
5∶4，所以往返时间之比为4∶5。
飞机顺风飞行的时间：9×
4
=4小时，
54
飞机能保证安全返回的最大路程：900×4=3600千米，
答：飞机能保证安全返回的最大路程是3600千米。
例2．两车同时从A、B两地出发，相 向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了
3小时到达B地。乙车每小时行24千米，两地相距多少千 米？
分析：把“两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相同的路程所用的时间比是
3∶4”，再将它转 化成“甲、乙两车行驶的速度比是4：3”。这样就可以先求出甲车
的速度，再求出两地相距的路程。
93

解： 24××（4＋3）＝224（千米）
答：两地相距224千米。
例3．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件
要加工，为尽早 完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？
分析：三人同时加工，并且同一时间完 成任务，所用时间最少，要同时完成，
应根据工作效率之比，按比例分配工作量。
解：三人工作效率之比是：
4
3
11
1
：：=28：24：21，
33.5
4
他们分别需要完成的工作量是：
28
=700(个)
282421
24
乙完成：1825×=600(个)
282421
21
丙完成：1825×=525(个)
282421
甲完成：1825×
所需时间是：700×3=2100分钟=35小时。
答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时。
三、熟能生巧
1．
一辆汽车从甲地到乙地行驶了6小时，由乙地返回甲地每小时加快8千米，结果
少用1小 时。求甲、乙两地的距离。



2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两个城 市相对开出，经过8小时相遇后，甲车继续
向前开到B城还要4小时。已知甲车每小时比乙车快35千米 。A、B两个城市间的
公路长多少千米？



3．师徒两人共加 工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用
9分钟，完成任务时，两人各加工零 件多少个？



94

四、拓展演练
1．一架飞机从甲城飞往乙城，每小时飞行800千米。返回时，每小时飞行速 度减慢
到700千米，比去时多用了0．3小时。甲、乙两城相距多少千米？


2．甲、乙两车同时从两地相向开出，甲行了全程的
6小时，甲行完全程用几小时？




3．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务， 乙还差96个
没有做完。己知乙的工效是甲的




3
与乙相遇，已知乙行完全程用
5
4
，求这批零件共有多少个？
5
五、星级挑战
★1．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲车速度是乙车 速度的
甲走完全程用5



★★2．甲、乙二人分别从A、B同时 出发，相向而行。乙的速度是甲的
2
，已知
3
1
小时，求两车几小时 后在中途相遇？
2
2
，二人相
3
遇后继续前进。甲到B地乙到A地 都立即返回。已知他们两次相遇的地点之间相距
3000米。求A、B两地的距离。


95

第33讲 牛吃草问题
一、夯实基础
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是1 7世纪英国伟大的科学家牛顿提出
来的。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的 重点是要想
办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由
于 是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能
够导出下面的四个基本公 式，它们分别是：
（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
二、典型例题
例1． 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，可
供15头牛吃10天，那么 可供多少头牛吃5天？
分析：设一头牛一天的吃草量为1份，则10头牛20天吃草的量为10×2 0=200
（份）；15头牛10天吃草的量为15×10=150（份）从图上可以看出，10头牛2 0天
吃草的量与15头牛10天吃草的量的差恰好是20－10=10（天）新生长的草量。

解：每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份)
牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份）
供吃5天的牛的头数：（100+5×5）÷5=25（头）
答：可供25头牛吃5天。
例2．牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，可
供15头牛 吃10天，那么可供25头牛吃多少天？
分析：设一头牛一天的吃草量为1份，根据（例1）中的图 可以求出每天新生
的草量为5份，牧场原有草量为100份。现在有25头牛，可以派5头吃每天新增的
草，则每天新草刚好被吃完，派剩下20头牛去吃原有的草，吃完为止。
解：每天新生的草量为：（10×20－15×10）÷（20－10）=5(份)
96

牧场原有草量为：10×20－5×20=100（份）
25头牛能吃的天数：（100）÷（25－5）=5（天）
答：可供25头牛吃5天。
例3．一个小水库的存水量一定，河流均匀流入库内。5台抽水机10天可以把水抽
干；6台抽 水机8天可以把水抽干。若要4天抽干，需要同样的抽水机多少台？

分析：设一台抽 水机一天抽水量为1份，则5台抽水机10天抽的水量为5×10=50
（份）；6台抽水机8天抽的水 量为6×8=48（份）从图上可以看出，5台抽水机10
天抽水量与6台抽水机8天抽水量的差恰好是 10－8=2（天）河水流入的量。
解：河水每天流入水库的水量为：（5×10－6×8）÷（10－8）=1(份)
水库原有水量为：5×10－1×10=40（份）
4天抽干水库需要的抽水机台数：（40+1×4）÷4=11（台）
答：若要4天抽干，需要同样的抽水机11台。
三、熟能生巧
1．有一块牧场， 牧草每天均匀生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10
天；则它可供多少头牛吃4天？



2．一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周， 或可供23头牛
吃9周。那么，可供21头牛吃几周？



3． 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果
有12个人淘水，3小时 可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。如果
要求2小时淘完，需要安排多少人淘水？


97