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小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧


分数的四则 混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数
四则混合运算中的定律和性质， 在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正
确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们 还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用
的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等 。

【例
1
】计算
2002
×

［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以

根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。
［解］方法—：
2002
×

＝
2002
×（
1
－

）



＝
2002
×
1
－
2002
×




＝
2002
－
1


方法二：
2002
×

＝（
2001
＋
1
）×




＝
2001
×

＋
1
×




＝
2000


点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和
或两 数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计
算目的。

【例
2
】计算
3

×
25

＋
37
.
9
×
6

［分析］注意观察
3

和
6

，它们的和为
10
，但是，只有当分别与它们相乘的另一
个因数相同时，才能运用乘法 分配律来进行简算，因此不难想到把
37
.
9
分拆成
25
.
4
和
12
.
5
两部分。当
12
.
5
与
6
.
4
相乘时，又可以将
6
.
4看成
8
×
0
.
8
，这样计算就简便多了。

［解］
3
×
25
＋
37
.
9
＋
6
＝
3
＋
25
＋（
25
.
4
＋
12
.
5
）×
6
.
4
＝
3
.
6
×
25
.
4
＋
25
.
4
×
6
.
4
＋
12
.
5
×6
.
4
＝（
3
.
6
＋
6
.
4
）×
25
.
4
＋
12
.
5
×
8
×
0
.
8
＝
254
＋
85
＝
334
点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。

【例
3
】

×


［分析］可以发现
181818
，
818181
都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约
数
18
与
81
，同样，
218218
和
1821 82
分别有约数
218
与
182
，所以先把各分子、分母写成
乘积的形式，把相同因数约分后再计算。

［解］

×

＝

×


＝


＝


点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来 化简运算。
同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。

【例
4
】计算

＋

＋

＋

＋……＋

［分析］本题中的加数很多，如果按先通分 后计算，显然很麻烦且不易算出正确结果。
那么除了常规方法，还有没有简单的方法呢？先来析一下：< br>


＝

＝

－

＝

－




＝

＝

－

＝

－




＝

＝

－

＝

－




＝

＝

－

＝

－


…………

由此不难得出如下解法。

［解］

＋

＋

＋

＋……＋


＝

－

＋

－

＋

－

＋

－

＋……＋

－


＝
1
－


＝


点评：如果把分数加法中的一些分数适当拆开，使得拆开后的一些分数在运算过程中，
可以互相抵消，则 可大大简便运算，这种思维方法叫做拆项相消法或裂项法。一般地，分数
拆项主要有以下几种形式：
（
1
）分母为两个相邻自然数时：

＝

－

（
2
）分母为不相邻自然数时（差为
a
）：

＝（

－

）×


（
3
）分母为三个相邻自然数时：

＋

×（

－


）
【例
5
】计算
1
－

＋

－

＋

－

＋

－

＋


［分析］此题形式略有变化，认真审题可以发现以下规律：

（
1
）运算符号按加，减，加，减……有序排列

（
2
）每个分数分母是两个连续自然数的积，分子是它们的和因而可以这样拆开：



＝

＝

＋

＝

＋




＝

＝

＋

＝

＋




＝

＝

＋

＝

＋


…………

［解］
1
－

＋

－

＋

－

＋

－

＋


＝
1
－（

＋

）＋（

＋

）－（

＋

）＋（

＋

）－……＋（

＋


）
＝
1
－

－

＋

＋

－

－

＋

＋

……＋

－


＝
1
－

＋


＝

小结：看起来很复杂的分数计算题，如果用常规的方法去做，肯定是非常 麻烦的，而且
也难免做错。当我们通过观察，掌握了算式的特点，运用一些特殊的方法和技巧，就能使计
算既巧妙又正确，化难为易，化繁为简。当然，这里介绍的方法是很有限的，希望大家能灵
活运 用，同时发现和找到更多的解题方法，从而提高自己分析问题，解决问题的能力。

［练习］

（
1
）
2002
÷
2002


（
2
）
73
×

＋

×
75
（
3
）


（
4
）

＋

＋

＋

＋


（
5
）

＋

＋

＋

＋


（
6
）

－

－

－

－

－


（
7
）

＋

＋

＋

＋


（
8
）

＋

＋


（
9
）

＋

＋

＋

＋……＋

＋


（
10
）１＋

＋

＋……＋