承德民族师范-企业发展演讲稿

8-8最短路线



教学目标


1. 准确运用“标数法”解决题目.
2. 培养学生的实际操作能力．
知识精讲
知识点说明

从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路 ，就有许多种走法，如
果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你
要记住两点：⑴两点之 间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，
你就做到了省时省力．
例题精讲

【例 1】

一只蚂蚁在长方形格纸上的
A
点，它想去
B
点玩，但是不知走哪条路最
近．小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？
A
A
E
1
C
1
F
2
3
1
D
3
G
6
B
B

H
1
I

【解析】
（方法一）从
A
点走 到
B
点，不论怎样走，最短也要走长方形
AHBD
的一
个长与一个宽 ，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于
AD
；在
竖直方向上，所有线段的长 度和应等于
DB
．这样我们走的这条路线才是
8-8.最短路线.题库 教师版 page 1 of 15

最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和
向下走．所有最短路线：


ACDGB
、
ACFGB
、
AEFGB

ACF IB
、
AEFIB
、
AEHIB

这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是
很困难的．
（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规
律可循． ①看
C
点：只有从
A
到
C
的这一条路线．同样道理：从
A
到
D
、
从
A
到
E
、从
A
到H
也都只有一条路线．我们把数字“
1
”分别标在
C、D、E、H
这四个点上．②看
F
点：从
A
点出发到
F
，可以是
ACF
，也可以是
AEF
，共有两种走法．那么我们在
F
点标上数字“
2
”（
2=11
）．③
看
G
点：从
AG
有三种走法，即：
ACDG
、
ACFG
、
AEFG
．在
G
点标上数字“
3
”（
3 =12
）．④看
I
点：共有三种走
法，即：
ACFI
、
AEFI
、
AEHI
，在
I
点标上“3
”
（
3=12
）．⑤看
B
点：从上向下走是GB
，从左向右走是
IB
，那么从
出发点
AB
有 六种走法，即：
ACDGB
、
ACFGB
、
AE FGB
、
ACFIB
、
AEFIB
、
AEHIB
，
在
B
点标上“
6
”（
6 33
），观察发现每一个小格右下角上标的数正好
是这个小格右上角与左下角的数的和，这个 和就是从出发点
A
到这点的所
有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”， 这种方法叫“对
角线法”或“标号法”．

【巩固】 如图所示，从
A点沿线段走最短路线到
B
点，每次走一步或两步，共
8-8.最短路线.题库 教师版 page 2 of 15

有多少种不同走法？
B

【解析】
这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．
从
A
到
B
的各种不同走法中先选择一条路线来分析：
如果 按路线
A
→
C
→
D
→
E
→
F→
B
来走，这条路线共有
5
条线段，每次走
一步或两步，要求从
A
走到
B
，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根
据“上楼梯 ”问题的解法可得在
A
→
C
→
D
→
E
→< br>F
→
B
这条路线中有8
种符合条件的走法．而对于从
A
到
B
的其他每条最短路线而言，每一条路
线都有5条线段，所以每条路线都有8种走 法．
进一步：从
A
到
B
共有多少条最短路线？这正是“最短路线” 问题！用“标
数法”来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有
81080
种．
A
F
D
A
C
E
A
B
DC
F
E
B
1
1
A
1
3
21
6
10
B
3
1
4
1

【巩固】 从
A
到
B
的最短路线有几条呢？
B

A

【解析】
图中从
A
到
B
的最短路线都为6条．

【巩固】 有一只蜗牛从
A
点出发,要沿长方形的边或对角线爬到
C
点,中间不许
爬回
A
点,也不能走重复的路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短
的是哪条呢 ？
A
O
B
C
D

【解析】
共有
9
种，即：
AOC
、
AODC、 AOBC
、
ABC

ABOC
、
ABODC
、
ADC
、
ADOC

ADOBC
,最短的路是:
AOC
．

8-8.最短路线.题库 教师版 page 3 of 15

【例 2】
阿呆和阿瓜到少年宫参加
2 008
北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校
出发，共有多少种不
同的最短路线？
学校
学校
E
1
F
1
少年宫

【解析】
从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看
A
点：从
学校到
A
点最短路线只有
1
种走法，我们在
A
点标上
1
．
B
、
E
、
F
、
G< br>点同
理．再看
J
点：最短路线可以是
AJ
、
EJ
共
2
条，我们在
J
点标上
2
．我
们发现< br>211
正好是对角线
A
点和
E
点上的数字和．所有的最短 路线都符
合这个规律，最终从学校到少年宫共有
10
种走法．
少年宫
G
1
A
1
2
J
3
I
4
H
B
1
3
C
6
10
D

【巩固】
方格纸上取一点
A
作为起点，再在
A
的右上方任取一点
B
作为终点，画一
条由
A
到
B
的最短路线，聪明的小朋友，你能画出来 吗？总共能画出几条
呢？
B
A

【解析】
根据“标号法”可知共有
10
种，如图．


【巩固】
如图，从
F
点出发到
G
点，走最短的路程，有多少种不同的走法？
G
F

8-8.最短路线.题库 教师版 page 4 of 15

【分析】
共有
115
种．

【巩固】
小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？
小朋友们，快帮帮忙呀！
北村
南村

【分析】
根据“对角线法”知共有
126
种，如图．
北村
1
11
1
1
2
3
4
5
1
3
610
15
1
4
10
20
35
1
515
35
70
1
6
21
56
126
南 村

【例 3】

“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明 的小朋友请你
找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？
北京
北京
11
1
2
2
1
黄山
1
2
2
4< br>7
1
3
10
黄山
3

【解析】
采 用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，
在解题时要格外注意是由哪两点的 数之和来确定另一点的．从北京到黄
山最近的道路共有
10
条．

【巩固】
从甲到乙的最短路线有几条？
8-8.最短路线.题库 教师版 page 5 of 15

乙
甲

【解析】
有
11
条．

【例 4】
古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过
人．人一天一位将军向他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，
要到河边让马饮水，然 后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，
应该让马在什么地方饮水？
甲地
乙地

【解析】
本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路
线的变化情况
甲地
河流
乙地

逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中
应该如何解决问题．

【例 5】
河流
学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学 校乘车出发，
去往的李家村（如图）．爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有
多少种不同 的最短路线呢？
学校
学校
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
10
25
4 6
10
35
81
李家村
1
1
1
1
1
李家村

【解析】
我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有
81
种不同的最短路线．

8-8.最短路线.题库 教师版 page 6 of 15

［拓展］
亲爱的小朋友们，你们觉得从
A
到
B
共有几条最短路线呢？
B


【解析】
此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法 （如图）可知：可以
选择的最短路线共有
41
条．

【例 6】
A
阿花和阿红到少年宫参加
2008
北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发
到少年宫最多有多少种不同的行走路线？
少年宫少年宫
90
42
4 8
20
6
学校
1
28
14
5
1
1 4
14
9
4
1
5
5
3
1
2
2
1
1
学校

【解析】
采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有
90
种走法．

［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，
请你想一想，从 小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？
游乐场
游乐场
14
5
94
5
3
1
2
2
1
1
小猪家

【解析】
“对角线”法（如图），共
14
条．
小猪家
1

【例 7】
阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天 他们从学校直接去图书馆；
第二天他们先去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通
8 -8.最短路线.题库 教师版 page 7 of 15

行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想 想这三天从
学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？
学校
公园

【解析】
仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有
16
条；第二天 （必须
经过公园）共有
8
条；第三天（必须不经过公园）共有
8
条．
图书馆

【巩固】
大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修 路(城市的街道
如图所示),他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，
请你们 快想想吧！
养老院
市中心
学校

【解析】
（方法一） 用“对角线法”求出：从学校到养老院共
126
条．必经过市中
心的
60
条，所以可行的路有：
1266066
（条）．
1
1
1
1
学校
养老院
养老院
10
10
30
20
60
30
10
5
4
3
2
1
15< br>10
6
3
1
35
20
70
35
12 6
56
21
6
1
10
市中心
15
4
1
5
1
1
1
学校
3
2
1
63
1
10
市中心
10
4
1

（方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有
66
条．
8-8.最短路线.题库 教师版 page 8 of 15

1
1
1
1
学校
养老院
5
4
3
2
1
15
10
25
10
40
15
66
26
11
6
3
1
4
1
5
5
1
6
1


【例 8】
如图，从
X
到
Y
最短路线总共有几种走法？
Y
【分析】
如图，共有
716
种．
1
1
1
1
1
1
1
X
8
7
6
5
4
3
2
1
36
28
21
15
10
6
3
1
85
49
21
170
85
36< br>15
15
342
172
87
51
36
21< br>6
1
1
716
374
202
115
6428
7
1
10
4
1
15
5


【例 9】
如图，从
A
到
B
沿网格线不经过线段
CD
和
EF
的最短路径的条数是多少
条？
F
E
CD
B
A

【解析】
由于不能经过 线段
CD
和
EF
，所以我们必须先在网络图中拆除
CD
和< br>EF
，
然后再在拆除了
CD
和
EF
以后的网络图中进 行标数(如下图所示)．运用标
数法可求出满足条件的最短路径有78条．


8-8.最短路线.题库 教师版 page 9 of 15

【巩固】
下图为某城市的街道示意图，
C
处正在挖下水道，不能通车，从
A
到
B
处
的最短路线共有 多少条？
【解析】
从
A
到
B
的最短路线有
431
条.
43 1
B
B
174
110
55
55
5530
1 8
12
12
257
174
83
C
64
19
10
A
9
9
1
C
25
8
1
7
4
3
3
1
7
1
6
1
5
1
2
1
1
1
1
A


【例 10】
按图中箭头所指的方向行走，从
A
到
I
E
B
A
C
F
D
H
G
I
共有多少条不同的路线？

【解析】
本题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每一点的入口
情况．


8-8.最短路线.题库 教师版 page 10 of 15

通过标数法我们可以得出从
A
到
I
共有
29
条不同的路径．


【例 11】
按图中箭头方向所指行走，从
A
到
G
有多少种不同的路线？
E
F
G
D
C
B
A

【解析】
运用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图
E
F
G
D
5
1
D
C
B
A
E
F
G
D
C
2
B
1
A
E
F
G
D
5
D
3
C
E
F
G
D
5
3
C
2
B
1
A
2
B
1
A
E
F
G
83
C
E
8
D
5
3
C
E
83
C
2
B
1
A
F
13
G
2< br>B
1
A
F
13
G
21
2
B
1
A
从
A
到
G
共有
21
条不同的路线．


【巩固】
⑴按下图左箭头方向所指，从
X

到
Y
有多少种不同的路线？
⑵如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿 着箭头指的方向走，你
能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？
8-8.最短路线.题库 教师版 page 11 of 15

入口
YX

［分析］
⑴利用标数法求得
X
到
Y
有
34
种不同的路线，如下图左 所示．
⑵由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路
径共有10条．
入口
出口
5
13
8
21
34
Y
3
1
X
2
1
2
2
3
10
出口
1
4
2
2
1
3


【例 12】
⑴如下图左，如果只允许向下移动，从
A
点到
B点共有多少种不同的路
线？
⑵如下图右，要从
A
点到
B
点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方，
问共有多少种不同的走法？
A
B
A

【解析】
⑴按题目要求，只能向下移动，利用标 数法求得
A
到
B
共有路线
68
种，如
下图左所示．
⑵按题目要求，只能走下图右的3个方向，利用标数法求得共有22种不
同的走法，如下图右．
B
8-8.最短路线.题库 教师版 page 12 of 15

A
1
1
6
A
6
2
A
1
4
1
1
2
1
1
1
33
4
6
4
4
1010
4
20
14
14
34
34
68
B
2
B
22
1
16
1
6
1
B
22
16
6
1

【巩固】
图中有

10个编好号码的房间，你可以从小号码房间 走到相邻的大号码房
间，但不能从大号码房间走到小号码房间，从1号房间走到10号房间共
有 多少种不同走法？
1
23
45
6
78
9
10

【分析】
图中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从小号码房间走到相邻的
大号 码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规
定了行走的方向．如下图所示，我们可 以把原图转化成常见的城市网络
图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从1号走到10号
房间共有22种不同的走法．



【例 13】
一只 密蜂从
A
处出发，
A
回到家里
B
处，每次只能从一个蜂房爬 向右侧邻
8-8.最短路线.题库 教师版 page 13 of 15

近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？
1
A
2
3
4
5
6
7
8
9
B

【解析】
蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味 着它
只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，
就可运用标准法进 行计算．
如图所示，小蜜蜂从
A
出发到
B
处共有
89种不同的回家方法．


【例 14】
在图中，用水平或垂直的线段 连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，
正好拼出“
APPLE
”的路线共有多少条 ？
A
A
A
A
AP
P
P
P
PL
P
P
L
E
A
P
P
L
AP
P
A
P
A
［分析］
要想拼出英语“
APP LE
”的单词，必须按照“
APPLE
”的次序拼

写．在 图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运
用标数法原理标数不难得出共有31种不 同的路径．
A
A
A
A
AP
P
P
P
P
L
P
P
L
E
A
P
P
L
A
P
P
A
P
A
1
1
2
1
2
4
1
2
4
8
1
3
7
1531
1
2
4
8
1
2
4
1
2< br>1

［铺垫］ 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法．

8-8.最短路线.题库 教师版 page 14 of 15

我
爱
爱
希
希
望
希
望
望
杯
杯
望
杯
杯
杯
我
1
爱
1
希
2
1
希
1
望
1
杯
1
望
3
杯
4
爱
1
希
望
3
杯
6
望
1
杯
4
杯
1

［分析］
从我（
1
个）、爱（
2
个）、希（
3< br>个）、望（
4
个）、杯（
5
个）中组成“我
爱希望杯”即相同 的字只能选一个而且不能重复选，所以共有
1464116
(种)．

［拓展］
如下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“
Einstein< br>”，按图中
箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“
Einstein
”.
E
i
n
s
t
e
i
n
in
s
t
e
i
n
s
t
i
ns
1
1
s
n
4
t
10
i
1< br>E
i
3
s
10
e
30
n
2
n
6
t
20
i
i
1
3
s
10e
30
n
注意图中的
三个字母“
i
”，
1n
左、右的两个字
1
母“
i
”只能由一
s
4< br>个字母“
e
”去到
t
达．
10
i

［分析］
因为“
Einstein
”的拼读顺序为“
Ein stein
”，每一种拼法都
对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来 解决．
如上图右所示，从
E
点到
n
点的最短路径有30条，所以共 有
303060
(种)
不同拼法.



8-8.最短路线.题库 教师版 page 15 of 15