列夫托尔斯泰名言-汉字的手抄报

8-2抽屉原理


教学目标

抽屉原理是一种特 殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同
学证明很多看似复杂的问 题。本讲的主要教学目标是：
1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；
2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；
3. 能够构造抽屉进行解题；
4. 利用最不利原则进行解题；
5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
知识点拨
一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数 学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中
的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是 组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它
可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇 的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的
问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．
二、抽屉原理的定义
（1）举例
桌上有十个，要把这十个苹果放到九个里，无论怎 样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，
有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一 个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋ 1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、抽屉原理的解题方案
（一）、利用公式进行解题
苹果÷抽屉＝商……余数
余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（2）余数＝
x

1pxp

n1


， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里
（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
（二）、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的 量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我
意”方法、特殊值方法．
知识精讲
模块一、利用抽屉原理公式解题
（一）、直接利用公式进行解题
（1）求结论

【例 1】
6
只鸽子要飞进
5
个笼子，每个笼子里都必须有
1
只，一定有一个笼子里有
2
只鸽子．对吗？
【巩固】
把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．

【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名
学生中，至少有两个人在做同一科作业．
【巩固】 年级一班学雷锋小组有< br>13
人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有
2
个人在同一月过生
日．”你知道张老师为什么这样说吗？
【巩固】
数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．

【巩固】 光明小学有
367
名
2000
年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？
【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．
【例 2】
向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？
【巩固】 试说明400人中至少有两个人的生日相同.
【例 3】
三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．
【例 4】
“ 六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在
游园的小朋友中 ，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．
【巩固】 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小 组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同
学，他们的朋友人数一样多．
【例 5】
在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被
3
整除？
【巩固】 四个连续的自然数分别被
3
除后，必有两个余数相同，请说明理由．
【例 6】
证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．
【巩固】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
【巩固】 （第八届《小数报》数学竞赛决赛） 将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字
是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，… ，个位数字是9的为第9类，个位数字是0
的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中 一定有2个数的和是10的倍数吗？
（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是1 0的倍数吗？如果一定，
请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例．
【巩固】 证明： 任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字
相同的两位数．

【例 7】
任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．
【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是
3
的倍数？
【例 8】
任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数 (单独一个数也当
做和)．
【巩固】 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题 ．证明：小明一定在连续的若干天内恰
好做了7道题目．
【例 9】
求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．
【巩固】 任意给定一个正整数
n
，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数.
【例 10】
求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数
a
，< br>b
，
c
，
d
，
e
，
f
，使 得
(ab)(cd)(ef)
是105的倍数．
【巩固】 任给六个数字，一 定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为
105的倍数．
【巩固】 （
2008
年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在
100
张卡片上不重复地编上
1
~
100
，至少要随
意抽出几张卡片才能保 证所抽出的卡片上的数之乘积可被
12
整除？
【例 11】
把1、2、3 、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数
之和不小于17．
【巩固】 圆周上有
2000
个点，在其上任意地标上
0,1,2,L,19 99
（每一点只标一个数，不同的点标上不
同的数）．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点 和这点上所标的三个数之和不小于
2999

【例 12】
证明：在任意的6个人中必有3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识．
【巩固】 平面 上给定6个点，没有3个点在一条直线上．证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，
一定有一个三 角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边．
【巩固】 假设在一个平面上有任意六个点，无三 点共线，每两点用红色或蓝色的线
段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使 三角形
的三边同色？
【巩固】 平面上有17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜 色中的一种，这些线段能构成若
干个三角形．证明：一定有一个三角形三边的颜色相同．
【例 13】
上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操．老师是否总能从队形中划出一个长< br>方形，使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理
由； 如果不能，请举出实例．
【例 14】
8个学生解8道题目．(1)若每道题至少被5人解 出，请说明可以找到两个学生，每道题至少
被过两个学生中的一个解出．(2)如果每道题只有4个学生 解出，那么(1)的结论一般不成
立．试构造一个例子说明这点.
【巩固】 试卷上共有4道 选择题，每题有3个可供选择的答案．一群学生参加考试，结果是对于
其中任何3人，都有一个题目的答 案互不相同．问参加考试的学生最多有多少人?
（2）求抽屉
【例 15】
把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？
【例 16】
把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多< br>有多少人？
【巩固】 某次选拔考试，共有1123名同学参加，小明说：“至少有10名同学 来自同一个学校．”如果
他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？
【巩固】 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于12个.
【例 17】
某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才 能使该班的任
意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
（3）求苹果
【例 18】
班上有
50
名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有 一个小朋友能得
到不少于两本书？
【巩固】 班上有
28
名小朋友，老师至 少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得
到不少于两本书？

【巩固】 有
10
只鸽笼，为保证至少有
1
只鸽笼中 住有
2
只或
2
只以上的鸽子．请问：至少需要有几只鸽
子？
【巩固】 三年级二班有
43
名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才 能保证有的同学可
以同时借两本书？
【例 19】
海天小学五年级学生身高的厘米 数都是整数，并且在
140
厘米到
150
厘米之间（包括
140厘米
到
150
厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到
4
个人的身高相同？
【例 20】
一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1
分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？
【巩固】 （第十届《小数报》数学竞赛决赛）一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回答完
全正确，得 5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分．至少____人
参加这次测验，才能 保证至少有3人得得分相同．
（二）、构造抽屉利用公式进行解题
【例 21】
在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可
以从口袋中随 意取出
2
个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全
一样．你 能说明这是为什么吗？
【巩固】 在一只口袋中有红色与黄色球各4只，现有4个小朋友，每人从口袋 中任意取出2个小球，请
你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样．
【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，
那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【巩固】 学校里买来数 学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有
4
位小朋
友前来 借阅，每人都借了
2
本．请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一
种 吗？
【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生 最多可
借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同
【巩固】 幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：
至少有多少 个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？
【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球 ，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一
个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种 类是完全一样的？
【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件 不同的，那么至少要
有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？
【巩固】 篮子里有苹 果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，
那么至少有多少个小朋 友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？
【例 22】
红、蓝两种颜色将一个
25
方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是
否存在两列，它们的 小方格中涂的颜色完全相同？
【例 23】
将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一 列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂
色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？
【例 24】
从
2
、
4
、
6
、
8
、
L
、
50
这
25
个偶数中至少任意取出多少个 数，才能保证有
2
个数的和是
52
？
【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.
【巩固】 从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.
【巩固】 从
1
，
2
，
3
，
L
，
100
这
100
个数中任意挑出
51
个数来，证明在这51
个数中，一定有两个数
的差为
50
。
【巩固】 请证明：在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104.
【巩固】 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一 定包括两
个数，它们的差是12．
【巩固】 （小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4， …，1988，1989这些自然数中，最多可以取____
个数，其中每两个数的差不等于4．
【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．
【例 25】
（北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，…，1994这些自然数中，最多可以取 个
数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．
【巩固】 (南京市首届“兴趣杯”少年 数学邀请赛)从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这
些数种没有两数的差是5的倍数．

【例 26】
（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、11
和
12
中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的
2
倍．
【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．
【例 27】
从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不 是另
一个数的倍数?
【例 28】
从整数1、2、3、…、199、200中任选 101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，
其中的一个是另一个的倍数.
【例 29】
从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7 整除，
则最多能取出多少个数？
【例 30】
从1，2，3，…，99，100这 100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定
有两个数互质；(2)在这51个 数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存
在9个数，它们的最大公约数大于1 ．
【例 31】
有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你 挑选若干个小孩，
排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出 多少个
孩子?
【例 32】
要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子 最多可以装5个乒乓球，问：至少有多
少个盒子中的乒乓球数目相同？
【例 33】
将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书
的本数 相同？
【例 34】
有苹果和桔子若干个，任意分成
5
堆，能否找到这样 两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是
偶数？
【例 35】
在长度是
10
厘米的线段上任意取
11
个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于
1
厘
米？
【巩固】 在
1
米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五 个点中至少有两个点的距离不大于
25
厘米．
【巩固】 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米．
【巩固】 (《小数报》数学竞赛初赛试题)在
20
米长的水泥阳台上放
1 1
盆花，随便怎样摆放，至少有几
盆花之间的距离不超过
2
米．
【巩固】 在
20
米长的水泥阳台上放
12
盆花，随便怎样摆放，请 你说明至少有两盆花它们之间的距离小
于
2
米．
【例 36】
在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．
【巩固】 边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于的两
点.
【巩固】 在边长为
1
的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点
为顶点的三 角形的面积不超过
0.125

【巩固】 在边长为3米的正方形中，任意放入28个 点，求证：必定有四个点，以它
们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．
【巩固】 在一个 矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形
中，至少有一个的 面积小于矩形面积的四分之一。
【例 37】
在一个直径为
2
厘米的圆内 放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于
1
厘米
【巩固】 平面上给定17个 点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中
必有9个点可以落在同一半 径为1的圆内。
【例 38】
9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条
直线中至少有3 条通过同一个点。
【例 39】
如图，能否在
8行
8
列的方格表的每一个空格中分别填上
1
，
2
，3
这三个数，使得各行各列
及对角线上
8
个数的和互不相同？并说明理由 ．
【巩固】 在
88
的方格纸中，每个方格纸内可以填上
1:4
四个自然数中的任意一个，填满后对每个
22
“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相 同的和至少有几个？
【巩固】 用数字1，2，3，4，5，6填满一个
66
的方 格表，如右图所示，每个小方
格只填其中一个数字，将每个
22
正方格内的四个数字 的和称为这个
22
正方
格的“标示数”．问：能否给出一种填法，使得任意两个“标 示数”均不相同？
如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．

【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每
行、每 列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．
【例 40】
（南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图① ，
A
、B
、
C
、
D
四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每 次可取出1只、或3只、或4只盘中的
全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖 果全能取到，四只盘中应各
有 粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.
图① 图②
【巩固】 (南京市第三届“兴趣 杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题)如右图
A
、
B
、
C
、
D
四只小
盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4 只盘中的全部糖果，
也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.
【例 41】
如右图，分别标有数字
1,2,L,8
的滚珠两组，放在内外 两个圆环上，开始时相对的滚珠所标
的数字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内 外两环中至少有两对数
字相同的滚珠相对．
【巩固】 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位 小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋
友的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对 的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：
经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的 名字．
【例 42】
时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个 数，在其上任意做
n
个120°
的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不 全相同．如果从这任做的
n
个扇形中
总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数， 求
n
的最小值．
【巩固】 (2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的 表盘上任意作
9
个
120°
的扇形，使得每一个扇
形都恰好覆盖4
个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到
3
个扇形，恰好< br>覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作
8
个扇形将不能保证上述结论成立．
模块三、最不利原则
【例 43】
（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛） “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题．每个年级
12
道题，并且至少有
8
道题与其
他各年级都不同．如果每道题出现在不同年级，最多只能出现
3
次 ．本届活动至少要准备
道决赛试题．
【例 44】
有一个布袋中 有40个相同的小球，其中编上号码1、2、3、4的各有10个，问：一次至少要
取出多少个小球，才 能保证其中至少有3个小球的号码相同？
【巩固】 有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20 个，问：一次至少要取出多少个小球，才能
保证其中至少有3个小球的颜色相同？
【巩固】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）有红、黄、白三种颜色的小球各
10
个， 混
合放在一个布袋中，一次至少摸出 个，才能保证有
5
个小球是同色的？
【巩固】 黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是相同颜
色的筷子？
【巩固】 一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少 取出
多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？
【例 45】
黑色、白色、黄色的 筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同
的两双筷子。问至少要取多少根才 能保证达到要求？
【巩固】 （第六届《小数报》数学竞赛初赛）有形状、长短都完全一样的红筷子、 黑筷子、白筷子、黄
筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少应摸出_____根筷子，才能保证 摸出的筷子至
少有8双（每两根花筷子或两根同色的筷子为一双）。
【例 46】
有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里．一次摸出小球8个，其中至少
有几个小球 的颜色是相同的？
【例 47】
两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各 4个。从第一袋中拿出尽可能少的
球，但至少有两种颜色一样的放入第二袋中；再从第二袋中拿出尽可能 少的球放入第一袋中，
使第一袋中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？
【例 48】
一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4 个，蓝色的5
个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个．如果要求每次从中取出1个弹珠 ，
从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？

【巩固】 一个口袋 里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同，则
至少要取多少个小球 ？
【例 49】
（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在
100
张卡片上不重复地编写上
1
~
100
，请问
至少要随意抽出几张卡 片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被
4
整除？
【例 50】
一 副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：⑴至少有5张牌的花色相同；
⑵四种花色的 牌都有；⑶至少有3张牌是红桃．(4) 至少有2张梅花和3张红桃．
【巩固】 南京市第三届“兴 趣杯”少年数学邀请赛预赛C卷、D卷第11题）一副扑
克牌共54张，其中
1:13
点各有4张，还有两张王牌，至少要取出____张牌，
才能保证其中必有4张牌的点数相同。
【例 51】
（
2006
年华罗庚金杯数学邀请赛）自制的一副玩具牌共计
52
张（含四种牌：红桃、红方、
黑桃、黑梅．每种牌都有
1
点，< br>2
点，…，
13
点牌各一张）．洗好后背面向上放好，⑴一次
至少抽取 张牌，才能保证其中必定有
2
张牌的点数和颜色都相同．（2）如果要求一
次抽出的牌 中必定有
3
张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 张牌。
【巩固】 一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？