恃强凌弱-教师节活动

第九讲 行程（一）


教学目标


在 今天这节课中，我们来研究行程问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的
理解，使 学生养成画图解决问题的好习惯！
知识点：1、关于速度、时间、路程三者之间的较复杂的行程问题
2、关于平均速度的计算.









想
挑
战
吗
？
皮皮的爸爸买 了一辆新车，每天下午5点钟皮皮和弟弟放
学，他一定将车开到学校门口接兄弟俩回家.一天学校因考试4点就放学了，皮皮和弟弟以每小时4千米的速度步
行回家，途中遇到爸爸驾着车来了，结果他 们这一天比往
常早20分钟到家，根据以上资料，你知道皮皮爸爸驾车
的速度吗？

分析：首先，皮皮的爸爸省下了20分钟的路程，这段路程是他和皮皮相遇点到学校距离的
2倍 .从相遇点到学校，皮皮爸爸驾车只需要10分钟，即他比以前提前10分钟与皮皮相遇，
也就是4：5 0相遇，从而可知皮皮与爸爸相遇前已走了50分钟，皮皮和弟弟花了50分钟，
但爸爸驾车只需要10 分钟，驾车的速度是皮皮步行的5倍，所以，皮皮爸爸驾车的速度是
4×5=20（千米小时）






专题精讲


我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在三年级的学习中，我
们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基 本
量，它们之间的关系如下：


（1）速度×时间=路程 可简记为：
s = vt
（2）路程÷速度=时间 可简记为：
t = s÷v

（3）路程÷时间=速度 可简记为：
v = s÷t

显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

关于平均速度的计算，需要知道整个过程的总路程与总时间，
平均速度=总路程÷总时间

（一） 直接利用行程问题基本关系解决的行程问题：

【例1】 （★★★奥数网题库）龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅
瞅乌龟，心想：“ 我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑
10米，哪是我的对手.”比赛开始后，当小兔跑到 全程的一半时，发现
把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了.当乌龟跑到距终点还
有4 0米时，小兔醒了，拔腿就跑.

请同学们解答两个问题：
（1）它们谁胜利了？为什么？
（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？

分析：

（1）乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要4 0÷10=4（分钟）就能到达终点，
而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才 能到达，所以乌龟胜利了.
（2）乌龟跑到终点还要（40÷10）=4（分钟），而小兔跑到终 点还要1000÷2÷100=5（分钟），
慢1分钟．
当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：100×1=100（米）．

[拓展一]上一 次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，
它让乌龟先跑1 0分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利
呢？

分析：由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10×5=50米分，乌龟先跑10分钟，即兔子 开始
跑时，乌龟已经跑了50×10=500（米），还剩1000-500=500（米），需要50 0÷50=10（分钟）就可以到达
终点，而兔子到达终点需要的时间是：1000÷100=10（分 钟），所以，兔子和乌龟同时到达终点.

[拓展二]龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时 跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子
边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑 2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁
胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点 还有多远？

分析：乌龟不停的跑，所以乌龟跑完全程需要6÷3=2（小时），即120分 钟，由于兔子边跑边玩，120=20
×5+（1+2+3+4+5）+5，也就是兔子一共跑了1+2 +3+4+5+5=20分钟，跑了20÷60×15=5千米，即乌龟到
达终点时，兔子刚刚跑了5千 米，所以乌龟胜利了，领先兔子6-5=1（千米）

【例2】 （★★★奥数网题库）韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发 8点可到校，现在还
是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？

分析：原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：480÷20=24（米分），现在每 分钟比原来多走16
米，即现在的速度为24+16=40（米分），那么现在上学所用的时间为：48 0÷40=12（分钟），7点40分
从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校.
另外本题通过画矩形图将会更容易解决：

其中矩形的宽表示时间，长表示速度，由 路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可
以知道“？”处应为480÷20=24 ，而“？”表示的是原计划的速度，那么现在的速度即可求为：24+16=40
（米分），那么现在用 的时间为：480÷40=12（分钟）.

[巩固]解放军某部开往边境，原计划需要行军 18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3
天到达，这次共行军多少千米？

分析：“提前3天到达”可知实际需要18-3=15天的时间，而“实际平均每天比原计划多行12千 米”，则
15天内总共比原来15天多行的路程为：12×15=180千米，这180千米正好填补了 原来3天的行程，因
此原来每天行程为180÷3=60千米，问题就能很容易求解.原来的速度为：（ 18-3）×12÷3=60（千米天），
因此总行程为：60×18=1080（千米）
另外本题通过画矩形图将会更容易解决：

其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由 路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可
以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积 为12×15=180，所以“？”处应为180÷3=60，而“？”表示
的是原计划的速度，则这次 行军的路程为：60×18=1080（千米）.

本题利用每天多余的速度，算出已知天数 总共多余的路程又正好是原来速度下提前天数内行走的路程，
抓住这些关系，求解此类问题就可以得心应 手.

【例3】 （★★★奥数网题库）王师傅驾车从甲地开往乙 地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度
行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他 发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果
他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?

分析：假设甲地到乙地的路程为300（引导学生思考为什么假设300）,那么按时的往返 一次需时间300
÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所 以从乙地返回到甲地时所需的时
间只能是10-6=4（小时）.
即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米时）的速度往回开．

[ 巩固]刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米时的速度行进，下午1点到；以15千米时的
速 度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？

分析：这道题 没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求
速度.这就需要 通过已知条件，求出时间和路程.
假设有A，B两人同时从学校出发到韩丁家，A每小时行10千米， 下午1点到；B每小时行15千米，
上午11点到.B到韩丁家时，A距韩丁家还有10×2=20（千 米），这20千米是B从学校到韩丁家这段时
间B比A多行的路程.因为B比A每小时多行15-10= 5（千米），所以B从学校到韩丁家所用的时间是
20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B 是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.
刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为
60÷（12-7）=12（千米时）.

[数学趣题] 都铎的埃德温爵士的情人 —美女伊莎贝拉被邻近的一个坏贵族劫持，埃德温爵士要去救她，
爵士计算了一下，如果他以每小时十五 英里的速度骑行，他将提前一小时过早的到达那座城堡，而如果
他以每小时十英里的速度骑行，他将落后 正好一个小时而过晚的到达那儿.现在，头等重要的事情是，他
应该按指定的时间准时到达，以保证他所 计划的营救行动获得成功，而约好的时间是五时，那个时候伊
莎贝拉正好在用她的傍晚茶，这道趣题是要 准确的求出都铎的埃德温爵士跑的路有多远.

分析：这个路程一定是六十英里.如果埃德温 爵士在中午动身，并以每小时15英里的速度骑行，他将在
四时到达——早了一个小时.如果他以每小时 10英里的速度骑行，他将在六时到达——晚了一个小时.但
是如果他以每小时12英里的速度行进，他 到达那坏贵族的城堡的时间正好是五时——这正是指定的时间.


【例4】 （★ ★★奥数网题库）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要
走12千米上坡路，8千米 下坡路.他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达
目的地停留1小时以后，又从原路返回 ，邮递员什么时候可以回到邮局?

分析:

（方法一）先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻.
（1）邮递员到达对面山里需时间： 12÷4+8÷5=4.6(小时);
（2）邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)

（3）邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员 是下午5时回到邮局的.

（方法二）从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路 ，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用
时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10 (小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的.

评注：这种题目实际上就是考察同学们的对最基本的公式的理解，没有什么难度，但是要思路清晰.

[拓展]小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红 下山的速度是上
山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？

分析：上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得 到上山休息了5
次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走 了180÷2=90（分）.由90
÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2= 100（分）=1时40分.


【例5】 （★★★奥数网题库）四年级一班在划 船比赛前讨论了两个比赛方案.
第一个方案是在比赛中分别以2米秒和3米秒的速度各划行赛程的一半； 第二
个方案是在比赛中分别以2米秒和3米秒的速度各划行比赛时间的一半.你认
为这两个方案 哪个好？

分析：路程一定时，速度越快，所用时间越短.在这两个方案中，速度不是固定的 ，因此不好直接比较.
在第二个方案中，因为两种速度划行的时间相同，所以以3米秒的速度划行的路程 比以2米秒的速度
划行的路程长.用单线表示以2米秒的速度划行的路程，用双线表示以3米秒的速度划 行的路程，可画
出下图所示的两个方案的比较图.其中，甲段+乙段=丙段.
甲段
第一种方案
第二种方案
乙段
丙段

在甲、 丙两段中，两个方案所用时间相同；在乙段，因为路程相同，且第二种方案比第一种方案速
度快，所以第 二种方案比第一种方案所用时间短.
综上所述，在两种方案中，第二种方案所用时间比第一种方案少，即第二种方案好.


[智慧故事]一次军事演习中，炮兵连小王负责组织士兵为前方增援大炮，一辆辆炮车牵引着 增援的大炮
开往前方，炮车行进途中遇到一座桥，桥头的标志牌上写着：最大载重量35吨.然而，每辆 炮车重12吨，
大炮重25吨，明显超出了桥的载重量，这可怎么办？小王急中生智，设计了一个方案， 使大炮安然过桥.
你知道他的妙计是什么吗？

答案：用一条比桥面长的钢索，系在 炮车与大炮之间，这样二者就不会同时压在桥上，便可以顺利用炮
车将大炮拖过桥去.



（二）平均速度

A
D
B
C

【例6】 （★★★奥数网题库）如图，从 A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是
4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都 是6千米小时，平路速度都是4千米小时，上坡速度都是2千
米小时.问小张从A到D的平均速度是多少 ？

分析：从A到B的时间为：12÷6=2（小时），从B到C的时间为：8÷4=2（小 时），从C到D的时间为：
4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6（小时），总路 程为：12+8+4=24（千米），那么从A到D
的平均速度为：24÷6=4（千米时）

[前铺]摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶 45千米，求摩
托车驾驶员往返全程的平均速度.

分析：

要 求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.
摩 托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车
“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时 45千米，
所用时间是：90÷45=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出 往返的平均速度，
列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米小时）


【例7】 （★★★奥数网题库）从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲
故事，点点开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶
后以60千米／ 时的速度下山.求该车的平均速度.

分析：注意平均速度=总路程÷总时间，我们可以把上 山路程可以看作60千米，
那么上下山所用的总时间为（60÷30）+（60÷60）=3（小时）， 总路程为60×2=120（千米），那么平均
速度=120÷3=40（千米时）.
[前铺]胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与< br>下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？

分析：题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是
不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，不妨设为48千米，来回两段路，所以每段路程为：48÷
2=24（千米），总时间是：24÷12+24÷24=3（小时），所以平均速度是：48÷3=16（千 米小时）
注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以 把总路程
设为“单位1”，这样做无非是设了“单位48”，也就是把所有路程扩大了48倍变成整数， 没有任何问题，
不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.

汽车 以72千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度.

分析：可以假设甲乙两地的距离为144千米（[72，48]=144），那么往返所用的 总时间为：（144÷72）+
（144÷48）=5（小时），总路程为：144×2=288（千米 ），那么平均速度=288÷5=57.6（千米时）

33
【例8】 （★★★奥数网题库）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行
一周. 在三条边上它每分钟分别 爬行11cm，33cm，22cm（如右图）.它爬行一周
平均每分钟爬行多少厘米？（结果保留为整 数）
11

分析：假设每条边长为66厘米，则总时间=66÷11+66÷22+ 66÷33=6+3+2=11（分
22
钟），爬行一周的平均速度=66×3÷11=18（ 厘米分钟）.


【例9】 （★★★奥数网题库）汽车往返于A，B两地，去时速 度为40千米／时，要想来回的平均速度
为48千米／时，回来时的速度应为多少？

分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来 时的速度为
240÷（10-240÷40）=60（千米时）.

[巩固]一辆汽 车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆
汽车从甲 地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？

分析：

总时间=300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的 速度为: （300-120）
÷（6-3）=60（千米时）.


【例10】 （★★★★奥数网题库）甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间 平
均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？

分析：（方法1） 由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间 ．而
如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．
应指出，如 果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲
走到乙的平 均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共
140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．
这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=9 6分钟．由于前一半时间的速度大
于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2= 3360米．则前一个3360米用了
3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42= 54分钟．

（方法2）设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程 得：x=48分钟，因为80×48=3840
（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速 度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一
半路程时间是48+（48-42）=54 （分钟）.

评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程 ”的区别．在时间相等的情况下，总的
平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况 下，这样做就是不正确的．
其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态 ，直接求所需时间并不容易．而前
一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下 ，选择一种好的简单的方法．这
种选择能力也是需要锻炼和培养的．



本讲介绍了一些复杂的行程问题，并且学习了关于平均速度的一些计算方法，下一讲行程中我们 将
重点介绍直线型以及环形上的相遇与追及问题.行程问题对于以后的学习非常重要，希望同学们再接再
厉！
专题展望
练习九


1. （例2）皮皮的家距 离点点的家960米，周末皮皮去点点家玩，原计划9点40从家出发10点就可
以到，现在还是按原时 间离开家，不过每分钟比原来多走12米，那么皮皮几点就可以到点点家？

分析：原来皮皮 到点点家所用的时间为20分钟，速度为：960÷20=48（米分），现在每分钟比原来多走
16米 ，即现在的速度为48+12=60（米分），那么现在所用的时间为：960÷60=16（分钟），9点40 分从
家出发，16分钟后，即9点56分就可以到点点家.


2. （例 4）通讯员早晨6时出发送一份电报到对面山里，开始要走40千米上坡路，20千米下坡路.他
上坡时 每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地之后立刻从原路返回，通讯员什么时
候可以回到原 地?

分析: 先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻.
（1）通讯员到达对面山里需时间： 40÷4+20÷5=14(小时);
（2）通讯员返回到邮局共用时间：20÷4+40÷5+14 =5+8+14 = 27(小时)
（3）邮递员回到邮局时的时刻是：6+27-24=9(时).邮递员是第二天上午9时时回到原地的 .


3. （例5）四年级一、二两班进行越野行军比赛，一班以4千米／时的速 度走了路程的一半，又以5
千米／时的速度走完了另一半；二班在比赛过程中，一半时间以4千米／时的 速度行进，另一半时
间以5千米／时的速度行进.问：两个班谁将获胜？

分析：快 速行走的路程越长，所用时间越短.一班快、慢速行走的路程相同，二班快速行走的路程比慢速
行走的路 程长，所以二班获胜.


4. （例8）飞机以720千米／时的速度从甲地到乙 地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求
该车的平均速度.

< br>分析：可以假设甲乙两地的距离为1440千米（[720，480]=1440），那么往返所用的总时 间为：
（1440÷720）+（1440÷480）=5（小时），总路程为：1440×2=28 80（千米），那么平均速度为
2880÷5=576（千米时）


5. （例9）有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相
等.某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11
米／秒、22米／秒和33米 ／秒，求他过桥的平均速度.

分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=
66÷11+66÷22+6 6÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米秒）.



成长故事


一个数学故事引发的数学家

陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻克哥德巴赫猜想方面作出了重大贡
献，创立了著名的“陈氏定理” ，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”.但有
谁会想到，他的成就源于一个故事.
193 7年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清
华大学航空工程系主任留英博士沈 元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡.
几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了 邀请.由于他是英华
的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课.
一天， 沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现
了一个有趣的现象：6=3+3， 8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89.每
个大于4的偶数 都可以表示为两个奇数之和.因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想.大数学欧
拉说过：虽然我 不能证明它，但是我确信这个结论是正确的.
它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉.……”陈景润瞪着眼睛，听得入神. 从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣.课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，
这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读.因此获得了“书呆子”的雅号.
兴趣是第一老师.正 是这样的数学故事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟
大的数学家.