中国名校-自然奇迹

第二讲 速算与巧算（一）

教学目标


本讲主要介绍两种速算与巧算的方法：
1、理解并掌握分组凑整法；
2、理解并掌握加补凑整法．
本章内容只涉及加减法中的速算与巧算，帮助学生在加减法运 算中掌握基本的运算技巧，更加快速，更
加准确地解决加减法运算中的 “难题”．




一位济贫劫富的大侠夜间潜入一吝啬的财主家，盗得一宝箱，非常

想
高兴离去，但是当他要打开宝箱时却发愁了，宝箱是一个密码箱，要

挑
在6 4 8 9 7四个数之间填入“＋”和“-”，使他们的结果等于

战
4，这样宝箱才会自动打开.哪位同学可以帮助这位大侠？


吗


？
答案：6＋4－8＋9－7=4．





计算： （1）6＋6＋6＋6＋6＋4 （2）6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14

分析：原式＝5×6+4 分析：原式=（6+14）+（7+13）+（8+12）+（9+11）+10
=34 =90

（3）1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2 （4）7＋17＋27＋37

分析：原式=24 分析：原式=（10-3）+（20-3）+（30-3）+（40-3）
=88

（5）58－26－28 （6）64－（25＋14）

分析：原式=58-28-26 分析：原式=64-14-25
=4 =25







你还记得吗？

专题精讲
在这一讲中我们我们将会学习有关加减法的速算与巧算的方法．我们在进行加减法运算时，为了又
快又准 确，除了熟练地掌握计算法则以外，还需要掌握一些巧算方法．加减法的巧算主要是“凑整”，就
是将算 式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数，再将各组的结果求和（差），
这样使我们在加减法运算中更加迅速，更加准确．在具体的凑数运算过程中，我们主要涉及到几种计算< br>方法：（1）分组凑整法，（2）加补凑整法， （3）其他类型的巧算．


我们在进行加法的巧算时，经常运用以下两个运算律：
（1） 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变．即
a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.
将此运算律推广，多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
（2） 加法结合律：三个 数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，
再与第一个数相加，他们的和不 变．即
a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).
将此运算律推广，多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变．
我们在进行减法运算时，经常运用以下性质：
（3） 在连减或者加减混合运算中，如果算式 中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬
家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋ c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
（4） 在加减法混合运算中，去括号时：如果括号 前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数
的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括 号后，括号内的数的运算符号“＋”
变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
（5） 在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋ ”，那么括号内的数的原运
算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“ ＋”变为“－”，
“－”变为“＋”．如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）， a－b－c＝a－（b＋c）



（一） 分组凑整法

【例1】 计算： （★★★ 奥数网题库）（1）17＋29＋33＋71＋28＋12
（2）168＋253＋32
（3）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）
（4）358＋127＋142＋73

分析：在这个例题中，主要让学生掌握加法分组凑整的方法．具体分析如下：
（1）原式＝（17＋33）＋（29＋71）＋（28＋12）
＝50＋100＋40
＝190

（2）原式＝（168＋32）＋253
＝200＋253
＝453

（3）原式＝1350＋49＋68＋51＋32＋1650
＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）
＝3000＋100＋100
＝3200

（4）原式＝（358＋142）＋（127＋73）
＝500＋200
＝700


【例2】 （★★★ 奥数网题库）计算：（1）265－68－32
（2）756－248－352
（3）268－56－82－44－18
（4）894－89－11－95－5－94

分析：在这个例题中，主要让学生掌握减法分 组凑整的方法．一个数连续减去两个数，可以先把后两个
数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具 体分析如下：
（1） 原式＝265－（68＋32）
＝265－100
＝165

（2） 原式＝756－（248＋352）
＝756－600
＝156

（3） 原式＝268－（56＋44）－（82＋18）
＝268－100－100
＝68

（4） 原式＝（894－94）－（89＋11）－（95＋5）
＝800－100－100
＝600

【例3】 （★★★ 奥数网题库）计算： （1）98－53＋102＋63
（2）163－154＋245＋137＋55－146
（3）1348－234－76＋2234－48－24
（4）1847－1936＋536－154－46

分析：在这个例题中，主要让 学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算
符号的变化或者带着符号搬家． 具体分析如下：
（1）原式＝（98＋102）＋（63－53）
＝200＋10
＝210

（2）原式＝（163＋137）－（154＋146）＋（245＋55）
＝300－300＋300
＝300

（3）原式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）
＝1300＋2000－100
＝3200

（4）原式＝1847－（1936－536）－（154＋46）
＝1847－1400－200
＝247

[巩固] ：（1）968－561－168－139， （2）456－（256＋165），

分析：（1）原式＝（968－168）－（561＋139）＝800－700＝100

（2）原式＝456－256－165＝200－165＝35

[拓展1 ]（我爱数学少年数学夏令营）计算：1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1 993-1994-1995+1996

分析：原式=1997+（1-2-3+4）+（ 5-6-7+8）+……+（1993-1994-1995+1996）
=1997+0+0+……+0
=1997

[拓展2]（ 2004“陈省身杯”少年数学邀请赛）计算：2003+2002-2001-2000+1999+1998 -1997-1996+3+2-1

分析：原式=（2003+2002-2001-20 00）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）
=4×（2004÷4）
=2004
[拓展3]（2005全国小学数学奥林匹克）计算：
2005+2004-2003-20 02+2001+2000-1999-1998+1997+1996-……-7-6+5+4-3-2+1

分析：将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0， 剩下第一项，
结果是2005.

[拓展4]（北大数学邀请赛）计算：
1989+1988+1987-1986-1985 -1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+……+9+8+7-6-5-4 +3+2+1

分析：从1989开始，每6个数一组，1989+1988+1987-1 986-1985-1984=9，以后每一组6个数加、减后
都等于9.1989÷6=331……3 .最后剩下三个数3，2，1，3+2+1=6.因此，原式=331×9+6=2985.

[拓展5] 计算 6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋935 4－(7358－5362)＋6839－(4843－
2847)

分析：原式＝ （6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－13 27－4)－(7362
－5362－4)－(4847－2847－4)
＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20
＝27980－8000＋20
＝20000

（二）加补凑整法

【例4】 （★★★ 奥数网题库）计算： （1）165＋199
（2）198＋96＋297＋10
（3）298＋396＋495＋691＋799＋21
（4）195＋196＋197＋198＋199＋15
分析：在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：
（1） （法1） 原式＝165＋200－1 （法2） 原式＝164＋1＋199
＝365－1 ＝164＋200
＝364 ＝364

（2）（法1）原式＝（198＋2）＋（96＋4）＋（297＋3）＋1
＝200＋100＋300＋1
＝601

（法2）原式＝（200－2）＋（100－4）＋（300－3）＋10
＝200＋100＋300－2－4－3＋10
＝601

（3）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1
＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）
＝300＋400＋500＋700＋800
＝2700

（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700 －9）＋（800－1）＋21
＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21
＝2700

（4）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（ 198＋2）＋（199＋1）

＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000


（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3） ＋（200－2）＋（200－1）＋15
＝200＋200＋200＋200＋200
＝1000

[前铺] 计算：（1）65＋99 （2） 36＋102 （3） 258－98 （4） 351－103

分析：（1）原式＝65＋100－1＝165－1＝164；

（2）原式＝36＋100＋2＝136＋2＝138；

（3）原式＝258－100＋2＝158＋2＝160；

（4）原式＝351－100－3＝251－3＝248；

通过以上题目的运算， 我们发现一个快捷运算的规律：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减
去，这样保证结果不变， 所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加
上”；（3）中，多减 了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所
以“少减的要再 减”．这几种基本的加补凑整计算的方法，老师要引导学生理解，并加深巩固．


【例5】 （★★★ 奥数网题库） 计算： （1）895－504－97
（2）98－96－97－105＋102＋101
（3）399＋403＋297－501
（4）196＋198－102－97

分析：在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算中加补凑整的方法．具体分析如下：
（1）原式＝（900－5）－（500＋4）－（100－3）
＝900－500－100－5－4＋3
＝294
（2）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋ （100＋1）
＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1
＝3

（3）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）
＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1
＝598

（4）原式＝（200－4）＋（200－2）－（100＋2）－（100－3）
＝200＋200－100－100－4－2－2＋3
＝195

[巩固] ：（1）198－205－308＋509， （2）501＋502＋503－398－397－396.

分析：（1） 原式＝（200－2）－（200＋5）－（300＋8）＋（500＋9）＝200－200－300＋500 －2－5－8
＋9＝194

（2）原式＝（500＋1）＋（500＋ 2）＋（500＋3）－（400－2）－（400－3）－（400－4）＝315.

[拓展1] 计算：195＋196＋197＋198＋199

分析：原式=（200-5）+（200-4）+（200-3）+（200-2）+（200-1）
=200×5-（5+4+3+2+1）=1000-15=985

[拓展2] （07年7月仁华入学测试题）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋ 93＋100
－89＋83＋96＋98

分析：原式=83＋86＋95－83- 2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98
=90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8
=1080+6
=1086

[拓展3]（2006香港圣公会小学数学奥 林匹克）89+899+8999+89999+899999

分析：原式=（90-1） +（900-1）+（9000-1）+（90000-1）+（900000-1）
=90+900+9000+90000+900000-5
=999990-5
=999985

[拓展4]计算
191991999...199...99
123

1999个9

1
分析：原式＝
22...20-1999
{
1999个2
＝
22...20221

{
1996个2

[拓展5] 计算19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7

分析：原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（720 00－3）＋（2000－3）＋（1000
－3）＋（100－3）＋（10－3）
＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8× 3
＝30991110－24
＝30991086


（三）其他常见类型巧算
【例6】 （★★★ 仁华试题）计算100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108

分析：原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106 －105）＋（108－107）
＝100＋1＋1＋1＋1
＝104


【例7】 （★★★ 仁华试题）计算：123＋234＋345－456＋567－678＋789
分析：方法1：原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）
＝123＋234＋345＋111＋111
＝234＋（123＋567）
＝234＋690
=924

方法2：原式=123+（123+111 ）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666 ）
=123×3+（111+222-333+444-555+666）
=369+555
=924


【例8】 （★★★ 仁华试题）计算 1234＋3142＋4321＋2413

分析：原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（40 00＋300＋20＋1）＋（2000＋400
＋10＋3）
＝（1 000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40 ）＋（1＋2
＋3＋4）
＝10000＋1000＋100＋10
＝11110
[巩固] 计算 123+234+345+456+567+678+789

分析：方法1 原式=（1 00+20+3）+（200+30+4）+（300+40+5）+（400+50+6）+（500+60+ 7）+（600+70+8）
+（700+80+9）
=（100+200+300+400 +500+600+700）+（20+30+40+50+60+70+80）+（3+4+5+6+7+8+ 9）
=2800+350+42
=3192

方法2 原式=123×7+（111+222+333+444+555+666）
= 123×7+111×(1+2+3+4+5+6)
=3192


[拓展] 在右图的36个格子中各有一个数，最上面一横行和最左面一竖列中的
数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列
最上面数之和（例 如：a＝14＋17＝31），问这36个数的总和是多少？

分析：第二横行的空格应该填 的数字分别是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，
19＋12，同理，下面每一横行都 是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这36个格子中

的所有数字之和 ，第一横行的和为：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）
＝85，第二横行的和为：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝1 2×6＋（11＋13＋15＋17＋
19）＝147，同理，第三横行的和为：14＋11＋14＋1 3＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋
13＋15＋17＋19）＝1 59，第四横行的和为16×6＋75＝171，第五横行的和为：18×6＋75＝183，第六横
行 的和为：20×6＋75＝195.所以36个格子的和为85＋147＋159＋171＋183＋195＝9 40.

方法2：法1比较笨拙，没有体现该题解法的精髓，在我们解这道题之前，我们看看下面的例子：
2
4
6
8
3



4



5



上表空格处的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和，求这16个数之和。
每列第一个数为a,所填每列和=3a+4+6+8，所填写各列总和=3×(3+4+5)+(4+6+8) ×3，所以除角上2
以外的所有数之和为4×(4+6+8+3+4+5)，所以16格总和为 4×(4+6+8+3+4+5)+2=122.
再类推到原题，则有：
所有数之和=（1 1+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10=940.




专题展望


预看计算精彩，敬请关注：三年级寒假班“速算与巧算的综合、加深与拓展”．


练习二



1. （例1）计算 ： （1）18＋29＋32＋71＋28＋12
（2）1233－53－47
（3）36＋103
（4）456－（256＋165）

分析：（1）原式＝（18＋32）＋（29＋71）＋（28＋12）＝50＋100＋40＝190

（2）原式＝1233－（53＋47）＝1233－100＝1133

（3）原式＝36＋100＋3＝136＋3＝139

（4）原式＝456－256－165＝200－165＝35

2. (例2)计算：（1）968－561－168－139
（2）9998＋998＋99＋9＋6
（3）1999＋1998＋2001＋2002
（4）501＋502＋503－398－397－396

分析：（1）原式＝（968－168）－（561＋139）＝800－700＝100

（2）原式＝（10000－2）＋（1000－2）＋（100－1）＋（10－1） ＋6
＝10000＋1000＋100＋10＝11110

（3）原式＝（2000－1）＋（2000－2）＋（2000＋1）＋（2000＋2）
＝2000＋2000＋2000＋2000
＝8000

（4）原式＝（500＋1）＋（500＋2）＋（500＋3）－（400－2）－（400－3）－ （400－4）
＝315

3. （例3）计算 （1）1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11
（2）11－12＋13－14＋15－16＋17－18＋19－20＋11

分析：（1 ）原式＝1＋（3－2）＋（5－4）＋（7－6）＋（9－8）＋（11－10）＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝ 6
（2）原式＝11＋（13－12）＋（15－14）＋（17－16）＋（19－18）＋（21 －20）＝11＋1＋1＋1＋1
＋1＝16


4. （例4）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006
分析：原 式=1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-200 3-2004+2005）+2006
=2007

5. （例5）计算 11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？

分析：原式=（20-9）+（200-8）+（2000-7）+（20000-6）+（20000 0-5）
=（20+200+2000+20000+200000）-（9+8+7+6+5）
=222220-35
=222185
故所得数字之和等于2+2+2+1+8+5=20.

6. （例8）在134＋ 7，134＋14，134＋21，……，134＋210这30个算式中，每个算式的计算结果都是
三 位数，求这些三位数的百位数字之和．

分析：我们只要求百位数字之和，仔细观察这些计算 结果，发现百位数字最小是1，最大是3，当134＋
7×9＝134＋63时，前面的和的百位数都是 1，这一共有9个数；从134＋7×10＝134＋70开始，到134
＋7×23＝134＋161 ，这些和的百位数是2，一共有14个数；从134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，
这些和的百位数都是3，一共有7和数．所以这些算式的和的百位数字之和为：1×9＋2×14＋3×7＝58 .









成长故事

人生最好的教育

一
个还在上中学的女孩，因为母亲得了重病，为了减轻家庭负担，就希望利用暑假时间打工挣点
钱．她来到一家公司应聘，那家公司看了她的简历没怎么考虑就拒绝了她．女孩收回自己的材料，用手
掌 撑了一下椅子站起来，觉得手被扎了一下．低头一看原来椅子上有一颗钉子露出了头．她见桌子上有
一条 镇纸石，于是拿起来用它将钉子敲平，然后转身离去．可是几分钟后，公司经理却派人将她追了回
来．她 被聘用了．一个在爱中长大的人，他最好的回报也是爱．当爱促使一个人去做他很难做到的事情
时，这足 以证明爱的力量而在一件很细小的、与自己无关的事情上也能体现出对别人体贴和关心的人，
他所受到的 爱的教育无疑是成功的．

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