耿丹-糯米团购

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奥数专题 时钟问题

第一部分 基础知识点部分
【开门见山 这一段话多半录自百度百科】
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追 及或相遇问题，不过这里的两个“人”
分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其他行程问题 是：它的速度和总路程的
度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角 度”或者“每
分钟走多少小格”。对于正常的时钟：
1.整个钟面为360度，上面有12个 大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6
度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；
时针速度：每分钟走十二分之一小格，每分钟走0.5度
速度差：每分钟6-0.5=5.5度；每分钟1-112=1112小格
2.需要注意的是 在许多时钟问题中，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和
分针每分钟走的度数会与常规 的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比
例关系，在独立分析的基础上必须要学会十 字交叉法。当你做过一个题目后，这个十字交叉
法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似， 实际就是个一元一次方程变种格式
而已。
【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向 而行；同时停止。追击问题的重要
公式：路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系：快者路程- 慢者路程=距离；在实际
题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65
又11分之5 分。

认识钟面：

时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：
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时针每小时走30度; 分针每分钟走6度
分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。

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第二部分 以知促行
【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

【解析】
时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
根据角度差速度差 =分钟数，可得 905．5= 16又411＜60，表示经过16又411分钟，时针与分
针第一次垂直；同理，2705．5 = 49又111＜60，表示经过49又111分钟，时针与分针第二次垂直。
经验证，选B可以。
【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和
此 时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为----。

【解法1】
时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线 ，则分
针必在这一范围，而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分，所以
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3 分钟前的时针转的角度为0．5
（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+ 10×30度。所谓“时针与分针成一条直
线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=18 0度，解得Ｘ=15分钟。

著名数学难题：时钟的时针和分针（了解）
由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。
例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？
解：钟表上把一个 圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要
走过12x个刻度，即分针走 了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻
度时，出现第一次分针和时针重合；当 分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和
时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开 始重复出现以上情况。用数学式子来表示，
即为：
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12x－x=60m，其中m=1，2，…．
度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分 钟。所以，12点以后出现第四、五、六、七、
八、九、十次重合的时间不难算出它们 :
如 果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时
刻，可见 ，以上共有11次出现两针重合的时间。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分
针每分 钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应
为（10÷）分钟。
解： （5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）
答：2点10分时，两针重合。
2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？
分析：分针与时针成一 条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，
时针指向4，分针在时针后5×4 ＝20（小格）。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须
追上时针（20小格）并超过时针（30小 格）后，才能成一条直线。因此，需追及（20＋30）
小格。
解： （5×4＋30）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。
3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？
分析：分针与时针成直角，相差15 小格（或在前或在后），一点时分针在时针后5×1＝5
小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才 能构成直角。所以分针需追及（5×1＋15）
小格或追及（5×1＋45）小格。
解： （5×1＋15）÷（1－）＝20÷＝21（分）
或（5×1＋45）÷（1－）＝50÷＝54（分）
答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看 书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好
处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又 恰好在同一条直线上。看书期间，小
明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下） 请你算一算小明从几点
开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下， 说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以
后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－）＝30÷＝32（分）即12点32分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－）＝35÷＝38（分）即 1点38分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－ ）＝40÷＝43（分）即 2点43分。
如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开始看书，到2
点43分 时结束的。
5、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实 际
走完这27分所要时间应是27÷。
解： 5×（17－12） ＝27 （分） 27÷＝30（分）
答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。
解题关键：时钟问 题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按“分”
分为60小格。每小时，时针走 1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是
分针的，两针速度差是分针的速度的，分针 每小时可追及。
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【其他例题】
例1：从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?
5时整时，分针指向正上方 ，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格(表面上
每个数字之间为5个小格)，如果要成直线 ，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段
内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针 比时针都走1112个小格可知，此段
时间为55(1112)=60分钟，也就是经过60分钟时针与 分针第一次成了直线。
例2：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?
6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第
一次 重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为
30(1112)= 36011分钟。
例3：在8时多少分，时针与分针垂直?
8时整时，分针指向正 上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两
者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直 ，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也
就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25 (1112)=30011分钟;另一次是第二次垂
直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针 )，也就是分针比时针多走了55个小格，
此段时间为55(1112)=60分钟，时间变为9时，超 过了题意的8时多少分要求，所以在8
时30011分时，分针与时针垂直。
由上面三个例题 可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用
上述方法是非常方便、简单 、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的
方法。解决此类问题的一个关键点就是抓 住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别
走了多少个小格。
下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。
关于时钟的问题有：求某一时刻时针 与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线
等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的 运动规律和特点。
一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1 个小格，
时针指走了160*5=112个小格，所以每分钟分针比时针多走1112个小格，以此作为 后续
计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

例4：从9点整开始，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?
9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第
一次成直线，也就 是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此
段时间为15(1112)=1 8011分钟。
例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?
9时 整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分
针追上时针，也就是两 者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段
时间为45(1112)=5401 1分钟。
例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?
时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变
为30个小格，那 么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30(1112)=36011分钟。


1.设时钟一圈分成了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。
2.时针一昼夜（24小时）转2圈，分针一昼夜转24圈。
3.钟面上每两格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。
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4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？（）
A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度［答案］D
［解析］清晨5点时，时针和分针相差5格，则5×30°＝150°。
【例2】中午12点 整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还
要重合了多少次？（）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13［答案］B
［解一］从中午12点到晚上12点， 时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈。
因此，时针与分针重合了11次。选择B。 < br>［解二］根据基本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11
次。
【例3】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时
针和 分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？（） #中国公务员考试信
息网 A. 51 B. 47 C. 45 D. 43［答案］A
［解析］根据题意，会议开了1个多小时， 那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1
格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置”，所 以时针和分针所转角度之和应该是整
整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T 小时应该转了T12圈；
分针1小时转一圈，T小时应该转了T圈，那么T+T12＝2，得到T＝24 13小时，约合1
小时51分。
【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过 6分钟后分针和此时刻3分钟前
的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为几点几分？（）
A. 10点15分 B. 10点19分
C. 10点20分 D. 10点25分［答案］A
［解析］代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多 ，因此时针在钟
面上的“10”与“11”之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针 已经在钟面
上的“5”上或者之后了。我们知道，钟面上的“10”与“11”之间反过来对应的是“4 ”与“5”之间，
所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。
核心提示
钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式T＝T0+111T0，其中：T为追及时间，即分针
和时 针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到
条件要求”的 时间。
例5 从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是（）。
A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 ［答案］C
［解析］从12点整往后，时针 与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T0＝45（分钟），
根据公式，其间隔时间T＝T0+T0 11≈49（分钟）。
【例6】（国家2006一类-45、国家2006二类-45）从12时到1 3时，钟的时针与分针可
成直角的机会有多少次?（）A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次［答案］B
［解一］从12时到13时，时针旋转了30°；分针旋转了360°。分针与 时针所成的角度从0°
变化到330°（其中包括90°和270°），因此有2次成直角的机会。选择 B。
［解二］根据公式：从12点开始算，时针与分针成直角的“静态时间”为15分钟或45分钟，
追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。
【例7】（广东2008年）时针与分针在5点多少分第一次垂直？（）
A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分［答案］B
［解析］根据公式： 时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间”为10分钟，追及时间为
10+1011=101011 分钟，所以选择B。 强华公务员
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【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？（）
A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分［答案］B
［解一］根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间 ”为30分钟，代入公式算得追及
时间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。
［解二］根据基本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：24×
6044=32 811分钟。
核心提示当时钟问题涉及“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“标准 比”，按
比例计算。
【例9】（国家2005二类-46）有一只钟，每小时慢3分钟，早晨 4点30分的时候，把钟
对准了标准时间，则钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?（ ）
A. 11点整 B. 11点5分 C. 11点10分 D. 11点15分［答案］C
［解析］标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10
点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x∶380=60∶
57，可得：x＝400（分钟）。说明标准时间比慢钟快400-380＝20分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。
【例10】（国家2005一类-46）一个快钟每小时 比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比
标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24 小时内，快钟显示10点整
时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是多少？（）
A. 9点15分 B. 9点30分 C. 9点35分 D. 9点45分［答案］D
［解析］快 钟、慢钟与标准时间的差的标准比为1∶3。假设现在是9点x分（快钟显示10
点整，慢钟显示9点整 ），那么（60-x）∶（x-0）＝1∶3，解得：x＝45。所以标准时间是
9点45分。
时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。
关于时钟的问题有：
求时间差：
例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？
A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分
解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C
求慢（快）表在几小时后显示什么时间？
例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分 的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到
当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。
A．11点整 B．11点5分 c．1l点1O分 D．11点15分
解析：慢表显示经 过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间
应该是：380÷ [（60-3）60]=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个
钟同时调 到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则
此时的标准时间是( )。
A．9点15分 B 9点30分 c．9点35分 D 9点45分
解析：这是2个不准确的时钟问题，也是这种问题的一个延伸。
我们可以看到，在一个小时 内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走
造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它 们（快慢钟）的差距有60分钟时，那么一样，14
的时间=15分钟时快走造成的，34的时间（45 分钟）时慢走造成的。所以标准时间为9
点45分，答案为D。
总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例
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关系，也就是常说的一小时慢（快）多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。
延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题
中较困难问 题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题中较为困难的类型。
求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。
例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？
一个 钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时
针只走了5个小 格，所以每小时分针比时针多走55个小格。
解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题：
时针: v1=5格小时 分针：v2=60格小时
n*60=（v2-v1）*12 即 ：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；
再有，一小时多走（60-5）个 格，总共走了12小时，所以多走了（60-5）*12个格。解出：
n=11
例：从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？
解析：6时整时，分针指向 正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要
第一次重合，也就是两者之间间隔变为0 ，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为
3055=611小时=36011分钟。
例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？
解析：9时整时，分针指 向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要
分针与时针重合，也就是两者之间间隔 变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，
此段时间为4555小时=54011分钟。 < br>总结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度
差。而 在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小
时差55格（前面已 经分析过）。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。
大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。
例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟?
解析：正常的钟每隔(1211)小时=(72011)分钟重合一次，
爷爷家的老式钟是72611分钟重合一次，慢了611分钟。
每小时这个钟就会慢【(611)(72011)】*60=12分钟。
一昼夜共慢了12*24=12分钟。
时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。
例：1个小时内分针和秒针共重叠（ ）次。
A.60 B.59 C.61 D.55
这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下：
首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比如正点时刻
分针和秒针都是在12上
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。。。。。。。58，59，60
我们来仔细分析
当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在0～1之间却是 没有重合的，因
为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从1 ～2分
钟时刻开始，秒针和分针就开始在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59～60分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在59～60间隙里面也是没有重
合的。
这样我们就可以把开始0位置上的重合看作是0～1上的重合，60上的重合看作是59～60
之间的重合，整个过程就发现就是60次。
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其次：如果不 是理想状态。这个题目就出现了2个结果。就是看间隔。59个间隔至少有59
次相遇。第一次的间隔没 有。
这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情
况来做。
时钟问题经典例题详解
例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：2 点时候，时针处在第10 格位置，分针处于第0 格，相差10 格，则需经过10 1112
分钟的时间。
例：中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？
析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 格，则分针追赶时针一次，耗时60
1112 ＝72011 分钟，而12 小时能追随及12*60 分钟 72011 分钟次=11 次，第11 次
时，
时针与分针又完全重合在12 点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如
果题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。
2. 分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，则分针每秒钟走160 格，每秒
钟秒针比分针多走5960 格
3. 例：中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？
析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60 格，则秒针
追分针一次耗时，60 格 5960 格秒= 360059 秒。而到1 点时，总共有时间3600 秒，
则能追赶，3600 秒 360059 秒次=59 次。第59 次时，共追赶了，59 次*360059 秒
次=3600 秒，分针走了60 格，即经过1 小时后，两针又重合在12 点。则重合了59 次。
3.时针与秒针
秒针每秒走一格，时针3600 秒走5格，则时针每秒走1720 格，每秒钟秒针比时针多走
719720格。
例：中午12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?
析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60 格，每秒钟追719720 格，则要一次要
追60 719720=43200719 秒。而12 个小时有12*3600 秒时间，则可以追
12*36＝710次。此时重合在12 点位置上，即重合了719 次。
4.成角度问题
例：在时钟盘面上，1 点45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？
析：一点时，时针分针差5 格，到45 分时，分针比时针多走了1112*45＝41.25 格，则
分针 此时在时针的右边36.25 格，一格是36060＝6 度，则成夹角是,36.25*6=217.5 度。
5.相遇问题
例：3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
析：作图，此题转化为时针以每分112 速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当
时针和分针离3 距离相等，两针相遇，行程15 格，则耗时15 1+ 112 =18013 分。
例：小明做作业的时间不足1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时
针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？
析：只可能是这个图形的情形，则分针走了 大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针
和分针共走了60 格，而时针每分钟112 格，分针1 格，则总共走了60 (112+1)=72013
分钟，即花了72013 分钟。
钟表上的追及问题加强内容
一. 格数法：钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟
.

.
1
转
12
分格，分针一分钟转1个分格。因此可 以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个
问题。
x
解析 （1）设3点x分 时，时针与分针重合，则分针走x个分格，时针走
12
个分格。因为
在3点这一时刻， 时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，
x
分针比时针多走1 5个分格，于是得方程
x
12
15
，解得
x16
411
。
4
所以3点16
11
分时，时针与分针重合。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，
而在3点 到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针
x
多走了4 5分格，于是得方程
x
12
45
，解得
x49
1
11
。
49
所以3点
1
11
分时，时针与分针成平角。
（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4
x
点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程
x
12
30
，解得
x32
8
11
。
32
8
11
分时，时针与分针成直角。 所以3点

二. 度数法
对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时
针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过
的度数来解决这道题。
解析 （1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x °，分针旋转的角度
是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转 了90°，于是
.x90
，解得得方程
6x05
x16
411
。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180 °=270°，于是得
.

.
方程
6x0.5x270
，解得
x49
1
11
。
（3）设3点x分时，时针与分 针成直角。此时分针比时针多转了
9090180
，于是得
方程
6 x0.5x180
，解得
x32
8
11
。
练一练
1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？
2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？
3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？
4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？
17
10
（参考答案：1. 9点49
11
分； 2. 5点43
11
或5点10
11
分；
7
7
3. 3点9
11
分或3点23
11
分； 4. 2点43
11
分。）

网络上的经典问题
【钟表指针重叠问题】
中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
（2006国家考题）
A、10 B、11 C、12 D、13 答案B
2、中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
A、60 B、59 C、61 D、62 答案B
讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！
给大家介绍我认为网友比较经典的解法：
考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟 表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的
速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点 的刻度开始走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格秒，
那么秒针的 速度就是60格秒，设追上的时候路程是S，
时间是t，方程为(1+60)t＝S 即61t＝S， 中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即
S的范围是0即0
第1题跟这个思路是一样的。
给大家一个公式
61T＝S （S为题目中最小的 单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的
最大值就知道相遇多少次了）
如第 1题，题目中最小单位为分针，题目所要求的时间为12小时，也就是说分针走了720
格T(max) =72061.8，取整数就是11。
1、钟表指针重叠问题
1
.

.
中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
A、10 B、11 C、12 D、13
考友2.这道题我是这么解,大家比较一下:
解:可以看做追及问题,时针的速度是:112格分 分针的速度是:1格分.
追上一次的时间=路程差速度差=60(1-112)=72011分
从12点到12点的总时间是720 分钟,所以重合次数n=总时间追上一次的时间=72072011
次
【关于成角度的问题，给力的公式及变式】设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针
5.5，设夹角为A.（请大家掌握）
钟面分12大格60小格每一大格 为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针
走0.5度，能追5.5度。
1.【30X－5.5Y】或是360－【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义（求角度公式）
变式与应用
2.【30X－5.5Y】=A或是360－【30X-5.5Y】=A
（已知角度或时针或分针求其中一个的公式。
3.由变式2.可以变为
30×〔(X-Y5)＋Y60]=A或30×｛〔（X+12)-Y5]＋Y60}=A
说明变式3.实质上完全等同变式2.
例题3〔2000年国家考题〕
某时刻钟表 时间在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时
刻正好方向相反且在一条 直线上，则从时刻为（）
A.10点15分 B.10点19分 C.10点20分 D.10点25分
思路1.设时刻正好方向相反且在一条直线上的分针为Y,用变式2解出
30×10－5.5Y=180 解出Y=21又911分，Y-6=15又911分,本题最接近A.(说明此国考题
不够严谨！） < br>思路2.根据钟表的特点：首先看时针在10点到11点之间，那么根据“正好方向相反且在一
条 直线上”分针必在4点到5点之间（相对时针而言），那么在6分钟以前分针必在3点附
近（相对时针而 言），运用排除法选A

.