解：每时多走1千 米，两人3时共多走6千米，这6千米相当于两人
按原定速度1时走的距离。所以甲、乙两地相距6×4 ＝24（千米）

20.

甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同 时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒， 结果都用24秒同时回到
原地。求甲原来的速度。
解：因为相遇前后甲、乙两人的速度和不变 ，相遇后两人合跑一圈用
24秒，所以相遇前两人合跑一圈也用24秒，即24秒时两人相遇。

设甲原来每秒跑x米，则相遇后每秒跑（x＋2）米。因为甲在相遇前
后各跑了24秒，共跑4 00米，所以有24x＋24（x＋2）＝400，解得
x=7又13米。

21.

甲、乙两车分别沿公路从A，B两站同时相向而行，已知甲车的速度是乙车的 1.5倍，
甲、乙两车到达途中C站的时刻分别为5：00和16：00，两车相遇是什么时刻？ 解：9∶24。解：甲车到达C站时，乙车还需16-5＝11（时）才能到达
C站。乙车行11时 的路程，两车相遇需11÷（1＋1.5）＝4.4（时）＝4
时24分，所以相遇时刻是9∶24。< br>
22.

一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长 是385米。坐在快车
上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是 多少秒？
解：快车上的人看见慢车的速度与慢车上的人看见快车的速度相同，
所以两车的车长 比等于两车经过对方的时间比，故所求时间为11

23.

甲、乙二人练习 跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2
秒，则甲跑4秒能追上乙。问：两人 每秒各跑多少米？
解：甲乙速度差为105=2

速度比为（4+2）：4=6：4

所以甲每秒跑6米，乙每秒跑4米。
< br>24．甲、乙、丙三人同时从A向B跑，当甲跑到B时，乙离B还有20米，丙离B还有40
米； 当乙跑到B时，丙离B还有24米。问：
（1） A， B相距多少米？

（2）如果丙从A跑到B用24秒，那么甲的速度是多少？

解：解：（1）乙跑最后20米时，丙跑了40-24＝16（米），丙的速度





25.

在一条马路上，小明骑车与小光同向 而行，小明骑车速度是小光速度的3倍，每隔10
分有一辆公共汽车超过小光，每隔20分有一辆公共汽 车超过小明。已知公共汽车从始发站
每次间隔同样的时间发一辆车，问：相邻两车间隔几分？
解：设车速为a，小光的速度为b，则小明骑车的速度为3b。根据追及
问题“追及时间×速度差＝追及 距离”，可列方程

10（a－b）＝20（a－3b），

解得a＝5 b，即车速是小光速度的5倍。小光走10分相当于车行2
分，由每隔10分有一辆车超过小光知，每隔 8分发一辆车。

26.

一只野兔逃出80步后猎狗才追它，野兔跑 8步的路程猎狗只需跑3步，猎狗跑4步的
时间兔子能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔？ < /p>

解：狗跑12步的路程等于兔跑32步的路程，狗跑12步的时间等于兔
跑27步 的时间。所以兔每跑27步，狗追上5步（兔步），狗要追上
80步（兔步）需跑[27×（80÷5） ＋80]÷8×3＝192（步）。

27.

甲、乙两人在铁路旁边以同样 的速度沿铁路方向相向而行，恰好有一列火车开来，整
个火车经过甲身边用了18秒，2分后又用15秒 从乙身边开过。问：
（1）火车速度是甲的速度的几倍？

（2）火车经过乙身边后，甲、乙二人还需要多少时间才能相遇？



解：（1）设火车速度为a米／秒，行人速度为b米／秒，则由火车的是行人速度的11
倍；
（2）从车尾经过甲到车尾经过乙，火车走了135秒，此段路程一
人走需1350×11=1 485（秒），因为甲已经走了135秒，所以剩下的路
程两人走还需（1485－135）÷2＝67 5（秒）。

28.

辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高2 0％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以
原速行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比 原定时间提前1时到达。求甲、乙两地
的距离。





29.

完成一件工作，需要甲干5天、乙干 6天，或者甲干 7天、乙干2天。问：甲、乙单独
干这件工作各需多少天？
解：甲需要(7*3-5)2=8(天)

乙需要(6*7-2*5)2=16（天）

30．一水池装有一个放水管和一个排水 管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7
时可将满池水排完。如果放水管开了2时后再打开排水 管，那么再过多长时间池内将积有
半池水？


31．小松读一本书，已读与未读的页数之比是3∶4，后来又读了33页，已读与未读的页
数之比变为5∶3。这本书共有多少页？
解：开始读了37 后来总共读了58

33(58-37)=33(1156)=56*3=168页
32．一件工作甲做6时、乙 做12时可完成，甲做8时、乙做6时也可以完成。如果甲做3
时后由乙接着做，那么还需多少时间才能 完成？
解：甲做2小时的等于乙做6小时的，所以乙单独做需要

6*3+12=30（小时） 甲单独做需要10小时
因此乙还需要(1-310)(130)=21天才可以完成。


33.

有一批待加工的零件，甲单独做需4天，乙单独做需5天，如果两人合作，那 么完成任
务时甲比乙多做了20个零件。这批零件共有多少个？
解：甲和乙的工作时间比为4：5，所以工作效率比是5：4

工作量的比也5：4，把甲做的看作5份，乙做的看作4份

那么甲比乙多1份，就是20个。因此9份就是180个

所以这批零件共180个

34.挖一条水渠，甲、乙两队合挖要6天完成。甲队先挖3天，乙队接着
解：根据条件，甲挖6天乙挖2天可挖这条水渠的35

所以乙挖4天能挖25

因此乙1天能挖110，即乙单独挖需要10天。

甲单独挖需要1（16-110）=15天。

35.

修一段公路 ，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结
果在距中点750米处相遇 。这段公路长多少米？
36.

有一批工人完成某项工程，如果能增加 8个人，则 10天就能完成；如果能增加3个
人，就要20天才能完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需 要多少天？
解：将1人1天完成的工作量称为1份。调来3人与调来8人相比，10
天少完成 （8-3）×10=50（份）。这50份还需调来3人干10天，所以
原来有工人50÷10－3＝2 （人），全部工程有（2+8）×10=100
（份）。调来2人需100÷（2+2）=25（天）。

37.




解：三角形AOB和三角形DOC的面积和为长方形的50%

所以三角形AOB占32%

16÷32%=50


38.



解：12*13=16


所以三角形ABC的面积是三角形AED面积的6倍。

39.下面 9个图中，大正方形的面积分别相等，小正方形的面积分别相等。问：哪几个图中
的阴影部分与图（1） 阴影部分面积相等？




解：（2） （4） （7）（8） （9）


40.

观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数
2，5，11，23，47，（ ），……
解：括号内填95

规律：数列里地每一项都等于它前面一项的2倍减1

41.

在下面的数表中，上、下两行都是等差数列。上、下对应的两个数字中，大数 减小数
的差最小是几？
解：1000-1=999

997-995=992

每次减少7，9997=142……5

所以下面减上面最小是5

1333-1=1332 13327=190……2

所以上面减下面最小是2

因此这个差最小是2。

42.如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？
解：估计这个商的十位应该是8，看个位可以知道是6

因此这个商是86。

43.

求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。

解：63=7*9

所以至少要9个7才行（因为各位数字之和必须是9的倍数）

44. 1×2×3×…×15能否被 9009整除？
解：能。

将9009分解质因数

9009=3*3*7*11*13

45.

能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位
数？为什么？
解：不能。因为1＋ 2＋3＋4＋5＋6＝21，如果能组成被11整除的六位
数，那么奇数位的数字和与偶数位的数字和一 个为16，一个为5，而
最小的三个数字之和1＋2＋3＝6＞5，所以不可能组成。

46.

有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自
然数。
解：最小的两个约数是1和3，最大的两个约数一个是这个自然数本
身，另一个是这个自然数除 以3的商。最大的约数与第二大

47.100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？
解：如果恰有一个质因数，那么约数最多的是2
6
=64，有7个约数；
< br>如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是2
3
×3
2
＝72和2< br>5
×3＝96，
各有12个约数；

如果恰有三个不同质因数，那么约 数最多的是2
2
×3×5＝60，2
2
×3×7＝
84和2×32
×5=90，各有12个约数。

所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96。

48.

写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。
解：6，10，15

49.

有336个苹果、 252个桔子、 210个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在
每份礼物中，三样水果各多少？
解：42份；每份有苹果8个，桔子6个，梨5个。

50.

三个连续自然数的最小公倍数是168，求这三个数。
解：6，7，8。提示：相邻两个自然 数必互质，其最小公倍数就等于这
两个数的乘积。而相邻三个自然数，若其中只有一个偶数，则其最小< br>公倍数等于这三个数的乘积；若其中有两个偶数，则其最小公倍数等
于这三个数乘积的一半。
51.

一副扑克牌共54张，最上面的一张是红桃K。如果每次把最上面的1 2张牌移到最下面
而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃K才会又出现在最上面 ？
解：因为[54，12]=108，所以每移动108张牌，又回到原来的状况。又
因为每 次移动12张牌，所以至少移动108÷12=9（次）。

52.

爷爷对 小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是
你的5倍、4倍、3倍、 2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
解：爷爷70岁，小明10岁。提示：爷爷和小明的年龄差 是6，5，4，
3，2的公倍数，又考虑到年龄的实际情况，取公倍数中最小的。（60
岁）< br>

53.

某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？并将它们
写出来。
解：11，13，17，23，37，47。

54.

在放暑假的 8月份，小明有五天是在姥姥家过的。这五天的日期除一天是合数外，其它
四天的日期都是质数。这四个 质数分别是这个合数减去1，这个合数加上1，这个合数乘上
2减去1，这个合数乘上2加上1。问：小 明是哪几天在姥姥家住的？
解：设这个合数为a，则四个质数分别为（a－1），（a＋1），（2a －
1），（2a＋1）。因为（a－1）与（a＋1）是相差2的质数，在1～31
中有五组： 3，5；5，7；11，13；17，19；21，31。经试算，只有当a
＝6时，满足题意，所以这 五天是8月5，6，7，11，13日。

55.

有两个整数，它们的和恰 好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相
同的三位数。求这两个整数。
解：3，74；18，37。

提示：三个数字相同的三位数必有因数111。因为1 11＝3×37，所以这
两个整数中有一个是37的倍数（只能是37或74），另一个是3的倍
数。

56.

在一根100厘米长的木棍上，从左至右每隔6厘米染一个 红点，同时从右至左每隔5厘
米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。问：长度是1厘米的短木 棍有多少根？



解：因为100能被5整除，所以可以看做都是 自左向右染色。因为6
与5的最小公倍数是30，即在30厘米处同时染上红点，所以染色以
3 0厘米为周期循环出现。一个周期的情况如下图所示：

由上图知道，一个周期内有2根1 厘米的木棍。所以三个周期即
90厘米有6根，最后10厘米有1根，共7根。


57.

某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80％出售，则亏损83 2元。问：商
品的购入价是多少元？
解：8000元。按两种价格出售的差额为960＋83 2=1792（元），这个
差额是按定价出售收入的20％，故按定价出售的收入为1792÷20％< br>=8960（元），其中含利润960元，所以购入价为8000元。

58.

甲桶的水比乙桶多20％，丙桶的水比甲桶少20％。乙、丙两桶哪桶水多？
解：乙桶多。

59.

学校数学竞赛出了A，B，C三道题，至少 做对一道的有25人，其中做对A题的有10
人，做对B题的有13人，做对C题的有15人。如果二道 题都做对的只有1人，那么只做
对两道题和只做对一道题的各有多少人？
解：只做对两道题的人数为（10＋13＋15） -25 -2×1＝11（人），

只做对一道题的人数为25－11－1=13（人）。


60.

学校举行棋类比赛，设象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加两项。根据报名的人
数，学校决定 对象棋的前六名、围棋的前四名和军棋的前三名发放奖品。问：最多有几人
获奖？最少有几人获奖？ < /p>

解：共有13人次获奖，故最多有13人获奖。又每人最多参加两项，
即最多获两 项奖，因此最少有7人获奖。

61.

在前1000个自然数中，既不是平方数也不是立方数的自然数有多少个？
解：因为312
＜1000＜32
2
，10
3
＝1000，所以在前1000 个自然数中有
31个平方数，10个立方数，同时还有3个六次方数（1
6
，2
6
，3
6
）。所
求自然数共有 1000－（31＋10）＋3＝962（个）。


62.

用数字0，1，2，3，4可以组成多少个不同的三位数（数字允许重复）？
解：4*5*5=100个

63.

要从五年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选
结果？
解：6*6*6=216种

64.

已知15120=2
4
×3
3
×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？
解： 15120的约数都可以表示成 2
a
×3
b
×5
c
×7< br>d
的形式，其中a=0，1，
2，3，4，b=0，1，2，3，c=0，1，d=0， 1，即a，b，c，d的可能取
值分别有5， 4， 2， 2种，所以共有约数5×4×2×2=80（个）。

65.

大林和小林共有小人书不超过50本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？
解：他 们一共可能有0～50本书，如果他们共有n本书，则大林可能
有书0～n本，也就是说这n本书在两人 之间的分配情况共有（n＋1）
种。所以不超过 50本书的所有可能的分配情况共有1＋2＋3…＋
51=1326（种）。

66.

在右图中，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种 不同走
法？（注：路线相同步骤不同，认为是不同走法。）
解：80种。提示：从A到B共有 10条不同的路线，每条路线长5个
线段。每次走一个或两个线段，每条路线有8种走法，所以不同走法
共有 8×10=80（种）。

67.有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？
解：5*4*3=60种

68．有三本不同的书被5名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？
解：5*4*3=60种


69.

恰有两位数字相同的三位数共有多少个？
解：在900个三位数中，三位数各不相同的有9× 9×8＝648（个），三
位数全相同的有9个，恰有两位数相同的有900—648—9=243（个）。

70.

从1，3，5中任取两个数字，从2，4，6中任取 两个数字，共可组成多少个没有重复数
字的四位数？
解：三个奇数取两个有3种方法，三个偶数取两个也有3种方法。共
有 3×3×4！=216（个）。

71.

左下图中有多少个锐角？
解：C(11,2)=55个

72. 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？

解:c(10,2)-10=35种

73.

一牧 场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。
那么可供21头牛吃 几周？
解：将1头牛1周吃的草看做1份，则27头牛6周吃162份，23头牛
9周吃20 7份，这说明3周时间牧场长草207-162＝45（份），即每周
长草15份，牧场原有草162－ 15×6＝72（份）。21头牛中的15头牛
吃新长出的草，剩下的6头牛吃原有的草，吃完需72÷ 6＝12（周）。

74.


有一水池，池底有泉水不断涌出。要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水
机需抽12时。如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？
解：将1台抽水机1时抽的水当做1份。泉水每时涌出量为

（8×12-10×8）÷（12-8）=4（份）。

水池原有水（10-4）×8 ＝48（份），6台抽水机需抽48÷（6-4）=24
（时）。

75.


规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。
解：2*3=(3+2)*3=15

15*5=(15+5)*5=100

76.


1！+2！+3！+…+99！的个位数字是多少？
解：1！+2！+3！+4！=1+2+6+24=33

从5！开始，以后每一项的个位数字都是0

所以1！+2！+3！+…+99！的个位数字是3。

77（1）．有一批四种颜色 的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。在200个信号
中至少有多少个信号完全相同？
解：4*4*4=64

200÷64=3……8
所以至少有4个信号完全相同。

77.


（2）在今年入学的一年级新生中有 370多人是在同一年出生的。试说明：他们中至少有2
个人是在同一天出生的。
解：因为一年最多有366天，看做366个抽屉

因为370>366,所以根据抽屉原理至少有2个人是在同一天出生的。
78.


从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中必有2个数互质。
证明：把前11个自然数分成如下5组

（1，2，3）（4，5）（6，7）（8，9）（10，11）

6个数放入5组必然有2个数在同一组，那么这两个数必然互质。
79.


小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返
一趟共行了多少千米？
80.


长江沿岸有A ，B两码头，已知客船从A到B每天航行500千米，从B到A每天航行400
千米。如果客船在A，B 两码头间往返航行5次共用18天，那么两码头间的距离是多少千
米？
解：800千米。 提示：从A到B与从B到A的速度比是5∶4，从A
到B用



81.

请在下式中插入一个数码，使之成为等式：
1×11×111= 111111

解答：91*11*111=111111

82．甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数与丙数除以甲数的结果都是商5余1。问：
乙数是多 少？
解：设乙数是x，那么甲数就是5x+1

丙数是5(5x+1)+1=25x+6

因此x+5x+1+25x+6=100

31x=93 x=3

所以乙数是3

83．×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1)是哪个数的平方
解：=111111的平方

1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36=6的平方
所以原式=666666的平方。

84.某剧院有25排座位，后一排比前一排多2 个座位，最后一排有70个座位。问：这个剧
院一共有多少个座位？
解：第一排有70-24*2=22个座位

所以总座位数是(22+70)*252 =1150

85.

某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题。评分 标准是：答对一道给3分，没答
的题每题给1分，答错一道扣1分。问：所有参赛学生的得分总和是奇数 还是偶数？为什
么？
解：一定是偶数，因为每个人20道题得分都分别是奇数，20个奇数的
和一定是偶数。每个人的得分都是偶数，所以无论有多少参赛学生，
参赛学生的得分总和一定是 偶数。

86.

可以分解为三个质数之积的最小的三位数是几？
解：102=2*3*17

87.

两个质数的和是39，求这两个质数的积。
解：注意到奇偶性可以知道这2个质数分别是2和37

它们的乘积是2*37=74

88.

有1，2，3，4，5，6 ，7，8，9九张牌，甲、乙、丙各拿了三张。甲说：“我的三张牌
的积是48。”乙说：“我的三张牌 的和是15。”丙说：“我的三张牌的积是63。”问：他们各
拿了哪三张牌？
解：63=7*1*9 所以丙拿的1，7，9

48=2*3*8

所以甲拿的2，3，8
4+5+6=15

因此乙拿的是4，5，6
89.

四个连续自然数的积是3024，求这四个数。
解：考虑末尾数字，1*2*3*4末尾是4

6*7*8*9末尾也是4
其他情况下末尾都是0

11*12*13*14=24024太大
6*7*8*9=3024刚好
所以这4个数是6，7，8，9

90.

证明：任何一个三位数， 连着写两遍得到一个六位数，这个六位数一定能被7，11，13
整除。
解：该数形如ABCABC=ABC*1001

1001=7*11*13

所以这个六位数一定能被7，11，13整除。

91．在1～100中，所有的只有3个约数的自然数的和是多少？
解：4+9+25+49=87

92.

有一种电子钟，每到正点 响一次铃，每过九分钟亮一次灯。如果中午12点整它既响铃
又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时 间？
解：[60,9]=180

18060=3

下次是下午3点钟。


93.

有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？
解：除以3余2的数是2，5，8，11，14。。。。。。

除以4余1的数是1，5，9，。。。。。。

所以此数除以12余5

94.

把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？
解：16=3+3+3+3+2+2

乘积是3*3*3*3*2*2=324

95.

小明按1～ 3报数，小红按1～ 4报数。两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报
了100个数时，有多少次两人报的数相同？
解：每12次作为一个周期

1


2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1


2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
每个周期两人有3次报的数一样

100=12*8+4

所以两个人有8*3+3=27次报的数相同。

96.

某自然数加10或减10皆为平方数，求这个自然数。
解：设这个数是x

x+10=m^2

x-10=n^2

m^2-n^2=20 (m+n)(m-n)=20

m=6,n=4

所以x=6^2-10=26

97.

已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用
120 秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。
解：120秒行驶的距离是桥长+车长

80秒行驶的距离是桥长-车长
所以80(1000+车长)=120（1000-车长）

车长=200米

火车的速度是10米秒

98.

甲、乙二人按顺时针方向沿圆形跑 道练习跑步，已知甲跑一圈要12分，乙跑一圈要15
分，如果他们分别从圆形跑道直径的两端同时出发 ，那么出发后多少分甲追上乙？
解：(12)(112-115)=(12)(160)=30分钟

99.

甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一局，并最终获胜。问：各局的胜负情
况有多少种 可能？

解：甲 甲甲

甲 甲 乙 甲

甲 甲 乙 乙 甲

甲 乙 甲 甲

甲 乙 甲 乙 甲

甲 乙 乙 甲 甲

经枚举发现共有6种可能。

100.

甲、乙二人 2时共可加工 54个零件，甲加工 3时的零件比乙加工4时的零件还多4
个。问：甲每时加工多少个零件？
解：甲乙二人一小时共可加工零件27个

设甲每小时加工x个，那么乙每小时加工27-x个

根据条件得3x=4(27-x)+4

7x=112 x=16

答：甲每小时加工零件16个。