营改增最新政策-马蓉资料

2017年自主招生数学试题
(分值: 100分 时间:90分钟) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项 是正确的）
1、若对于任意实数
a
，关于
x
的方程
x2 axa2b0
都有实数根，则实数
b
的取
值范围是（ ）
2
1
1
C
b
≤

D
b
≤-1
8
2
2、如图，D、E分别是△ABC的边AB、B C上的点，且DE∥AC，已知S
△BDE
∶S
△CDE
=1∶3，则
S
△DOE
∶S
△AOC
的值为（ ）
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶9 D．1∶16
3、某校吴老师组 织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高
(如图所示)。已知电线杆直立 于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)
0
恰好落在水平地面和斜坡上 ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30，在C处测得电线杆
00
顶端A得仰角为45，斜坡与 地面成60角，CD=4m，则电线杆的高(AB)是（ ）
A
b
≤0 B
b
≤

A．
(443)
m B．
(434)
m C．
(623)
m D．12m
4、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运 动，以AE
为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个 单
位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点。
A． B．
5
3
142
C． D．
233

(第2题图) (第3题图) (第4题图)
5、如图，在反比例函数
y

2
的图象上有一动点A，连接AO 并延长交图象的另一支于
x
k
点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A 运动时，点C始终在函数
y
的图
x
象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6、如图，O是 等边三角形ABC内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB绕点B逆时针
00
旋 转60得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B可以由△COB绕点B逆时针旋转60得
到；②∠ AOB=150；③
S
四边形
AOBO'
633
；④
S
△AOB
S
△AOC
6
0
93
。其中正确的 是
4
（ ）
A.②③④ B.①②④ C.①④ D.①②③
第 1 页 共 6 页

A
O'
O
B

(第5题图) (第6题图)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7、已知方程组

8、一次函数
y
C


x2y4k
，且
1xy
，则
k
的取值范围是 。

2xy2k1
4
4
xb
与
yx 1
的图象之间的距离等于3，则
b
的值是 。
3
3
0
9、如图，△ABC中，∠ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发， 以2cms的速度沿
AB移动到B，则点P出发 s时，△BCP为等腰三角形。
2xm
10、已知关于
x
的方程
3
的解为正数，则
m
的取值范围 。
x2
11、如图，AC⊥BC于点C，BC=4，AB=5，⊙O与直线AB、 BC、CA都相切，则⊙O的半径
等于 。
12、如图，在平面直角坐标系 中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A
1
BO
1
的位置，使点A
3
x
上，再将△A
1
BO
1
绕点A
1
顺时针 旋转到△A
1
B
1
O
2
的位置，使点
3
3
O
1
的对应点O
2
落在直线
yx
上，依次进行下 去…，若点A的坐标是(0,1)，点B的坐
3
的对应点A
1
落在直线
y
标是(
3
,1)，则点A
8
的横坐标是 。
A
O
C

(第9题图) (第11题图) (第12题图)
B



三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
0
13、(本题共12分) 如图，在△ABC中，∠C=90，以AB上一点O为圆心，OA 长为半径
的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。
(1)若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；


第 2 页 共 6 页

(2)连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边 形OFDE的形状，并
说明理由。
C
E
D
A
OFB


14、(本题共14分) (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E
0
是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60(如图①)，求证：EB=AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不
变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；
EB
00
(3)若将(1)中 的“若∠A=60”改为“若∠A=90”，其它条件不变，则的值是多少？
AD
(直接写出结 论，不要求写解答过程)


2
15、(本题共14分)在平面直角坐标系 中，抛物线y=ax-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点，
交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2 。
(1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PA D的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果
有，求出W的最大值和此时t的 值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相 似？如果存在，求点
P的坐标；如果不存在，请说明理由。


第 3 页 共 6 页

2017年自主招生数学试题参考答案
一、选择题（ 本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是正确的）
1、C 2、D 3、A 4、A 5、D 6、B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1
＜
k
＜1； 8、-4或6； 9、2或2.5或1.4；
2
10、
m
＞-6且
m
≠-4； 11、2； 12、
636
。

三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13、解：（1）连接OD，设⊙O的半径为r，∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC，
7、
∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴
∴⊙O的半径为；
，即，解得r=，
（2）四边形OFDE是菱形，
∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF=∠B，
∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB，
∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90 °，∴∠DOB=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=60°，
∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形，∴OD=DE，∵OD=OF，∴DE=OF，
∴四边形OFDE是平行四边形，∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形。


14、(1)证明：作DF∥BC交AC于F，如图1所示：
则∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，
0
∵△ABC是等腰三角形,∠A=60，
0
∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60，
00
∴∠DBE=120,∠ADF=∠AFD=60=∠A，
0
∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120，∴AD=DF，
∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，
在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，
0
∠DBE=∠DFC=120，ED=CD，
∴△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，∴EB=AD；
(2)EB=AD成立；理由如下：
作DF∥BC交AC的延长线于F，如图2所示：
同(1)得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，
0
又∵∠DBE=∠DFC=60，
∴在△DBE和△CFD中,由∠DEC=∠FDC，∠DBE=∠DFC，ED=CD，
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF，∴EB=AD；
第 4 页 共 6 页

EB
=
2
；理由如下：
AD
作DF∥BC交AC于F，如图3所示：
同(1)得：△DBE≌△CFD(AAS)，∴EB=DF，
∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC，
∴△ADF是等腰直角三角形，
(3)
∴DF=
2
AD，∴

15、解：（1）∵抛物线
∴
∴
，∴
；
时，W有最大值，
交x轴于A、B两点，
， ∴
轴于M，则
，

，

∴
探究二：存在，分三种情况：
①当
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
此时
∴
，又因为
，∴
第 5 页 共 6 页
DF
EB
=
2
，∴=
2
.
AD
AD
的对称轴为直线
， ∴，
，
（2）探究一：当
∵抛物线
交y轴于点C，
∴
当
∵
∵
时，作
， ∴
，
，
∴当
时，作轴于E，则

时，W有最大值，，
，
，

轴，轴， ∴
，

，，
，
，∴，
，

∴当时，存在点P
1
，使，
此时P
1
点的坐标为（0，2）；
②当
∴
∴
③当
的距离，∵
与
时，则
，∵
， ∴
，∴，
，
不相似，此时点P
2
不存在；
时，以AD为直径作，则
，∴
的半径，圆心O
1
到y轴
， 与y轴相离，不存在点P
3
，使
使与相似。 ∴综上所述，只存在一点


第 6 页 共 6 页