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历年考研数学真题及答案


【篇一：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】

ss=txt>（经典珍藏版）

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中
横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平

面图形的面积是_____________.

1?x

(3)与两直线y??1?t

z?2?t

及

x?1y?1?2z?1

1?1

都平行且过原点的平面方程为

_____________.

(4)设

l

为取正向的圆周x2

?y2

?9,则曲线积分

??

l

(2xy?2y)dx?(x2?4x)dy= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim1x2

x?0bx?sinx?0

?1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?

f(x,xy),v?g(x?xy),

求

?u?x,?v?x

. (2)设矩阵

a

和

b

满足关系式

ab=a?2b,

其中

??301?

a??110?,求矩阵b.

?4??01??

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选 择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四
个选项中,只有一个符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号
内) (1)设lim

f(x)?f(a)

x?a

(x?a)

2

??1,则在x?a处 (a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)f(x)取

得极大值

(c)f(x)取得极小值 (d)f(x)的导数不存在 (2)设f(x)

为已知连续函数s

,i?t?

t0

f(tx)dx,其中t?0,s?0,

则i的值

(a)依赖于s和t (b)依赖于s、

t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于s,不依赖于t

(3)设常数?

k?0,则级数?(?1)nk?nn

2

n?1(a)发散(b)绝对收敛

(c)条件收敛(d)散敛性与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a*

是a的伴

随矩阵，则|a*|等于

(a)a (b)1a

(c)an?1

(d)an

六、（本题满分10分）

求幂级数??

1n?1n?1

n?2nx的收敛域，并求其和函数.

七、（本题满分10分） 求曲面积分

i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?

其中?

是由曲线f(x)??

?z?1?y?3?

绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.

2x?0??

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0 ,1]上的每一个x,函数f(x)的
值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1 )内有且仅有一个x,使得
f(x)?x.

九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组


x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2 x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?
ax4??1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横
线上)

( 1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则
a至少发生一次的概率为___ _________;而事件a至多发生一次的概
率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个
白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1

个球放到

第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为
____________ .已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一

个箱子中取出的球是白球的概率为 ____________. (3)已知连续随机
变量x

的概率密度函数为f(x)?

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx(x)?

?x

2

?2x?1

,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

1

0?x?1其它

,

?yy?0,求zfy(y)?

y?00

?2x?y

的概率密度函数.

【篇二：历年考研数学一真题及答案(1987-2014)】


ass=txt>数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答

案填在题中横线上)

二、(本题满分8分)

(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值. (2)由曲线
y?ln x与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是
_____________.

1?x

x12

求正的常数a与b,使等式lim?1成立. x?0bx?sinx?0

(5)已知三维向量空间的基底为

坐标是_____________.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?

?u?v,. ?x?x

f(x,xy),v?g(x?xy),

(3)与两直线y??1?t

z?2?t

求

及

x?1y?2z?1

??111

都平行且过原点的平面方程为

_____________.(4)设

l

(2)设矩阵

?3

a???1

??0

11

a

和

b

满足关系式

ab=a?2b,

其中

l

为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

2

1?

?求矩阵0b. ?,?4?

??(2xy?2y)dx?(x

?4x)dy= _____________.

第 1 页 共 1 页

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选 择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四
个选项中,只有一个符合题目要求,把 所选项前的字母填在题后的括号
内) (1)设lim

x?a

t和x

(c)依赖于t、x,不依赖于s (d)依赖于

s,不依赖于t

(3)设常数k?0,则级数?(?1)nk?2n

n?1

?

n

(a)发散(b)绝对收敛

(c)条件收敛(d)散敛性

f(x)?f(a)

??1,则在x?a处 2

(x?a)

f(x)

(a)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (b)得极大值

(c)f(x)取得极小值 (d)导数不存在

(2)设f(x)为已知连续函数,i?t?

i

st0

取与k的取值有关

(4)设a为n阶方阵，且a的行列式|a|?a?0,而a是a的伴

*

f(x)

(a)a (b)1

a

f(tx)dx,其中t?0,s?0,则(c)a (d)a

n?1

n

的值

(a)依赖于s和t (b)依赖于s、

六、（本题满分10分）

第 2 页 共 2 页

求幂级数?

七、（本题满分10分）

??z?1?y?3其中?

是由曲线f(x)??绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的
夹角恒大于?.

2x?0??

1n?1的收敛域，并求其和函数. xn

2n?1n?

?

求曲面积分

i???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?

八、（本题满分10分）

设函数f( x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的
值都在开区间(0,1 )内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得
f(x)?x.

九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组


x1?x2 ?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??

1

第 3 页 共 3 页

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横
线上)

( 1)设在一次实验中,事件a发生的概率为p,现进行n次独立试验,则
a至少发生一次的概率为___ _________;而事件a至多发生一次的概
率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个
白球,4个红球.现从第1 个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,
再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为___ _________.
已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的
球是 白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量x

的概率密度函数为f(x)?

十一、（本题满分6分）

设随机变量x,y相互独立,其概率密度函数分别为

fx(x)?1

?x

2

?2x?1

,则x的数学期望为____________,x的方差为____________.

0?x?1其它

,fy(y)? y?0,求z?2x?y的概率密度函数.

?y

y?0

第 4 页 共 4 页

第 5 页 共 5 页

【篇三：历年考研数学一真题及答案(1987-2013)】

ss=txt>数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中
横线上)

(1)?=_____________.

(2)曲面x2?2y2?3z2?2 1在点(1,?2,?2)的法线方程为
_____________.

(3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.

?12

1?(4)已知方程组??23a?2???x1??1?x???3??1a?2 ???2无解,则
a

= ???????x3????0??

_____________.

(5)设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为

1

9

,a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等,则
p(a)=__________ ___.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四
个选项中,只有一个符合题目要求,把

所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设

f(x)

、

g(x)

是恒大于零的可导函数,且

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有

(a)f(x)g(b)?f(b)g(x)(b)f(x)g(a)?

f(a)g(x)(c)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(d)f(x)g(x)?

f(a)g(a)

(2)设s:x2?y2?z2?a2(z?0),s1为s在第一卦限中的部分,则有

(a)??xds?4s

??xds

s1

(b)??yds?4??xds

s

s1

(c)??zds?4??xds

s

s1

(d)??xyzds?4??xyzds

s

s1

(3)设级数??

un收敛,则必收敛的级数为

n?1

(a)??(?1)nun (b)??

u2nn?1

n

n?1

(c)??

(u2n?1?u2n)

n?1

(d)??

(un?un?1)

n?1

(a)e(x)?e(y)

(b)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

(c)e(x2)?e(y2) (d)e(x2)?[e(x)]2?e(y2)?[e(y)]2

三、(本题满分6分) 1求lim(2?ex

x??

4

?sinx).

1?ex

x

四、(本题满分5分) 设z?

f(xy,xy)?g(x

y

),其中f

具有二阶连续偏导数,g具

有二阶连续导数,求?2z

?x?y

.

五、(本题满分6分) 计算曲线积分i??

xdy?ydxl4x2?y2

,其中l是以点(1,0)为中

心,r为半径的圆周(r?1),取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面s,都

有??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函数

f(x)

在

s

(0,??)内具有连续的一阶导数,且xlim?0

?

f(x)?1,求f(x).

七、(本题满分6分)

求幂级数??

1xn

n?1

3n?(?2)n

n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.

八、(本题满分7分)

设有一半径为r的球体,p0是此球的表面上的一个定点,球体上任 一
点的密度与该点到p0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重
心位置.

九、(本题满分6分) 设

函

数

f(x)

在

[0,?]

上连续,且

?

?

?

f(x)dx?0,?0

f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两

个不同的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(本题满分6分)

??1000?000? 设矩阵

a

的伴随矩阵a*??

1??

10

10??,且

?0?3

08??

aba?1?ba?1?3e,其中e为4阶单位矩阵,求矩阵b.

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后
将16

熟练工支援其他生产部门,其缺额

由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考
核有25

成为熟练工.设第n年1月份统计的

熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向量

??xn?y??

. ?n(1)求??xn?1?与

??xn?的关系式并写成矩阵形

?y?n?1?

?y?n?

式:?

?xn?1??xn?y??a??

?. n?1??yn?

?1?

?是a的两个线性无关的特征

向量,并求出相应的特征值.

?1?

(3)当??x1??2?

时,求??y????

?xn?1??. 1???1?

?yn?1??2??

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合 格与否相
对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时
已生产了的产品 个数为

x

,求x的数学期望e(x)和方差d(x).

十三、(本题满分6分) 设某种元件的使用寿命

x

的概率密度为

?2e?2(x??)x??

f(x;?)??

x???0x1,x2,

,其中

??0

为未知参数.又设

,xn是x的一组样本观测值,求参数?的最大似然估

计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.

把答案填在题中横线上)

(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐
次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)

r?x2?y2?z2

,

则

div(gradr)

(1,?2,2)

=

_____________.

(3)交换二次积分的积分次序:?01?y

?1dy?2f(x,y)dx＝_____________. (4)设a2

?a?4e?o,则(a?2e)

?1

= _____________.

(5)

d(x)?2

,则根据车贝晓夫不等式有估计

p{x?e(x)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.

每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母
填在题后的括号内) (1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右

图所示,则y?

f?(x)的图形为

(a)

(b)

(c)