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2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题

一．选择题（每小题5分，共40分）
1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）
A．
2

3


B．
8


3
3

2
2
2
2
2
侧（左）视
俯视图

2
C．
4


23


D．
2


3

3

正（主）视
2.已知A（
x
1
，
y
1
），B（
x2
，
y
2
）是反比例函数
y
的两点，满足
y
1
y
2

1
在平面直角坐标系
xOy
的 第一象限上图象
x
75
，
x
2
x
1
< br>. 则
S
AOB

（ ）
23
10111213
A．
2
B.
2
C.
2
D.
2

11121314
3.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数
值. 则这2 015个整数之和为（ ）
A．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008
3.设2 015个整数为
x
1< br>，
x
2
，…，
x
2015
.记
x
1
+
x
2
+…+
x
2015
=M.不妨设M-
x
i
=
i
（
i
=1，2，…，
2014），M-
x
2015
=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A除以2014的余 数为1007.从而，A=1007，
M=1008.当
x
i
=1008-< br>i
（
i
=1，2，…，2014），
5
x
102=1时取到.

4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4 个，则取出的球的编号互不相
同的概率为 ( )
5
A. . B.
2
. C.
1
D.
8

21
73
21
5. 使得
381
是完全平方数的正整数
n
有 （ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

6.如图，已知AB为⊙O的直径，C 为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，
以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P, Q两点，弦PQ交CD于E，则PE

EQ
的值是（ ）

A．24 B. 9 C. 36 D. 27

1
n

7.已知实系数一元二次方程x+(1+ a)x+a+b+1=0的两实根为x
1
,x
2
,且0 ＜x
1
＜1，x
2
＞1，则
取值范围（ ）
A -1＜
2
b
的
a
b1b1b1b1

B -1＜＜

C -2＜

D -2＜＜


a2a2a2a2
8. 图中正方形ABCD边长为2，从各边 往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形
AFGD的周长为 ( )
A.4+2
6
+2
2
B. 2+2
6
+2
2
C. 4+2
3
+4
2
D．4+2
3
+4
2

二．填空题（每小题6分，共36分）
9.设由1～8的自然数写成的数列为
a1
，
a
2
，…，
a
8
.则
a
1
a
2
+
a
2
a
3
+
a3
a
4
+
a
4
a
5
+
a
5
a
6
+
a
6
a
7
+
a
7
a
8
+
a
8
a
1
的最 大值
为 .

10.记

x
表示不超过实数x的最大整数，a
k
=

2014

(k=1,2,
,
100,则在这100个整数中，不同的

< br>k


整数的个数为
2
1 1.设非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则t=
9x
2
+
4y< br>+
1z
2
的最小
值为
12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠
B
OC = 30º，以OA，
OB，OC为直径画3个圆，两两的交点为 M，N，P，则阴影部分的曲边三
角形的面积是 ．
13. 将一个
44
棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两
个黑色方格，则
有 不同的染法.（用数字作答）
14.圆
O
的半径为1，
P
为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线
所示，正方 形的顶点
A
与点
P
重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点
A
第一次回到点
P
的位置，则点
A
走过的路径的长度为_______ _______．

三．解答题
13x2
1
15. （本题10分）解方程
1
2x1
1

1

1

x



D
D
C
A
(P)
A
B
C
1
圆弧上一
4
AR
点，且PB＞PD，点Q在线段PB上，PQ=PD，AQ与DP交于点R，求的值
RQ
16. （本题12分）在正方形ABCD中，P是以C为圆心，CB为半径的








2
A
P
D
R
Q
B
C

17.（本题12分）对参加 数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪
名选手站出来统计本 校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学
校参加竞赛的选手最多有 多少名？














18．已知抛物线C：
y
1
2
x
与直线l：
ykx1
没有公共点，设点P为直线l上的动点 ，过P作
2
抛物线C的两条切线，A，B为切点．
(1)证明：直线AB恒过定点Q；
(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：

PM
PN

QM
QN
．

3