团结协作-受益匪浅的意思

新博士教育高二数学摸底试卷

姓名： 得分：
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分 ，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
77y
C
11
C
11
1．若
C
x
，则
x,y的值分别是 （ ）
A．
x12,y6
B．
x11,y7
C．
x11,y6
D．
x12,y7

2．已知直线m平面

，直线
n平面

，给出下列四个命题：



①若



，则
mn
；
③若
mn
，则



；
②若



，则
mn
；
④若
mn
，则



.
（ ） 其中正确的命题有
A．③④ B．①③ C．②④ D．①②
3．5个人排成一排，若A、B、C三人左右顺序一定（不一定相邻），那么不同排法有（ ）

5
A．
A
5

33
A
3
B．
A
3

5
C．
A
5

3
A
3
3
D．
A
3

4．某校高 三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5
位，若采用抽签 的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号
相连），而二班的2位同学 没有被排在一起的概率为
A．
（ ）
1

10
B．
1

20
C．
1

40
D．
1

120
5．一颗骰子的六个面上分别标有数字 1、2、3、4、5、6，若以连续掷两次骰子分别得到的
点数m、n作为P点坐标，则点P落 在圆
x
2
y
2
16
内的概率为
A．
1

9
（ ）
B．
2

9
C．
1

3
D．
4

9
6．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球． A
1
表示第一次摸得白球，A
2

表示第二次摸得白球，则A
1
与A
2
是
C．对立事件
（ ）
A．互斥事件 B．独立事件 D．不独立事件
7．从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号、2
号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有
A．144种 B．180种 C．240种 D．300种
（ ）
（ ）
8．在（
x1

3
）
8
的展开式中常数项是
2
x
文档

A．－28 B．－7 C．7 D．28
9．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P
1
，乙解决 这个问题的概率是
P
2
，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是
A．P
1
+P
2
B． P
1
·P
2
C．1－P
1
·P
2
（ ）
D．1－(1－ P
1
) (1－ P
2
)
10．袋中有6个白球，4个红球，球的大小相同，则甲从袋中取1个是白球，放入袋中，乙
再取1个是红球的概率为
A．
2

45
B．
4

15
（ ）
C．
8

25
D．
6

25
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：
本大题共4小题，每小题6分，共24分。将正确答案填在题中横线上
11．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二，四位置，那么不同的出场安排共有
________ __________种（用数字作答）．
12．已知斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，侧面
BB
1
C
1
C
的面积为S，侧棱
AA
1
与侧面
BB
1
C
1
C
的距离
为d，则斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的体积V=______________．
13．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F－V= ．
9

14．已知

a

x

的展开式中，
x
3
的系数为，则常数
a
的值为_________ _________．

x
4
2


9
三、解答题：
本大题共6小题，满分76分．
15．（本题满分12分）第17届世界杯足球赛小组赛在4支球队中进行.赛前，巴西队、士
耳其队、中国队等8支球队抽签分组，求中国队与巴西队被分在同一组的概率．



16．（本题满分12分）如图，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M、N 分别是AB、PC的中点，
（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：MN⊥AB；
（3）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为

，
试确定

的值，使得直线MN是异面直线AB
与PC的公垂线．




文档

17．（本题满分12分）某 单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5
（相互独立）．
（1）求至少3人同时上网的概率；
（2）至少几人同时上网的概率小于0.3？



18．（本小题满分12分）某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，
于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？



19．（本题满分12分）已知
(13x)
n
的展开式中，末三项的二项式系数的和 等于121，求展开式中
二项式系数的最大的项及系数最大项.


20． （本小题满分12分）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
AB3，AA
1
4
，M为
AA
1 的
中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱
CC
1
到M的最短 路线长为
29
，设这条最
短路线与
CC
1
的交点为N.求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2）PC和NC的长；
（3）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
（用反三角函数表示）.





文档

高二数学测试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
答案
1
A
2
B
3
C
4
B
5
B
6
D
7
C
8
C
9
D
10
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．252 12．
dS
13． 4 14．4
1
2
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．(12分) 解一：记事件A为“中国队与巴西队被分在同一小组”，则事件A的对立事件;A为
“中
国队与巴西队被分在两个小组”. 8支球队分为两组共有
C
8
4
种方法，即基本事件总数为
C
8
4
，
13< br>C
6
种可能，
P(A)
C
2
1
C
6
3
其中中国队与巴西队被分在两个小组有
C
2
C
8
4

4

7
根据对立事件的概率加法公式
P(A)1P(A)1
4

3

77
解 二：设巴西队已被分在某组，中国队此时面临7种可能位置，其中与巴西同组的位置有3种，
故两队同组 的概率为
3
.
7
答：中国队与巴西队被分在同一组的概率为
3
.
7
16．(12分) 证明： （1）取PD中点E，连接NE、AE，则四边形MNEA是平 行四边形，所以
MNAE，所以MN平面PAD
（2）连接AC、BD交于O，连接OM、O N，因为ONPA，所以ON⊥平面ABCD，因为OM⊥
AB，由三垂线定理知，MN⊥AB；
（3）∵PA⊥面AC，AD是PD在面AC内的射影，CD⊥AD ∴CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P- CD-B
的平面角θ.当θ=45°时，AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥面PCD ∵MN∥AE ∴MN⊥面PCD，
∵PC

面PCD， ∴MN⊥PC，又由（2）知MN⊥AB，∴MN是AB与PC的公垂线.
17．(12分) 解：每个人上网的概率为0.5，作为对立事件，每个人不上网的概率也为0.5，


在6个人需上网的条件下，r个人同时上网这个事件（记为Ar）的概率为：
r
r
1
C
r
式中r=0,1,2,…,6
0.5
r

(10.5)
6r
=
C
6
0.5
6
=
64
P(Ar)=
C
6
6
第（1）问的解法一 应用上述记号，至少3人同时上网即为事件A
3
+A
4
+A
5
+A
6
，因为A
3
、
A
4
、A
5
、A
6
为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得至 少3人同时上网的概率为
P=P(A
3
+A
4
+A
5
+A
6
)= P(A
3
)+P(A
4
)+P(A
5
)+P(A
6
)
1
(
C
3

C
4

C
5

C
6
)=
1
(20+15+6+1)=
21
=
64
6666
64
32
文档

解法二 “至少3人同时上网”的对立事件是“至多2人同时上网”，即事件A
0
+A
1
+A
2
，因为
A
0
，A
1
，A
2
是彼此互斥的事件，所以至少3人同时上网的概率为
1
(
C
0

C
1

C
2
)=1－< br>1
(1+6+15)=
21
P=1－P（A
0
+A
1
+A
2
）=1－[P(A
0
)+P(A
1
)+P (A
2
)]=1－
64
666
64
32
第（2）问 的解法：记“至少r个人同时上网”为事件Br，则Br的概率P(Br)随r的增加而减
1
< 0.3， 少，依题意是求满足P(Br)<0.3的整数r的值，因为P(B
6
)=P(A< br>6
)=
64
1
(
C
5

C
6
)=
7
<0.3 P(B
5
)=P(A
5
+A
6
)= P(A
5)+P(A
6
)=
64
66
64
1
(
C
4

C
5

C
6
)=
1
(15+6+1)=
11
>0.3 P(B
4
)=P(A
4
+A
5
+A
6
)= P(A
4
)+P(A
5
)+P(A
6
)=
64666
64
32
因为至少4人同时上网的概率大于0.3，所以至少5人同时上网 的概率小于0.3．

18．(12分) 解：5把钥匙，逐把试开有
A
5
5
种等可能的结果．
A4
4
（1）第三次打开房门的结果有
A
种，因此恰好第三次打开房门的概 率P(A)=
A
5
=
1
．
5
5
4
4
3
A
4
4
3
． （2）三次内打开房门的结果有3
A
种，因此所求概率P(A)=
A
5
=
5
5
4
4
2
（3）解法一 因5把内有2把房门钥匙 ，故三次内打不开的结果有
A
3
3
·
A
2
种，从而 三次内
32
打开的结果有
A
5
5
—
A
3< br>·
A
2
种，所求概率P(A)=
-
A
5
5< br>A
3

A
2
32
A
5
5
9
． =
10

13
1
解法二 三次内打开的结果包 括：三次内恰有一次打开的结果有
C
1
2
A
3
A
2
A
3
种；
1
2
323
13
三次内恰有2 次打开的结果有
A
3
A
3
种，因此，三次内找开的结果有
C
2
A
1
3
A
2
A
3
+
A
3
A
3
，所求概率
11
3

2
3
C
1
2
A
3
A
2
A
3
A
3
A
3
P(A)==
9
．
A
5
5
10
2
2
19．（14分）解：末三项的二项式系数分别为：
C
n
，
C
n
，
C
n
，由题设得：
C
n
n
2
+
C
n
n
1
+C
n
=121
n
n
n
n





即
C
2
n
+
C
1
n
+
C
0
n
=121,∴n
2
+n－24 0=0 ∴n=15 (n=－16) (n=－16舍去)
当n=15时，二项式系数最大的为中间项第8、9项. 分别为C
∵展开式通项T
r+1
= C
rr
－
1
C
3≥
C
3
r
r 1
7
15
3
7
x
7
与C
8
15< br>3
8
x
8

r
15
(3x)= C
r
r
15
3
r
· x
r
设T
r+1
项系数最大，则有
15
r
15
r1
r+1 r
3≥
C
15
3
C
15
解得11≤r≤12,∴展开式中系数最大的项为T
12
= C

11
15
3x，T
13
= C
1111
12
15
3
12
x
12


20．(14分) 解：（1）正三棱柱ABC—A
1
B
1C
1
的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角
线的长为
92
4
2
97

（2）如图1，将侧面BB
1
C
1
C绕棱CC
1
旋转120°使其与侧面AA
1
C1
C在同一平面上，点P运动到
文档

A
1
B
1
M
C
1
N

点P
1
的位置，连结 MP
1
，则MP
1
就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC
1
到点 M的最短路线. 设
PC=x，则P
1
C=x
2
2
在RtMAP
1
中，由勾股定理得：

3x

2 29

解得：
x2

PCPC2

1
4


NC

P
1
C

2

NC

MAP
1
A5
5
（3）如图2，连 接
PP
1
，则
PP
1
就是平面NMP与平面ABC的交线.
作
NHPP
1
于H，又
CC
1
⊥平面ABC，连结CH
由三垂线定理得：
CHPP
1

∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）
在
RtPH C
中，
PCH
1
PCP
1
60

2

CH
1
PC1
在
Rt NCH
中，
tanNHC
NC

5

4

2
CH15
4
B
1
M
N
A
P
B
图2
C
P
1
A
1
C
1
H
故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为
arctan
4

5

文档