开封大学分数线-天津职称英语考试报名

绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学试题
本套试卷分试 题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120
分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑 色墨水钢笔填写
在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；
2．选择题每小题选 出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答 案标号，答在试题卷上无效；
3．非选择题（主观题）用0．5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔 直接答在答题卷上每题对
应的位置上，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0．5毫米黑色签字笔 ；
4．考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交．

第一卷 （选择题，共36分）
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四 个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
（A）
aaa
（B）
(xy)
2
x
2
y
2
（C）
(a
3
b)
2
a
6
b
2
（D）
a
2
a
3
a(a0)

236
2．方程组


|x1|4

x2x3
2
的解是（ ）
（A）－1 （B）3 （C）－1或3 （D）－5或3
3．如右图所示，图①表示正六棱柱形状的高大建 筑物，图②中的阴影部分表示该建筑物的俯视
图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域 均不含边界），若小明想同时看到该建
筑物的三个侧面，他应在（ ）
（A）P区域 （B）Q区域
（C）M区域 （D）N区域
N
4．小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段
P
M
时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像
Q
是（ ）
距学校的距离距学校的距离距学校的距离距学校的距离
①
第3题图
②

5．南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第1 页 共 12 页 O
（A）
时间
O
（B）
时间
O
（C）
时间
O
（D）
时间

的选举，已知候选人D得票比B得票多，候 选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、
C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票 数由高到低的次序排列,他们依次为（ ）
（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C
6．南山中学 数学建模小组的同学们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：
1111

，
12151012
他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数．若x、y、2 （x、y均为正整数）是一组
调和数，则x、y的值（ ）
（A）有一组 （B）有两组 （C）有三组 （D）有无数组
7．如下图所示，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC， DF⊥AC，
垂足分别为E、F，当线段EF最小时，
cosEFD
的值等于（ ）
（A）
343
7
（B） （C） （D）
554
4
B
D
EE
D
F
C
A

8．如上图所示，在正方 形ABCD中，点E、F分别在边BC
、
CD上，且使得△AEF为等边三角
形，则△ AEF与梯形ABCF的面积之比为（ ）
（A）
31
（B）
F
C
第7题图
A
第8题图
B
2
3< br> （C） （D）
423

3
2
1
在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论：
x
2
9．已知函数
yx
，
yx
和
y
1
aa
2
，那么
0a1
；
a
1
2
②如果
aa
，那么
a1
；
a
1
2
③如果
aa
，那么
1a0
；
a
1
2
④如果
aa
时，那么
a1< br>．
a
①如果
则其中正确结论的序号为（ ）
（A）①④ （B）②③ （C）①②③ （D）①②④
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第2 页 共 12 页

y=x
2
y
y=x
y=
O
1
x
x
入口
第9题图

1
234
第10题图
56

10．上右图为一个污水净化塔 内部，污水从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，
流向如图中箭头所示，每一次水流流 经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个
出口中的一个．下列判断：
①六个出口的出水量相同；
②2号出口的出水量与5号出口的出水量相同；
③1，2，3号出水口的出水量之比约为1∶5∶10；
④若净化材枓损耗的速度与流经其表 面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时
间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的 16倍．
其中，正确的判断个数是（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
11 ．如下图所示，在Rt△ABC中，∠A=2∠B，CD为∠C的内角平分线，若AD=2，则CD等于
（ ）
（A）
23
（B）
3
（C）
26
（D）
6

C
A
E
D
B
D
第11题图
A

B
O
第12题图
C

12．如上图所示，点A、D在以BC 为直径的半圆上，D是弧
AC
的中点，AC与BD交于点E．若
AE=3，CD=25
，则BC等于（ ）
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第3 页 共 12 页

第二卷 （非选择题，共114分）
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13．按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否>10”为一次操作．若操作进行三次才停止，则x的取值范围是___________．
输入
x
×3-
2
＞10
否
是
停止
第13题图

1 4．如下图所示，直线l
1
、l
2
、l
3
、l
4< br>及m
1
、m
2
、m
3
、m
4
分别平 行，且
S
四边形ABCD
=100,
S
四边形EFGH
2 0
，
则
S
四边形PQRS
=
__________． l
1
A
P
E
Q
B
第14题图
F
H
G
R
C
S
l
2
l
3
l
4
D
m
4
m
3
m
2
m
1

15．如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆 形，使之恰好围成一个
圆锥，则圆锥的高为________________．
16．小明 每天下午5点放学回家时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家．有一天，学校提
前1小时放学，小 明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家．则
小明步行______ ________分钟遇到来接他的爸爸．
17．已知关于x的一元二次方程
x
2< br>a
2
2a2x(m1)0
对任意的实数a均有实数根，
则实数m的取值范围是____________．
18．如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、 BD交于点O，已知
DAC60
，边CD上有一
点S，满足
第15题图
DSAD

．线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM．给出以下 结论：
SCAC
L
①SMBD与SMCL等价；
CMAC

，则点L在AD的延长线上；
MOAO
SM1

，则AD=DL； ③若
CL3
②若④若
D
S
M
O
C
S
SCM
k，则方程
x
2
3kx10
无等根．
S
BCM
A
B
第18题图
其中，正确的结论有____________（填所有正确 结论的序号）．
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第4 页 共 12 页

三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明 过程或演算步骤）
19．（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题：
（1 ）计算：
()
1
|sin301|(1)
106
3
8(2014

)
0
；
1
3
2014
2
120132014
2
20142

（ 2）计算：．
2014
2
4028+120152016

20 ．（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺．每个店铺在同一段时间内都
能售出A 、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润
分别为30元和4 0元，乙店铺获利润分别为27元和36元．某日，唐老板进A款式服装35件，
B款式服装25件，怎 样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的
前提下，唐老板获取的总利 润最大？最大总利润是多少？

21．（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别 标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、
“山”的六个小球，除汉字不同之外，小球没有任 何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（Ⅰ）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；
（Ⅱ）从中任取一球，不放回 ，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字
恰能组成 “经典”或“南山”的概率P
1
；
（Ⅲ）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然 后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字
恰能组成 “经典”或“南山”的概率为P
2，指出P
1
，P
2
的大小，并证明你的结论．

22 ．（本小题满分12分）如右图所示，已知点A（4，0），点B
y
在y轴上，经过A、B两点 的直线与反比例函数
y
k
(k1)
在
x
D
A
C
O
B
x
第四象限的图像只有一个公共点．又一次函数
y x2k
的图像
与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最
小时 ，求k的值及面积的最小值．

23．（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标 系xOy
中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，
6）， C（4，4），D（6，4），E（6，0）．已知直线l经过点M，分别与
边OA、DE相交，且将多 边形OABCDE分成面积相等的两部分．
（Ⅰ）若点
M(0,
第22题图
y
A
B
C
D
11
)
，求直线l的函数表达式； < br>3
（Ⅱ）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE
分成面积相 等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由．

O
第23题图
E
x
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第5 页 共 12 页

24．（本小题满分12分）如下图所示，
O
1
与
O
2
外切于点O，直线l分别与
O
1
、
O
2
外切
于点A、B，分别与x轴、y轴交于点
M(23,0)
、
C( 0,2)
．
（Ⅰ）求
O
1
的半径长；
（Ⅱ）在直线l上 找一点P，使得
MO
1
P
与
MOB
相似，并求出点P的 坐标．











l
A
y
C
B
O
1
O
O
2
M
x
第24题图
25．（本小题满分14分）如下图所 示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数
y
1
2
x
的图< br>4
像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O
的对称点N，且与y轴垂直．过点A作l的垂线，垂足为E．
（Ⅰ）当A点的横坐标是－1时，证明AM=AE；
（Ⅱ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求
OCODACBD
的值；
（Ⅲ）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，
并证明你的结论．
y
D
M
A
O
E



B
C
x
l

N
第25题图

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绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试
数学参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一个
符合题目的要求）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
C B B C D B A D A C D C
1．C．显然
(a
3
b)
2
a
6
b
2
正确，故选择C ．

|x1|4

x14或x14

x 5或x3
2．B．

2




x 3
，故选择B．

x1或x3

x2x3

(x3)(x1)0
3．B．显然P、N区域只能给看到一面，M区域只能看到两面，Q 区域可以看到三面，故选择B．
4．C．开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减． 途中因交通堵塞停留了一
段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线， 故选择C．

db

5．D
．
用a、b、c、d依次表 示A、B、C、D的得票，由条件可得

abcd
，于是

acbd

(bdc)bcd,bc
，
ab(b da)d,ad
，于是
ad>bc
，故选择D．
2
2 112y
6．B．由已知得
x
．当y=1时，
x
（舍去） ；当y=2时，
x2
；当y=3
3
yx24y
时，
x 6
，所以x、y的值有两组，故选择B．
7．A．由
EFCD
，于是当CD与AB垂直时，EF最小．
3
此时
EFDCDFBDEBAC
，于是
cosEFDcosBA C
，故选择A．
5
8．D．令
BEx
，则
AEAF EF1x
2
,DFx,CFCE1x(0x1)
．
由
EFCFCE
得：
1x
2
2(1x)
2
,x23
．
222
3
(1x
2
)
SAEF
于是

4
423
，故选择D．
2x< br>S
梯形ABCF
2
11
22
9．A．由图像知，当
0 a1
时，
aa
成立，当
a1
时，
aa
，当
1a0
aa
1
1
2
2
时，
a a
，当
a1
时，
aa
，故选择A．
a
a
15101051
,,,,,
，10．C．若进水量为1，则从左到右的六个出水 口的出水量依次为：
323232323232
于是②③正确．水流量最大与最小的三角形分别 是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三
角形，流经最上面的三角形的水量为1，而流经第五排最 左（或最右）的三角形的水量为
1
，
16
于是④正确．故选择C．
11．D．如图，令AB边的高线为CF，在CB上作一点E，使得CA=CE，联结DE，则△CAD≌
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第7 页 共 12 页

△CED，所以
CEDCAD2B,BDEB,BEDEA D2
．
过E作EG⊥BD交BD于G，由
ABC30
得EG=1，
于是
BGGD3,
AB223,CA13
．
EBG
DF
第11题图
A
C
在△ACF中可得
CF331333
，
FD
．
,AF
222
在 △CDF中可得
CDCF
2
DF
2
6
，故选择D．
12．C．如图，延长BA、CD交于点F．由条件可得BD是等腰△BCF的角
平分线，可得
CDADDE25
．由
CDE
∽
CAF
得 A
E
B
O
第12题图
C
F
D
CECD CE25
,CE5,
AFCF
2
CA
2
 4
．
CFCA
45
CE3
BC
2
AB
2
CA
2
(BFAF)
2
CA
2
， < br>BC
2
(BC4)
2
8
2
,BC10，故选择C．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上）
13 14 15 16 17 18
题号
43
x2
60
15cm

50
m

①②③
34
13．第一次运行的结果为
3x2
，第二次运行的结果为
3(3x2)29x 8
，第三次运行的结

9x810
4
果为
3(9x 8)227x26
．由条件得

,x2
．

27x2610
3
14．由图可知：
S
四边形ABCD
=S四边形EFGH
2(S
四边形PQRS
20),S
四边形PQRS
60
．
15．圆锥底面周长
2
等于扇形的弧长，于是可得扇形 的半径等于4cm，于是圆锥的高为
答案
4
2
1
2
cm15cm
．
16．由已知得， 爸爸从接到他的位置A处开车到达学校B，则往返AB段开车用时为20分钟，
单程AB段开车用时10 分钟，于是小明步行了50分钟．
17．由条件得
a2a24(m1)0
对任意的实数a恒成立， 即
(a1)(4m3)0,4m30,m
18．设OS与AD交于点
L

．由
2
2
3
．
4
DSAD

知AS为
DAC
的角平分线．
S CAC
由
DAC60
及OA=OD，知
DAO
为正三角形， 有AD=AO．又由AS平分
DAC
，知
ASO
≌
ASD ASL

ASCASO
≌
ASC
．又
DAC 60
，则
ACL

为正三
角形，且S为其中心．
设BM与AD的延长线交于
L

．
注意到
SMBD< br>CMCSACACCM1BMBC1
2

MOSDADAO AM2ML

AL

2
DL

AD ACL

为正三角形
．
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第8 页 共 12 页

故
SMBD点L

与点L

重合点L 在AD的延长线上S为正ACL的中心

OSOM1SM1
SMCL,且
，因此①②③正确．
SLMC2C L3
SSSS
SCCMOCSCAC2
注意到
SCM

 SCM

OCD

OCB
k
，
S
BCM
S
OCD
S
OCB
S
BCM< br>CDOCCMCDACAD3

则方程
x3kx10
有等根1 ．
综上，正确的结论有①②③．
三．解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
1 9．（1）原式=
3|
2
1111
1|121321
．„„„„„„„„„„„„„„„8分
2222
a
2
1a1 a
2
a2

（2）令
a2014
，则原式

2

a2a+1a1a2
(a1)(a1)a1(a1)( a2)
1(a1)a2014
．„„„„„„„„„„„8分
2
(a1)a1a2
20．分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5≤x≤30），
则分配给甲B款式服装30－x件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
分配给乙店铺A款式服装35－x件，
分配给乙B款式服装[25－（30－x）]=x－5 件．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
甲店铺的利润为y
甲
，则有y
甲
30x40(30x)120010x
，„„„„„„„„„„„ 6分
乙店铺的利润为y
乙
，则有
y
乙
27(35x) 36(x5)9x765
，„„„„„„„„„„8分
于是总利润
y
总
y
甲
y
乙
(120010x)(9x765) x1965
．
由条件得
y
乙
9x765950
，解得
x20
5
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
9对于
y
总
x1965
随着x的增大而减小，要使y
总最大，则x必须最小．
又
x20
5
，故取x=21，即分配给甲店铺 A、B两种款式服装21件与9件，分配给乙店铺A、B
9
两种款式服装14件与16件．此时 ，既保证乙店铺获利润不小于950元，又保证了在此前提下，
唐老板获取的总利润最大，最大利润是< br>y
总
2119651944
元．„„„„„„„„„12分
21．（Ⅰ）任取一球，共有6种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率
P
（Ⅱ）由题 知树状图如下：
百
年 经 典 南 山
典
百 年 经 南 山
年
百 经 典 南 山
南
百 年 经 典 山
经
百 年 典 南 山
山
百 年 经 典 南
1
„„„„„3分
6
„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
42
共有30种不同取法，能满足要求的有4种，所以
P
．„„„„„„„„„„„ „7分

1
3015
（Ⅲ）P
1
>P
2
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
各种情况列表如下：

绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第9 页 共 12 页

典 南 山
典百 南百 山百
典年 南年 山年
经典 南经 山经
典典 南典 山典
典南 南南 南山
典出 南出 山山
41
一共有36种结果，满足要求的结果有4种，于是
P
2
，所以
P
1
>P
2
．„„„„„„12分
369
22．经过点A（4，0）的直线的函数表达式令为
ym(x4)(m0)，„„„„„„„„„1分

百
年
经
典
南
山
百
百百
百年
百经
百典
百南
百山
年
百年
年年
年经
年典
年南
年山
经
经百
经年
经经
经典
经南
经出
k


y
2
由

可得：
mx4mxk0
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
x


ym(x4)
因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，
于是
16m4mk0,k4m
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分
易得
C(2k,0),D(0,2k),B(0,k)
，可得
AC4 2k,BD3k
．„„„„„„„„„„7分
2
11
BDAC(3k)(42k)3k(k2)

2 2
3k
2
6k3(k1)
2
3(k1)
．„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
于是当
k1
时，
S
四边形ABCD
有最小值，最小值等于9．„„„„„„„„„„„„„„„12分 于是
S
四边形ABCD

23．（Ⅰ）如图1，延长BC交x轴于F，联 结OB、AF交于P，联结DF、CE交于Q．
易知P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心， 过P的直线将矩形OABF的面积平分，过Q的
直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形 OABCDE的面积平分．„„„„„2分
y
A
G
P
O
B
C
D
H
x
y
A
M
B
C
D
H
O
E
x
y
A
G
G
1
O
P
M
Q
FE
第23题解答图3
B
C
DH
1
H
x
Q
FE
第23题解答图1
第23题解 答图2
111
x
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
3 3
11111
显然
M(0,)
在
yx
上，且M不是G H的中点，
333
111
故直线l的函数表达式为
yx
．„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
33
1111
另解 如图2，令过
M(0,)
的直线的表达式为
ykx
，与DE交于点H，
33
11
则H的坐标为
(6,6k)
，„„„„„„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„1分
3
直线PQ的函数表达式为
y
绵 阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第10 页 共 12 页

1111
(6k)6
3
则
S
梯形OM HE

3
18k22
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
2
而
S
多边形OABCDE
642432
．„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
1111
由题意得
18k2 216,k
，于是直线l的表达式为
yx
．„„„„„„„5分 333
111
（Ⅱ）如图3，由（Ⅰ）知直由线l的函数表达式为
yx，
33
115
可得
G(0,),H(6,)
．„„„„„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
33
8
令M为GH的中点，则 M的坐标为
(3,)
，此即为满足条件的点M．„„„„„„„„„8分
3
证明如下：
另取一条过点
M(3,)
的直线分别与OA、DE交 于
G
1
、H
1
．
注意到线段
G
1
H
1
的中点也为
M(3,)
，
则
S
MGG< br>S
MHH
S
四边形OGHE
11
11
8
3
8
3
S
多边形AG
1
H
1
DCB< br>，故
G
1
H
1
也是满足条件的直线．„„„10分
8
3
由
G
1
H
1
的任意性，知满足条件的直线有无 数条．
故存在满足条件的点M，其坐标为
(3,)
．„„„„„„„„„„„„„„ „„„„„„12分
24．（Ⅰ）如图1，易知
tanAMO
2

令
2
23

3
,AMO
2
30
．„„„„„„„„„2分
3
O
1
与
O
2
的半径分别是R与r，则
P
MO
1
2R,MO
2
2r,由2RRr2r,得R3 r23
，故
O
1
的半径
R23
．„„5分
l
A
y
C
B
O
1
O
O
2
M
x
H
O
1
O
l
A
y
C(P)B
O
2
M
x
第24题解答图1
BO
2
M60,OO
2
B120,BOO
2
30O
2
MB
，
于是得
MOB
是等腰三角形，且
BOM30
．
若 存在满足条件的点P，则
MO
1
P30
或
MPO
1
30
．„„„„„„„„„„„„„7分
如图2，当
MO
1
P30
时，由
MO
1
C30
知，
点P 与点C重合，此时，
P(0,2)
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
当
MPO
1
30
时，作PH⊥x轴于点H，则Rt△PO1
A≌Rt△PO
1
H，
（Ⅱ）
绵阳南山中学(实验学校)2014年自主招生考试数学（试题卷） 第11 页 共 12 页


第24题解答图2

于是
O
1
HO
1
A23
，故点
P(43,6)
．
综上，所求点P的坐标是
P(0,2)
或
P(43,6)
．„ „„„„„„„„„„„„„„„„12分
115
），又M（0，1），于是
AE1
．„„„„„„„„1分 < br>444
1
2
95
222
在Rt△ACM中，
AMA CMC1(1)1
，
4164
5
于是
AMAE
，结论得证．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分
4
（Ⅱ） 令
A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B< br>)
，令直线AB的函数表达式为
ykx1
，
25．（Ⅰ）由已知 得A（－1，
1
2


yx
2
由
可得
x4kx40
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
4


ykx1
此方程之两根为A、B两点的横坐标
x
A
、x
B
，
且
x
A
x
B
4
，
x
A
x
B
4k
．„„„ „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分
又
OCODACBDyA
y
B
x
A
x
B

1
(x
A
x
B
)
2
x
A
x
B
145
．„8分
16
（Ⅲ）如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂 线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB
的中位线，由（Ⅱ）知
x
A
x
B
4
，
x
A
x
B
4k
，且
y
A
kx
A
1,y
B
kx
B< br>1
．
AEBF
(y
A
1)(y
B
1)

于是
PQ

22
yy
B
k( x
A
x
B
)

A
122(k
2
1)
．„„„„„„10分
22
在Rt△ACM中可得：
A
y
D
M
C
O
E
N
l
QF
第25题解答图
x
P
B
AMAC
2
MC
2x
A
2
(1y
A
)
2

x< br>A
kx
A
x
A
1k
，„„„„„11分
2
于是
ABAMBM1k(x
B
x
A
)
，
2222
2
同理，在Rt△BDM中可得：
BMx
B
1k
． „„„„„„„„„„„„„„„„12分
所以
AB(1 k)[(x
A
x
B
)4x
A
x
B
] (1k)(16k16),AB4(1k)
，„„„13分
所以
PQ

222222
1
AB,又PQl
， 于是以AB为直径的圆与直线l相切．„„„„„„„„„„14分
2
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