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2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
1
n
1
n
2
（1）样本数据
x
1
,x
2
,…,x
n
的方差
s


xi
x

，其中
x

x
i
． n
i1
n
i1
2
（2）直棱柱的侧面积
Sch< br>，其中
c
为底面周长，
h
为高．
（3）棱柱的体积
VSh
，其中
S
为底面积，
h
为高．
一、填空题：本大 题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位
．．．．．．
置上．
．．
1．已知集合
A{1,1,2,4}
，
B{1,0,2 }
，则
AB
▲ ．
2．函数
f(x)log
5
(2x1)
的单调增区间是 ▲ ．
3．设复数
z
满足
i(z1)32i
（< br>i
为虚数单位），则
z
的实部是 ▲ ．
4．根据如图所示 的伪代码，当输入
a,b
分别为2，3时，最后输出的
m
的值
为 ▲ ．
Read a，b
If a>b Then
m←a
Else
m←b
End If
Print m
5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是
▲ ．
6．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据 的方差
s

▲ ．
7．已知
tan(x< br>2

4
)2
，则
tanx
的值为 ▲ ．
tan2x
y

8．在平面直角坐标系
xOy
中，过坐 标原点的一条直线与
函数
f(x)
2
Q
两点，的图象交于
P
、则线段
PQ
长
x
的最小值是 ▲ ．
O


7



3
12
x

A0
，

是常数，9．函数
f(x)Asin(

x

)
（
A
，

，
2


0
）的部分图象如图所示，则
f(0)
的值是 ▲ ． < br>

2
10．已知
e
1
，
e
2
是夹角为

的两个单位向量，
ae
1
2e
2
，
bke
1
e
2
，若< br>ab0
，
3
1

则实数
k
的值为 ▲ ．
11．已知实数
a0
，函数
f(x)

▲ ．
12．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
P
是函数
f (x)e
x
(x0)
的图象上的动点，该
图象在
P
处的 切线
l
交
y
轴于点
M
，过点
P
作
l
的垂线交
y
轴于点
N
，设线段
MN
的
中 点的纵坐标为
t
，则
t
的最大值是 ▲ ．
13 ．设
1a
1
a
2
…a
7
，其中
a
1
,a
3
,a
5
,a
7
成公比为
q
的等比数列，
a
2
,a
4
,a
6
成公差
为1的等差数列，则
q
的最小值是 ▲ ．
14．设集合
A

(x,y)|

2xa,x1
，若
f( 1a)f(1a)
，则
a
的值为

x2a,x1m
(x2)
2
y
2
m
2
，
x ,yR

，
2
B

(x,y)|
2mxy 
2m1
，
x,yR

，若
AB
， 则实数
m
的取值范
围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6 小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
．．．．．．．
文字说明、证明 过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
．
（1）若
sin(A
（2）若
cosA

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，平面
PAD
平面

6
)2cosA
，求
A
的值；
1
，
b3c
，求
sinC
的值．
3
P

ABCD
，
ABAD
，
BAD 60

，
E,F
分别是
E

AP,AD
的中点．
求证：（1）直线
EF
平面
PCD
；
（2）平面
BEF
平面
PAD
．

2
A

F

D

C

B

17．（本小题满分14分）
请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边 长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影
部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B，C，D四个点重
合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切 去的
一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x（cm）．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm
2
）最大，试问x应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积V（cm
3
）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒
的高与底面边长的比值．
D

C

P

60

A




x

E

F

x

B


18．（本小题满分16分）
x
2
y
2
1
的 顶点，过坐标原如图，在平面直角坐标系
xOy
中，
M,N
分别是椭圆
42
点的直线交椭圆于
P,A
两点，其中点
P
在第一象限，过P
作
x
轴的垂线，垂足为
C
，
连接
AC
，并延长交椭圆于点
B
．设直线
PA
的斜率为
k
．
（1）当直线
PA
平分线段
MN
，求
k
的值； < br>（2）当
k2
时，求点
P
到直线
AB
的距离
d
；
（3）对任意
k0
，求证：
PAPB
．





3
y

P

M

A

B

O

N

C

x

19．（本小题满分16分）
已 知
a,b
是实数，函数
f(x)x
3
ax
，
g (x)x
2
bx
，
f

(x)
和
g< br>
(x)
是
f(x)
和
若
f

(x )g

(x)0
在区间
I
上恒成立，则称
f(x)
和
g(x)
在区间
I
上
g(x)
的导函数．
单调 性一致．
（1）设
a0
，若
f(x)
和
g(x)
在区间
[1,)
上单调性一致，求实数
b
的取值范围；
（ 2）设
a0
且
ab
，若
f(x)
和
g(x)< br>在以
a,b
为端点的开区间上单调性一致，求
|ab|
的最大值．








20．（本小题满分16分）
设
M
为部分正整数组成的集合，数列
{a
n
}
的首项
a
1
1
，前
n
项的和为
S
n
，已知对
任意整数
kM
，当
nk
时，
S
nk
S
nk
2(S
n
S
k
)
都成立．
（1）设
M{1}
，
a
2
2
，求
a
5
的值；
（2）设
M{3,4}
，求数列
{a
n
}
的通项公式．






4

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅱ（附加题）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
如图，圆
O
1
与圆
O
2< br>内切于点
A
，其半径分别为
r
1
与
r
2（
r
．圆
O
1
的弦
AB
交圆
O
2
于点
C
（
O
1
不在
AB
上）．
1
r
2
）
求证：
AB:AC
为定值．

B．选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
已知矩阵
A


C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系
xOy
中，求过椭圆
< br>
11

1

2
，向量．求向量，使得


A



．


21

2


x5cos

（

为参数）的右焦点，且与直线

y3sin


x4 2t
（
t
为参数）平行的直线的普通方程．

y3t


D．选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
解不等式：
x|2x1|3
．
5

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答 ，解
．．．．．．．．
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在正四棱柱
ABCDABC
1
2
，
111
D
1
中，
AA
D
1

C
1

B
1

A
1

AB1
，点
N
是
BC
的中点，点
M
在
CC
1
上．
设二面角
A
1
DNM
的大小为

．
（1）当

90
时，求
AM
的长；

M

D

（2）当
cos






6
时，求
CM
的长．
6
C

N

A

B

23．（本小题满分10分）
设整数
n 4
，
P(a,b)
是平面直角坐标系
xOy
中的点，其中
a,b

1,2,3,…,n

，
ab
．
（ 1）记
A
n
为满足
ab3
的点
P
的个数，求< br>A
n
；
（2）记
B
n
为满足
(ab)< br>是整数的点
P
的个数，求
B
n
．






6
1
3

7

8

9

10

11