石家庄外事学院-小学德育计划

绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ

注 意

事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共4页，均为非选择题（第 1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试
时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷 和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及



答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4 ．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置
作答一律无效。



5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：
棱锥的体积
V
1
3
Sh
，其中S
为底面积，
h
为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．．
1．已知集合
A{1，
．
2，4}
，
B{2，4，6}
，则
AB
▲
解析：由已知，集合
A{1，2，4}
，
B{2，4，6}
，所以AB
{1,2,4,6}.
答案：{1,2,4,6},

< br>2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
3
:
3
:
4
，现用分层抽样的方法从该校高中三个
年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级 抽取 ▲ 名学生．
解析：由已知，高二人数占总人数的
答案：15


3．设
a，bR
，
abi
117i
1 2i
3
10
，所以抽取人数为
3
10
5015
.
（i为虚数单位），则
ab
的值为 ▲ ．
解析：由已知，
abi

ab538
.
11 7i（117i）(1+2i）2515i2515i
===53i
.
2
12i(12i)(12i）1-4i5
答案：8.

4．右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
解析：将
k1
带入0=0不满足，
将
k2
带入
40
不满足，
将
k3
带入
20
不满足，
将
k4
带入
00
不满足，
将
k5
带入
40
满足，
所以
k5
.
答案：
5
.


5．函数
f(x)12log
6
x
的定义域为 ▲ ．

x0
解析：由题意

，所以
x(0,6]
.
12logx0
6

2

开始

k←1
N
k

－5k+4>0
Y
输出k

结束


k←k +1
（第4题）
答案：
(0,6]



6．现有10个数，它们能构成一 个以1为首项，
3
为公比的等比数列，若从这10个数中随
机抽取一个数，则它小于 8的概率是 ▲ ．
解析：满足条件的数有1，-3，
3
3
，
3
5
，
3
7
，
3
；所以
p答案：


7．如图，在长方体
ABCDA
1
B1
C
1
D
1
中，
ABAD3cm
，
AA
1
2cm
，
则四棱锥
ABB
1
D
1
D
的体积为 ▲ cm
3
．
1
3
32
2
A
1

D
1

9
6
10

3
5
.
3
5
.
C
1

B
1


D
C
B
解析：
V
答案：6.


3226
.
A
（第7题）
8．在平面直角坐标系xOy
中，若双曲线
x
2
m

y
2
2
m4
1
的离心率为
5
，则m的值为 ▲ ．


2
mm
2
4
5

e
解析：

，解得
m2
.
m

m0

答案：2.


9．如图 ，在矩形ABCD中，
AB
点F在边CD上，若
AB

AF
2，BC2，
点E为BC的中点，

D

F
C
．
2
，则
AEBF
的值是 ▲
解析：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴建立
平面直角坐标系，
则由题意知：点B
(2,0)
，点E
E

2,1
,设点F
(a,b)
，

uuuruuur
所以
AB(2,0)
，
AF(a,b)
；
A
（第9题）
B
由条件解得点
F(1,2)
， uuur
uuur
所以
AE(2,1)
，
BF1

2,2
；

uuuruuur
所以
AEgBF2
.
答案：
2
.



ax1，1
≤x 0
，

10．设
f(x)
是定义在
R
上且周期为 2的函数，在区间
[1，1]
上，
f(x)

bx2
，0
≤x≤1
，


x1
其中
a，
．
bR
．若
f

f

，则
a 3b
的值为 ▲

2

2


1
3

解析：因为
T2
，所以
f(1)f(1 )
，求得
2ab0
.
由
f()f()
，
T 2
得
f()f(
222
1311
2
)
，解得
3a2b2
.

2ab0

a2
联 立

，解得


3a2b2b4

所以
a3b10
.
答案
10

11．设
为锐角，若
cos






< br>4

，则 ．
sin2



的值为 ▲
6

512

解析:
Q

为锐角，


6




6

2

3
，
Qcos






4

3

，
sin



；
6

56

5





12

，
sin

2



2sin

< br>

cos





36625









172

.
sin

2



sin

2



sin< br>
2



coscos

2



sin
1234343450

答案 ：


172
50
.
12．在平面直角坐标系
x Oy
中，圆C的方程为
x
2
y
2
8x150
，若直线
ykx2
上至少存在
一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有 公共点，则k的最大值是 ▲ ．
解析：圆C的圆心为
(4,0)
，半径为1； 由题意，直线
ykx2
上至少存在一点
A(x
0
,kx
0
2)
，
以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点；故存在
x
0
R
，使得
AC11
成立，
即
AC
min< br>2
；而
AC
min
即为点C到直线
ykx2
的 距离
4
3
4
3
4k2
k1
2
，故4k2
k1
2
2
，解
得
0k
答案：


4
3
，即k的最大值是.

13．已知函数
f(x)x
2
axb(a，bR)
的值域为
[0，)< br>，若关于x的不等式
f(x)c
的
解集为
(m，
．
m6)
，则实数c的值为 ▲
解析：由值域为
[0，)
得< br>Va4b0
，即
b
2
2
a
2
4；
a

f(x)xaxbxax

x< br>
，
42

22
a
2
a
a

f(x)

x

c
解得
cx
2

2

2
c
；

< br>Q
不等式
f(x)c
的解集为
(m，m6)
，
 (c
a
2
)(c
a
2
)2c6
，解得
c9
.
答案：9


14．已知正数
a，b ，c
满足：
5c3a
≤b≤4ca
，clnb
≥aclnc< br>，
则
b
a
的取值范围是 ▲ ．

答案：
[e,7]




二、解答题：本大题共 6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
．．．．．．．
明、证 明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在
ABC
中，已知
ABAC3BABC
．
（1）求证：
tanB3tanA
；
（2）若
cosC
解析：






5
5
，
求A的值．

16．（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
A
1
B
1
A
1
C
1
，
D，E
分别是棱
BC，
（点D 不
CC
1
上的点
同 于点C），且
ADDE，F
为
B
1
C
1
的中点．
求证：（1）平面
ADE
平面
BCC
1
B
1；
（2）直线
A
1
F
平面ADE．




解析：
A
C
D
B
（第16题）
A
1

F
B
1

C
1

E



17．（本小题满分14分）
如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直 于地平面，单位长度为1千米．某
炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程
ykx< br>1
20
(1k)x(k0)
表示的曲线上，
22
其中k与 发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第 一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不
超过多少时，炮弹可 以击中它？请说明理由．

解析：
O
y（千米）
（第17题）
x（千米）


18．（本小题满分16分）
若函数
yf(x)
在
x x
0
处取得极大值或极小值，则称
x
0
为函数
yf(x )
的极值点.
已知a，b是实数，1和
1
是函数
f(x)x< br>3
ax
2
bx
的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数
g(x)
的导函数
g

(x)f(x)2
，求
g(x)
的极值点；
（3）设
h(x)f(f(x))c
，其中
c[2，2]
，求函数
yh(x)
的零点个数．
解析：

19．（本小 题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x
a
2
2

y
b
2
2
1(ab0)
的左、右

3

e，
焦点分别为
F
1
(c，0)
，
F
2
(c，0)
．已知
(1，
都在椭圆上，其中e为椭圆的离心e)
和


2

y
率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线
AF
1

与直 线
BF
2
平行，
AF
2
与
BF
1
交于点P．
（i）若
AF
1
BF
2

6
2
A

F
1

P
O
F
2

B
x
，求直线
AF
1
的斜率；
（第19题）
（ii）求证：
PF
1
PF
2
是定值．

解析：





20．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列
{a
n
}
和
{b
n
}
满足：
a
n 1

a
n
b
n
a
n
b
n< br>22

，nN
．
（1）设
b
n1
2< br>

b


n
1，nN
，求证 ：数列



是等差数列；
a
a
n



n



b
n
（2）设b
n1

解析：
2
b
n
a
n< br>
，nN
，且
{a
n
}
是等比数列，求
a
1
和
b
1
的值．




绝密★启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
号




















数学Ⅱ(附加题)

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本试卷共2页，均为非选择题（第 21题～第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30

分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及


答题卡的规定位置。


3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置

作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
答．
．．
若多做，则按作答的前两题评分 ．解答时应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使
C
BD = DC，连结AC，AE，DE．
求证：
EC
．


解析：

A
O
B

E
（第21-A题）
D




B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

1


4



1


2
3

4


，求矩阵A的特征值．
1


2


已知矩阵A的逆矩阵
A
1

解析：



C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标中，已知圆C经过点
P

点，求圆C的极坐标方程．
解析：
2，


，圆心为直线

sin



4

3


3
2
与极轴的交



D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y满足：
|xy|
解析：
1
3
，|2xy|
1
6
，
求证：
|y |
5
18
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共 计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写
．．．．．．．．
出文字说明、证明过程或 演算步骤．

22．（本小题满分10分）
设

为随机变量 ，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，

0
；当
两条棱平行时，

的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，

1
．
（1）求概率
P(

0)
；
（2）求

的分布列，并求其数学期望
E(

)
．
解析：



23．（本小题满分10分）

设集合
P
n
{1，2，
…
，n}
，
nN
．记
f(n)
为同时满足下列条件的集合A的个数：
①若
xA
，则
2xA
；③若
xð
P
A
，则
2xðP
A
．
AP
n
；②
nn
（1）求
f(4)
；
（2）求
f(n)
的解析式（用n表示）．
解析：