美好回忆-暨大招生

大学数学练习题
大学数学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y
1
(x);y
2
(x)为方程的基本解组 充分必要条件是________.
3 方程
y''2y'y0
的基本解组是_________.
4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.
5 方程
dy
1y
2
的常数解是________.
dx
6 方程
x''p(t)x'q
(t)
x0
一个非零解为 x
1
(t) ,经过变换_______
7 若4
(t)
是线性方程组
X'A(t)X
的基解矩阵, 则此方程组的任一解4
(t)
=___________.
8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.
9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.
11 一阶线性方程
y'p(x)yq(x)
有积分因子(


).
12 求解方程
dy
xy
的解是( ).
dx
22
13已知(
axy3xy)dx(xy)xdy0< br>为恰当方程,则
a
=____________.
2
14

dy
22

xy
,
R:x1
,
y 1
由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).

dx

< br>y(0)0
2
dy

dy

15方程

56y0
的通解是( ).
dx

dx


dy

35
16方程

yx y
的阶数为_______________.

dx

17若向 量函数

1
(x);
2
(x);
3
(x)
n
(x)
在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w
(x)=____________.
18若P(X)是方程组
4
dyA(x)
的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.
dx
22
x(y1)dxy(x1)dy0
所有常数解是______________ ______． 19．方程

20．方程
y4y0
的基本解组是____________________．
dy

21．方程
dx
y1
满足解的存在唯一性定理条件的区域 是____________________．
1 21

大学数学练习题
22．函数组

1
(x),

2
(x),,

n
(x)
在区间I上线性无关的__ __________________条件是它们的朗斯基行
列式在区间I上不恒等于零．
23．若
y

1
(x),y

2
(x)
是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零
点．
二 单项选择:

dy
x
3
y
满足初值问题 解存在且唯一定理条件的区域是( ). 1 方程
dx
1
(A)上半平面 (B)
xoy
平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面
2 方程
dy

dx
y1
( ) 奇解.
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个
3 在下列函数中是微分方程
y''y0
的解的函数是( ).
(A)
y1
(B)
yx
(C)
ysinx
(D)
ye

4 方程
y''yex
的一个特解
y*
形如( ).
(A)
aeb
(B)
axebx
(C)
aebxc
(D)
axebxc

5 f(y)
连续可微是保证方程
xxxx
x
x
dy
f( y)
解存在且唯一的( )条件．
dx
（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分
6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
dy
3y
3
过点(0,0)有( ). 7 方程
dx
(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解
8 初值问题
x'



2

01

1


x , 在区间,
t
上的解是( ).
x
(0)
< br>
10

1


t

e
t

e

(A)
u
(t)


t


(B)
u
(t)



t


(C)
u
(t)



e


(D)
u
(t)



e




9 方程
dy
x
2
ycosx0
是( ).
dx
(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程
（C)超越方程 (D)二阶线性方程
dy

dy

10 方程

30
的通解是( ).
dx

dx

2 21
2

大学数学练习题
(A)
C
1
C
2
e
2
3x
(B)
C
1
xC
2
e
3x
(C)
C
1
C
2
e
3x
(D)
C
2
e
3x

dy

dy

11 方程

44y0
的一个基本解组是( ).
dx

dx

(A)
x,e
2x
(B)
1,e
2x
(C)
x,e
22x
(D)
e
2x
,xe
2x

dy

dy

12 若y1和y2是方程

p (x)q(x)y0
的两个解,则
ye
1
y
1
e< br>2
y
2
（e
1
,e
2
为任意常数）
2

dx

dx
(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解
13 方程
dy
dx
1y
2
过点(0,0)的解为ysinx
,此解存在( ).
(A)
(,)
(B)
(,0]
(C)
[0,)
(D)
[

2
,

2
]

14 方程
y'3x
2
ye
x
是( ) .
(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程
15 微分方程
dy
dx

1
x
y0
的通解是( ).
(A)
y
c1
x
(B)
ycx
(C)
y
x
c
(D)
yxc

16 在下列函数中是微分方程
y''y0
的解的函数是( ).
(A)
y1
(B)
yx
(C)
ysinx
(D)
ye
x

17 方程
y''ye
x
x
的一个数解
y
x
形如( ).
(A)
ae
x
b
(B)
axe
x
bx
(C)
ae
x
bxc
(D)
axe
x
bxc

18 初值问题
x'



0

1

1

0



x;x(0)


1



1



在区间
t
上的解是( ).
(A)
u


t



e
t

t
e
t

(t)

t



(B)
u
(t)



t


(C)
u
(t)








e
t

(D)
u

(t)< br>


e
t




dy
y
19．方程
dx
的奇解是（ ）．
（A）
yx
（B）
y1
（C）
y1

dy
1y
2
(

,1)
20. 方程
dx
过点
2
共有（ ）个解．
3 21
D）
y0
（

大学数学练习题
（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三
21．
n
阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（A）
n
（B）
n
-1 （C）
n
+1 （D）
n
+2
22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
f(x,y)
dy
f(x,y)
f(x,y)
y
xoy23．如果，都在平面上连续，那么方程
dx
的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为
(,)
（B）必为
(0,)
（C）必为
(,0)
（D）将因解
而定
三 求下列方程的解:
1 求下列方程的通解或通积分: dyy
dydy

y

1


(3) (1)
y1ny
(2)
yxy
5
(4)
2xydx(x
2
y
2
)dy0

dxx
dxdx

x

(5)
yxy'2(y')< br>
2 求方程的解
x
3 解方程:
(5)
3
2
1
x
(4)
0

t
dy
y
2
cosx
并求出满足初始条件:当x=0时, y=2的特解
dx
dyyy
4 求方程:
tg

dxxx
dyy
5求方程:
6xy
2
的通解
dxx
6 求
(3x6xy)dx(6xy4y)dy0
的通解.
2223
d
4
xd
2
x
2
2
 x0
7 求解方程:
4
dtdt
d
5
x1d
4
x
0
的解 8 求方程:
dt
5
t
dt
4
9 求方程
y''5y'5x
的通解
2
4 21

大学数学练习题
1

dx
y


dtsint
10 求下列方程组的通解


dy

x


dt
11求初值问题


y'xy

R:x11

y1
的解的存在区间并求出第二次近似解

y(1)0
12 求方程的通解
(1)
dyy
dyyy
2
(y3x)dx(4yx)dy0
(三种方法)

(2) (3)
tan
2
dx
xy
dxxx
42

dy

dy

( 4)

5

4y0


dx

dx

13 计算方程
y''4y3sin2x
的通解
d
2
xdx
44xcost
14计算方程
dtdt
15 求下列常系数线性微分方程:
y''2y'10yxe
16 试求
x


2x


21


x的基解矩阵
02


21



的特征值和对应的特征向量.

14


3

5

5

的特征值和特征向量
3


2




2


y
1



y




2

17 试求矩阵
A

18 试求矩阵
A

19 解方程组



y'
1


3







y'
2


1
20．求下列方程组的通解

dx
x2y


dt


dy3x4y



dt
．
四 名词解释
1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程
4伯努利方程 5
Lipschitz
条件 6 线性相关
五 证明题
5 21

大学数学练习题
1在方程
y''p(x)y 'q(x)y0
中已知p(x);q(x)在
(;)
上连续
求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2 设x
1
(t)、x
2
(t)分别是非齐次性线方程
d
n< br>xd
n1
x
G
1
(t)
n1
G
n
(t)xf
1
(t)

n
dtdt
d
n
xd
n1
x
G
1
(t)
n1< br>G
n
(t)xf
2
(t)

dt
n
dt
d
n
xd
n1
x
证明：x
1(t)+x
2
(t)是方程
n
G
1
(t)
n 1
G
n
(t)xf
1
(t)f
2
(t )
的解。
dtdt
3设f (x)在[0；+

]上连续且
lim
f (x)=0求证：方程
x
dy
yf(x)
的一切解y(x)；
dx
均有
lim
y (x)=0
x
4 在方程
y''p(x)y'q(x)y0
中p(x)、q(x)在（
,
）上 连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（
 ,
）上的严格单调函数。
d
n
xd
n1
x
t
5证明：x
1
(t)+x
2
(t)是方程
n
c
1
(t)
n1
a
n
(x)f
2
(t)
的解。
dedt
6证明：函数组
e

1
x
,e

2
x
e

n
x
（其中当
ij
时

i


j
）在任意区间（a ,b）上线性无关。
dy
f(y)

(y)
x

7．在方程
dx
中，已知
f(y)
，

(x)
在
(,)
上连续，且

(1)0
．求证：对任意
0
和
y
0
1
，满足初值条件
y(x
0
) y
0
的解
y(x)
的存在区间必为
(,)
． < br>
8．在方程
yp(x)yq(x)y0
中，已知
p(x)
，
q(x)
在
(,)
上连续．求证：该方程的任一非零解在
xoy
平面上不能与x轴相切．




练习题答案
一 填空题:
1、 2
2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3、 e
x
; xe
x
4、 开
5、
y1

6 21

大学数学练习题
6、
xx
1
ydt

7、

(t)c
,c为常数列向量
8、 y=x
2
+c
9、 初始
10、常微分方程
11、e

p(x)dx
12、x
2
+y
2
=c c为任意正常数
13、 < br>14、




1
2
;
1

2




x
5

p

c
15、



666

51



y
6
p
6
p
2
16、4
17、0
18、

(x)c
；其中c是确定的n维常数列向量
19．
y1,x1

20．
sin2x,cos2x

21．
D{(x,y)R
2
y0}
，（或不含x 轴的上半平面）
22．充分
23．没有
二 单项选择
1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D
11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D
22.C 23．D
三 求下列方程的解
1 (1）解：当
y0,y1
时，分离变量取不定积分，得


dy
y1ny


dxC

通积分为 1ny= Ce
x

（2）解：令y= xu , 则
dy
dx
ux
du
dx
,
代入原方程，得
7 21
9、A 10、C
19．D 20．B 21．A

大学数学练习题

x
du
1u
2

dx
du
1u2


dx
1nC
（
C0
）
x
分离变量，取不定积分，得


通积分为：
arcsin
y
1nCx

x
（3） 解： 方程两端同乘以

y
-5
,得
dy
y
4
x

dx
dz
-5
dy
令y
-4
= z ，则
-4y,
代入上式，得
dxdx
1dz

zx

4dx

y
5
通解为
zCe
4x
x
原方程通解为

y
4
1

4
1
Ce
4x
x

4
（4） 解： 因为
MN
2x
， 所以原方程是全微分方程。
yx
xy
取（x
0
,y
0
）=（0，0）原方程的通积分为

2

0
2xydx

y
2
dyC
0
即
xy
1
3
yC

3
（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c
3
2 解：设
y
dxdx1dx
则方程化为
y0
，积分后得y = ct 即
ct

dtdttdt
于是x=c
1
t
5
+c
2
t
3
+c
3
t
2+c
4
t+c
5
其中 c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
为任意常数
d
n
x(t)d
n1
x(t) d
n
x(t)d
n1
x(t)
[G
1
(t) G
n
(t)x
1
(t)][G
1
(t)
n 1n
=
dt
n
dtdtdt
n1

G
n
(t)x
2
(t)]
= f
1
(t) + f
2
(t)

d
n
x (t)d
n1
x(t)
G
1
(t)G
n
x(t)
=f1(t)+f2 (t)的解。 故x
1
(t)+x
2
(t)为方程
dt
n
dt
n1
3 解： 将变量分离，得到

dy
cosxdx

2
y
8 21

大学数学练习题
两边积分，即得

因而，通解为

y
1
sinxc

y
1

sinxc
这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c，得到
c = -1
因而，所求特解为
1

1sinx
ydydy
4 解：以
u
及
xu
代入，则原方程变为
xdxdx
du

xuutgu

dx

y
即

将上式分离变量,即有

ctgudu
两边积分,得到



nsinu

nxc

这里
c'
是任意函数,整理后,得到

dutgu


dxx
dx

x
sinue
c'
x

令
e
e'
c
,得到 sinu = cx
5 解: 令z = y
-1
得

代入原方程得到

dzdy

y
2
dxdx
dz6
zx

dxx
这是线性方程,求得它的通解为
cx
2

z
6


8
x
代回原来的变量y , 得到
1cx
2

6


y
x
8
这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。
6 解： 这里M =3x
2
+6xy
2
.N = 6x
2
y+4y
3
，这时
9 21

大学数学练习题

MN
12xy.12xy

yx
因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

u
3x
2
6xy
2

x

u
6x
2
y4y
3

y
322

由（1）对x 积分，得到
ux3xy

(y)

为了确定

(y)
，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得


ud

(y)
6x
2
y6x
2
y4y
3

ydy
于是

积分后可得


(y)
=y
4

将

(y)
代入（3），得到
u = x
3
+ 3x
2
y
2
+ y
4
因此，方程的通解为
x
3
+ 3x
2
y
2
+ y
4
=c
这里c是任意常数
7 解： 特征方程

2
10
即特征根


i是重根，因此方程有四个实值解cost、t cost 、sint 、
tsint
故通解为x = (c
1
+c
2
t)cost + (c
3
+c
4
t)sin 其中c
1
; c
2
; c
3
; c
4
为任意常数
42
d

(y)
= 4y
4

dy
d
4
x
dy1
8 解： 令
4
y
则方程化为：
y0

dt
dtt
d
4
x
积分后得y=ct 即
4
ct
于是 x=c
1
t
5
+ c
2
t
3
+ c
3
t
2
+ c
4
t
1
+ c
5
dt


其中c
1
c
2
… c
5
为任意常数 ，这就是原方程的通解。
9 解 对应齐次方程的特征方程为

5

0
，
10 21
2

大学数学练习题
特征根为

1
0,

2
5

齐次方程的通解为 y=C
1
+C
2
e
5x

因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y
1
(x)=x（Ax
2
+ Bx + C）
代入原方程，比较系数确定出
A=
112
， B= ，C=
3525
5x
原方程的通解为

yC
1
C
2
e
10 解： 先解出齐次方程的通解


=C
1

112
x
3
x
2
x

3525

x


y


cost

sint

+C

2

cost


sint



令非齐次方程特解为
x

~

cost

sint



~

=C
1
(t)

+C
2
(t)

cost


y
sint



C'
1
(t),C'
2
(t)
满足

cost



sint

解得
C'
1
(t)
sin t

cost



1


C'
1
(t)



C'(t)

=

sint



2

0

cost
,C'
2
(t)1

sint
积分，得
C
1
(t)1nsint,C
2
(t)t

通解为

x

cost

sint


cost1nsinttsint



C
1




C
2
cost



ysint
sint1nsin ttcost



b11
)
故解的存在区间为
x1

M44
g
x
x1
x
2) q
0
(x)=0 q
1
(x)=0
(g20)dg|

333
g2
3
1gg2g1
xx2
g]
q2(x)=0+
[gg]dg[
999363369
xxxx11
=


39186042
11 解： M=max
f(x,y)
=4
hmin(a,
12 求方程的通解:
1)
dyy


2
dx
xy
11 21

大学数学练习题
dyxy
2
1
xy
(1),将y看作自变量, x为未知函数 解: 变形
dxyy
解齐线性方程
dx1
x
, 通解为x = cy
dyy
dxd(c(y)y)dc(y)
yc(y)

dydydy
令x = c (y)y….. (2)微分得,
由(1)(2)知
xdc(y)c(y)y
yyc(y)y

yd yy
dc(y)
~
故
x(yc
~
)
y
(
c
~
是任意常数)
1
,积分得
c(y)yc
dy

dyyy
tan

dxxx
ydydu
解: 令
u
则
yux
, 于是
xu

xdxdx
du
则原方程变为
xuutanu

dx
dutanu
即

dxx
dx
将上式分离变量有
cotudu

x
~
,
c
~
为任意常数。 积分得
1nsinu1nxc
2)
c
整理
sinue•x

~
~
c0
得
sinucx(c0)
令
ec
方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c为任意常数)
3）
(y3x)dx(4yx)dy0
(三种方法)
解：法一，这里M=y-3x
2
, N= - (4y-x )= 4-4y

2
MN
1,1,
因此此方程是恰当方程
yx
u
u
x4y
（2）
y3x
2
（1），
y
x
3
现求 u使
对（1）中x积分得
uyxx

(y)
（3）
对（3）中y求导
ud

(y)
x4y

ydy
12 21

大学数学练习题
积分得

(y)2y
，代入（3）得
uyxx2y

故通解为
yxx2yc
，c为任意常数
法二，重新组合得

ydx3xdx4ydyxdy0
，即
ydxdx2dyxdy0


d(xyx2y0)

于是通解为
xyx2yc
其中c是任意常数。
32
32
23 2
32
232
dy
4
dy
)5()
2
 4y0

dxdx
dy5
2
1
442
解： 令
p
则
p5p4y0,ypp

dx44
5dpdp5dp5
对x求导得
Ppp
3(pp
3
),(pp
3
)dppdx0

2dxdx2dx2
4）
(
5
2
p
4
pc
5
2
p
4
51c
44
)pxc,x pp
3

积分得
(p
44p44p
513
c

xpp

44p

于是方程通解为

（p=0）

y
5
p
2

1
p
4

44

13 方程
y''4y3sin2x
的通解
解： 齐次方程是
y'' 4y0,

40,

1
,2
2i


yc
1
cos2tc
2
sin2t

由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式
y
1
x(Acos2xbsin2x)

代入原方程
4A3,B0A

y
1

故通解为
y
2
3
,B0

4
3
xcos2x

4
3
xcos2xc
1
cos2tc
2
sin2t
，其中c
1
c
2
为任意常数
4
d
2
x4dx
4xcost
14
dtdt
解：特征方程

4

4 0
有重根

1


2
2

13 21
2

大学数学练习题
因此对应齐线性方程的通 解为
x(c
1
c
2
t)e
2t
，其中c
1
,c
2
为任意常数。
因为
i
不是 特征根，现求形如
~
xAcostBsint
的特征解，
代入原方程化简
(3A-4B)cost  (4A3B)sint  cost

3
3A4B1
25
于是 故
4
4A3B0
B
25
A
故通解为
x(c
1
c
2
t)e
2t

15 求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为
y''2y'10y0
特征方程为

2

100

特征根为 < br>2
34
costsint
其中c
1
,c
2
为任意常数
2525


a13i
a不是特征根，
11
,b

1050
故原方程有形如y*=(ax+b) e
2x
的特解代入原方程得
a
故原方程通解为
ye(c
1
costc
2
sin3t)( 16 解：因为
A


x
11
（
c
1
,c
2
为任意常数）
x)e
2x
，
1050

21

=


02


2

0


0

+

2


01


0

0

而且后面的两个矩阵是可交换的


e
2t
1



2t

{E +

0e


2
得到
expAtexp



0
2
0
 
01

texp



t =
2< br>

00


01


0

0

t +


0
1

t
2
}
但是，




2!
0
0



0
1


0






=



0
0


0

1t


00
2
0



0

所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

expAte
2t




17 解： 特征方程为

det(

EA)

2
1

1

4
1



1
< br>

2
6

90

因此，

3
是A的二重特征值.为了寻求对应于

3
的 特征向量,考虑方程组

(3EA)c


因此, 向量
14 21

1

1

c
1

c

0


2


大学数学练习题

ca


是对应于特征值

3
的特征向量,其中
a0
是任意常数.
18 解A特征方程为
det(A

E)

1< br>

1

3

5

5
3



2
6

360

特征根为

1,2
35i
对应于1=3+5i的特征向量
u

满足

u

u


5i5


(A

1
E)u



0
解得u = a
a0
为任意常数
55i


对应于

2
35i
特征向量
v

满足



u


u
< br>
1


i


i


(A

2
E)v0
解得
v




1

19 解:
A



v


v



为任意常数

0



3

1
2


32

的特征方程为
det(

EA)(

1)(

4)0


2

1

2

a
< br>

1
=1,

2
=4为特征根,
(A4E)u0u
1



a

为方程组解a为任意常数.


(A4E)u0u
2






为方程组解.

2




y'
1


a
2


这样


a







为方程的解 
y'





2

 
20．解 方程组的特征方程为

A
< br>E
1

3
2
4

0

即

3

20

特征根为

1
1
，

2
2



1
1
对应的解为
2

x
1

a
1

t




e


y
1

b
1

15 21

大学数学练习题
其中
a
1
,b
1
是

1
1
对应的特征向量的分量，满足

112


a
1


0




b



0


341


1


可解得
a
11,b
1
1
．
同样可算出

2
2
对应的特征向量分量为
a
2
2,b
1
3
．
所以，原方程组的通解为

e
t

2e
2t< br>

x



C
1

t

C
2


2t

y
e3e


四 名词解释
1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。
2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上
的微分方程称为偏微分方程。
3 形如

dy
f(x)

(y)

dx
的方程，称为变量分离方程，这里
f(x)

(y)
分别是x , y的连续函数。
4 形如
dy
P(x)yQ(x)y
n

dx
的方程， 称为伯努利方程，这里
P(x),Q(x)
为x的连续函数，
n0,1
是常 数
5 函数f (x , y)称为在R上关于y满足
Lipschitz
条件，如果存在常数L>0,使得
不 等式
f(x.y
1
)f(x.y
2
)Ly
1
 y
2

对于所有
(x,y
1
),(x,y
2
)R
都成立, L称为
Lipschitz
常数.
6 定义在区间
atb
上的函数
x
1
(t),x
2
(t), x
k
(t)
, 如果存在不全为零的常数c
1
, c
2
,
…. c
k
使得恒等式
c
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)c
k
x
k
(t)0
对于所有
t

a,b

都成立,称这 些函数是线性
相关的.
五 1在方程
y''p(x)y'q(x)y0
中,已知p (x),q (x)在
(,)
上连续,
求证:该方程的任一非零解在
xoy
平面上不能与x轴相切.
证明：方程< br>y''p(x)y'q(x)y0
，设
y

(x)
是 它的任一非零解。
若p (x),q (x)在
(,)
上连续，假 设
y

(x)
在
xoy
平面上与轴相切。
16 21

大学数学练习题
则
y'

(x) 0,y''0
与方程有非零解
y

(x)
矛盾。
故
y

(x)
与x轴不相切。
d
n
xd
n1
x
2 由已知得
n
G
1
(t)
n1
G
n
(t)x
1
f
1
(t)

dtdt
d
n
xd
n 1
x
G
1
(t)
n1
G
n
(t) x
2
f
2
(t)

dt
n
dt
d
n
xd
n1
x
把x
1
(t)+x
2
(t)代入方程
n
G
1
(t)
n1
G
n
x(t)f
1
(t)f
2
(t)
由左 端得
dtdt
d
n
(x(t)x(t))d
n1
(x (t)x(t))
G
1
(t)G
n
(t)(x
1< br>(t)x
2
(t))
=
dt
n
dt
n 1
d
n
x(t)d
n
x(t)d
n1
x(t)d
n1
x(t)
G
1
(t)Gn(t)G
n< br>(t)x
1
(t)G
n
(t)x
2
(t)
3 证明
nnn1n1
dtdtdtdt
设y = y(x)是方程任一解，满足y (x
0
) = y
0
，该解的表达式为

y(x)
y
0
e
xx
0

y
0
x
x
0
f(s)e
(sx
0
)
ds
e
xx
0
x

取极限
x
limy(x)
x
lim

xx
0e


lim
x
x
0
f( s)e
(sx
0
)
ds
e
xx
0
< br>
0

若

f(s)e
(sx
0
)
ds
x
0

xx)
0
0
< br>f(x)e(


(sx
0
)
lim0< br>
x
若

f(s)eds
e
xx
0

x
0
4 证明 设y
1
(x),y
2< br>(x)是方程的基本解组,则对任意
x(,)
,它们朗斯基行列式在
(,)
上有定义,
且
W(x)0
.又由刘维尔公式
x


x
p(s)ds
0

W(x)W(x
0
)e
W(x)W(x
0
)e
,x
0
(,)


x


x
p(s)ds
0
p(x)

由于
W(x
0
)0,p(x)0
,于是对一切
x (,)
,
17 21

大学数学练习题
有
W'(x)0
或
W'(x)0

故
W(x)
是
(,)
上的严格单调函数
5答案略
6证明:已知函数组的
wronshi
行列式为
e
1
x
,e

2
x
e

n
x
W(x) =

1
e

x
,

2
e

x


n
e

1 2
n
x

n1
x
1
=
e
n1
e

1
x
,

21
n1
e

2
x
x
n
1
e

n
x
(

1


2


n
x)

1

1
n1


n




1
x
n
x
n
n1


2
n1
上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于< br>
(

i


j
)
由题设知

i


j
(ij)
由此行列式不
为零.从而
W(x)0
由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.
7．证明 由已知条件，该方程在整个
xoy
平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然
y1
是方程的两个常数解．
任取初值
(x
0
,y
0
)
，其中
x
0
(,)
,
y
0
1
．记过该点的解 为
yy(x)
，由上面分析可知，一
方面
yy(x)
可以向平面 无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过
y1
，下方不能穿过
y1
，否
则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为
(,)
． （10分）
8．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是
(,)
．
显然，该方程有零解
y(x)0
．

(x
0
)
= 0，那么由解 假设该方程的任一非零解y
1
(x)
在x轴上某点
x
0
处与x轴相切，即有y
1
(x
0
)y
1
的惟一性及该方程有零解
y(x)0
可知
y
1
(x)0,x(,)
，这是因为 零解也满足初值条件

(x
0
)
= 0，于是由解的惟一性，有y
1
(x)y(x)0,x
(,

)
． 这与
y
1
(x)
是非零解矛
y
1
(x
0< br>)y
1
盾．

一、计算（20分）
18 21

大学数学练习题
13
2
1
5
7
4
6
1
2
1
3
xaa

a


a
a

xa
1）
5
2
2）
a

a
xa

34
二、证明：（20分）
1）若向量组

1

n
线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组
1


n
中部分向量线性相关，则向量组

1


n
必线性相关
~~
三、（15分）已知A为n阶方阵
A
为A的伴随阵，则|A|=0，
A
的秩为1或0。
四、（10分）设A为n阶阵，求证，rank（A+I）+rank（A-I）≥n
五、（15分）求基础解系

x
1
x
2
x< br>3
x
4
0


x
1
x
2
x
3
3x
4
0


xx2 x3x0
234

1
六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关 的
七、（10分）求证△ABC的正弦正定理
abc


sinAsinBsinC
答案(一)

一、1）-126 2）
[x(n2)a](x2a)
n1

二、证明：
1）

1


n
线性无关，

1
< br>
r
是其部分向量组，若存在不全为0的数
k
1
k
r
使
k
1

1
k
r

r< br>0
则取
k
r1
k
r2
k
n< br>0
，则
k
1

1
k
r
< br>r
0

r1
0

n
0
，则可
知

1


n
线性相关矛盾，所以

1


r
必线性无关。
2）已知

1


r
是向量组中

1


n< br>中的部分向量，且线性相关即
k
1
k
r
不全为0，使k
1

1
k
r

r
0
，取
k
r1
k
n
0
，于是有不全为0的
k
1
k
r
00
，使
k
1

1
k
r

r
0

r1
0

n
0
即

1


n
线性相关。

|A|

|A|
~

三、证明：< br>AA









|A|I


|A|


19 21

大学数学练习题
由于|A|=0 ，A的秩≤n-1
~
1 ）若A的秩为n-1，则
A
中的各元素为A的所有
n-1阶子式，必有一个子式不为0 ，又由
~~
于
A
的各列都是AX=0齐次线性方程组的解，其基础解系为n- （n-1）=1，由此
A
的秩为1。
~~~
2）若A的秩＜n-1，则A
中的所有A的
n-1阶子式全为0，即
A
=0，
A
的 秩为0。
四、证明：∵对任意n级方阵A与B，有
rank（A+B）
≤
rank（A）+ rank （B）
又∵rank（A－I）=rank[－（A－I）]=rank（I－A）
∴rank[（A+I）+（I－A）]=rank（2I）= rank（I）=n
≤
rank（A+I）+rank（I－A）=rank（A+I）+rank（A－I）

五、

1111

1101


x
2


1

0

A

1113



0012

取


0


,

1


基础解系

x





4



1123

0000



1

1

 

1

0


1



2



02


0

1


六、证明：设
e
1
e
2
e
n
是正交向量组，且不含空向量。若有

k
1
e
1
k
2
e
2
k< br>n
e
n



则
(k
1
e
2
k
n
e
n
,e
i
)(
,e
i
)0

且
(k
1
e< br>2
k
n
e
n
,e
i
)k
i
(e
i
e
i
)0

i1n

(e
i
e
i
)0

k
i
0,i1n
即
e
1
e
n
线性无关
七、证明：如图：
aba(ca)ac

bc(ca)cac

A
|ab|absinC

c

b

|ac|bcsinB

|bc|bcsinA
B
a
C
bcsinAabsinCacsinB

20 21

大学数学练习题

abc


sinAsinBsinC
21 21