知足是福-元旦晚会节目创意

大学数学习题及答案
一 填空题:
1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.
2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y
1
(x);y
2
(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.
3 方程
y''2y'y0
的基本解组是_________.
4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.
5 方程
dy
1y
2
的常数解是________.
dx
6 方程
x''p(t)x'q
(t)
x0
一个非零解为 x
1
(t) ,经过变换_______
7 若4
(t)
是线性方程组
X'A(t)X
的基解矩阵, 则此方程组的任一解4
(t)
=___________.
8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.
9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.
10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.
11 一阶线性方程
y'p(x)yq(x)
有积分因子(


).
12 求解方程
dy
xy
的解是( ).
dx
13已知(
axy
2
3x
2
y)dx (xy)x
2
dy0
为恰当方程,则
a
=_________ ___.
14

dy
22

xy
,
R:x1
,
y1
由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).
< br>dx


y(0)0
2
dy

dy

15方程

56y0
的通解是( ). 
dx

dx


dy

35
16方程

yxy
的阶数为_______________.

dx

17若向量函数

1
(x);
2
(x);
3
(x)
n
(x)
在区间D上线性相关,则它们的 伏朗斯基行列式w
(x)=____________.
18若P(X)是方程组
4
dy
A(x)
的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________.
dx
22
x(y1)dxy(x1)dy0
所有常数解是_____ _______________． 19．方程

20．方程
y4y0
的基本解组是____________________．
dy

dx
21．方程
22．函数组
y1
满足解的存在 唯一性定理条件的区域是____________________．

1
(x) ,

2
(x),,

n
(x)
在区间I上线性无 关的____________________条件是它们的朗斯基行

列式在区间I上 不恒等于零．
23．若
y

1
(x),y

2
(x)
是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们__________________ __共同零
点．
二 单项选择:

dy
1 方程
x
3
y
满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).
dx
1
(A)上半平面 (B)
xoy
平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面
2 方程
dy

dx
y1
( ) 奇解.
(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个
3 在下列函数中是微分方程
y''y0
的解的函数是( ).
(A)
y1
(B)
yx
(C)
ysinx
(D)
ye
x

4 方程
y''ye
x
x
的一个特解
y*
形如( ).
(A)
aeb
(B)
axebx
(C)
aebxc
(D)
axebxc

5 f(y)
连续可微是保证方程
xxxx
dy
f(y)
解存在且 唯一的( )条件．
dx
（A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分
6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).
(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间
(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间
dy
7 方程
3y
3
过点(0,0)有( ).
dx
(A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解
8 初值问题
x'



2
01


1



x , 在区间,
t
上的解是( ).
x
(0)



10


1


t
 
e

t

e

(A)
u
(t)


t


(B)
u
(t)



t


(C)
u
(t)



e


(D)
u
(t)



e




9 方程
dy
x
2
ycosx0
是( ).
dx
(A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程
（C)超越方程 (D)二阶线性方程
dy

dy

10 方程

30
的通解是( ).

dx

dx

(A)
C
1
C
2
e
(B)
C
1
xC
2
e
3x3x
2
(C)
C
1
C
2
e
3x
(D)
C
2
e
3x

dy

dy

11 方程

44y0
的一个基本解组是( ).

dx

dx

(A)
x,e
2x
(B)
1,e
2x
(C)
x
2
,e
2x
(D)
e
2x
,xe
2x

2
dy

dy

12 若y1和y2是方程
< br>p(x)q(x)y0
的两个解,则
ye
1
y
1e
2
y
2
（e
1
,e
2
为任意常数）
2

dx

dx
(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解
(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解
13 方程
dy
dx
1y
2
过点(0,0)的解为ysinx
,此解存在( ).
(A)
(,)
(B)
(,0]
(C)
[0,)
(D)
[

2
,

2
]

14 方程
y'3x
2
ye
x
是( ) .
(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程
15 微分方程
dy
dx

1
x
y0
的通解是( ).
(A)
y
c
x
(B)
ycx
(C)
y
1
x
c
(D)
yxc

16 在下列函数中是微分方程
y''y0
的解的函数是( ).
(A)
y1
(B)
yx
(C)
ysinx
(D)
ye
x

17 方程
y''ye
x
x
的一个数解
y
x
形如( ).
(A)
ae
x
b
(B)
axe
x
bx
(C)
ae
x
bxc
(D)
axe
x
bxc

18 初值问题
x'



0

1

1

0



x;x(0)


1



1



在区间
t
上的解是( ).
(A)
u


t



e
t


t


e
t

(t)

t



(B)
u
(t)




t


(C)
u

(t)




e
t




(D)
u
(t)



e
t



dy
y
19．方程
dx
的奇解是（ ）．
（A）
yx
（B）
y1
（C）
y1

dy
1y
2
(

,1)
20. 方程
dx
过点
2
共有（ ）个解．
（A）一 （B）无数 （C）两
21．
n
阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．
（D）
y0

D）三

（

（A）
n
（B）
n
-1 （C）
n
+1 （D）
n
+2
22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A）不是其对应齐次微分方程组的解 （B）是非齐次微分方程组的解
（C）是其对应齐次微分方程组的解 （D）是非齐次微分方程组的通解
f(x,y)
dy
f(x,y)
xoy
f(x,y)
y23．如果，都在平面上连续，那么方程
dx
的任一解的存在区间（ ）．
（A）必为
(,)
（B）必为
(0,)
（C）必为
(,0)
（D）将因解
而定
三 求下列方程的解:
1 求下列方程的通解或通积分:
dyy
dydy

y

y1ny
(2)
yxy
5
(4)
2xydx(x
2
y
2
)dy0

1


(3) (1)
dxdx
dxx
x

(5)
yxy'2(y')
3

2 求方程的解
x
3 解方程:
(5)
2
1
x
(4)
0

t
dy
y
2
cosx
并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特 解
dx
dyyy
tg
4 求方程:
dxxx
dyy
6xy
2
的通解 5求方程:
dxx
6 求
(3x
2
6xy
2
)dx(6x
2
y4y
3
)dy0
的通解.
d
4
xd
2
x
2
2
x0
7 求解方程:
4
dtdt
d
5
x1d
4
x< br>0
的解 8 求方程:
54
t
dtdt
9 求方程
y''5y'5x
的通解
2
1

dx
y


dtsint
10 求下列方程组的通解


dy

x


dt


y'xy
11求初值问题


R:x11

y1
的解的存在区间并求出第二次近似解
y(1)0

12 求方程的通解
(1)
dyyy
dyy
tan
(2) (3)
(y3x
2
)dx(4yx)dy0
(三种方法)

2
dxxx
dx
xy
42

dy
dy

(4)

5

4y0< br>

dx

dx

13 计算方程
y''4y3sin2x
的通解
d
2
xdx
44xcost
14计算方程
dtdt
15 求下列常系数线性微分方程:
y''2y'10yxe
2x

16 试求
x



x的基解矩阵

21


02


21

17 试求矩阵
A



的特征值和对应的特征向量.

1
4

18 试求矩阵
A


3


5
5

的特征值和特征向量

3

2



2



y
1



y




2


y'
1


3
19 解方程组


1


y'




2


20．求下列方程组的通解

dx
x2y


dt


dy3x4y



dt
．
四 名词解释
1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程
4伯努利方程 5
Lipschitz
条件 6 线性相关
五 证明题 < br>1在方程
y''p(x)y'q(x)y0
中已知p(x);q(x)在
(;)
上连续
求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.
2 设x
1
(t)、x
2
(t)分别是非齐次性线方程

d
n
xd
n1
x

G
1
(t)
n1


G
n
(t)xf
1
(t)

n
dtdt
d
n
xd
n1< br>x
G
1
(t)
n1


G
n
(t)xf
2
(t)


dt
n
dt< br>d
n
xd
n1
x
证明：x
1
(t)+x< br>2
(t)是方程
n
G
1
(t)
n1
< br>
G
n
(t)xf
1
(t)f
2
(t )
的解。
dtdt
3设f (x)在[0；+

]上连续且
lim
f (x)=0求证：方程
x
dy
yf(x)
的一切解y(x)；
dx
均有
lim
y (x)=0
x
4 在方程
y''p(x)y'q(x)y0
中p(x)、q(x)在（
,
）上 连续；求证：若p(x)恒不为零；则该方程
的任一基本解组的朗斯基行列式w（x）是（
 ,
）上的严格单调函数。
d
n
xd
n1
x
t
5证明：x
1
(t)+x
2
(t)是方程
n
c
1
(t)
n1


a
n
(x)f< br>2
(t)
的解。
dedt
6证明：函数组
e
1
x
,e

2
x

e

n< br>x
（其中当
ij
时

i


j< br>）在任意区间（a ,b）上线性无关。
dy
f(y)

(y)< br>x

7．在方程
dx
中，已知
f(y)
，

(x)
在
(,)
上连续，且

(1)0
．求证：对任意
0
和
y
0
1
，满足初值条件
y (x
0
)y
0
的解
y(x)
的存在区间必为
( ,)
．

8．在方程
yp(x)yq(x)y0
中，已知
p(x)
，
q(x)
在
(,)
上连续．求 证：该方程的任一非零
解在




xoy
平面上不能与x轴相切．
练习题答案
一 填空题:
1、 2
2、 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）
3、 e
x
; xe
x
4、 开
5、
y1

6、
xx
1
ydt

7、

(t)c
,c为常数列向量

8、 y=x
2
+c
9、 初始
10、常微分方程
11、e

p(x)dx
12、x
2
+y
2
=c c为任意正常数
13、 < br>14、




1
2
;
1

2




15、


x< br>5pc

6

6

6




y
5
6
p
1
6
p
216、4
17、0
18、

(x)c
；其中c是确定的n维常数列向量
19．
y1,x1

20．
sin2x,cos2x

21．
D{(x,y)R
2
y0}
，（或不含x 轴的上半平面）
22．充分
23．没有
二 单项选择
1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D
11、D 12、B 13、D 14、D 15、B 16、C 17、D 18、D
22.C 23．D
三 求下列方程的解
1 (1）解：当
y0,y1
时，分离变量取不定积分，得


dy
y1ny


dxC

通积分为 1ny= Ce
x

（2）解：令y= xu , 则
dy
dx
ux
du
dx
,
代入原方程，得

x
du
dx
1u
2

分离变量，取不定积分，得


du
1u
2


dx
x
1nC
（
C0
）
9、A 10、C
19．D 20．B 21．A

通积分为：
arcsin
y
1nCx

x
（3） 解： 方程两端同乘以

y
-5
,得
dy
y
4
x

dx
dz
-5
dy
,
代入上式，得 令y
-4
= z ，则
-4y
dxdx
1dz
zx


4dx

y
5
通解为
zCe
4x
x
原方程通解为

y
4
1

4
1

4
Ce
4x
x
（4） 解： 因为
MN
， 所以原方程是全微分方程。
2x
yx
xy
取（x
0
,y
0
）=（0，0）原方程的通积分为

2

0
2xydx

y
2
dyC
0
即
xy
1
3
yC

3
（5） 解：原方程是克莱洛方程，通解为： y = cx+2c
3
2 解：设
y
dxdx1dx
y0
，积分后得y = ct 即
ct
则方程化为
dtdttdt
于是x=c
1
t
5
+c
2
t
3
+c
3
t
2< br>+c
4
t+c
5
其中 c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, c
5
为任意常数
d
n
x(t)d
n1
x(t) d
n
x(t)d
n1
x(t)
[G
1
(t)

G
n
(t)x
1
(t)][G
1
(t)
=
dt
n
dt
n1
dt
n
dt
n1



G
n
(t)x
2
(t)]
= f
1
(t) + f
2
(t)

d
n
x (t)d
n1
x(t)
G
1
(t)

G< br>n
x(t)
=f1(t)+f2 (t)的解。
故x
1
(t )+x
2
(t)为方程
nn1
dtdt
3 解： 将变量分离，得到

dy
cosxdx

y
2
两边积分，即得

因而，通解为
1
sinxc

y
1

sinxc

y

这里c是任意常数。以x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c，得到
c = -1
因而，所求特解为
1

1sinx
ydydy
xu
代入，则原方程变为
u
及 4 解：以
dxdx
x
du
uutgu

x
dx

y
即

将上式分离变量,即有

ctgudu
两边积分,得到



nsinu

nxc

这里
c'
是任意函数,整理后,得到

dutgu


dxx
dx

x
sinue
c'
x

令
e
e'
c
,得到 sinu = cx
5 解: 令z = y
-1
得

代入原方程得到

dzdy
y
2

dxdx
dz6
zx

dxx
这是线性方程,求得它的通解为
cx
2

z
6


8
x
代回原来的变量y , 得到
1cx
2


y
x
6
8
这就是原方程的通解。此外，方程还有解 y=0 。
6 解： 这里M =3x
2
+6xy
2
.N = 6x
2
y+4y
3
，这时

MN
12xy.12xy

yx
u
3x
2
6xy
2

x
因此方程是恰当方程。现在求u ，使它同时满足如下两个方程

u
6x
2
y4y
3

y

由（1）对x 积分，得到
ux
3
3x
2
y
2


(y)

为了确定

(y)
，将（3）对y求导数，并使它满足（2），即得


ud

(y)
6x
2
y6x
2
y4y
3

ydy
于是

积分后可得


(y)
=y
4

将

(y)
代入（3），得到
u = x
3
+ 3x
2
y
2
+ y
4
因此，方程的通解为
x
3
+ 3x
2
y
2
+ y
4
=c
这里c是任意常数
42
7 解： 特征方程

2< br>
10
即特征根


i是重根，因此方程有四个实值解 cost、tcost 、sint 、
d

(y)
= 4y
4

dy
tsint
故通解为x = (c
1
+c
2
t)cost + (c
3
+c
4
t)sin 其中c
1
; c
2
; c
3
; c
4
为任意常数
dy1
d
4
x
y0
8 解： 令
4
y
则方程化为：
dtt
dt
d
4
x
积分后得y=ct 即
4
ct
于是 x=c
1
t
5
+ c
2
t
3
+ c
3
t
2
+ c
4
t
1
+ c
5
dt


其中c
1
c
2
… c
5
为任意常数 ，这就是原方程的通解。
9 解 对应齐次方程的特征方程为

5

0
，
特征根为

1
0,

2
5

齐次方程的通解为 y=C
1
+C
2
e
5x

因为a=0 是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
y
1
(x)=x（Ax
2
+ Bx + C）
代入原方程，比较系数确定出
2

A=
112
， B= ，C=
3525
5x
原方程的通解为

yC
1
C
2
e
10 解： 先解出齐次方程的通解

1
3
1
2
2
xxx

35 25

x


cost

sint
< br>

=C
1
+C
2

sint

cost


y



令非齐次方程特解为
x< br>
~

cost

sint



~

=C
1
(t)

+C(t) 2


y


sint

c ost


C'
1
(t),C'
2
(t)
满足

cost




sint
解得
C'
1
(t)
sin t

cost



1


C'
1
(t)



C'(t)

=

sint



2

0

cost
,C'
2
(t)1

sint
积分，得
C
1
(t)1nsint,C
2
(t)t

通解为

x

cost

sint


cost1nsinttsint

C
2




C
1





y

sint

cost



sint1nsinttcost


b11)
故解的存在区间为
x1

M44
g
x
x1
x
2) q
0
(x)=0 q
1
(x)=0
(g20)dg|

333
g2
3
1gg2g1
xx2
g]
q2(x)=0+
[gg]dg[
999363369
xxxx11
=


39186042
11 解： M=max
f(x,y)
=4
hmin(a,
12 求方程的通解:
1)
dyy


dx
xy
2
dyxy
2
1
解: 变形
xy
(1),将y看作自变量, x为未知函数
dxyy
解齐线性方程
dx1
x
, 通解为x = cy
dyy

令x = c (y)y….. (2)微分得,
dxd(c(y)y)dc(y)
yc(y)

dydydy
由(1)(2)知
xdc(y)c(y)y
yyc(y)y

ydyy

dc(y)
~
是任意常数)
~
故
x(yc
~
)
y
(
c
1
,积分得
c(y)yc
dy
dyyy
tan

dxxx
ydydu
xu
解: 令
u
则
yux
, 于是
dxdx
x
du
uutanu
则原方程变为
x
dx
dutanu

即
dxx
dx
将上式分离变量有
cotudu

x
~
为任意常数。
~
,
c
积分得
1nsinu1nxc
2)
整理
sinuex

~
c
~
c0
得
sinucx(c0)
令
ec
方程还有解tanu=0 即 sinu=0, 故通解为 sinu = cx (c为任意常数)
3）
(y3x
2
)dx(4yx)dy0
(三种方法)
解：法一，这里M=y-3x
2
, N= - (4y-x )= 4-4y

MN
1,1,
因此此方程是恰当方程
yx
u
u
y3x
2
（1）
x4y
（2） ，
x
y
现求 u使
对（1）中x积分得
uyxx
3


(y)
（3）
对（3）中y求导
ud

(y)
x4y

ydy
232
积分得

(y)2y
，代入（3）得
uyxx2y

故通解为
yxx2yc
，c为任意常数
法二，重新组合得

ydx3xdx4ydyxdy0
，即
ydxdx2dyxdy0

232
32

d(xyx
3
2y
2
0)

于是通解为
xyx
3
2y
2
c
其中c是任意常数。
dy
4
dy
)5()
2
4y0

dxdx
dy5
2
1
442
解： 令
p
则
p5p4y0,ypp

dx44
5d pdp5dp5
p
3
(pp
3
),(pp
3
)dppdx0
对x求导得
Pp
2dxdx2dx2
4）
(
5
2
p
4
pc
5
2
p
4
51c
44
)pxc,xpp
3

积分得
(p
44p44p
51
3
c

xpp 

44p

于是方程通解为

（p=0） < br>
y
5
p
2

1
p
4

44

13 方程
y''4y3sin2x
的通解
解： 齐次方程是
y''4y0,

40,

1
,2
2i


yc
1
cos2tc
2
sin2t

由于2i是特征方程单根
故所求特解应具形式
y
1
x(Acos2xbsin2x)

代入原方程
4A3,B0A

y
1

故通解为
y
2
3
,B0

4
3
xcos2x

4
3
xcos2xc
1
cos2tc
2
sin2t
，其中c
1
c
2
为任意常数
4
d
2
x4dx
4xcost
14
dtdt
解：特征方程

4

4 0
有重根

1


2
2

因此对应齐线性方程的通解为
x
2
(c
1
c
2
t)e
2t
，其中c
1
,c
2
为任意常数。
xAcostBsint
的特征解， 因为
i
不是特征根，现求形如
~
 (4A3B)sint  cost
代入原方程化简
(3A-4B)cost

3
3A4B1
25
于是 故
4
4A3B0
B
25
A
2t
故通解为
x(c
1
c
2
t)e
34
cost sint
其中c
1
,c
2
为任意常数
2525
2
15 求下列常系数线性微分方程
对应的齐次方程为
y''2y'10y0
特征方程为

2

100

特征根为


a13i
a不是特征根，
故原方程有形如y*=(ax+b) e
2x
的特解代入原方程得
a
故原方程通解为
ye(c
1
costc
2
sin3t)(x
11
,b

1050
11
x)e
2x
，（
c
1
,c
2
为任意常数）
1050
16 解：因为
A



=



+



而且后面的两个矩阵是可交换的

21


02


20

< br>02


01


00


2
得到
expAtexp



0
2< br>0

texp

2


01
< br>
0

0

t =


e2t
1


01

{E +

t +


2t


0e


00


0
1

t
2

}
但是，




0

0

2!
0
1


0






=



0
0


0

1t


00

2
0

0


所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是

expAte
2t




17 解： 特征方程为

det(

EA)

2
1

1


2
6

90


4
因此，

3
是A的二重特征 值.为了寻求对应于

3
的特征向量,考虑方程组

(3EA)c


因此, 向量

11


c
1



0



11


c< br>2


1


ca



1

是对应于特征值

3
的特征向量,其中
a0
是任意常数.
18 解A特征方程为
det(A

E)
3

5



2
6

360

53


特征根为

1,2

u

35i
对应于1=3+5i的特征向量
u

满足

u


5i5


0
解得u = a
a0
为任意常数


5
5i


(A

1
E)u



u

1

对应于

2< br>35i
特征向量
v

满足



u

i


(A

2
E)v0
解得
v






为任意常数

0


1

v


i

v


3
19 解:
A


1

2


32

的特征 方程为
det(

EA)

(

1)(

4)0

2
1

2


a



1
=1,

2
=4为特征根,
(A4E)u 0u
1



a


为方程组解a 为任意常数.


(A4E)u0u
2






为方程组解.

2



这样

< br>
y'
1


a

2








为方程的解



y'
2


a


20．解 方程组的特征方程为
1

2

A

E0

34

即

3

20

特征根为

2

1
1
，

2
2


1
1
对应的解为

x
1

a
1

t


e



y
1

b
1



其中
a
1
,b
1
是

1
1
对应的特征向量的分量，满足

112


a
1


0




b



0


341


1


可解得
a
11,b
1
1
．
同样可算出

2
2
对应的特征向量分量为
a
2
2,b
1
3
．

所以，原方程组的通解为

e
t

2e
2t


x


C
1

t

C
2

< br>2t


y


e

3e< br>
四 名词解释
1 联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，称之为微分方程。
2 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，称这种微分方程的个数为两个或两个以上
的微分方程称为偏微分方程。
3 形如

dy
f(x)

(y)

dx
的方程，称为变量分离方程，这里
f(x)

(y)
分别是x , y的连续函数。
4 形如
dy
P(x)yQ(x)y
n

dx
的方程， 称为伯努利方程，这里
P(x),Q(x)
为x的连续函数，
n0,1
是常 数
5 函数f (x , y)称为在R上关于y满足
Lipschitz
条件，如果存在常数L>0,使得
不 等式
f(x.y
1
)f(x.y
2
)Ly
1
 y
2

对于所有
(x,y
1
),(x,y
2
)R
都成立, L称为
Lipschitz
常数.
6 定义在区间
atb
上的函数
x
1
(t),x
2
(t),< br>
x
k
(t)
, 如果存在不全为零的常数c
1
, c
2
,
…. c
k
使得恒等式
c
1
x
1
(t)c
2
x
2
(t)

c
k
x
k
(t)0
对于所有
t

a,b

都成立,称这些函数是线性
相关的.
五 1在方程
y''p(x)y'q(x)y0
中,已知p (x),q (x)在
(,)
上连续,
求证:该方程的任一非零解在
xoy
平面上不能与x轴相切.
证明：方程< br>y''p(x)y'q(x)y0
，设
y

(x)
是 它的任一非零解。
若p (x),q (x)在
(,)
上连续，假 设
y

(x)
在
xoy
平面上与轴相切。
则
y'

(x)0,y''0
与方程有非零解
y

(x)
矛盾。
故
y

(x)
与x轴不相切。
d
n
xd
n1
x
2 由已知得
n
G
1
(t)
n1


G
n
(t)x
1
f
1
(t)

dtdt
d
n
xd
n1
x
G
1
(t)
n1

< br>G
n
(t)x
2
f
2
(t)


dt
n
dt

d
n
xd
n1
x
把x
1
(t)+x
2
(t)代入方程
n
G< br>1
(t)
n1


G
n
x(t)f1
(t)f
2
(t)
由左端得
dtdt
d
n
(x(t)x(t))d
n1
(x(t)x(t))
G
1
(t)

G
n
(t)(x
1
(t)x
2
(t))
=
dt
n
dt
n1
d
n< br>x(t)d
n
x(t)d
n1
x(t)d
n1
x (t)
G
1
(t)Gn(t)

G
n
( t)x
1
(t)G
n
(t)x
2
(t)
3 证明
nnn1n1
dtdtdtdt
设y = y(x)是方程任一解，满足y (x
0
) = y
0
，该解的表达式为

y(x)
y
0
e
xx
0

y
0
x
x
0
f(s)e
(sx
0
)
ds
e
xx
0
x

取极限
limy(x)
x
lim

xx
0
xe


lim
x
x
0
f( s)e
(sx
0
)
ds
e
xx
0
< br>
0

若

f(s)e
(sx)
ds
x

xx)
0
0

f(x)e(


(sx)
lim0

x
若

f(s)eds
xx
0
e
x

0
0
0
0
4 证明 设y
1
(x),y
2
(x)是方程的基 本解组,则对任意
x(,)
,它们朗斯基行列式在
(,)
上有定义,
且
W(x)0
.又由刘维尔公式
x


x
p(s)ds
0

W(x)W(x
0
)e
W(x)W(x
0
)e
,x
0
(,)


x


x
p(s)ds
0
p(x)

由于
W(x
0
)0,p(x)0
,于是对一切
x (,)
,
有
W'(x)0
或
W'(x)0

故
W(x)
是
(,)
上的严格单调函数
5答案略
6证明:已知函数组的
wronshi
行列式为
e
1
x
,e

2
x

e
< br>n
x
W(x) =

1
e

x
,< br>
2
e

x


n
e
< br>12
n
x

n1
x
1
n1
e< br>
1
x
,

2
n1
e

2
x

x
n
e

n
x

=
e
(

1

2


n
x)
1
1


1



1

1
n1
n

2
n1
x
n
n1


x
n
上述最后的行列式为范德蒙受行列式 它等于

(

i


j
)
由题设知

i


j
(ij)
由此行列式不
为零.从而
W(x)0
由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.
7．证明 由已知条件，该方程在整个
xoy
平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．
显然
y1
是方程的两个常数解．
任取初值
(x
0
,y
0
)
，其中
x
0
(,)
,
y
0
1
．记过该点的解 为
yy(x)
，由上面分析可知，一
方面
yy(x)
可以向平面 无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过
y1
，下方不能穿过
y1
，否
则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为
(,)
． （10分）
8．证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是
(,)
．
显然，该方程有零解
y(x)0
．

(x
0
)
= 0，那么由解 假设该方程的任一非零解y
1
(x)
在x轴上某点
x
0
处与x轴相切，即有y
1
(x
0
)y
1
的惟一性及该方程有零解
y(x)0
可知
y
1
(x)0,x(,)
，这是因为 零解也满足初值条件

(x
0
)
= 0，于是由解的惟一性，有y
1
(x)y(x)0,x
(,

)
． 这与
y
1
(x)
是非零解矛
y
1
(x
0< br>)y
1
盾．