考研数学真题数三
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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题
4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一
个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1.设{
x
k
}是数列，下列命题中不正确的是（）
(A)若
limx
k
a
，则
limx
2k
l
imx
2k1
a
.
kkk
(B)若
li
mx
2k
limx
2k1
a
，则
limx
k
a
kkk
(C)若
limx
k
a
，则
limx
3k
limx
2k1
a
<
br>kkk
(D)若
limx
3k
limx
3k
1
a
，则
limx
k
a
kkk
2.设函数
f(x)
在
(,)
连续，其二阶导函数
f
(x)
的图形如右图所示，则曲线
yf(x)
的拐点个数为
（）
（A）0(B)1(C)2(D)3
D
3.设
D
(x,y)x
2
y
2
2x,x
2
y
22y
，函数
f(x,y)
D上连续，则
f(x
,y)dxdy
=（）
4.下列级数中发散的是（）
(
1)
n
1
n11n!
（A）
n
(B)
ln(1)
(C)
(D)
n
l
nn
n
n
n2
n1
3
n1
n1
n
111
1
12a,b
5.设矩阵
A
d
,
若集合<
br>(1,2)
，则线性方程组
Axb
有无穷多解的充
1
4a
2
d
2
分必要条件为（） <
br>6.设二次型
f(x
1,
x
2
,x
3
)在正交变换
xpy
下的标准形为
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
，其中
p(e
1
,e<
br>2
,e
3
)
，
若
Q(e
1
,e
3
,e
2
),
则
(x
1
,x
2<
br>,x
3
)
在正交变换
xQy
下的标准形为（）
（A）
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
(B)
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
(C)
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
(D)
2y
1
2
y
2
2
y
3
2
7.设A,B为任意两个随机事件，则（）
（A）
P(AB)P(A)P(B)
(B)
P(AB)P(A)P(B)
(C)
P(AB)
P(A)P(B)P(A)P(B)
(D )
P(AB)
22
8.设总体
X:B(m,
)
，
x
1
,x
2
K,x
n
为来自该总体的 简单随机样本，
X
为样本均值，则
n
E
< br>
(x
i
X)
2
（）
< br>i1
（A）
(m1)n
(1
)
(B)
m(n1)
(1
)
(C )
(m1)(n1)
(1
)
(D)
mn
(1
)
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
9
lim
x
ln(cosx)
=
x< br>2
x
2
10设函数
f(x)
连续，
(x)
0
xf(t)
，若
(1)
1
，< br>
'
(1)5
，则
f(1)
11若函数
z
=
z(x,y)
由方程
e
x2y+3z
xyz1
确定，则
dz
(0,0)
=
12设函数
yy(x)是微分方程
y
''
y
'
2y0
的解，且在
x
=0处
y(x)
取得极值3，则
y(x)
=
13设3 阶矩阵A的特征值为2，-2,1，
BA
2
AE
,其中
E为3阶单位矩阵，则行列
式
B
=
14设二维随机变量
(X,Y )
服从正态分布
N(1,0;1,1;0)
,则
P(XYY＜0)
=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文
．．．
字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数
f(x)x
ln(1x)bxsinx,g(x)kx
3
,< br>若
f(x)
与
g(x)
在
x0
时
是等价无穷小，求a,b,k的值。
16、（本题满分10分）
计算二重积分
x(xy)dxdy
，其中
D
(x,y)x
2
y
2
2,yx
2
D
17、（本题满分10分）
为了实现利润最大化，厂商需要对某商
品确定其定价模型，设
Q
为该商品的需求量，
p为价格，MC为边际成本，η为需求弹
性（η＞0）
（i）证明定价模型为
p
MC
1
1<
br>
（ii）若该商品的成本函数为
C(Q)1600Q
2
，需求函
数为
Q40p
，试由（1）中的
定价模型确定此商品的价格。
18、（本题满分10分）
设函数
f(x)
在定义域
I
上
的导数大于零，若对任意的
x
0
I
，曲线
yf(x)
在
点
x
0
,f(x
0
)
处的切线与直线
xx
0
及
x
轴所围成区域的面积恒为4，且
f(0)2
，求
f(x)
的表达式。
19、（本题满分10分）
（i）设函
数
u(x)
，
v(x)
可导，利用导数定义证明
u(x)
v(x)
u
'
(x)v(x)u(x)v
'
(x)<
br>
（ii）设函数
u
1
(x),u
2
(x),K,u
*
(x)
可导，
f(x)u
1
(x)u
2
(x)Ku
*
(x)
，写出
f(x)
的求导公式。
20（本题满分11分）
a10
3
1a1
A0
. 设矩
阵
A
,且
01a
'
（i）求a的值；
（ii）若矩阵
X
满足
XXA
2
AXAXA
2
E
,其中
E
为3阶单位矩阵，求
X
.
21（本题满分11分）
023
12
0
设矩阵
A
133
，相似于矩阵
B
0b0
，
12a
031
（i）求a,b的值（ii）求
可逆矩阵P，使
P
1
AP
为对角矩阵。
22（本题满分11分）
2
x
ln2,x＞0,
设随机变量
X
的概率密
度为
f(x)
0,x0
对
X
进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记
Y
为观测次数。
（1） 求
Y
的概率分布；
（2） 求
EY
。
23（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
X
2
,L,X
R
为来自该总体的简单随机样本。、
其中
为未知参数，
X
1，
（1）
求
的矩估计量；
（2） 求
的最大似然估计量