(完整版)高二数学试题及答案
广铁集团-银行柜员述职报告
高二数学期中测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题
(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
)
1.设aA.a
2
B.b
2
C.a
2
2
2
答案 B
2.关于数列3,9,
…,2187,…,以下结论正确的是(
A.此数列不是等差数列,也不是等比数列
B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列
C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列
D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列
解析
记a
1
=3,a
2
=9,…,a
n
=2187,…
若该数列为等差数列,则公差d=9-3=6,
a
n
=3+(n-1)×6=2187,∴n=365.
∴{a
n
}可为等差数列.
若{a}为等比数列,则公比q=
9
n
3
=3.
a
-
n
=3·3
n1
=2187=3
7
,∴n=7.
∴{a
n
}也可能为等比数列.
答案 B
3.在△ABC中,若
sin
2
A+sin
2
B=2sin
2
C,则角C为(
A.钝角 B.直角
C.锐角 D.60°
)
)
解析 由sin
2
A+sin
2
B=2s
in
2
C,得a
2
+b
2
=2c
2
. <
br>即a
2
+b
2
-c
2
=c
2
>0,
cosC>0.
答案 C
4.设{a
n
}是公比为正数的等比数列,若a
1
=1,a
5
=16,则数列
{a
n
}的前7项和
为( )
A.63
C.127
B.64
D.128
解析 a
5
=a
1
q
4
=q
4
=
16,∴q=2.
1-2
7
∴S
7
==128-1=127.
1-2
答案 C
5.一张报纸,其厚度为a,面积为b,现将此报纸对折7次,这
时报纸的厚度和面积分别为(
)
b
A.8a,
8
b
C.128a,
128
答案 C
6.不等式y≤
3x+b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,
而点(4,4)在此区域内,则b的范围是(
)
A.-8≤b≤-5
C.-8≤b<-5
B.b≤-8或b>-5
D.b≤-8或b≥-5
b
B.64a,
64
b
D.256a,
256
解析
∵4>3×3+b,且4≤3×4+b,
∴-8≤b<-5.
答案 C
<
br>
m-n≤2,
7.已知实数m,n满足不等式组
m+n
≤3,
m≥0,
( )
A.7,-4
C.4,-7
B.8,-8
D.6,-6
2m+n≤4,
则关于x的方
程x
2
-(3m+2n)x+6mn=0的两根之和的最大值和
最小值分别是
解析 两根之和z=3m+2n,画出可行域,当m=1,n=2时,z
max<
br>=7;当m=0,n=-2时,z
min
=-4.
答案 A
8.已
知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c成
ac
等差数列,则
x
+
y
的值等于( )
1
A.
4
C.2
解析 用特殊值法,令a=b=c.
答案 C
9.制作一个
面积为1m
2
,形状为直角三角形的铁架框,有下列四
种长度的铁管供选择,较经济的
(够用、又耗材最少)是( )
A.4.6m
C.5m
B.4.8m
D.5.2m
1
B.
2
D.1
解析 设三角
形两直角边长为am,bm,则ab=2,周长C=a+b
+a
2
+b
2≥2ab+2ab=22+2≈4.828(m).
答案 C
10.设{a
n
}是正数等差数列,{b
n
}是正数等比数列,且a
1
=b
1
,a
2n
+
1
=b
2n
+
1,
则( )
A.a
n
+
1
>b
n
+
1
C.a
n
+
1
n
+
1
B.a
n
+
1
≥b
n
+
1
D.a
n
+
1
=b
n
+
1
a
1
+a
2n
+
1
解析 a
n
+
1
=≥a
1
a
2n
+
1
=b
1<
br>b
2n
+
1
=b
n
+
1
.
2
答案 B
11.下表给出一个“直角三角形数阵”:
1
4
11
2
,
4
333
4
,
8
,
16
……
满
足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,
且每一行的公比相等,记第i行第j列的数
为a
ij
(i≥j,i,j∈N*),则
a
83
等于( )
1
A.
8
1
C.
2
1
B.
4
D.1
11238
解析 第1列为<
br>4
,
2
=
4
,
4
,…,所以第8行第1个数
为
4
,又每
18111
一行都成等比数列且公比为
2
,所以
a
83
=
4
×
2
×
2
=
2
.
答案 C
y+x-1≤0,
满足约束条件
<
br>y-3x-1≤0,
y-x+1≥0,
12.已知变量x,y
则z=2x+y
的最大值为( )
A.4
C.1
B.2
D.-4
解析
先作出约束条件满足的平面区域,如图所示.
由图可知,当直线y+2x=0,经过点(1
,0)时,z有最大值,此时z
=2×1+0=2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.共20分.把答案填
在题中横线上)
1
3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于
________.
解析 ∵B=45°,C=60°,∴A=180°-B-C=75°.
csinB
1×sin45°
6
∴最短边为b.由正弦定理,得b=
sinC
=
sin60°
=
3
.
6
答案
3
b<
br>14.锐角△ABC中,若B=2A,则
a
的取值范围是__________.
解析 ∵△ABC为锐角三角形,
π
0
2
,
∴
π
0<π-A-B<
2
,
ππ
∴A∈(
6
,
4
).
bsinB
∴
a
=
sinA
=2cosA.
b
∴
a
∈(2,3).
答案 (2,3)
π
0
4
,
∴
ππ
<
br>
63
.
15.数列{a
n}满足a
1
=3,a
n
+
1
-2a
n
=0,数列{b
n
}的通项公式满
足关系式a
n
·b
n=(-1)
n
(n∈N
*
),则b
n
=_______
_.
解析
∵a
1
=3,a
n
+
1
=2a
n
,
∴数列{a
n
}为等比数列,且公比q=2.
∴a
n
=3·2
n
-
1
.
又a
n
·b
n
=(-1)
n
.
n
-1
1
∴b
n
=(-1)
n
·.
a
n
=
3·2
n
-
1
-1
n
答案
3·2
n
-
1
16.不等式ax
2
+bx+c>0的解集为{x|-1
+1)+b(x-1)
+c>2ax的解集为________.
-1+2=-
b
,
a
解析 由题意,得
c
-1×2=
a
,
a<0,
<
br>b=-a,
则
c=-2a,
a<0.
所求不等式可化为x
2
+1-(x-1)+(-2)<2x,
解得0
三、解答题(本大题
共6个小题,共70分.解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
3
2<
br>
17.(10分)已知全集U=R,A=
x|-
4
x+
x+1>0
,B={x|3x
2
-
4x+1>0},
求∁
U
(A∩B).
2
解
A={x|3x-4x-4<0}=
x|-
3
,
2
1
B=
x|x<
3
,或x
>1
.
21
A∩B=
x|
-
3
,或1
,
21
∁
U
(A∩B)={x|x≤-
3
,或
3
≤x
≤1,或x≥2}.
18.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且B+C
8sin
2
-2cos2A=7.
2
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.
解 (1)在△ABC中,有B+C=π-A,
由条件可得4[1-cos(B+C)]-4cos
2
A+2=7,
即(2cosA-1)
2
=0,
1
∴cosA=
2
.
π
又03
.
b
2
+c
2
-a
2
11
(2)由cosA=
2
,得
2bc<
br>=
2
,即(b+c)
2
-a
2
=3bc,则3
2
-(3)
2
=3bc,即bc=2.
b+c=3,
b=1,
b=2,
由
解得
或
bc=2,
c=2,
c=1.
19.(12分)递增等比数列{a
n
}满足a
2
+a
3
+a
4
=28,且a
3
+2是a
2
和a
4
的等差中项.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若b
n
=a
n
·log
1
a
n
,求数列{b
n
}的前n项和.
2
解
(1)设等比数列的公比为q(q>1),
23
a
1
q+a
1
q+a
1
q=28,
则有
32
aq+aq=2aq+2,
111
1
a
1
=2,
解得
或<
br>
1
q=2,
q=,
a=32,
2
(舍去).
所以a
n
=2·2
n
-
1
=2
n
.
(2)b
n
=a
n
·log
1
a
n
=-n·2
n
,
2
S
n
=
-(1·2+2·2
2
+3·2
3
+…+n·2
n
), <
br>2S
n
=-(1·2
2
+2·2
3
+…+(n-1)
·2
n
+n·2
n
+
1
).
两式相减,得Sn
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
-n·2=-(n-1)·2
n
+
1
-2.
20.(12分)配制两种
药剂,需要甲、乙两种原料.已知配A种药
需要甲料3毫克,乙料5毫克;配B种药需要甲料5毫克、乙
料4毫
克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A,B两种药至少各配一剂,
问A、B两种药
最多能各配几剂?
解 设A、B两种药分别能配x,y剂,x,y∈N
*
,则
n
+
1
21-2
n
=-n·2
n
+
1
1-2
y≥1,
3x+5
y≤20,
5x+4y≤25,
x≥1,
作出可行域
,图中阴影部分的整点有(1,1),(1,2),
(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)
,(3,2),(4,1).
所以,在保证A,B两种药至少各配一剂的条件下,A种药最多
配4剂,B种药最多配3剂.
a+b
sinB
21.(12分)在△ABC中,已知
a
=,且co
s(A-B)+
sinB-sinA
cosC=1-cos2C.
(1)试确定△ABC的形状;
a+c
(2)求
b
的范围.
a+b
sinB
解 (1)由
a
=,
sinB-sinA
a+b
b
得
a
=,即b
2
-a
2
=ab, ①
b-a
又cos(A-B)+cosC=1-cos2C,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin
2
C.
sinA·sinB=sin
2
C,则ab=c
2
.
②
由①②知b
2
-a
2
=c
2
,即b
2
=a
2
+c
2
.所以△ABC为直角三角形.
a+c
(2)在△ABC中,a+c>b,即
b
>1.
a+c又
b
=
a
2
+c
2
+2ac
≤ b
2
2a
2
+c
2
b
2
=
a+c
2b
2
b
2
=2,故
b
的
取值范围为(1,2].
22.(12分)设{a
n
}是公差不为零的等差数列,
S
n
为其前n项和,
222
满足a
2
2
+a
3
=a
4
+a
5
,S
7
=7.
(1)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
;
a<
br>m
a
m
+
1
(2)试求所有的正整数m,使得为数列{an
}中的项.
a
m
+
2
解 (1)由题意,设等差数
列{a
n
}的通项公式为a
n
=a
1
+(n-1)d,(d≠0).
222
由a
2
2
+a
3
=a<
br>4
+a
5
,知2a
1
+5d=0.①
又因为S
7
=7,所以a
1
+3d=1.②
由①②可得a
1
=-5,d=2.
na
1
+a
n
2
所以数列{a
n
}的通项公式a
n
=2n-
7,S
n
==n-6n.
2
(2)因为
8
a
m<
br>a
m
+
1
a
m
+
2
-4a<
br>m
+
2
-2
8
==a
m
+
2-6+为数列{a
n
}中
a
m
+
2
a
m
+
2
a
m
+
2
的项,故为整数,又由(1)知a
m
+
2
为奇数,所以a
m
+
2
=2m-3
=±1,
a
m
+
2
即m=1,2.
a
m
a
m
+
1
-5×-3
当m=1时,==-15.
a
m
+
2
-1
显然它不是数列{a
n
}中的项.
a
m
·a
m
+
1
-3×-1
当m=2时,==1.
3
a
m
+
3
它是数列{a
n
}中的项.
因此,符合题意的正整数只有m=2.