(完整版)高二数学试题及答案

巡山小妖精
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2020年09月07日 04:24
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广铁集团-银行柜员述职报告


高二数学期中测试卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )
1.设aA.a
2
2
B.b
2
2

C.a
2
2
2
2

答案 B
2.关于数列3,9, …,2187,…,以下结论正确的是(
A.此数列不是等差数列,也不是等比数列
B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列
C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列
D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列
解析 记a
1
=3,a
2
=9,…,a
n
=2187,…
若该数列为等差数列,则公差d=9-3=6,
a
n
=3+(n-1)×6=2187,∴n=365.
∴{a
n
}可为等差数列.
若{a}为等比数列,则公比q=
9
n
3
=3.
a

n
=3·3
n1
=2187=3
7
,∴n=7.
∴{a
n
}也可能为等比数列.
答案 B
3.在△ABC中,若 sin
2
A+sin
2
B=2sin
2
C,则角C为(
A.钝角 B.直角
C.锐角 D.60°
)
)


解析 由sin
2
A+sin
2
B=2s in
2
C,得a
2
+b
2
=2c
2
. < br>即a
2
+b
2
-c
2
=c
2
>0, cosC>0.
答案 C
4.设{a
n
}是公比为正数的等比数列,若a
1
=1,a
5
=16,则数列
{a
n
}的前7项和 为( )
A.63
C.127
B.64
D.128
解析 a
5
=a
1
q
4
=q
4
= 16,∴q=2.
1-2
7
∴S
7
==128-1=127.
1-2
答案 C

5.一张报纸,其厚度为a,面积为b,现将此报纸对折7次,这
时报纸的厚度和面积分别为( )
b
A.8a,
8

b
C.128a,
128

答案 C
6.不等式y≤ 3x+b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,
而点(4,4)在此区域内,则b的范围是( )
A.-8≤b≤-5
C.-8≤b<-5
B.b≤-8或b>-5
D.b≤-8或b≥-5
b
B.64a,
64

b
D.256a,
256

解析 ∵4>3×3+b,且4≤3×4+b,
∴-8≤b<-5.
答案 C

< br>

m-n≤2,
7.已知实数m,n满足不等式组

m+n ≤3,


m≥0,
( )
A.7,-4
C.4,-7
B.8,-8
D.6,-6
2m+n≤4,

则关于x的方
程x
2
-(3m+2n)x+6mn=0的两根之和的最大值和 最小值分别是
解析 两根之和z=3m+2n,画出可行域,当m=1,n=2时,z
max< br>=7;当m=0,n=-2时,z
min
=-4.
答案 A
8.已 知a,b,c成等比数列,a,x,b成等差数列,b,y,c成
ac
等差数列,则
x

y
的值等于( )
1
A.
4

C.2
解析 用特殊值法,令a=b=c.
答案 C
9.制作一个 面积为1m
2
,形状为直角三角形的铁架框,有下列四
种长度的铁管供选择,较经济的 (够用、又耗材最少)是( )
A.4.6m
C.5m
B.4.8m
D.5.2m
1
B.
2

D.1
解析 设三角 形两直角边长为am,bm,则ab=2,周长C=a+b
+a
2
+b
2≥2ab+2ab=22+2≈4.828(m).
答案 C
10.设{a
n
}是正数等差数列,{b
n
}是正数等比数列,且a
1
=b
1
,a
2n



1
=b
2n

1,
则( )
A.a
n

1
>b
n

1

C.a
n

1
n

1

B.a
n

1
≥b
n

1

D.a
n

1
=b
n

1

a
1
+a
2n

1
解析 a
n

1
=≥a
1
a
2n

1
=b
1< br>b
2n

1
=b
n

1
.
2
答案 B
11.下表给出一个“直角三角形数阵”:
1
4

11
2

4

333
4

8

16

……
满 足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,
且每一行的公比相等,记第i行第j列的数 为a
ij
(i≥j,i,j∈N*),则
a
83
等于( )
1
A.
8

1
C.
2

1
B.
4

D.1
11238
解析 第1列为< br>4

2

4

4
,…,所以第8行第1个数 为
4
,又每
18111
一行都成等比数列且公比为
2
,所以 a
83

4
×
2
×
2

2
.
答案 C
y+x-1≤0,


满足约束条件
< br>y-3x-1≤0,


y-x+1≥0,
12.已知变量x,y
则z=2x+y


的最大值为( )
A.4
C.1
B.2
D.-4
解析 先作出约束条件满足的平面区域,如图所示.

由图可知,当直线y+2x=0,经过点(1 ,0)时,z有最大值,此时z
=2×1+0=2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.共20分.把答案填
在题中横线上)
1 3.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于
________.
解析 ∵B=45°,C=60°,∴A=180°-B-C=75°.
csinB
1×sin45°
6
∴最短边为b.由正弦定理,得b=
sinC

sin60°

3
.
6
答案
3

b< br>14.锐角△ABC中,若B=2A,则
a
的取值范围是__________.
解析 ∵△ABC为锐角三角形,


π

0
2



π

0<π-A-B<

2

ππ
∴A∈(
6

4
).
bsinB

a

sinA
=2cosA.
b

a
∈(2,3).
答案 (2,3)

π

0
4



ππ
< br>
63
.


15.数列{a
n}满足a
1
=3,a
n

1
-2a
n
=0,数列{b
n
}的通项公式满
足关系式a
n
·b
n=(-1)
n
(n∈N
*
),则b
n
=_______ _.
解析 ∵a
1
=3,a
n

1
=2a
n

∴数列{a
n
}为等比数列,且公比q=2.
∴a
n
=3·2
n

1
.
又a
n
·b
n
=(-1)
n
.
n
-1
1
∴b
n
=(-1)
n
·.
a
n

3·2
n

1
-1
n
答案
3·2
n

1
16.不等式ax
2
+bx+c>0的解集为{x|-12
+1)+b(x-1) +c>2ax的解集为________.


-1+2=-
b

a
解析 由题意,得

c

-1×2=

a

a<0,
< br>b=-a,




c=-2a,

a<0.


所求不等式可化为x
2
+1-(x-1)+(-2)<2x,


解得0答案 {x|0<x<3}
三、解答题(本大题 共6个小题,共70分.解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
3
2< br>

17.(10分)已知全集U=R,A=
x|-
4
x+ x+1>0

,B={x|3x
2


4x+1>0}, 求∁
U
(A∩B).
2


解 A={x|3x-4x-4<0}=
x|-
3



2
1


B=
x|x<
3
,或x >1

.

21


A∩B=
x| -
3
3
,或1


21

U
(A∩B)={x|x≤-
3
,或
3
≤x ≤1,或x≥2}.
18.(12分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且B+C
8sin
2
-2cos2A=7.
2
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,b+c=3,求b和c的值.
解 (1)在△ABC中,有B+C=π-A,
由条件可得4[1-cos(B+C)]-4cos
2
A+2=7,
即(2cosA-1)
2
=0,
1
∴cosA=
2
.
π
又03
.
b
2
+c
2
-a
2
11
(2)由cosA=
2
,得
2bc< br>=
2
,即(b+c)
2
-a
2
=3bc,则3
2
-(3)
2


=3bc,即bc=2.


b+c=3,

b=1,

b=2,


解得






bc=2,
c=2,

c=1.

19.(12分)递增等比数列{a
n
}满足a
2
+a
3
+a
4
=28,且a
3
+2是a
2
和a
4
的等差中项.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若b
n
=a
n
·log
1

a
n
,求数列{b
n
}的前n项和.
2
解 (1)设等比数列的公比为q(q>1),
23


a
1
q+a
1
q+a
1
q=28,
则有


32

aq+aq=2aq+2,

111


1


a
1
=2,
解得

或< br>
1

q=2,
q=,


a=32,
2


(舍去).
所以a
n
=2·2
n

1
=2
n
.
(2)b
n
=a
n
·log
1

a
n
=-n·2
n

2
S
n
= -(1·2+2·2
2
+3·2
3
+…+n·2
n
), < br>2S
n
=-(1·2
2
+2·2
3
+…+(n-1) ·2
n
+n·2
n

1
).
两式相减,得Sn
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
-n·2=-(n-1)·2
n

1
-2.
20.(12分)配制两种 药剂,需要甲、乙两种原料.已知配A种药
需要甲料3毫克,乙料5毫克;配B种药需要甲料5毫克、乙 料4毫
克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A,B两种药至少各配一剂,
问A、B两种药 最多能各配几剂?
解 设A、B两种药分别能配x,y剂,x,y∈N
*
,则
n

1
21-2
n

=-n·2
n

1
1-2




y≥1,

3x+5 y≤20,


5x+4y≤25,
x≥1,

作出可行域 ,图中阴影部分的整点有(1,1),(1,2),
(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) ,(3,2),(4,1).

所以,在保证A,B两种药至少各配一剂的条件下,A种药最多
配4剂,B种药最多配3剂.
a+b
sinB
21.(12分)在△ABC中,已知
a
=,且co s(A-B)+
sinB-sinA
cosC=1-cos2C.
(1)试确定△ABC的形状;
a+c
(2)求
b
的范围.
a+b
sinB
解 (1)由
a
=,
sinB-sinA
a+b
b

a
=,即b
2
-a
2
=ab, ①
b-a
又cos(A-B)+cosC=1-cos2C,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin
2
C.


sinA·sinB=sin
2
C,则ab=c
2
. ②
由①②知b
2
-a
2
=c
2
,即b
2
=a
2
+c
2
.所以△ABC为直角三角形.
a+c
(2)在△ABC中,a+c>b,即
b
>1.
a+c
b

a
2
+c
2
+2ac
b
2
2a
2
+c
2

b
2

a+c
2b
2
b
2
=2,故
b

取值范围为(1,2].
22.(12分)设{a
n
}是公差不为零的等差数列, S
n
为其前n项和,
222
满足a
2
2
+a
3
=a
4
+a
5
,S
7
=7.
(1)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n

a< br>m
a
m

1
(2)试求所有的正整数m,使得为数列{an
}中的项.
a
m

2
解 (1)由题意,设等差数 列{a
n
}的通项公式为a
n
=a
1
+(n-1)d,(d≠0).
222
由a
2
2
+a
3
=a< br>4
+a
5
,知2a
1
+5d=0.①
又因为S
7
=7,所以a
1
+3d=1.②
由①②可得a
1
=-5,d=2.
na
1
+a
n

2
所以数列{a
n
}的通项公式a
n
=2n- 7,S
n
==n-6n.
2
(2)因为
8
a
m< br>a
m

1
a
m

2
-4a< br>m

2
-2
8
==a
m

2-6+为数列{a
n
}中
a
m

2
a
m

2
a
m

2
的项,故为整数,又由(1)知a
m

2
为奇数,所以a
m

2
=2m-3 =±1,
a
m

2
即m=1,2.
a
m
a
m

1
-5×-3
当m=1时,==-15.
a
m

2
-1
显然它不是数列{a
n
}中的项.


a
m
·a
m

1
-3×-1 
当m=2时,==1.
3
a
m

3
它是数列{a
n
}中的项.
因此,符合题意的正整数只有m=2.


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