感恩节图片-祝语

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1～8小题 ，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1、设函数
f(x)在连续，其2阶导函数
f

(x)
的图形如下图所示，则曲线
yf(x)
的
（-,+）
拐点个数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2、设
y
则（）
（A）
a3,b1,c1.
（B）
a3,b2,c1.

（C）
a3,b2,c1.
（D）
a3,b2,c1.


1
2x

1

e

x

e
x
是二阶常系数非齐次 线性微分方程
y

aybyce
x
的一个特解，
2 3

3、若级数

a
n
条件收敛，则
x3与
x3
依次为幂级数

na
n

x1
的：
n1n1

n
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
4、设D是第一象限中曲线
2xy1,4xy1
与直线
yx,y3x
围成的平面区域，函数
f(x,y)
在D上连续，则

f(x,y)dx dy

D


（A）


d


2
4
1
sin2

1
2sin2< br>
1
sin2

1
2sin2


f(rcos

,rsin

)rdr
（B）


2
d


4
1
sin2
1
2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr



（C）


d


3
4
f(rcos

,rsin

) dr
（D）


3
d


4< br>1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin

)dr


111

1


5、设矩阵
A12a
，
bd
，若集 合
{1,2}
，则线性方程组
Axb
有无穷多个

14a
2

d
2


解的 充分必要条件为
（A）
a,d
（B）
a,d

（C）
a,d
（D）
a,d

6、设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
在正交变换
xPy
下的标准形为
2 y
1
y
2
y
3
，其中
222
P( e
1
,e
2
,e
3
)
，若
Q(e
1
,e
3
,e
2
)
，则
f(x
1,x
2
,x
3
)
在正交变换
xQy
下的标准 形为
（A）
2y
1
y
2
y
3
（B）
2y
1
y
2
y
3

（C）
2y
1
y
2
y
3
（D）
2y
1
y
2
y
3

7、若
A,B
为任意两个随机事件，则
（A）
P(AB)P(A)P(B)
（B）
P(AB)P(A)P(B)

222222
222222
（C）
P(AB)
P(A)P(B)P(A)P(B)
（D）
P(AB)

22
8、设随机变量
X,Y
不相关， 且
EX2,EY1,DX3,
则
E


X

XY2





（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9、
lim
lncosx

x0
x
2

2< br>-

(
10、


2
sinx
x )dx
1cosx
z

11、若函数
zz(x,y)
由方程
exyz+xcosx2
确定，则
dz
(0,1)
< br>.

12、设

是由平面
xyz1
与三 个坐标平面所围成的空间区域，则

(x2y3z)dxdydz



20L-12L
MMO
00L
13、
n
阶行列式
0

0
0
2
2
0L
MM
22
-12


14、设二维随机变量
(X,Y)
服从正态分布
N(1,0;1, 1;0)
，则
P(XYY0)
.
三、解答题：15～23小题,共9 4分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数
f(x)xaln(1x)bxsin x
，
g(x)kx
，若
f(x)
与
g(x)
在< br>x0
是等价无穷小，
求
a
，
b
，
k
值。

16、（本题满分10分）
设函数在
f(x)
定义域< br>I
上的导数大于零，若对任意的
x
0
I
，曲线
y f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处
的 切线与直线
xx
0
及x轴所围成的区域的面积为4，且
f(0)2
，求
f(x)
的表达式
.
17、（本题满分10分）
已知函数
f(x,y)xyxy
，曲线
C:xyxy3
，求
f( x,y)
在曲线
C
上的最大方向
导数.
18、（本题满分10分）
(Ⅰ)设函数
u(x),v(x)
可导，利用导数定义证明
22
3
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

(Ⅱ)设函数
u
1
(x),u
2
(x)...u
n
(x)
可导，
f
19、（本题满分10分）
(x)u
1
(x)u
2
(x)...u
n
(x),
写出
f(x )
的求导公式.


z2x
2
y
2
,
已知曲线
L
的方程为

起点为
A(0,2,0)
，终点为
B(0,2,0)
，计算曲线积


zx,