数学题变式常用方法
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数学题变式的常用方法
摘 要：本文阐述了什么是数学题的变式及数学题的变式对发展
学生思维，提高解题能力的作用，并对数学题变式的常用方法进行
了初步探讨。
关键词：变式 举一反三 命题 解题能力
中图分类号：g633.6 文献标识码：a
文章编号：1673-9795（2013）
06（c）-0088-02
数学题是无穷无尽
的，搞“题海战术”不仅加重学生的学习负担，
而且削弱了基础知识的学习，也影响了学生思维的发展。
数学教学
要在发展学生思维能力上下功夫，而一题多解与一题的变式应用这
两种形式对于培养学
生分析问题和解决问题的能力是有效的。本文
想对数学题变式的常用方法做初步探讨。
题的变式是指对于一道数学题，适当变换条件或结论，变换形式
或内容，得到一些新的数学题。
把一道数学题变成新的数学题，所用知识，解题方法都可能引起
变化。通过比较鉴别，会使学生
进一步开阔思路，学的灵活；同时
有利于巩固基础知识和基本技能的训练，起举一反三的作用。
一题的变式在新课、复习课和习题课都可应用。
1 条件或结论的等价替换
在数学
命题中，有些命题是等价命题，他们之间可以互相推导，
如果将命题的条件（或条件）用等价的条件（或
结论）替换，便可
得出新命题。
例1：方程（a-b）c2+（c-a）c+
（b-c）=0有相等二实根，求证：
a、b、c成等差数列。
这个命题可改写成“若（c-
a）2-4（a-b）（b-c）=0，求证：a、
b、c成等差数列。”
实际上原题中方程
有相等二实根与新题的（c-a）2-4（a-b）（b-c）
=0是等价的。
原题也可这样改变：“设a、b、c为三角形三个内角，且（sina-
sinb）
c2+（sinc-sina）c+（sinb-
sinc）=0有相等二实根，求证：sina、
sinb、sinc成等差数列。”
有正弦定理知，在△abc中，（sina-sinb）c2+（sinc-
sina）c+
（sinb-sinc）=0与（a-b）c2+（c-a）c+（b-c）=0是等价
的，sina、
sinb、sinc成等差数列与a、b、c成等差数列是等价的。
例2：设tgα，tgβ是方程c2+ac+a+1=0的二根，求证（α+β）
=1
这个题条件不变，结论可改成“求证sin（α+β）=cos（α+β）”。
或改成“求证α+β=nπ+，（n为整数）。”
2 利用数学中的互逆关系
数学
存在着对立统一的辩证关系。如加与减、乘与除、乘方与开
方、指数与对数、反三角函数与三角函数、和
差化积与积化和差等
等。这就启发我们可以根据数学中的互逆关系，进行变式。
例3：设α，β为锐角，且tgα=，tgβ=，求证：α+β=。可以
改写成
“求证：arctg+arctg=”。
在几何命题中，有些原命题、逆命题
都成立，这样可以把条件和
结论部分交换或全部交换，得出新命题。
例4：由圆外一点o，向
圆c作切线oa、ob，a、b是切点，在劣
弧ab上任取一点p，作pd⊥oa于d，pe⊥ab于e
，pf⊥ob于f，
则pe2=pd·pf。（见图1）
如将结论与条件部分交换，可改写成
“设等腰△oab的顶角为2
θ，高为h，在△oab内有一动点p，到三边oa、ob、ab的距离分
别为|pd|、|pf|、|pe|，并且满足|pe|2=|pd|·|pf|，求p点的轨
迹。（见图2）
例5：在△abc中，∠a的平分线交bc于d，则。如果条件与结
论全部交
换，可改成“在△abc中，d为bc上一点，且，则ad平
分∠a”。
3
变换问题的表现形式和内容
对于同样的数量关系和逻辑关系，常可以表现为各种不同的形
式。
我们掌握了这种关系之后，可以编出与这种关系相同而表现形
式不同的习题。
例6：分解因式：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15。
这个题可改成解方程
：（c+1）（c+3）（c+5）（c+7）+15=0。或改
成解不等式：（c+1）（c+3）（
c+5）（c+7）+15>0，或改成“求函数
y=lg〔（（c+1）（c+3）（c+5）（c+
7）+15〕的定义域”等等。
例7：已知cd是直角△acb斜边ab的高，de⊥ac于e，df
⊥bc
于f，求证：（见图3）
根据条件和图形，可改成“设cedf是一个
已知圆的内接矩形，
过d作该圆的切线与ce的延长线相交于a，与cf延长线相交于b，
求证
：。”（见图4）
例8：若a、b、c为正数，
且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
利用代数和几何的联系，可以改成“长方体三
度之和为1，求证
此长方体的对角线的长不小于。”这样一变，使学生进一步学到了
沟通不同学
科知识的方法，有利于培养学生综合运用知识的解题能
力。
以上几列原题和新题之间虽形式上不一样，但在数量关系和解题
方法上基本没有变化。
4 题目的发展和深化
（1）利用特殊和一般的关系，使题目内容发展和深化。
例9：化简：
这个题化简的结果是x2，如果将x换成sina，cosa，seca，cs
ca
等之一，就使一般问题特殊化了，从而使题目的内容发展了。
例10：在△abc中，求证tga+tgb+tgc= tgatgbtgc
实际上，不一定在△abc中，只要a+b+c=nπ，nz上式就成立。
特别是当n=0时得到
；
通过对原题有时增加条件，有时改变条件，由特殊到一般
，由一
般到特殊地进行变式，起到了归类串线、多题一解的作用，可以使
学生掌
握解题规律。
（2）条件不变，使结论发展和深化。
例11：已知方程组（a、b、c、d均为正数）
（1）证明c是一个二次方程的根；
（2）证明这两个方程有相异二实根；
（3）试指出此二次方程的绝对值大的根的符号。 <
br>显然，从方程组中消去y，便可得到关于x的方程。在此基础上，
要证明（2）还得用到判别式，
要回答（3）需比较两根的大小。条
件虽未变，通过连串三问，使结论发展、深化了，使问题拔了高，<
br>扩大了知识领域。
从本文的例题中，可以透视出有些新题是怎样编拟出来的，同时
也启
发我们在教学中重视变式的应用。
参考文献
[1]
首都师范大学数学系教材教法研究室.中等数学教题研究
[m].河南教育出版社，1994.