爱的奉献作文-赞美老师的诗歌朗诵

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题
一、选择题:1～8小题，每小题4 分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答 题纸指定位置上.
．．．
（1）（数三）

若
lima
n
a
，且
a0
，则当
n
充分大时有（ ）
n
（A）
a
n

a
2
（B）
a
n

a
2
（C）
a
n
a
11
（D）
a
n
a

nn

（2）（数二）

1
当
x0
时，若
ln(12x)
，
(1cosx)
均是比
x
高阶的无穷小，则

的取值范围是



（ ）
（A）
(2,)
（B）
(1,2)
（C）
(,1)
（D）
(0,)


（3）（数一、二、三）

下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A）
yxsinx
（B）
yxsinx

（C）
yxsin

（4）（数三）

3
设
P(x)abxcxdx
，当
x0
时，若
P(x)tanx
是比
x
高阶的无穷小 ，则下
23
2
1
2
1
2
11
（D）
yx
2
sin

xx
列选项中错误的是（ ）
．．
（A）
a0
（B）
b1
（C）
c0
（D）
d

1

6

（5）（数一、二、三）

设函数
f(x)具有2阶导数，
g(x)f(0)(1x)f(1)x
，则在区间
[0,1 ]
上（ ）
（A）当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

（B）当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

（C）当
f

(x)0
时，
f(x)g(x)

（D）当
f

(x)0
时，
f(x)g( x)


（6）（数二）


xt
2
7,

曲线

上对应于
t1
的点处的曲率半径是（ ）
2


yt4t1
（A）
1010
（B） （C）
1010
（D）
510

50100

（7）（数二）

设函数
f(x)arc tanx
，若
f(x)xf

(

)
，则
lim
x0

2
x
2

（ ）
（A）
1
（B）














211
（C） （D）
323

（8）（数二）

设函数
u(x,y)在有界闭区域
D
上连续，在
D
的内部具有2阶连续偏导数，且满足

2
u
2
u
2
u
0
及
2

2
0
，则（ ）
xyxy
（A）
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的边界上取得
（B）
u(x,y)
的最大值和最小值都在
D
的内部取得
（C）
u(x,y)
的最大值在
D
的内部取得，
u(x,y)
的最小值在
D
的边界上取得
（D）
u(x,y)
的最小值在D
的内部取得，
u(x,y)
的最大值在
D
的边界上取得

（9）（数一）

设
f(x,y)
是连续函数，则（A）
（B）

dy

0
11y
1y< br>2
f(x,y)dx
（ ）

dx

0
1x1
0
1x
f(x,y)dy

dx

1
0
1
01x
2
0
0
f(x,y)dy
f(x,y)dy


1

1
0
dx

0
f(x,y)dy

dx

1x
2

（C）

2
0
d


1
cos

sin

0
f(rco s

,rsin

)dr


d

f(rcos

,rsin

)dr

2
0

（D）


2
0
d


1
cos

sin

0
f(rc os

,rsin

)rdr


d


f(rcos

,rsin

)rdr

2
0

1
（10）（数一）

若



(xa
1
cosxb
1
sinx)
2
dxmin
a,bR




< br>(xacosxbsinx)
2
dx
，则

a
1
cosxb
1
sinx
（ ）
（A）
2sinx
（B）
2cosx

（C）
2

sinx
（D）
2

cosx

（11）（数一、二、三）

0a
行列式
b
0
d
0
2
0
b
0
d
2
a00c
c0

（ ）
（A）
(adbc)
（B）
(adbc)

（C）
a
2
d
2
b
2
c
2
（D）
b
2
c
2
a
2
d
2


（12）（数一、二、三）

设

1
,

2
,

3
均为3维向量，则对任意常数
k,l
，向量组

1
k

3
,

2
 l

3
线性无关是向量
组

1
,

2
,

3
线性无关的（ ）
（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件

（13）（数一、三）

设随机事件A与B相互独立，且
P(B)0.5 ,P(AB)0.3
，则
P(BA)
（ ）
（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4

（14）（数一）

设连续型随机变量
X
1
与
X
2
相互独立 且方差均存在，
X
1
与
X
2
的概率密度分别为
f< br>1
(x)
与
11
f
2
(x)
，随机变量Y
1
的概率密度为
f
Y
1
(y)[f
1(y)f
2
(y)]
，随机变量
Y
2
(X
1
X
2
)
，
22
则（ ）
（A）
E Y
1
EY
2
,DY
1
DY
2
（B）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2

（C）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2
（D）
EY
1
EY
2
,DY
1
DY
2


（15）（数三）

若
X
1
,X
2
,X
3
为来自正 态总体
N(0,

)
的简单随机样本，则统计量
S
布为（ ）
（A）
F(1,1)
（B）
F(2,1)
（C）
t(1)
（D）
t(2)


二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．
（1）（数一）

曲面
zx(1siny)y(1 sinx)
在点
(1,0,1)
处的切平面方程为 .

（2）（数三）

设某商品的需求函数为
Q402P
（
P
为商品的价格），则该商品的边际收益
为 .

（3）（数二）

22
2
X
1
X
2< br>服从的分
2X
3
1


x
2
2 x5
dx
.
1

（4）（数一、二）

设
f(x)
是周期为
4
的 可导奇函数，且
f

(x)2(x1)
，
x[0,2]
，则
f(7)
.

（5）（数三）

设
D
是由曲线
xy10
与直线
yx0
及< br>y2
围成的有界区域，则
D
的面积
为 .

（6）（数三）

设

（7）（数三）

2
e
x
e
y
)dx
. 二次积分

dy

(
0y
x

a
0
xe
2x
dx
1
，则
a
.
4
11
2

（8）（数二）

设
z z(x,y)
是由方程
e
2yz
xy
2
z

（9）（数一）

微分方程
xy

y(lnxl ny)0
满足条件
y(1)e
的解为
y
.

3
7
确定的函数，则
dz
(
1
,< br>1
)

.
4
22

（10）（数二）

曲线
L
的极坐标方程是
r

，则
L
在点
(r,
)(
是 .

（11）（数二）

一根 长度为1的细棒位于
x
轴的区间
[0,1]
上，若其线密度

(x)x2x1
，则该细棒
的质心坐标
x
.

（12）（数一）

设
L
是柱面
xy1< br>与平面
yz0
的交线，从
z
轴正向往
z
轴负向看 去为逆时针方向，
则曲线积分

（13）（数一、二、三）

22
设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)x< br>1
x
2
2ax
1
x
3
4x
2
x
3
的负惯性指数为1，则
a
的取值范围

,)
处的切线的直角坐标方程
22
2
22
Ñ
zdxydz
.
L
是 .

（14）（数一）


2x
,

x2


设总体
X
的概率密度为
f(x,

)
3

2
，其中

是未知参数，
X
1
,X
2
,,X
n

,其他

0
为来自总体
X
的简单随机样本，若
c



X
i1
n
2
i
为

的无偏估计，则
c
.
2

（15）（数三）

2x
,

x2


设总体
X< br>的概率密度为
f(x,

)

3

2，其中

是未知参数，
X
1
,X
2
,,X< br>n

,其他

0

n
2

为来自总体
X
的简单随机样本，若
E

c

Xi



2
，则
c
.

i1


三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写 在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、
．．．
证明过程或演算步骤.
（1）（数一、二、三）

求极限
lim

[t
1
x
2
(e1)t]dt
2
1
t
x1
xln(1)
x


（2）（数一）

设函数
yf(x)
是由方程
yxyxy60
确定，求
f( x)
的极值.

（3）（数二）

已知函数
yy(x )
满足微分方程
xyy

1y

，且
y(2 )0
，求
y(x)
的极大值与极小
值.

（4）（数二、三）

22
xsin(

xy)
dxdy
. 设平面区域
D

(x,y)1x
2
y
2
4,x0,y0

，计算

xy
D
22
322

（5）（数三）

设函数
f(u)
具有连续导数，
zf(ecosy)
满足
x
cosy

zz
siny(4ze
x
cosy)e
x
，若
f(0)0
，求
f(u)
的表达式.
xy
（6）（数一、二）

设函数
f(u)
具有2阶连续导数，
zf(ecosy)
满足 < br>x

2
z
2
z
x2x
(4zeco sy)e
，若
f(0)0,f

(0)0
，求
f(u)
的表达式.
22
xy


（7）（数二、三）


设函数
f(x)
，
g(x)
在区间
[ a,b]
上连续，且
f(x)
单调增加，
0g(x)1
. 证明：（Ⅰ）
0
（Ⅱ）

x
a
g(t)dtxa
，
x[a,b]
；
b

ag(t)dt
< br>a
b
a
f(x)dx

f(x)g(x)dx

a

（8）（数二）

设函数
f(x)
x
，
x[0,1]
.定义函数列： < br>1x
f
1
(x)f(x)
，
f
2
(x) f(f
1
(x))
，
L
，
f
n
(x) f(f
n1
(x))
，
L

记
S
n是由曲线
yf
n
(x)
，直线
x1
及
x< br>轴所围平面图形的面积，求极限
limnS
n
.
n

（9）（数二）

已知函数
f(x,y)
满足
f
2(y1)
，且
f(y,y)(y1)
2
(2y)lny
.求曲线
y
f(x,y)0
所围图形绕直线
y1
旋转所成旋转体的体积.

（10）（数一）

设

为曲面
zxy(z1)
的上侧，计算曲面积分
22
I

(x1)
3
dydz(y1)
3
dzdx(z1)dxdy



（11）（数三）

求幂级数

（12）（数一）

设数列
{a
n< br>},{b
n
}
满足
0a
n

（Ⅰ）证明：
lima
n
0;

n

(n1)(n3 )x
n0

n
的收敛域及和函数.

2
,0 b
n


2
,cosa
n
a
n
cosb
n
，且级数

b
n
收敛.
n1

（Ⅱ）证明：级数






a
n
收敛.

n1
b
n


（13）（数一、二、三）


1234


设矩阵
A
< br>0111

，
E
为
3
阶单位矩阵.
< br>1203


（Ⅰ）求方程组
Ax0
的一个基础解系；
（Ⅱ）求满足
ABE
的所有矩阵
B
.

（14）（数一、二、三）


11


11 
证明：
n
阶矩阵




11< br>

（15）（数一、三）

1

0

1

0

与




1


0
0
0

0
1

2


相似


n


设随机变量
X
的概率分布为
P{X1}P{X2}
量
Y
服从均匀分布
U(0,i)(i1,2)
，
（Ⅰ）求
Y
的分布函数
F
Y
(y)
；
（Ⅱ）求
EY


（16）（数三）

1
，在给定
Xi
的条件下，随机变
2
设随机变量
X,Y
的 概率分布相同，
X
的概率分布为
P{X0}
与
Y
的相关 系数为

XY

12
,P{X1}
，且
X33
1
.
2
（Ⅰ）求
(X,Y)
的概率分布；
（Ⅱ）求
P{XY1}
.

（17）（数一）

x




设总体
X
的分布函 数
F(x;

)

1e,x0
，其中
是未知参数且大于零，

x0

0,
2
X
1
,X
2
,L,X
n
为来自总体
X
的简单随机样本 .
（Ⅰ）求
EX
与
EX
2
；
ˆ
； （ Ⅱ）求

的最大似然估计量

n
ˆ
a

0
？ （Ⅲ）是否存在实数
a
，使得对任何

0
，都 有
limP

n
n
