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湖北省黄冈中学2018年五月份模拟考试
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120
分钟.
第I卷
（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中
发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概
kknk
率
P
n
(k)C
n
P(1P)
球的体积公式
V
球
4
3
R
其中R表示球的半径
3
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一
项是符合题目要求的.
1．已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素的个数为
A．0 B．0，1，2其中之一
C．无穷多个 D．无法确定
2．tan15°－cot15°的值是
A．－
3
B．－2
3
C．
3
D．2
3
D．2或－2
（ ）
（ ）
（ ）
3．n为正奇数，
(
A．2
1i
2n
1i
2n
)()
的值是
1i1i
B．－2 C．0
1
4．已知函数
f(x)
A．－4
ax
,
其反函数
f
xa1
B．－2
(x)
的图象对称中心是（－1，3），则实数a等于
C．2
D．4
（ ）
5．将函数y=f(x)·cosx的图象按向量a=（
，1）平移，得到函数y=2sin
2
x的图象那么函数
4
f(x)可以是 （ ）
A．cosx B．2cosx C．sinx
D．2sinx
6．设抛物线的顶点在原点，其焦点在y轴上，又抛物线上的点P(k ,
－2)与焦点F的距离为4，
则k等于
A．4
2
B．4或－4
n
C．－2
D．－2或2
（ ）
7．设
f(x1)xx
x(x0,1),且f(x)
中所有项的系数和为A
n
，则
lim
A．2
B．
A
n
的值为
n
2
n
（ ）
1
2
C．－
1
2
D．－2
8．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，D、E分别是BC、
AB的中点，AC>AD，设PC与DE所成的角为
，PD与平面ABC所成的角为β，二面
角P—BC—A的平面角为
，则
、
、
的大小关系是
A．
<
<
C．
<
<
B．
<
<
D．
<
<
（ ）
9．在曲线y=x
3
+x－2的切线中，与直线
4x－y=1平行的切线方程是
A．4x－y=0
C．2x－y－2=0
B．4x－y－4=0
D．4x－y=0或4x－y－4=0
（ ）
x
2<
br>y
2
10．椭圆
2
2
(ab0)
的
左顶点点为A，左焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，离
ab
心率
e
1<
br>，则直线AB与CF的夹角为
3
42
11
B．arctan
（ ）
A．arctan
82
11
C．arctan
42
5
D．arctan
82
5
（ ）
11．棱长为1的正八面体的外接球的体积是
A．
6
B．
43
27
C．
82
3
D．
2
3
12．我校家长学校邀请了6位同
学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的教育
情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那
么不同选择方法的种数是
（ ）
A．60
B．120 C．240 D．480
第Ⅱ卷
（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.
13．函
数
ylog
a
x在[2,)
上恒有|y|>1，则a的取值范围是
.
14．已知点P(x,y)在曲线
y
1
上运动，作PM垂直于x轴于M
，则△OPM（O为坐标原点）
x
的周长的最小值为 .
15．某两个数学班的学生成绩统计中，甲班标准差大于乙班标准差，而平均成绩相同，
说明
.
16．如图，以长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
为顶点且四个面都是直角三角形的四面体
是
.（注：只写出其中一个，并
在图中画出相应的四面体）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知向量a=
(cosx,sin
（1）求a·b及|a+b|；
（2）若
f(x)
=a·b－|a+b|，求
f(x)
的最大值和最小值.
3
2
3xx
x),
b=
(c
os,sin)
,且
x[,].
22234
18．（本小题满分12分）一次考试出了12个选择填空题，每题5分，每个题有四个可供
选择
的答案，一个是正确的，三个是错误的，某同学只知道其中9个题的正确答案，其余3个题完
全靠猜测回答.
（1）试求这个同学卷面上正确答案不少于10个的概率；
（2）设这个同学选择填空题得分为ξ，求Eξ（精确到个位）.
19．（本小题满
分12分）已知函数
f(x)xaxbxa
在x=1处有极值10，试确定a,b的值.
322
20．（本小题满分
12分）如图，在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=3，AD=6，AA
1
=3，N
在线段A
1
D上，AN⊥A
1
D，M为线段B
1
C
1
上一点，且AM⊥
A
1
D.
（1）求B
1
M的长；
（2）求直线AD与平面AMN所成角的大小；
（3）求点C到平面AMN的距离.
21．（本小题满分12分）过点M（－2，0）作直线l交双曲线x
2
－y
2
=1于A、B两点，已知
OPOAOB,
（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.
22．（本小题满分14分）有n
2
(n≥4)个正数，排成n
×n矩阵（n行n列的数表，如图）：
a
11
a
12
… a
1n
a
12
a
22
…
a
2n
… … … …
a
n1
a
n2
… a
nn
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：
a
24
=1,
a
42
=
1
3
,a
43
=,
8
16
（1）求公比q；
（2）用k表示a
4k
；
（3）求a
11
+a
22
+a
33
+…+a
nn
的值.
参考答案
1．A 2．B 3．B 4．C
5．D 6．B 7．A 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C
13．
(,1)(1,2)
14．
2
16．A
1
－ABC等
17．解：
（1）a·b
cosxcos
1
2
2
15．乙班学生成绩比较平衡，而甲班成绩差异较大
3
2
x3x
sinxsincos2x.
222<
br>|a+b|
(cos
3x3x
xcos)
2
(sinxsin)
2
22cos2x2|cosx|,x[,],
222234
cosx0,
|a+b|=
2cosx
. （2）
f(x)cos2x2cosx2cosx2cosx12(cosx)<
br>2
1
2
2
3
.x[,],
234
11
3
cosx1,
当
cosx时，
f(x)
取得最小值
;
cosx1时,f(x)
取得值
大
22
2
值－1.
18．解：“这个同学卷面上正确答案不少于10个”等价于3个选择题的答案中正确答案的个
数不少于1个，该事件是3次独立重复试验，在每次试验中选中正确答案的概率为
.
1
4
131279137
1
1
1
3
2
所求事件的概率为
C
3
，或
()()C
3
2
()
2
()
1
()
3
44
44464646464
337
1()
3
.
464
（2）ξ可能取值分别为45，50，55，60，P(ξ=45)=
(
3
)
3
27
,P(
50)
27
,P(
55)
9
,
4646464
P(
60)
,E
45505
56048.7549.
646464646464
2
19．
解
f
(x)3x2axb,f(x)在x1
处有极值10，
f
(1)0,
f(1)10.
32ab0,
a3,
a4,
即
解得或
当a3,b3时
，
2
b3,b11.
1aba1
0,
f(x)x
3
3x
2
3x9,f
(
x)3(x1)
2
,f
(x)在x1
处附近的正负号如图（
1）所
示，
f(x)在x1
处无极值，不合题意；当
a4,b1
1时,f(x)x
3
4x
2
11x16,
f
(x)3(x1)(x
11
),f
(x)在x1
处附近的正负号如图（2）所示，
f(x)在x1
3
处取值极小值
f(1)10
，综上知
a4,b11
符
合题意.
20．解法1：分别以AB，AD，AA
1
所在直线为x轴、y轴、z轴建
立空间直角坐标系.
（1）设B
1
M=x，则
AM(3,x,3)
,A
1
D(0,6,3),AMA
1
D,(3,x,3)(0,
6,3)
6x90,x
33
,即B
1
M.
2
2
aA
1
D
|a||A
1
D|
(0,0,1)
(0,6,3)
6
2
3
2
5
5
（2）∵A
1
D⊥AM，A
1
D⊥AN，∴A
1
D⊥平面A
MN，∴A
1
D是平面的法向量，设平面ABCD
的法向量是
a
=（
0，0，1）
cosa,A
1
D
∴直线AD与平面AMN所成的
角为arccos
5
.
5
（3）∵A
1
是平面MAN的法
向量，
AC(3,6,0)
，则点C到平面AMN的距离为
|ACA
1
D|
|A
1
D|
|(3,6,0)(0,63)|<
br>35
125
.
5
解法2：（1）作ME⊥A1
D
1
于E，连AE.∵AM⊥A
1
D，由三垂线定理的逆定理
知AE⊥A
1
D，
由Rt△A
1
AE∽Rt△DA
1
A，知A
1
E=
133
AA
1
,B
1
MA
1
E.
222
AD
2
,
A
A
1
（2）∵A
1
D⊥AM，A
1
D⊥AN，∴A
1
D⊥平面AMN，∴∠DAN=tan∠DA
1
A=
即直线AD与平面AM
N所成的角为arctan2.
（3）设过A
1
、D、C的平面α交平面AMN于N
F，∵A
1
D⊥平面AMN，∴A
1
D⊥NF，
又A
1D⊥CD，且CD与NF共面α.∴CD平面AMN.∴点D到平面AMN的距离DN=
125即
5
为点C到平面AMN的距离.
21．（1）设l的方程为y=k(x+2)
(k≠0),代入方程x
2
－y
2
=1,得(1－k
2
)x
2
－4k
2
x－4k
2
－1=0.
4k
2
4k
2
1
,x<
br>1
x
2
2
.
①
当k≠±1时，设A(x
1
,y
1
), B(x
2
, y<
br>2
),则
x
1
x
2
2
1kk
1
k4k
2
4k
4k
y
1
+y
2
=k(x
1
+2)+k(x
2
+2)=k(x
1
+
x
2
)+4k=.
22
1k1k
4k
2
4k
,).
设
P(x,y),由OPOAOB,得(x,y)(x
1
x
2
,y1
y
2
)(
22
1k1k
x
4k
2
4
x
，②
2
y
x
1k
②÷③得
k
.④ 将④代入③得，
y
，化简，
x
y
2
y
4k
1()
. ③ <
br>
y
1k
2
得x
2
－y
2+4x=0,即(x+2)
2
－y
2
=4.⑤
当斜率不存在时
，易知P（－4，0）满足方程⑤，故所求轨迹方程为(x+2)
2
－y
2
=
4(y≠0)，
其轨迹为双曲线.
（2） OAPB为矩形的充要条件是
OA
OB
=0，即x
1
x
2
+y
1
y
2=0.⑥ 当k不存在时，A、
B坐标分别为（－2，
3
）、（－2，－
3
），不满足⑥式.
又x
1
x
2
+y
1
y
2
= x
1
x
2
+k(x
1
+2)k(x
2
+2)=
(1k
2
)(4k
2
1)2k
2
4k
2<
br>k
2
1
2
4k0
,化简得
2
0<
br>，此x
1
x
2
+k x
1
x
2
+2
k(x
1
+x
2
)+4k=
22
k1k1
k
1
222
方程无实数解.故不存在直线l使OAPB为矩形.
22．解：（1）∵每一行的数列成等差数列，∴a
42
,
a
43
, a
44
成等差数列，∴2a
43
=a
4
2
+a
44
, a
44
=
又每一列的数成等比数列，故a<
br>44
=a
24
·q
2
，a
24
=1,
∴q
2
=
（2）a
4k
=a
42
+(k－2
)d=
1
；
4
11
,且a
n
>0, ∴q=. <
br>42
1
k
+(k－2)(a
43
－a
42
)
=.
8
16
－
k1
－
1
·()
k4=k·()
k
(k=1,2,…,n).
1622
n2
记a
11
+a
22
+a
33
+…a
nn
=
S
n
,由错位相消法，可得S
n
=2－
n
.
2
（3）∵第k列的数成等比数列
∴a
kk
=a
4k
·q
k4
=
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