七夕习俗-真心话问题500个

2013—2014学年度第二学期高三期中考试
理 科 数 学 试 题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷
（选择题 共60分）

一、 选择题（每小题5分，共60分。下列 每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确
答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知复数
z
12i
，则它的共轭复数
z
等于( )
5
i
A．
2i
B．
2i
C．
2i
D．
2i

2．已知集合
Axx 20,xN
，
Bx
集合
C
的个数为（ ）
A.
5
B.
4
C.
3
D.
2

3．甲、乙两位同学，升入高三以来连续五次模拟考试数学单科成绩如下表：
甲
乙



x2,xZ
，则满足条件
AC B
的

108
109
112
111
110
108
109
108
111
109
则平均成绩较高与成绩较稳定的分别是（ ）
A．同学甲，同学甲
C．同学乙，同学甲


B．同学甲，同学乙
D．同学乙，同学乙




4． 已知平面向量
m,n
的夹角为
,
且
m3,n2
，在ABC
中，
AB2m2n
，
6

 
AC2m6n
，
D
为
BC
中点，则
AD 
( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是 （ ）
71515715
C．
P
D.
P
B.
P
81616

816
37
P

48
A．






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6． 若函数
1
f(x)e
ax
(a＞0,b＞0)
的图象在
x0
处的切线与圆
x
2
y
2
1
相切，则b
4
ab
的最大值是（ ）
A.4 B.
22
C.2 D.
2
主视图
侧视图
3
2
7．右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等 于（ ）
．．．
A．
3465
B．
66543

3
2
C．
663413
D．
1765

俯视图
6

8．将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。 则白球与黄球不相邻的放
法有（ ）
A．10种 B．12种 C．14种 D．16种
第7题图
第7题
x
2
y
2
9．双曲 线M:
2

2
1
（a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B，点 P为双曲线M上除A、B外
ab
的一个动点，若
QAPA
且
QB PB
,则动点Q的运动轨迹为（ ）
A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10．设函数
f(x)e
x
(sinxcosx)

( 0x2014

)
，则函数
f(x)
的各极小值之和为（ ）
e
2

(1e
2014

)e
2

(1e
1007

)e
2

(1e
1007

)e
2

(1e
2012

)
A.

B.

C.

D.


1e
2

1e

1e2

1e
2


11．三棱 锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为
o
,满足
OAOBOC0，A点在
侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA =6，则此三棱锥体积最大值是（ ）
A．12 B．36 C．48 D．24
12．已知f（ x）是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x
2
，如果函
数g（x）=f（x）－（x+m）有两个零点，则实数m的值为( )
A．2k（k∈Z）
C．0

1
（k∈Z）
4
1
D．2k或2k一（k∈Z）
4
B．2k或2k+
第Ⅱ卷
（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
13．设等比数列
{a
n
}
满足公比
qN
*
，
a
n
N
*
，且{
a
n
}中的任意两项之积也是该数列中
的一 项，若
a
1
2
81
，则
q
的所有可能取值的集合 为 。
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14．已知< br>2
223344aa
2,33,44,
…，若
66( a,t
均为
33881515tt
正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，t- a= 。

xy20
ab3

15.动点
P(a,b)
在区域

xy0
上运动，则
w
的范围 。
a1

y0
< br>16．定义一个对应法则
f:P

m,n

P
< br>
m,n，
现有点
A

2,6

与
点B

6,2

，

m≥0,n≥0

．

点
M
是线段
AB
上一动点，按定义的对应法则
f :MM

．当点
M
在线段AB上从点A开
始运动到点B结束时，点 M的对应点
M

所经过的路线长度为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做， 每
题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的
相 应位置）
17.（本小题满分12分）
若
f(x)3cos
2
axsinaxcosax(a0)
的图像与直线
ym(m0)
相切，并且切
点横坐标依次成公差为

的等差数列.
(1)求
a
和
m
的值；
（
(2) ⊿ABC中 a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。若
个对称中心，且a=4，求⊿ABC周长的取值范围。





18．（本小题满分12分）
A3
，)
是函数
f(x)
图象的一
22
今年我校 高二理科班学生共有800人参加了数学与语文的学业水平测试，现学校决定利
用随机数表法从中抽取1 00人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，。。。。。800进行
编号：
（ 1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面
摘取了第7行 至第9行）
第 3 页 共 11 页

（2）抽出100人的数学与语文的水平测试成绩如下表：






成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示语文成绩与数学成绩， 若在该样
本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；
（3）在语文成绩为及格的学生中 ，已知
a10,b8
，设随机变量

ab
，求①

的分
布列、期望;②数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率






19. （本小题满分12分）
如图，五面体< br>ABCC
1
B
1
中，
AB
1
4
．底面
ABC
是正三角形，
AB2
．四边形
BCC
1B
1
是矩形，二面角
ABCC
1
为直二面角．

（Ⅰ）
D
在
AC
上运动，当
D
在何处时，有
AB
1
∥平面
BDC
1
，
第 4 页 共 11 页

并且说明理由；
（Ⅱ）当
AB
1
∥平面
BDC
1
时，求二面角
CBC
1
D
余弦值．



20．（本小题满分12分）
x
2
y< br>2
已知椭圆
2

2
1
（
ab0
）的两个焦点分别为
F
1
(c,0),F
2
(c,0)(c0 )
，过
ab
a
2
点
E(,0)
的直线与椭圆相交于 点A,B两点，且
F
1
AF
2
B,|F
1
A|2 |F
2
B|

c
（Ⅰ）求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB的斜率； < br>（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线
F
2
B
上有一点H(m, n)(
m0
)在
AF
1
C
的外
接圆上，求n
的值。
m




21．（本小题满分12分）
对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有
f< br>
(x)
＞
f(x)
成立，则称函数
f(x)
是D上
的J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）＝m
e
x
lnx是定义域上的J 函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，＋∞）上的J函数，
① 试比较g（a）与
e
a1
g（1）的大小；
② 求证：对于任意大于1的 实数x
1
，x
2
，x
3
，…，x
n
，均有
g（ln（x
1
＋x
2
＋…＋x
n
））＞g（ln x
1
）＋g（lnx
2
）＋…＋g（lnx
n
）．




22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线
AB
经过⊙
O
上的点
C
，并且
OAOB,CACB,
⊙
O
交直线
OB
于
E
，
D
，连接
EC,CD
．
（Ⅰ）求证：直线
AB
是⊙
O
的切线；
1
（Ⅱ） 若
tanCED,
⊙
O
的半径为
3
，求
OA< br>的
2
长．




23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
第 5 页 共 11 页 < /p>

已知在直角坐标系
xOy
中，圆锥曲线
C
的参数方程为

点
A(0,3)
，
F
1
,F
2
是圆锥曲线
C
的左，右焦点．

x2cos

（
为参数），定

y3sin

（Ⅰ）以原点为极点、
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点
F
1
且平行于直线
AF
2
的
直线
l
的极坐标方程；
（Ⅱ）在（I）的条件下，设 直线
l
与圆锥曲线
C
交于
E,F
两点，求弦
EF< br>的长．


24.（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点
P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
之间的直角距离为
L(P,Q)|x< br>1
x
2
||y
1
y
2
|
，点
A(x,1)
，
B(1,2)
，
C(5,2)

（1）若
L(A,B)L(A,C)
，求
x
的取值范围；
（2）当
xR
时，不等式
L(A,B)tL(A,C)
恒成立，求< br>t
的最小值.





























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2013—2014学年度第二学期高三期中考试
理科数学参考答案
1-5 CB B A D 6-10 D A C C D 11.B 12.D
13.
{2,2,2,2,2}
14.29 15.
(,1



3,)
16.
392781
2


3
17.解：（1）
f(x )3cos
2
axsinaxcosax
=
3

si n(2ax)
………………3分
23
3
10

2
由题意，函数
f(x)
的周期为

，且最大（或最小）值为
m
，而
m0
,
所以，
a1,
m
3
 1
………… ……………………6分
2（2）∵（
A3

，)
是函数
f(x)
图象的一个对称 中心 ∴
sin(A)0

22
3
又因为A为⊿ABC的内角，所以
A

3
………… ……………………9分
⊿ABC中， 则由正弦定理得：
bca
< br>sinBsincsinA
4
sin

3

83，
3
bcabc4

83

< br>

sinBsinC

4
83

s inBsin(B)48sin(B)4

33

36

0B
2

∴b+c+a
(8,12]
………… ……………………12分
3
18、解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785,667,199； …………3分
（2）由
79a
0.3
，得
a14
， …………5分
100
∵
79a2018456b100
，
∴
b17
； …………7分
（3）由题意，知
ab31
，且
a10,b8
，
∴满足条件的
(a,b)
有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，1 8），（14，17），
（15，16），（16，15），
（17，14），（18，13 ），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共
14组，
且每组出现的可能性相同. ….…9分
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

P

1 3 5 7 9 11 13 15
1
7

1
7

1
7

1
7

1
7

1
7

1
14

1
14
E


50

7
63


147
数学成绩为优秀的人数比及格的人数少 的概率为
19.解：（Ⅰ）当
D
为
AC
中点时,有
AB< br>1

平面
BDC
1
(2分)
证明:连结
∴
O
为
∵
B
1
C
交
BC
1
于
O
,连结
DO
∵ 四边形
BCC
1
B
1
是矩形
B
1
C中点又
D
为
AC
中点,从而
DOAB
1
(4分)
AB
1

平面
BDC
1
,
DO 
平面
BDC
1
∴
AB
1

平面
B DC
1
(6分)
（Ⅱ）建立空间直角坐标系
Bxyz
如图所示,
则
B(0,0,0)
,
A(3,1,0)
,
C(0,2,0 )
,

D(
33
,,0)
C(0,2,23)
2 2
,
1
(7分)

33

BD (,,0)

BC
1
(0,2,23)
22
所以, ． (8分)

33
xy0


2< br>
x3z

2


2y23z0
< br>y3z
设
n
1
(x,y,z)
为平面
BDC
1
的法向量,则有

，,即


n
1
(3,3,1)
BDC
1
z1
令,可得平面的一个法向量为,
而平面
BCC
1
的一个法向量为

n
2
(1,0,0)
(10分)
所以

< br>
nn
2
3313

cosn
1,n
2


1


|n
1||n
2
|
13
13
313
，故二面角
CB C
1
D
的余弦值为
13
(12分)
20．解 （1） 解：由
F
1
AF
2
B,|F
1
A||F
2
B|
，得
|EF
2
||F
2
B|
1
,从而
|EF
1
||F
1
A|2
第 8 页 共 11 页

a
2
c
c3
1
22< br>c
，整理得，故离心率
e
a3c

2
a3
………….3分
2< br>a
c
c
（2）解：由（1）知，
bac2c
，所以椭 圆的方程可以写为
2x3y6c

2222
222
a
2
设直线AB的方程为
yk(x)
即
yk(x3c)

c

yk(x3c)
由已知设
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
则它们的坐标满足方程组

2

22

2x3y6c
消去y整理，得
(2 3k)x18kcx27kc6c0

22
222222
依题意，
48c(13k)0,
33
k

33
18k
2
27k
2
c
2
6c
2
而
x< br>1
x
2

，有题设知，点B为线段AE的中点，所
,x1
x
2

22
23k23k
以
x
1
3c2x
2

9k
2
c2c9k
2
c
2
2c
2
,x
2

联立三式，解得
x
1

，将结果代入韦达定理中解得
23k
2
23k< br>2
k
2

3
…………………………… …….8分
2
3c
，当
k
时，得A
(0,2c)
由已知得
C(0,2c)

3
2
2c2c
c
 (x),
直线l与x轴的交点
(,0)
222
2
(3)由（2） 知，
x
1
0,x
2

线段
AF
1
的垂直平分线l的方程为
y
是
AF
1
C
的外接圆的圆 心，因此外接圆的方程为
(x)y(c)

直线
F
2
B
的方程为
y
c
2
22
c
2
2
2(xc)
，于是点
H(m,n)
满足方程组

c
2< br>9c
2
2
5c22cn22

(m)n
，故< br>

24
由
m0
，解得
m,n
32m5

n2(mc)

第 9 页 共 11 页

当
k
2n22
时，同理可得


3m5
…………………………….12分
x

x
e< br>x

21解：（Ⅰ）由
f

x

meln x
，可得
f


x

m

el n x

，
x


x
e
x

me
x
x
因为函数
f

x

是
J
函数，所以
m

eln x

meln x
，即
0
，
x
x

e
x
因 为
0
，所以
m0
，即
m
的取值范围为
(0, )
.……………………………3分
x
（Ⅱ）①构造函数
h
x


g

x

e
x
,x

0,

，
则
h


x< br>

g


x

g

x

e
x
0
，可得
h

x
为

0,

上的增函数，
g

a

e
a
当
a1
时，
h

a

h

1

，即

g

1

e

，得
g

a

e
a 1
g

1

；
g

1

； 当
0a1
时，
h

a

h

1

，即
g
< br>a

e
a
g

1

e
，得
g

a

e
a1
当
a1
时 ，
h

a

h

1

，即g

a

e
a

g

1
e
，得
g

a

e
a1
g

1

.…………………6分
②因为
x
1< br>x
2
x
n
x
1
，所以
ln

x
1
x
2
x
n

ln x
1
，
由①可知
hln

x
1
x2
x
n

h

ln x
1

，
所以

g

ln

x
1
x
2


x
n


e
ln

x
1
x
2

< br>x
n


g

ln x
1

e
ln x
1
，整理得
x
1
g

ln

x
1
x
2

< br>x
n


x
1
x
2


x
n
x
n
g

ln

x1
x
2


x
n


x
1
x
2


x
n
【全,品…中&g

ln x
1

，
g

ln x
n

.
高*考*网】
同理可得
x
2
g

ln

x
1
x
2


x
n


x
1
x
2

< br>x
n
g

ln x
2

，…，
把上面
n
个不等式同向累加可得
g

ln

x1
x
2
x
n


g
ln x
1

g

ln x
2

g

lnx
n

.…………………………
12

22． 证明：（1）如图，连接
OC,OAOB,CACB,OCAB

E
O
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D
A
C
B

OC
是圆的半径，
AB
是圆的切线．-------------3分

（2）
ED
是直径，
ECD90,EEDC90

又
BCDOCD90,OCDODC,BCDE,又CBDEB C
，


BCD
∽
BEC
，

tanCED
BCBD
BC
2
BDBE
，-- ---------5分
BEBC
CD1

，
EC2
B DCD1

-----------------------7分
BCD∽
BEC
，
BCEC2
设
BDx,则BC2x,
BCBDBE(2x)x(x6)BD2
--------9分
22
OAOBBDOD235
------------------------10分
23．解：（1）圆锥曲线
C
的参数方程为

x2cos

（

为参数），


y3sin

x
2
y
2
所以普通方程为
C
：
1
-- --------------------------------------------2分
43

A(0,3),F
2
(1,0),F
1
(1,0)k3,l:y3(x1)



直线
l
极坐标方程为：

sin

3

cos

32

sin(

)3
---5分
3
x
2
y
2

1
5x
2
 8x0
， （2）

43

y3(x1)
MN1 k
2
(x
1
x
2
)
2
4x
1
x
2


16
-------------------- -------------------10分
5
24.
解（1）由定义得x11x51
，即
x1x5
，两边平方得
8x24< br>，

解得
x3
；----------------------- -------（4分）
（2）当
xR
时，不等式
x1x5t< br>恒成立，也就是
tx1x5
恒成立，

4

法一：函数 令
f

x
x1x5

2x6

4

要使原不等式恒 成立只要
t4
即可，故
t
min
4
.
法二：三角不等式性质 因为
x1x5

x1



x5

4
，所以
t4
，
x 1
1x5
，所以
f

x

max
4
，
x5
t
min
4
.----------（10分）


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