东阳市人民医院-写景片段

2017年普通高等学校招生全国统一考试(海南)
理科数学
一、选择题： 本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
3i

（ ） 1.
1i
A．
12i
B．
12i
C．
2i
D．
2i

2.设集合


1,2,4
，
xx
2
4xm0
．若


1

，则

（ ）
A．

1,3

B．

1,0

C．

1,3

D．

1,5


3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题 ：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂 了381
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三
视 图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A．
90

B．
63

C．
42

D．
36





2x3y30

5.设
x
，
y
满足约束条件

2x3y30
，则
z2xy
的最小值是（ ）

y30

A．
15
B．
9
C．
1
D．
9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成 ，则
不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语 竞赛的成绩．老师说：你们四
人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩 ，给
丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的
a1
，则输出的
S
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

开始
输入a
S=o,k=1
否
k＜6
S=S+a·k
a=－a
k=k+1
输出S

结束
x
2
y
2
2
9 .若双曲线
C:
2

2
1
（
a0
，< br>b0
）的一条渐近线被圆

x2

y
2
4
所
ab
截得的弦长为2，则
C
的离心率为（ ）
A．2 B．
3
C．
2
D．
23

3
10.已 知直三棱柱
C
1

1
C
1
中，
 C120

，
2
，
CCC
1
1
，则异
面直线

1
与
C
1
所成角的余 弦值为（ ）
A．
33
1510
B． C． D．
23
55
11.若
x2
是 函数
f(x)(x
2
ax1)e
x1`
的极值点，则
f(x)
的极小值为（ ）
A.
1
B.
2e
3
C.
5e
3
D.1
 
12.已知
ABC
是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)
的最小值是（ ）

34
C.

D.
1

23
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品 率为
0.02
，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取
100
次，
表示抽到的二等品件数，则
D
．
A.
2
B.

14.函数
f< br>
x

sin
2
x3cosx
3
< br>

（
x

0,

）的最大值是 ．
4

2

15.等差数列

a
n
的前
n
项和为
S
n
，
a
3
3
，
S
4
10
，则

1

．
k1
S
k
n
16.已知
F
是抛物线
C:
y
2
8x
的焦点，

是
C
上一点，
F
的延长线交
y
轴于点

．若

为F
的中点，则
F
．
三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21
题为必做题，每个试题考生都必须作答 。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
B
ABC
的内角
A,B,C
的对边分 别为
a,b,c
,已知
sin(AC)8sin
2
．
2
(1)求
cosB

(2)若
ac6
,
ABC
面积为2,求
b.


18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取
100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：




0.040

0.034

0.032


0.024

0.020

0.014

0.012





频率组距
25 30 35 40 45
50
55 60 65 70
箱产量kg
旧养殖法

频率组距

0.068


0.046

0.040



0.020

0.010

0.008
0.004


35 40 45 55 60 65 70
50
箱产量kg


新养殖法
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新
养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法
新养殖法
箱产量＜50kg


箱产量≥50kg



（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P(K
2
≥k)
k

K
2
=

a+b

c+d

a+c

(b+d)

19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面三角形BCD，
n(ad−bc)
2
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
1
AD,BADABC90
0
,
E是PD的中点
2
（1）证明：直线
CE
平面PAB
ABBC
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面
ABCD所成锐角为
45
，求二面角M-AB-D的余弦值







A
B
0
P
E
M
D
C

20. （12分）
x
2
y
2
1
上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P设 O为坐标原点，动点M在椭圆C：
2

满足
NP2NM< br>.
(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点Q在直线x =-3上，且
OPPQ1
.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦
点F.
21.（12分）
已知函数
f(x)ax
3
axxlnx,
且
f(x)0
.
（1）求a；
（2）证明：
f(x)
存在唯一的极大值点
x
0
，且
e
2
f(x0
)2
3
.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中 任选一题作答。如果多做，按所做的第一
题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xoy中，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
的
极坐标方程为
cos

4
．
（1）M为曲线
C
1上的动点，点P在线段OM上，且满足
OMOP16
,求点P的轨迹
C
2
的
直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为
(2,

3
)
，点B在曲线
C
2
上，求
OAB
面积的最大 值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
a0,b0,ab2
，证明：
（1）
(ab)(ab)4
；
（2）
ab2
．

55
33