中央音乐学院教务-科普手抄报

高中数学到底有多少道习题
━兼论数学解题长度
众所周知，问题 与解是数学的心脏。解题是数学教学的显著特征。无需讳言，
在应试教育的大背景下，高中数学的解题教 学尤其重要。本文以苏教版高中数学教
学体系为例，给出高效构建高中数学习题体系的策略，初步提出解 题长度的概念，
抛砖引玉，旨在优化高中数学的有效教学，让学生真正从浩如烟海的“题海”中解
脱出来。
一、粗犷的高中数学习题体系的建构策略
解决数学问题需要具备哪些条件? 通 常认为,首先是必须具有一定的数学基础
知识，其次是要具有一定的数学思想方法。概念、法则、性质、 公式、公理、定理
等数学知识是数学的内容，可以用文字和符号来记录和描述，但随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的
地位和层次。在数 学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，
具有模式化与可操作性的特征，可以选 用作为解题的具体手段。数学思想是一种意
识形态，用以对数学问题的认识、处理和解决，只能够领会和 运用，并且不是受用
一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也对你还会起作用。
数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
由此可见， 在高中数学中 “知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。
高中数学教学的根本目的是提高学 生的数学素质，而数学素质的核心就是对数学思
想方法的认识和运用，其综合体现就是所谓的“能力”。
按照高中数学课程标准和教学要求，同类的学生所要解决的问题都是相同的、
有限的，但是随着 教学日复一日地进行，学生往往或多或少地能够解答一些习题。
如果学生在解答一个习题时没有出现任何 错误，从理论上说，这个习题就不需要重
做了。这样一来，一个学期要做的习题不是越来越多，而是越来 越少。因此,从理
论上说，数学教学过程可以用如下集合的减法公式来表示： B(t)＝
U- R(t)=

xxU,xR(t)}
。这里U是指确定的高中数学习题全集（最佳 时，它是唯
一的），其容量是一个相对稳定的“常数”；R(t)是指学生已经得到完全正确解答的习题集（即U的子集），其容量是一个随时间(t)的推移而不断增加的“变数”；B(t)
则是划 去那些已经得到完全解答的习题所剩下的习题构成的习题集（即在U中R(t)
的补集），其容量是随时 间(t)推移而不断减小的“变数”,也是后续教学的焦点。
高中数学习题全集是决定整个教学成绩的 关键因素，它的质量直接决定高中数
学教学的最后质量。怎样科学地确定高中数学的习题全集？教科书是 几代人集体智
慧的结晶，具有很强的权威性、指导性、规范性，也是解题能力的生长点，其中的
例题和习题应当是高中数学习题全集的核心部分，学生必须要能够彻底地解答这些
题目。在教学实践中， 不少教师感到仅有教科书里的习题是不够的，有必要对其加
以扩展。在当前各种教辅材料铺天盖地之际， 那些来自于教科书之外的习题不能不
经研究、选择、有计划就进入习题全集。当前,学生数学课业负担过 重和数学教师
负担过重(包括批改作业的体力负担与实绩竞争的心理负担)日益剧烈,其成因:一
是师生受“作业做得越多越好”经验的误导;二是教师自身缺乏自信心和判断力;
三是教研管理不到位 。
怎样选择教科书之外的习题进入高中数学习题全集呢？首先，要认真研究高中
数学课程标准 和教学要求，并将教科书中的习题按照基本题、中档题和难题区别开
来，确认在教学中学生必须真正解决 的那些习题；其次，选择与教科书相匹配的教

辅资料、当地名校或联考的同步 测验试卷，通过认真研究后将其中的一些真正有价
值的题目（以变式题为主，扩展题为辅，份量和难度按 学生的实际水平在整体上加
以控制）选入习题全集。当然，我们有必要选定一部分题目留作阶段性测验之 用；
最后，按学期将所有的习题进行全面的整理，并编成“学生用习题全集计划书”加
以实施。
在数学教学中运用“减法智慧”能够体现有效教学的最基本特征：绩效特征
（效率趋高、策略优 良）和活动要素特征（学生愉快、教师导向、弹性、生成），
加强教学的针对性，切实减轻师生的负担， 有效提高学生（特别是学困生）的数学
学业成绩。
二、精确的高中数学习题体系的建构策略
问题树是麦肯锡分析问题最常使用的工具。问题树就是将一个问题的所有子问
题分层罗列，从最 高层开始，并逐步向下扩展:把一个已知问题当成树干，然后开
始考虑这个问题和哪些问题相关。每想到 一点，就给这个问题（也就是树干）加一
个“树枝”，并标明这个“树枝”代表什么问题。一个大的“树 枝”上还可以有小
的“树枝”，如此类推，找出问题的所有相关问题。问题树主要是帮助你理清自己的思路，不进行重复和无关的思考。
高中数学是一棵分支众多的大树:根是高中数学所蕴涵的数学 知识和数学思想
方法,主干是与日益增长的数学知识有关的背景问题，分支是用已学的数学知识能
够解决的一系列问题；再向下扩展，一部分是单纯地利用所学的数学知识就能够完
全解决的问题，另一 部分是不仅要利用所学的数学知识而且要利用数学知识形成过
程中所蕴涵的数学思想方法才能够完全解决 的问题。由此,我们产生一个贪婪的想
法:高中数学教学的实质是“问题树”的教学。高中数学中的“问 题树”是一个有
权重但无环路的无向连通图G, 它包含的顶点集是由一个个问题组成的集合V{v1,
v 2,...,vs}，边集是由问题的解组成的集合E{E1,...,Et},对于任意一条边E i，
都有一个由问题的解所蕴涵的数学知识和数学思想方法组成的权重wi(我们暂且理
解为问 题的解所蕴涵知识点的个数与数学思想方法的个数之和)。显然, 这样的
“问题树”不是唯一的,但存在各边的权重之和最小的“最小问题树”。 这样，高
中数 学优质教学就是在确认了“最小问题树”之后，使学生最大程度地真正解决
“最小问题树”中的问题。
怎样确认高中数学的“最小问题树”？一种可行的想法是：利用前述的“高中
数学习题全集”来 构造“最小问题树”，即构造出最佳的“高中数学习题全集”。
前述的“高中数学习题全集”，是凭借少 数的精英教育的教学经验积累下来的，其
显著特点是由于地域和技术的局限性，选题比较粗糙，与教学要 求不相符合，特别
是容易出现教学功能性重复或者缺失，因而难以公认。这一点，从当前铺天盖地的各种教辅材料（特别是习题集）良莠不齐可见一斑。为精确起见，我们不妨借助于
现代信息技术（计 算机题库管理系统+网络平台）来实现。
高中数学的计算机题库管理系统可以由“题型”（单选项）、 “知识点”（多
选项）、“数学思想方法”（多选项）、“难度”（单选项）、“用途”（多选项）、< br>“来源”（多选项）、“录入时间”（单选项）等项目组成。“题型”分“选择题”、
“填空题” 、“解答题”等。“知识点”分“册号”、“章名”、“节名”、“知
识点名”。以苏教版高中数学必修 课为例，课本有5+2=7册，13+6=19章，73+24=97
节，约120个知识点。“数学思 想方法”分“数学方法”、“数学思想”，其中高
中数学方法常用的有五种：观察与实验法（包括图像法 ）、分析(包括逆证法)与综
合法(包括定义法、公式法)、特殊与一般法(包括参数法、待定系数法) 、归纳与类
比法(包括换元法、解析法)、补差法（包括消去法、放缩法、反证法）等；高中数
学思想常用的有三种：符号与变元表示的思想（包括函数与方程思想）、数形结合

思想、对立统一的思想（包括整体思想、分类讨论思想、化归思想）等。高中数学
方法与数学思想是 相辅相成的。数学思想是数学方法的精神实质和理论基础，数学
方法则是体现数学思想的技术手段。“难 度”通常分“容易”、“偏易”、“中
等”、“偏难”、“难”五档。“用途”分“课型”、“用处”， 其中“课型”分
新授课、复习课；“用处”分例题、同步训练、测试等。“来源”分“课本”、“参考书”、“地区联考卷”、“高考真卷”、“高考模拟卷”等。
由此可见，如果一个数学题以涉及 到的知识点为1-3个、涉及到的“数学思想
方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个，则大约 有(120+120╳1192+120
╳119╳1186) ╳(5+10) ╳(3+3)= 25 929 000道不同的题目，高达2 500万之多；
如果一个数学题以涉及到的知识点为1- 2个、涉及到的“数学思想方法”中“数学
方法”、“数学思想”各1-2个，则大约有(120+12 0╳1192) ╳(5+10) ╳(3+3)=
653 400道不同的题目，也高达50万之多 。因此，无论从理论上还是从实践上看，
“题海”战术是低效的甚至是得不偿失的。
在过去， 题目“难度”的划定是没有确切标准的。为了解决这个问题，我们又
产生一个贪婪的想法:我们将题目的 一个解所蕴涵的知识点个数A加上数学方法个
数B与数学思想个数C之积的和，称为这个解的长度（D） 。即D=A+B╳C。考虑到高
中数学的“一题多解”现象（“一题多解” 产生的根源在于对同一数学问题的多
角度的审视引发的不同联想。“一题多解” 之所以深受数学教师的 重视，就是因
为在解题过程中能够多层次、多角度的思考问题，全面地应用知识来分析问题与解
决问题。但是，“一题多解”教学必须注意两点：一是并不是所有的一题多解都能
起到培养学生的发散性 思维的目的。学生不同于科学家，学生真正能掌握的仅仅是
一两种。二是一题多解不一定是有益的，要把 握时机，根据教学目的进行取舍。不
要胡乱堆砌，让学生惊叹于教师的高明之余却茫然于各种解法；要突 出解题分析和
解题回顾，引导学生提炼数学思想方法。因此，必须优化解题方法。），我们将某题
目的所有解（或优化了的一题多解）的长度的最小值, 称为这个题目的解题长度。
例如, 某题目共有两种解法:解法一所蕴涵的知识点为2个,数学方法为2个 ,数学
思想为1个,则解法一的解题长度为2+2╳1=4; 解法二所蕴涵的知识点为1个,数学
方法为2个 ,数学思想为2个,则解法二的解题长度为1+2╳2=5; 因为解法一的解
题长度与解法二的解题长 度的最小值为4,所以这个题目的解题长度为4。显而易见，
一个题目的“难度”与“解题长度”成正相 关。这样，我们便可以用题目的解题长
度来划定其“难度”。下表给出题目“难度”划定的一种标准。
标准 容易题 偏易题 中等题 偏难题 难题
解题长度 2 3-4 5-8 9-10 10以上
教学标识 了解识别 理解独立操作 掌握应用迁移
根据高中数学的课程标准和教 学要求，在确认了“题目难度标准”的问题之
后，我们就能进一步地研究题目的难度分布与相应的题量分 布问题，以便有效地精
确控制教学。
以江苏省教学要求为例, 在必修课的120个知识点中，了解识别的约35个,
理解独立操作的约77个,掌握应用迁移的仅有 8个。显而易见，无论在基础年
级的新授课阶段还是在高三年级的总复习阶段，对教学要求不同的知识点 ，都应当
配上份量和难度各不相同的习题。这样，“高中数学习题全集”到底应当有多少道
题合 适？怎样分配？我们又产生一个贪婪的想法:以苏教版高中数学必修课为例，
假设每学期20周，每周5 节数学课，每节数学课15道习题（其中例题3-4道，课
堂训练2-3道，课后作业8-10道），高 中三年应有数学习题近1万道。如果再按了
解、理解、掌握的份量之比为2：3：5计算，每一个了解级 的知识点应有习题17
道（分新授课、总复习两次完成；下同），理解级的知识点应有习题25道，掌握 级

的知识点应有习题42道。
按上述的思路（诚然，这些想法还不 太成熟，有待于后来的实践加以完善）我
们便可以设计一个10 000道题的“高中数学题库管理系统 ”。为了防止出现偏差，
我们不妨利用网络平台，群策群力，集思广益，克服地域和技术的局限性，打破 个
人权威，共建共享。我们有理由相信，成熟的“高中数学题库管理系统”必定会带
来全新的高 中数学教育的春天！
注：1.本文仅在网上发表。未经作者同意，谢绝任何纸质媒体转载。
2．欢迎网上评论。有意参与“高中数学题库管理系统”软件制作者，请与本
人联系。
3. 作者联系邮箱:jsychhl@