普洱学校-小学数学毕业试卷

第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
本节主要概念，定理，公式和重要结论
理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； < br>理解二重极限概念，注意
limf(x,y)A
是点
(x,y)
以任 何方式趋于
(x
0
,y
0
)
;
(x,y)(x
0
,y
0
)
注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与 联系。
习题 8－1
1.求下列函数表达式:
(1)
f(x,y)xy
，求
f(xy,xy)

解：
f(xy,xy)xy
xy
yx

(xy)
xy

2
(2)
f(xy,xy)xy
，求
f(x,y)

解：
f(xy,xy)(xy)(xy)f(x,y)xy

2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:

(1)
zln(xy 1)
2
x
1xy
22


x y10

xy1

22
解：

1xy 0

2

2
xy1


x0< br>
2
(2)
zln(x2y1)

解：
x2y10

(3)
f(x,y)ln(1|x||y|)

解：
1|x||y|0|x||y|1

3.求下列极限:

2
1xxy

(x,y)( 0,1)
x
2
y
2
1xxy
1
解：lim
(x,y)(0,1)
x
2
y
2
(1)lim

(2)
2xy4

(x,y)(0,0 )
xy
lim
1
lim
xy
xy
1
1
4
2lim
8


(x,y)(0,0)
xyxy4
2xy4
2lim
解一：
(x,y)(0,0)(x, y)(0,0)
xy
解二：
2xy4
4(xy4)11
limlim

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)
xy(2
xy4
xy4)
(x,y)(0,0)
(2xy4)
lim

sin(xy)
(3)
lim(2x)

(x,y)(1,0)
y
解一：
(4)
lim
x
2
y
2
11
x
2
y
2
x 0
y0

sin(xy)sin(xy)
lim[(2x)x]3

(x,y) (1,0)(x,y)(1,0)
yxy
sin(xy)xy
lim(2x) lim(2x)x3
解二：
lim(2x)
(x,y)(1,0)(x, y)(1,0)
yy
(x,y)(1,0)
lim(2x)
(4)lim
x
2
y
2
11
xy
22
x0
y0

x
2
y
2
11
1x< br>2
y
2
1y
2
2
lim
2
li m(x
2
)0
解一：
lim
222
x0x0xy
2
x0
xy22xy
y0y0y0
x
2
y
2
11
x
2
y
2
x
2
y
2
limlim
2
0
解二：
lim< br>222
222222
x0x0x0
xy
xy11
xy
y0y0
(xy)(xy11)
y0
4.证明下列函数当
(x,y)(0,0)
时极限不存在:

x
2
y
2
(1)
f(x,y)
2

2
xy

x
2
y
2
x2
k
2
x
2
1k
2
解：
lim< br>2

lim
2

2
x0
xy
2
x0
xk
2
x
2
1k
ykx
x
2
y
2
(2)
f(x,y)
22

2< br>xy(xy)
x
2
y
2
x
4
lim< br>4
1
解：
lim
22
x0
xy(xy)< br>2
x0
x
yx
x
2
y
2
lim
22
0

x0
xy(xy)
2
y05.下列函数在何处是间断的?

(1)
z
1

xy

解：
xy

y
2
2x
(2)
z
2

y2x
2
解：
y2x

第二节 偏导数
本节主要概念，定理，公式和重要结论

1.偏导数：设
zf(x,y)< br>在
(x
0
,y
0
)
的某一邻域有定义，则

f(x
0


x,y
0
)f(x
0
,y
0
)
，

x0

x< br>f(x
0
,y
0


y)f(x
0
,y
0
)
f
y
(x
0
,y
0
) lim
.

y0

y

zf(x,y)< br>f
x
(x
0
,y
0
)
的几何意义为曲线
在点
M(x
0
,y
0
,f(x
0
, y
0
))
处的切线对
x
轴
yy
0
< br>f
x
(x
0
,y
0
)lim
的斜率.

f(x,y)
在任意点
(x,y)
处的偏导数
f
x
(x,y)
、
f
y
(x,y)
称为偏导函数，简称偏导数 .求
f
x
(x,y)
时，只需把
y
视为常数，对
x
求导即可.

2.高阶偏导数
zf(x,y)
的偏导数
f
x
(x,y),f
y
(x,y)
的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏 导数的偏导数称
为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：
< br>2
z
2
z
2
z
2
z
，其中后 两个称为混合偏导数.
,
2
,,
2
xy
xyy x
若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数
也有类似结果.

习题 8－2
1.求下列函数的一阶偏导数:
x
xy

y
z1zx
y,
2
x
解：
xyyy
y
(2)
zarctan

x
z1yyz11x
解：

2

2< br>,
x
1(
y
)
2
xxy
2y
1(
y
)
2
xx
2
y
2xx
(1)
z
x
2
y
2
)

z1x1
解：
(1)
222222
x
xx yxyxy
z1yy


22222222
y
xxyxy(xxy)xy
(3)
zln(x
(4)
u ln(xyz)

解：
222
u2xu2yu2z
2
,,

xxy
2
z
2
yx2
y
2
z
2
zx
2
y
2z
2
(5)
u

yz
xz
e
t
dt

2

u
x
2
z
2
u
y
2
z2
u
y
2
z
2
x
2
z
2< br>ze,ze,yexe
解：
xyz
y
x
(6)
zsincos

yx
z1xyyxyuxxy1xy
coscos
2
sinsin, 
2
coscossinsin
解：
xyyxxyxyyyxxy x
(7)
z(1xy)
xy
(8)
ue


cos(



)

zxyuxy
(1xy)
xy
[ln(1xy)y],(1x y)
xy
[ln(1xy)x]
解：
x1xyy1xy(8)
ue



cos(



)

uu
e



[cos(


)sin(



)],e



[cos(



)sin(



)]
解：




2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:
（1）
zx(y1)arcsin
2
x
，求
z
x(0,1)

y
x
2
0
解：
z
x
(0,1)lim
x0
x
（2）
zxe(x1)a rctan
2y
y
，求
z
y
(1,0)

x
e
y
1
1
解：
z
y
(1,0)lim
y0
y
3.求下列函数的高阶偏导数:

2
z

2
z
2
z
(1)
zxln( xy)
， 求
2
，
2
，
x
xy
y
zzx
ln(xy)1,
解 ：
xyy

2
z1
2
zx
2
z1
,
2

2
,

2
xxyyx yy

2
z

2
z

2
z< br>2
z
(2)
zcos(x2y)
，求
2
，
2
，，
x
xyyx
y
z
2cos( x2y)sin(x2y)sin2(x2y)
解：
x
z
 4cos(x2y)sin(x2y)2sin2(x2y)

y
2< br>
2
z
2
z
2
z
2cos2(x 2y),
2
8cos2(x2y),4cos2(x2y)

x
2
yxy
(3)
z

x
2
y
2
x

2
z

2
z
edt
， 求
2
，

x
xy
t

22< br>22
z
x
2
y
2
x
z
2x< br>2
y
2
x
z
2xee,
2
2(1 2x)ee,4xye
xy
解：
xxxy

x< br>3
yxy
3
22
xy0

2
4.设< br>f(x,y)

xy
2
，求
f
xy
( 0,0)
和
f
yx
(0,0)
.

x2
y
2
0

0
f(x，0)f(0,0)0 0
解：
f
x
(0,0)limlim0

x0 x0
xx
f(0,y)f(0,0)00
f
y
(0,0 )limlim0

y0y0
yy
x
4
4x
2
y
2
y
4
22
f
x
( x,y)y,xy0

222
(xy)
x
4
4x
2
y
2
y
4
22
f
y
(x,y )x,xy0

222
(xy)
y
5
04
f(0,y)f
x
(0,0)
y
f
xy
(0,0)lim
x
lim1

y0y0
y y
x
5
0
4
f
x
(x,0)f
x
(0,0)
f
yx
(0,0)limlim
x
1< br>
x0x0
xx
(
1

1
)
z
2
z
y
2
2z
5.设
ze
xy
， 求证
x
xy
z1
(
x

y
)
z1
(
x

y
)
解:

2
e,
2
e
xxyy
()()
1
(
x

y
)
2z
2
z
2
1
2
xy
xyx
2
ey
2
e2e
xy
2z

xyxy

2
r
2
r
2
r2
222
6 .设
rxyz
， 证明
2

2

2


r
xy z
r
x
2
rx
r
rxx
2
r r
2
x
2
x
r
证明:
,
2< br>
223
222
xrxrrr
xyz
11111 1
1111

2
rr
2
y
2

2
rr
2
z
2
,
2

由轮换对称性,
2


33
yrzr

2
r
2
r
2
r2r
2
x
2
y
2
z
2
r
2
1

2

2
< br>3


23
xyzrrr
第三节 全微分
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.全微分的定义

若函数< br>zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
处的 全增量
z
表示成
zAxByo(

),

x
2
y
2

则称
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
可微，并称
A
< br>xB

yAdxBdy
为
zf(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
的全微分，记作
dz
.
2.可微的必要条件：若
zf(x,y)
在
(x
0
,y
0
)
可微，则
（1）
f(x,y)
在
(x
0
,y
0
)
处连续；
（2）
f(x,y)
在
(x
0
,y
0
)
处可偏导，且
Af
x
(x
0
,y
0< br>),Bf
y
(x
0
,y
0
)
，从而

dzf
x
(x
0
,y
0
)dxf< br>y
(x
0
,y
0
)dy
.
一般地，对于区域
D
内可微函数，
dzf
x
(x,y)dxf
y
(x,y)dy
. 3.可微的充分条件：若
zf(x,y)
在
(x
0
,y
0
)
的某邻域内可偏导，且偏导数在
(x
0
,y
0
)
处连续，
则
zf(x,y)
在
(x
0
,y< br>0
)
可微。
注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数
。
习题 8－3
1.求下列函数的全微分
(1)
zlnx
2
y
2
(2)
zarctan
xy

1xy
11d(x
2< br>y
2
)xdxydy
22

2
解:
dzdln(xy)

22x
2
y
2
x y
2
xy
(2)
zarctan

1xy
1xy
d
解:
dz

xy
2
1xy
1()
1xy
(1xy)
2
(1xy )(dxdy)(xy)(ydxxdy)(1y
2
)dx(x
2
1)dy


22222
(1xy)(xy)(1xy)(1 xy)(xy)
sinx
y0
(3)
zy,< br>sinx
sinxlny
e
sinxlny
d(sinxlny) y
sinx
(cosxlnydxdy)
解:
dzde
y
z
(4)
u

22
xy
xdxydy
x
2
y
2
dzz
x
2
y
2
dzzdx
2
y
2
x
2
y
2
z

解:
dud

2222
22
xyxy
xy

(x
2
y
2
)dzz(xdxydy)
(x
2
y)
3
2
2

(5)
ue
x(x
2
y
2
z
2
)
2

222
解:
dude
x(x
e
x(xyz)
d[x(x
2
y
2
z
2
)]

d[x(x
2
y
2
z< br>2
)](x
2
y
2
z
2
)dxx( 2xdx2ydy2zdz)

(3x
2
y
2
z
2
)dx2xydy2xzdz)

2
y
2
z
2
)
所以
dude
x(x
(6)
uxyz

解:
dudx
yz
y
2
z2
)
e
x(x
2
y
2
z
2)
[(3x
2
y
2
z
2
)dx2xy dy2xzdz)]

de
yzlnx
e
yzlnx
(
yz
dxzlnxdyylnxdz)

x
yz
dxzlnxdyylnxdz)

x
222.求函数
zln(1xy)
，当
x1,y2
时的全微分.
2(xdxydy)
解:
dz

1x
2
 y
2
2(dx2dy)2
dz|
(1,2)
(dx2dy)

1143
y
3.求函数
z
，当
x2, y1,

x0.1,

y0.2
时的全增量与全微分.
x
xdyydx20.20.1
解:
dzdz|0.125

(2,1)
2
x4
yy 0.811.62.10.5
z|
(20.1,10.2)
|
(2,1)
0.119

xx2.124.24.2
1

(x,y)(0,0)

(x
2
y
2
)si n
2
4.研究函数
f(x,y)

在点
(0,0)
处的可微性.
xy
2

(x,y)(0,0)

0
1
22
解: 由于
limf( x,y)lim(xy)sin
2
0f(0,0)
，所以
f(x,y )
在点
(0,0)
连续，
2
x0x0
xy
y 0y0
x
yz
(
1
0
2
f(x,0) f(0,0)1
x
又
f
x
(0,0)limlimlim xsin
2
0

x0x0x0
xxx
1
y
2
sin
2
0
f(0,y)f(0,0)1< br>y
f
y
(0,0)limlimlimysin
2
0

y0x0x0
yyy
1
22
又< br>f(x,y)f(0,0)(xy)sin

x
2
 y
2
f(x,y)f(0,0)f
x
(0,0)xf
y
(0,0)y
1
x
2
y
2
sin2
所以
2
22
xy
xy
x
2
sin
x0
y0
lim
f(x,y)f(0,0) f
x
(0,0)xf
y
(0,0)y
x
2
y
2
limx
2
y
2
sin
x0
y0
1
0

x
2
y
2

所以
f(x,y)
在点
(0,0)
处可微
5.计算
(1.02)
3
(1.97)
3
的近似值. < br>3x
2
dxy
2
dy
解：令
f(x,y)xy
，则
df(x,y)
，
33
2
xy
33再设
(x
0
,y
0
)(1,2),x0.02,y 0.03

则
(1.02)
3
(1.97)
3
 f(x
0
x,y
0
y)f(x
0
,y
0
)df

21
3
2
3
6.已知边长
x6m,y8m
的矩形，如果
x
边增加5cm，而
y
边减少10cm，求这个矩形的对
角线的长度变化的近似值.
解：对角线长为
f(x,y)
1
3
2
3

30.0212(0.03)
3
0.06 0.36
2.95

6
x
2
y
2
，则
df(x,y)
22
xdxydy
22
，
所以
f(6.05,7.9)f(6,8)df|
(6,8)
68
xy60.0580.1
6
2
8
2
10
0.5
9.95

10
第四节 多元复合函数的求导法则
本节主要概念，定理，公式和重要结论
复合函数的求导法则（链式法则）如下：
1 .设
u

(x,y),v

(x,y)
在
(x ,y)
可偏导，
zf(u,v)
在相应点有连续偏导数，则
zf


(x,y),

(x,y)

在
(x,y)< br> 的偏导数为
z
f
u
f
vz
fu
f
v
;

xuxvxyuyvy
v

(x,y)
，
w

(x,y),zf(u,v,w)
则
2.推广：
(1)多个中间变量：设
u

(x,y),
zf


(x,y),

(x,y),

(x,y)

且
zfufvfwzfufvfw
;
xuxvxwxyuyvywy
(2)只有一个中间变量：设
u

(x,y),zf(x,y,u)
则
zf

x ,y,

(x,y)

且
z
f
u
f
z
f
u
f
;

xux xyuyy
(3)只有一个自变量：设
u

(t),v

(t)
，
w

(t)
则
zf
< br>
(t),

(t),

(t)

且

dzfdufdvfdw


dtudtvdtwdt
习题8－4
1.求下列复合函数的一阶导数
(1)
ze
x2y
,xsint,yt
3

dzzdxzdy
x2yx2y22sint2t
3
 ecost2e3t(cost6t)e
解：
dtxdtydt
x3t,y4t
3
(2)
zarcs in(xy),
dzzdxzdy312t
2
312t
2
解 ：

22222
dtxdtydt
1(xy)1(x y)1t(34t)
(3)
zarctan(xy),ye
x

dzzdyzxe
x
y(x1)e
x

解：
dxydxx1(xy)
2
1(xy)
2
1x
2
e
2x
e
ax
(yz)
,yasinx,zcosx
(4)
u
2
a1
duuudyudzae
ax
(yz)e
ax
acosxe
ax
sinx

解：
dxxydxzdx1a
2
1a
2
1a
2
e
ax
e
ax
2
(asinxacosx acosxsinx)(a
2
1)sinxe
ax
sinx

22
1a1a
2.求下列复合函数的一阶偏导数
(1)
zu
2
v
2
,
解：
uxy,vxy

z
2u2v2(uv)4x

x
z
2u2v2(uv)4y

y
s
2
(2)
zxlny,x,y3s2t
< br>t
2
z1xss
2
s3s
2xlny32
2
ln(3s2t)3
2

2
[2ln(3s2t)]
解：
stytt(3s2t)t3s2t
zsx
2
s
2
s
2
2s
2
ln(3s2t)1
2x
2lny22
3
ln(3s2t)2
2

2
[]

ttytt(3s2t)tt3s2t
3.求下列复合函数的一阶偏导 数（
f
是
C
(1)
类函数）
(1)
zf(xy,e)

解：
22xy

z
z
2xf
1

ye
xy
f2

，
2yf
1

xe
xy
f
2


y
x
(2)
zf(xy,y)

z
z< br>yf
1

，
xf
1

f
2< br>
解：
y
x
y
(3)
z

f(x
2
y
2
)
z2xyf

zf2y
2
f

解：，


2
2
xf
yf

(4)
uxyzf()

y
x< br>uyyzf

z1zf

u

yzf
2
y
2
，
xzf

x
解： ，
f

xxx
yxx
z
u
2
u
,
4.设
uf(x,xy,xyz)
且
f
具有二阶连续 偏导数，求
xxz
u
解：
f
1

y f
2

xzf
3


x

2
u

zxf
13

f
2

y[xf
22

zxf
23

]zf
3

yz[xf
32

zxf
33
]

xf
12
xy
y
x
z
2
z
5.已知
zxf()2y

()
，其中
f ,

有二阶连续导数，求
,
xy
xxy
zy1 y
fxf


2
2y


f f

2


解：
xxyx

2< br>z11y1xy2x
f

f

f
2


2

2
f

2



xyxxxxyxy
y
x
< br>2
z
6.设
zf(xy,)g()
，其中
f,g
有连续二阶偏导数，求
yx
xy
z1y1y
yf
1
f
2

g


2
yf
1

f
2


2
g

解：
xyxyx

2
zx1xx1y

f
12< br>

2
f
2

f
21

3
f
22


2
g


3
g


f
1

xyf
1 1
xyyyyyxx
1x1y


2
f
2< br>

3
f
22


2
g


3
g


f
1

xyf
11
yyxx
第五节 隐函数的求导公式
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.一个方程的情形
（1）若方程
F(x,y)0
确定隐函数
yy(x)
， 则
F
dy

x
.
dxF
y
F
y
F
z
z
.
 
x
；

yF
z
xF
z
（2）若方 程
F(x,y,z)0
确定隐函数
zz(x,y)
，则
2.方程 组的情形
（1）若


F(x,y,z)0
确定
yy (x)
，
zz(x)
，则

G(x,y,z)0

(F,G)(F,G)
dydz
(x,z)(y,x)
，. 
(F,G)(F,G)
dxdx
(y,z)(y,z)

F(x,y,u,v)0
确定

uu(x,y)
，则 （2） 若

vv(x,y)

G(x,y,u,v)0

 (F,G)(F,G)
(F,G)(F,G)
uu
vv
(x ,v)(y,v)
(u,x)(u,y)
，；，.


(F,G)(F,G)
x
(F,G)
y
(F,G)xy
(u,v)(u,v)
(u,v)(u,v)
习题8—5 1．求下列方程所确定的隐函数
yy(x)
的一阶导数
(1)
xxy e0

y
2y
dy

dx

y

解：
2xdxydxxdyedy0(ex)dy(2 xy)dx
(2)
sinyexy0

x2
dy2xy


y
dxex
x
解 ：
sinydyedxydx2xydy0(siny2xy)dy(ye)dx
x22
dyy
2
e
x


dxsiny2xy
yx
(3)
xy

y x
dxlnydxdyxylnxdyy
2
dxxylnydxx
2
dy

xy
dyy(xlnyy)
x(ylnxx)dy y(xlnyy)dx

dxx(ylnxx)
y
22
(4 )
lnxyarctan

x
yxdxydy1xdyydxxdy ydx
22
解：
lnxyarctan


2 22
y
2
xx
2
y
2
xxy
1()
x
dyxy
xdxydyxdyydx

dxxy
zz
,
2．求下列方程所确定的隐函数
zz(x ,y)
的一阶偏导数
xy
3
(1)
z2xzy0

解：
ylnxxlnylnxdy
解：
z2xzy03zdz 2zdx2xdzdy0(3z2x)dz2zdxdy

322
z2zz1

2
,
2

 x3z2xy3z2x
(2)
3sin(x2yz)x2yz

解：
3sin(x2yz)x2yz3cos(x2yz)(dx 2dydz)dx2dydz

[3cos(x2yz)1]dz[1 3cos(x2yz)](dx2dy)

zz
1,2

xy
xz
(3)
ln

zy
z
解：
xzlnzzlnydx(1lnz)dzlnydzdy

y
z1zz
,

y(1lnzlny)dzydx zdy
，

x1lnzlnyyy(1lnzlny)
(4)< br>x2yz2xyz0

解：
x2yz2xyz0dx2d ydz
1
(yzdxxzdyxydz)0

xyz
(xyzxy)dz(yzxyz)dx(xzxyz)dy

z
yzxyz
z
xzxyz

,
x y
xyzxyxyzxy
3．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数
2
z
(1)设
exyz0,求
2

x< br>zzz
解：
exyz0edzyzdxxzdyxydz0(exy )dzyzdxxzdy

zyzzxz

z
,
z

xexyy exy
xz
z
z
z
z
z
z
(1 ze)zy
z(ey)(1ze)zy
z

2
z
exy
x
y
x
z
x
2
yy

2z
x(exy)(exy)
2
(e
z
xy)2
xxze
z
ye
z
xy
2
z(1x yz
2
y
2
zy
2
)
yz
(e
z
xy)
3
x
2
y
2
(z1 )
3
2
z

33
(2)设
z3xyza,求
xy
3322
解 ：
z3xyza3zdz3(yzdxxzdyxydz)0(zxy)dzyz dxxzdy

zyzzxz

2
,
2

xzxyyzxy
z
2
zxzxz
2
(zy )(zxy)yz(2zx)(zy)(zxy)yz(2zx)

2
z
yyz
2
xyz
2
xy

xy( z
2
xy)
2
(z
2
xy)
2
[z( z
2
xy)yxz](z
2
xy)yz[(2zxzx(z
2
xy)]z
5
2xyz
3
x
2
y
2
z


(z
2
xy)
3
(z2
xy)
3
z

2
z
(3)设
esin(xz)1,求

xy
xyxyxy解：
esin(xz)1esin(xz)(dxdy)ecos(xz)(dx dz)0

xy
cos(xz)dz[sin(xz)cos(x z)]dxsin(xz)dy

zz
tan(xz)1,tan(xz)

xy
2
zzsin(xz)
sec
2
(xz)sec
2
(xz)tan(xz)

xyycos
3
(xz)
2
x
z

t
2
(4)设
zlnz

edt0,求
y
xy
x
1
t
2
x
2
y2
解：
zlnz

edt0(1)dzedxedy0

y
z
22
zze
x
zze
y

 ,
x1zy1z
y
2
zz
ze
(1z) z
2x
2
y
2
22
zze
yy
e
x
e
x
1z
2


2xy(1z)(1z)(1z)
3
4．设
uxyz
，而zz(x,y)
是由方程
xyz3xyz
所确定的隐函数，求
解 ：
uxyzduyzdx2xyzdy3xyzdz

又
xy z3xyz2xdx2ydy2zdz3(yzdxxzdyxydz)

22 2
2323322
23222
u
x
(1,1,1)
< br>dz|
(1,1,1)
dxdy
，
du|
(1,1,1 )
dx2dy3dz|
(1,1,1)

du|
(1,1,1 )
dx2dy3dz|
(1,1,1)
2dxdy

所以
u
x
(1,1,1)
2

5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数

zx
2
 y
2
dydz
（1）设

2
，求
,
2 2
x2y3z20
dxdx

x

dzdx


dz2xdx2ydy

dz2ydy2xdx
1 3z

解：






x(1 6z)

2xdx4ydy6zdz0

3zdz2ydyx dx

dydx
2y(13z)


dzxdyx( 16z)
,

dx13zdx2y(13z)
uuvv

xe
u
usinv
,,,
(2)设

，求
u
yeucosv
xyxy

u


dx(esinv)duucosvdv
解：


u


dy(ecosv)duusinvdv

usinvdxucosvdy

du

u[e
u
(sinvcosv)1]




ucosv dxusinvdy

dv

u[e
u
(sinvc osv)1]

sinvucosv

u
,

xe
u
(sinvcosv)1ye
u
(sinvcos v)1



vcosvvsinv

,uu


xe(sinvcosv)1ye(sinvcosv)1
zz
uu
,
6.设
xecosv,yesinv,zu v
，求
xy

dxe
u
cosvdue
u
sinvdv


due
u
(cosvdxsinv dy)



解：


uuu


dyesinvduecosvdv


dve(sinvdx cosvdy)
uu
又
dzvduudvve(cosvdxsinv dy)ue(sinvdxcosvdy)

e
u
(vcosv usinv)dxe
u
(ucosvvsinv)dy

zze
u
(vcosvusinv),e
u
(ucosvvsi nv)
所以
xy
7.设
yf(x,t)
，而
t是由方程
F(x,y,t)0
所确定的
x,y
的函数，其中
f ,F
都具有一阶连续
偏导数.试证明
fFfF

dy
xttx


fFF
dx

tyt
dxf
2

dt
解：由
yf(x,t)
，
dyf
1

又
F(x,y,t)0F
1

dxF
2

dy F
3

dt0dt
1
(F
1

dxF
2

dy)

F
3

dyf< br>1

dx
f
2

F
1

f

F

dx
22
dy(F
3
f
2

F
2

)dy(F
3
< br>f
1

f
2

F
1

) dx

F
3

F
3

dy
F3

f
1

f
2

F
1< br>

所以
dx
F
3

f
2
F
2

第六节 多元函数微分学的几何应用
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.空间曲线的切线与法平面 设点
M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)

，
(1)参数方程情形： 若

:xx(t),yy(t),zz(t)
，
222
则切 向量为
τ(x

(t
0
),y

(t
0
),z

(t
0
))
；其中
x

(t
0
)y

(t
0
)z

(t0
)0
；
切线方程为
xx
0
yy
0
zz
0

； x

(t
0
)y

(t
0
)z

(t
0
)

法平面方程为
x

(t
0
)(xx
0
)y

(t
0
)( yy
0
)z

(t
0
)(zz
0
) 0
.
(2)一般方程情形：若

:


F(x,y,z)0
，

G(x,y,z)0
ijk
(F,G)(F,G)(F,G)

则 切向量为
τ


,,F
x
F
y
F
z
(0)
；

(y,z)(z,x)(x,y)
< br>M(x
0
,y
0
,z
0
)
GGG
x yz
M(x,y,z)
000
切线方程为
xx
0
( F,G)
(y,z)
M
0

yy
0
(F,G )
(z,x)
M
0

zz
0
(F,G)(x,y)
M
0
；
法平面方程为
(F,G)
 (y,z)
(xx
0
)
M
0
(F,G)
( z,x)
(yy
0
)
M
0
(F,G)
(x ,y)
(zz
0
)0
.
M
0
2.空间曲面的切平面与法线 设点
M
0
(x0
,y
0
,z
0
)
.
(1)隐式方程情形 若
:F(x,y,z)0
，
则法向量为n{F
x
(M
0
),F
y
(M
0
) ,F
z
(M
0
)}F(M
0
)(0)
；
切平面为
法线为


F
x
(M
0
)(xx
0
)F
y
(M
0
)(yy
0
)F
z
(M
0
)(zz
0
)0
；
xx
0
yy
0
zz
0
.
F
x
(M
0
)F
y
(M
0
)F
z
(M
0
)
(2)显式方程情形 若
:zf(x,y)
，
则法向量为
n{z
x
(x< br>0
,y
0
),z
y
(x
0
,y
0< br>),1}
，
切平面为
法线为


zz< br>0
z
x
(x
0
,y
0
)(xx
0
)z
y
(x
0
,y
0
)(yy
0< br>)
；
xx
0
yy
0
zz
0
.
z
x
(x
0
,y
0
)z
y
(x
0
,y
0
)1
j
y
u
y
v
k
z
u
z
v

(y,z)(z,x)(x,y)



(0)
，

(u,v)
,
(u,v)
,
(u,v)



(u
0< br>,v
0
)
(3)参数方程情形 若
:xx(u,v),yy(u,v),zz(u,v)
，
i
则法向量
nx
u
x
v
切平面为
(u
0
,v
0
)
(y,z)(z,x)(x,y)
(x x
0
)(yy
0
)(zz
0
)0
； < br>(u,v)
(u
0
,v
0
)
(u,v)
(u
0
,v
0
)
(u,v)
(u
0
,v
0
)
xx
0
(y,z)
(u,v)
(u0
,v
0
)

yy
0
(z,x)
(u,v)
(u
0
,v
0
)

zz
0
(x,y)
(u,v)
(u
0
,v
0
)
0
. 法线为
习题8—6
1t
,y
t
,zt
2
对应
t1
的点处的切线和法平面方程.
t1t
r
111
,2t)|(1,,2)
解：
< br>(
2
,
t1
2
t(1t)4
1．求曲线x

1
x2
2

z1
切线：
418
11
法平面：
4(x2)y8(z1)0 4xy8z

22
y
2．求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程
（1）
ezxy3
，点
(2,1,0)

z
r
解：
n(y,x,e
z
1)|
(2,1, 0)
(1,2,0)

法线：
切平面：
x22(y1)0x2y4

x2y1z


120
zx
2
y
2
（2）

2

2
，点
(x
0
,y
0
,z
0
)

c
ab
r
2x2y
2x2y11
解：
n(
2
,
2
,)|
(x
0
,y
0
,z
0
)
(
2
0
,
2
0
,)

abcabc
2x2y
1
切平面：
2
0
(xx
0
)
2
0
(yy
0
)(zz
0
)0

abc
22
2xx
0
2yy
0
2y
0
z
z
2 x
0

2
(xx
0
)
2
(yy0
)
2

2

0

abcabc
2xx2yy
z
z
即
2
0
(xx
0)
2
0
(yy
0
)
0

ab cc
xx
0
yy
0
zz
0
a
2(xx
0
)b
2
(yy
0
)c(zz
0
)

法线：
2x
0
2y
0
1< br>2x
0
2y
0
1

22
c
ab< br>32
3．求出曲线
xt,yt,zt
上的点，使在该点的切线平行于平面
x2yz6
.
r
2
32
解：设曲线
xt ,yt,zt
在点
(x,y,z)|
t
的切向量为

 (3t,2t,1)

r
平面
x2yz6
的法向量为
n(1,2,1)
，由题意可知
rr
1

n(3t
2
,2t,1)(1,2,1)3t
2
4t10t,t1

3
111
所以，该点为
(,,),(1,1,1)
< br>2793
222
4．求椭球面
3xyz9
上平行于平面
x2yz0
的切平面方程.
r
222
解：设曲面
3xy z9
在点
(x
0
,y
0
,z
0
)
处的法向量为
n
，则
r
3xyz
n(3x
0
,y
0
,z
0
)
，由题意可知，
0

0< br>
0

121
3xyz
t
222
令
0

0

0
tx
0
,y
0
2t,z
0
t
，又
3x
0
y
0
z
0
9
，所以
1213
t
2
3
 4t
2
t
2
916t
2
27t3
， 代入得
34

133
3,y
0
m3,z
0
3

424
313333
所以切平面方程为
3(x3 )3(y3)3(z3)0

442244
313333
或
3(x3)3(y3)3(z3)0

442244
即
x 2yz430
或
x2yz430

x
0

5．试证曲面
xyz1
上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.
证明：设
P(x,y,z)
为曲面
xyz1
上任一点，则曲面 在该点处的法向量为
r
111
111
(Xx)(Yy)(Zz)0

n(,,)
，那么切平面的方程为
xyz
xyz
111
XY Zxyz1
，该平面在三个坐标轴上的截距为 即
xyz
x,y,z
，故
xyz1

6．求曲线y2mx,zmx
在点
(x
0
,y
0
,z
0
)
处的切线和法平面方程.
解：曲线
y2mx,zmx
在点
(x
0
,y
0
,z
0
)
处的切向量为

(1,
所以切线的方程为
22
22
r
m1,)

y
0
2z
0
xx
0
y0
(yy
0
)2z
0
(zz
0
)


1m1
m1m11
(yy
0
)(zz
0
)0
，即
xyzx
0
m
法平面为
xx
0

y
0
2z
0
y
0
2z
0
2
第七节 方向导数与梯度
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.方向导数
(1)定义 设
zf(x,y)
在点
P(x,y )
的某邻域内有定义，
l
是任一非零向量，
e
l
(a,b )
，
则
f(x,y)
在点
P
处沿
l
的方向导数定义为
ff(xat,ybt)f(x,y)

lim
t0
 lt
f
表示函数
f(x,y)
在点
P
处沿方向
l
的变化率.
l
(2)计算公式
若
f(x,y)
在点< br>P(x,y)
处可微，则对任一单位向量
e
l
(a,b)
， 有
f
f
x
(x,y)af
y
(x,y)b
（此也为方向导数存在的充分条件）.
l
2.梯度
(1)定义 设
f (x,y)C
(1)
，则梯度grad
f(x,y)
为下式定义的向量：
grad
f(x,y)
（或
f(x,y)
）
(f
x
(x,y),f
y
(x,y))
.

(2)方向导数与梯度的关系
f
f(x,y)e
l

l
(3)梯度的特征刻画
梯度是这样的一个向量，其方向为
f(x,y)
在点
P(x,y)
处 增长率最大的一个方向；其模
等于最大增长率的值.
习题8—7
1．求下列函数在指定点
M
0
处沿指定方向
l
的方向导数
22
(1)
zxy,M
0
(1,2),l
为从点（1， 2）到点（2，2+
3
）的方向
r
13
zz
)
，而
|
(1,2)
2,|
(1,2)
4
解：方向< br>l
为
l(1,3)2(,
22
xy
zzz13
|
(1,2)
|
(1,2)
cos

|
(1,2)
cos

24123

lxy22
y
(2)
uxarctan,M
0
(1,2,2),l(1, 1,1)

z
333
,,)
解：
l(1,1,1 )3(
333
uzzz
|
(1,2,2)
|
(1,2,2)
cos

|
(1,2,2)
cos

|
(1,2,2)
cos


lxyz
uyuxzuxy
arctan,
2
,
而
222
xzyzyzzy
所以
u

113
|
(1,2,2)
cos

cos

cos



l44412
2
2．求函数
zln(x y)
在抛物线
y4x
上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向
x
所以
轴正向的切线方向的方向导数.
解：抛物线
y4x
在 点
(1,2)
处的切向量为
l=(1,
2
2x22
)|(1,2)
(1,1)2(,)

y22
uzz12122

|
(1,2)
|
(1,2)
cos

|
(1,2)
cos

 
lxy32323

23
3．求函数
uxyz xyz
在点
(1,1,2)
处沿方向角为

,

,


的方向的方向导
343
数.
解：
u zzz
|
(1,1,2)
|
(1,1,2)
cos

|
(1,1,2)
cos

|
(1,1,2)
cos


lxyz
111
5

22
343
4．设
f(x,y)
具有一阶连续的偏导数，已给四个点
A(1,3),B(3,3),C(1,7),D(6,15)
，若
f(x,y)
 (y
2
yz)|
(1,1,2)
cos(2xyxz)|
(1 ,1,2)
cos(3z
2
xy)|
(1,1,2)
cos

在点
A
处沿
AB
方向的方向导数等于3， 而沿
AC
方向的方向导数等于26，求
f(x,y)
在点
A
处
沿
AD
方向的方向导数.
uuuruuuruuur
512解：
AB(2,0)2(1,0),AC(0,4)4(0,1),AD(5,12) 13(,)

1313
f(x,y)fff
uuur
|A
|
A
cos

|
A
cos
< br>|
A
3

xyx
AB
f(x,y) fff
uuur
|
A
|
A
cos

|
A
cos

|
A
26

xy y
AC
f(x,y)ff5122
uuur
|
A
|
A
cos

|
A
cos

3 2625

所以
xy131313
AD
222
5．设
f(x,y,z)x2y3zxy3x2y6z
，求grad
f (0,0,0)
及grad
f(1,1,1)

解：
gradf(0 ,0,0)(2xy3,4yx2,6z6)|
(0,0,0)
(3,2, 6)

gradf(1,1,1)(2xy3,4yx2,6z6)|
( 1,1,1)
(6,3,0)

6．问函数
uxyz
在点
P(1,1,2)
处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.
解：沿梯度方向的方向的方向导数最大
2
gradu(1,2,2)(
uuu
,,)|
(1,2,2)
(y
2
z,2xyz,x y
2
)|
(1,2,2)
(8,8,4)

xy z
u
|
max
|gradu(1,2,2)|646416 12

l
第八节 多元函数的极值及其求法
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.极大（小）值问题
必要条件. 若< br>f(x,y)
在点
(x
0
,y
0
)
有极值且 可偏导，则
f
x
(x
0
,y
0
)f
y
(x
0
,y
0
)0
.
使偏导数等于零的点(x
0
,y
0
)
称为
f
的驻点（或稳定点）. 驻点与不可偏导点都是可疑极值点，
还须用充分条件检验.
充分条件. 设
zf (x,y)
在区域
D
内是
C
(2)
类函数，驻点
( x
0
,y
0
)D
，记
Af
xx
(x
0
,y
0
),Bf
xy
(x
0
,y0
),Cf
yy
(x
0
,y
0
),

2
（1）当
ACB0
时，
f(x
0
,y< br>0
)
是极值，且
A0(0)
是极小（大）值；
（2）当
0
时，
f(x
0
,y
0
)
不是极值；
（3）当
0
时，还需另作判别.
2.最大（小）值问题
首先 找出
f(x,y)
在
D
上的全部可疑极值点（设为有限个），算出它们的函数 值，并与
D
的
边界上
f
的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者 即为
f
在
D
上的最大、最小值.
对于应用问题，若根据问题的实际 意义，知目标函数
f(x,y)
在
D
内一定达到最大（小）值，
而在
D
内
f(x,y)
的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函 数值即为
f
在
D

内的最大（小）值.
3.条件极值（拉格朗日乘子法）
求目标函数
zf(x,y)
在约束方程

(x,y)0
下的条件极值，先作拉格朗日函数
L(x,y,

)f(x,y)

(x,y)
, < br>然后解方程组
L
x
0,L
y
0,L

 0
，则可求得可疑极值点
(x
0
,y
0
)
.

对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。
习题 8—8
1．求下列函数的极值
（1）
f(x,y)e(xy2y)

2x2

f(x,y)
2x22x2x2
2e(xy2y)e e(2x2y4y1)0

1


x

x
解：



2

f(x,y)
2x

y1
e(2y2)0



y< br>
2
f(x,y)
2
f(x,y)
2x2
Ae (4x4y8y3)e,B4e
2x
(y1)0,

2xyx

2
f(x,y)
2x
22
C2e 2e
BAC2e0,Ae0
，
2
y
1
11 1
故
f(x,y)
在
(,1)
处取得极大值
f(,1) e(12)e

2
222
2322
（2）
f(x ,y)3xyy3x3y2


f(x,y)
6xy6x 0


x(y1)0

x0

x1,1

x
解：




2


,

2
f(x,y)
y0,2y1
xy2y 0


3x
2
3y
2
6y0



y
可疑极值点有四个，即
O(0,0),A(0,2),B (1,1),C(1,1)


2
f(x,y)
2
f( x,y)
2
f(x,y)
6y6,6x,6y6

x
2
xyy
2
点
O(0,0)

-6
0
-6
-36
A(0,2)

6
0
6
-36
B(1,1)

0
6
0
36
不是
C(1,1)

0
-6
0
36
不是
A

B

C

B
2
AC

是否极值点 极大值点 极小值点
f(0,0)2,f(0,2)81222

2．求下列函数在约束方程下的最大值与最小值
（1）
f(x,y)2xy,x
2
4y
2
1

解：令
F(x, y,

)f(x,y)

(x4y1)2xy
(x4y1)

2222

417

F
x
(x,y,

)22

x0
x



x8y

x8y

17

< br>
2


F
y
(x,y,

) 18

y0

22
x4y1068y1


y
17
22

F

(x,y,< br>
)x4y10

34

4
,)最大值
173417342
4
f(,)
最小值
173417342
222
（2）
f(x,y,z)xyz,x2y3z6

f(
解：令
F(x,y,z,

)xyz

(x2y3z6)

222


F
x
(x,y,z,

)yz2

x0
2

x 2

F(x,y,z,

)xz4

y0
222

x2y3z

2

y



2

y1

22


x 2y3z60

F
z
(x,y,z,

)xy 6

z0
2

F(x,y,z,

)x
2
2y
2
3z
2
60

z
2< br>


3

最大值
f(x,y,z)
23 23
，最小值
f(x,y,z)

33
222
3．从斜 边之长为
l
的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.
解：令
F( x,y,

)xyl

(lxy)


F
x
(x,y,

)12

x0


xy
2
F(x,y,

)12

y0 xyl


y

222
2

x yl0

222

F

(x,y,

)xyl0
2
l
时，该直角三角形的周长最大，且为 所以当直角三角形的两直角边
xy
2
sxyl(12)l
< br>4．求两曲面
zx2y,z62xy
交线上的点与
xoy
面 距离最小值.
解：设两曲面
zx2y,z62xy
交线上的点为
P(x,y,z)
，由题意可得
2222
2222
mind|z|
s.t. zx
2
2y
2
z62x
2
y
2
令
F(x,y,z,

,u)z

(zx2y) u(z2xy6)

22222


F
x
(x,y,z,

,u)2

x4ux0
< br>(

2u)x0

F(x,y,z,

,u) 4

y2uy0

y

(2

 u)y0


F(x,y,z,

,u)2z
< br>u0

z

F
z
(x,y,z,
< br>,u)2z

u0

2222
F(x,y,z,< br>
,u)zx2y0F(x,y,z,

,u)zx2y0< br>


F(x,y,z,

,u)z2x
2
y
2
60

F(x,y,z,

,u)z 2x
2
y
2
60

u

u

(2

u)y0

y0

y0

2z

u0


z3

2z3u0

，
当

2u0时，当x0时，



x2
，

22
zyzx


y3

z2
22


z 6y

z62x


z0
当

2u0时，与z62x
2
y
2
矛盾



xy0

(

2u)x0

x0
2z

u0

x2


，
当y0时，


当2

u0时，
< br>
y2

2
zx


z2


z4
2


z62x

z0
当2

u0时，与z2x
2
y
2
60矛盾



xy0
所以当
x2,y0 ,z2
时，
P(x,y,z)
到
xoy
面的距离最短。
5．求抛物线
yx
到直线
xy20
之间的最短距离. 解：设抛物线
yx
上任一点
P(x,y)
到直线
xy2 0
的距离为
d
，则
2
2
|xy2|
s.t. yx
2

2
22
令
F(x,y,
< br>)(xy2)

(yx)

mind

F
x
(x,y,

)2(xy2)2

x0
x
1



2


F< br>y
(x,y,

)2(xy2)

0


y
1
2


F

(x, y,

)yx0
4
72
11
所以，点
P( ,)
到直线
xy20
的距离为
d
为最小，且
d
8
24
6．求表面积为1500cm，全部棱长之和为200cm的长方体体 积的最大值和最小值.
解：设长方体的三条棱长分别为
x,y,z
，由题意可知，< br>xyz50,xyyzzx750

2
Vxyz
令
F(x,y,z,

,u)xyz

(xyz50 )u(xyyzzx750)


F
x
(x ,y,z,

,u)yz

u(yz)0

(y x)(zu)0

F(x,y,z,

,u)xz
u(xz)0

(zy)(xu)0

y



F
z
(x,y,z,

,u)xy

u(xy)0

xy

u(xy)0
< br>
F(x,y,z,

,u)xyz500

x yz500




xyyzzx7500

F

(x,y,z,

,u)xyyzzx7500

当
yx
时，

(zy)(xu)0

(zy)(xu)0

(zy)(xu)0

2
x

2ux0

2

2

x< br>
2ux0x

2ux0





z502x

2xz500z502x< br>
22

x2zx7500

3x100x7 500

x
1001010

50510

63


50510
xy


3
所以当

时，
V
有最大和最小值，即

z
50
m
1010

3

50510
2< br>50
m
1010250250
V()(1010)
2
( 5
m
10)(350
m
1010)

332727
22
7．抛物面
zxy
被平面
xyz1
截成一椭圆，求 原点到这椭圆的最长与最短距离.

zx
2
y
2
解： 曲线

上任一点
P(x,y,z)
到坐标原点的距离为
d
， 则

xyz1

zx
2
y
2
222

dxyz s.t.


xyz1
22222
令
F(x,y,z,

,u)(xyz)
(xyz)u(xyz1)


F
x
(x,y,z ,

,u)2x2

xu0

(1
< br>)(xy)0

F(x,y,z,

,u)2y2

yu0


y

2y2

yu 0

F(x,y,z,

,u)2z

u0< br>
z

2z

u0


x
2
y
2
z0
22
F(x,y,z,

,u)xyz0




xyz10

F

(x,y,z,

,u)xyz10

u0


z
1

2
当
< br>1
时，

矛盾，所以

1
，即
x y
，代入得
1

x
2
y
2


2

xyz10



2x2
z
24813
2

2x2x10x 

42

2x1z
13
,z2m3
， 即 所以
xy
2
dx
2
y
2
z
2
zz
2
2m3(2m3)
2
9m53



习题91
1 设有一平面薄板(不计其厚度) 占有
xOy
面上的闭区域
D
薄板上分布有密度为 (
x

y
)的电荷
(
x
且(
x

y
)在
D
上连续 试用二重积分表达该板上全部电荷
Q

解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度
闭区域
D
上的二重积分
Q


(x,y)d

D

y
)在该板所占

{(
x

y
)|1
x
1 2 设
I
1

 
(x
2
y
2
)
3
d

D1
其中
D
1
2
y
2}
D
2

其中 又
I
2


(x
2
y
2
)
3
d

0

D
2
{(
x

y
)|0
x
1
y
2}

1
y
2以及
试利用二重积分的几 何意义说明
I
1
与
I
2
的关系
解
I
1
表示由曲面
z
(
x

I
2
表示由曲面
z
以及
z
(
x
2
2
y
2
)
3
与平面
x
z
0围成的立体
V< br>的体积
y
2
)
3
与平面
x
0
x
1
y
0
y
2

因此
V
1
是
V
位于第一
0围成的立体
V
1
的体积
故
显然立体
V
关于
yOz
面、
xOz
面 对称
卦限中的部分

V
4
V
1
即
I
1
4
I
2

3 利用二重积分的定义证明
(1)

d



(其中
D

为
D
的面积)

n
i1
iii
证明 由二重积分的定义可知
0

f(

,

)



f(x,y)d

lim

D
其中
i
表示第
i
个小闭区域的面积
1 因而
f
(
n
0
i1
i

)1 所以

此处
f
(
x

y
)< br>D




d

lim

lim




0
(2)
kf(x,y)d

k

f(x,y)d
< br> (其中
k
为常数)
DD
kf(

i
,

i
)

i
limk

f(

i
,

i
)

i
证明 < br>
kf(x,y)d

lim

0


0
D
i1i1
nn
f(

i
,< br>
i
)

i
k

f(x,y)d

klim

0

i1
D
n




(3)

f(x,y)d



f(x,y)d



f(x,y)d

DD
1
D
2
其中
DD
1
D2

D
1
、
D
2
为两个无公共内点的闭区域
证明 将
D
1
和
D
2
分别任意分为
n
1< br>和
n
2
个小闭区域


i
1
和

i
2
n
1
n
2
n
作和


f(

i
,

i)

i


f(

i
1
,

i
1
)

i
1


f(

i
2
,

i
2
)
i
2
i1i
1
1i
2
1
n
n< br>1
n
2

又 令各


i
1
和


i
2
的直径中最大值分别为
ma
x
(
12
1
和
2
) 则有

li m

f(

i
1
,

i
1
)

i
1
lim

f(

i
2
,

i
2
)

i
2

lim

f(

i
,

i
)< br>
i


0

0

0
i1
1
n
n
1
n
2

i
1
1
2
i
2
1
即 < br>
f(x,y)d



f(x,y)d


f(x,y)d

DD
1
D
2


4 根据二重积分的性质
DD
比较下列积分大小

y
(1)

(xy)
2
d

与

(xy)
3
d

轴与直线
xy
解 区域
D
为
当(
x

y
)
D
时
1所围成

D
{(
x

其中积分区域
D
是由
x
轴

y
)|0
x
3
0
y

xy
1} 因此

有(
xy
)
D
(
x
D
y
)
2
从而
3
(xy)d


2< br>(xy)d


(2)

(xy)
2
d

与

(xy)
3
d

DD
其中积分区域
D
是由圆周
(
x
2)
2
(
y
1)
2
2所围成

x
D

1的上方 所 解

区域
D
如图所示
以当(
x

y
)
D
时
由于
D
位于直线
xy

y
1 从而(
xy
)
3
(
xy
)
2
因而 D
23
(xy)d

(xy)d

 (3)

ln(xy)d

与

(x y)
3
d

DD
其中
D
是三角形闭区域
(2 0)

y
)


三角顶点分别为(1
从而0ln(
xy
)
0) (1
1 故有
2
1)
解 区域
D
如图所示
[ln(
xy
)]
D
显然当(
xD
时 1
xy
2
ln(
xy
)

D
因而

[ln(xy)]
2
d



l n(xy)d


(4)

ln(xy)d
与

(xy)
3
d

DD
其中
D
{(
x

y
)|3
x
5 0
y
1}
解 区域
D
如图所示
当(
x

y
)
D
时
x
2
显然
D
位于直线
xye
的上方 故
ye
从而
ln(
x
D
ln(
xy
)1
y
)


1
因而 [ln(
xy
)]
D
故

ln(xy)d



[ln(xy)]
2
d

5 利用二重积分的性质估计下列积分的值
(1)
I

xy(xy)d

D
其中
D
{(
x

y
)| 0
x
0
y
1}
1 0 解 因为在区域
D
上0
x
0
进一步可得
0
D
y
1 所以
xy
1 0
xy
2
xy
(
xy
)2

DD
于是 
0d



xy(xy)d


2d

即
0

xy(xy)d

2
D




(2)
I

sin
2
x sin
2
yd

D
其中
D
{(
x

y
)| 0
x

0
0
y
2
}
2
解 因为0sin
x
sin
x
sin
y
2
1 0sin
y
2
1 所以
1 于是


0d



sin
2
xsin2
yd



1d

DDD

即
0

sin
2
xsin
2yd



2
D

{(
x

y
)| 0
x
1 (3)
I

(xy1)d

其中
D
D
0
y
2}
解 因为在区域
D
上 0
x
1 0
y
2 所以
1
xy
14 于是


d



(xy1)d



4d


DDD
即
2

(xy1)d

8

D
(4)
I

(x
2
4y
2
9)d

其中
D
{(
x

y
)|
x
2
y
2
D
解 在
D
上 因为0
x
2
y
2
4 所以
9
x
2
4
y
2
94(
x
2
y
2
)925
于是

9d


D

(x
2
4y
2
9)d


D

25d


D

9

2
2


(x
2
4y
2
9)d< br>
25

2
2

D
即 < br>36



(x
2
4y
2
9 )d

100


D

习题92
1 计算下列二重积分
(1)

(x
2
y
2
)d

其中
D
{(
x

y
)| |
x
|1 |
y
|1}
D
解 积分区域可表示为
D
1
x
1 1
y
1 于是


(x
2
y
2
)d


11
2
1D

1
dx

1
(xy
2
)d y


1
[x
2
y
1
3
y< br>3
]

1
1
dx




1
1
(2x
2

1
1
3< br>)dx
[
2
3
x
3

2
3
x]
1

8
3

4}

(2)

(3x2y)d

D
其中
D
是由两坐标轴及直线
x
0
2x
y
2所围成的闭区域
解 积分区域可表示为
D

x
2 0
y
2
x
于是
2
0

(3x2y )d



0
dx

0
D
22
x
dx

(3x2y)dy


[3xy y
2
]
2
0
2

20



(42x2x
2
)dx
[4xx
2< br>
2
x
3
]
0

0
3
3
(3)

(x
3
3x
2
yy
2
)d

其中
D
{(
x

y
)| 0
D
323
11
323
x
1 0
y
1}
1
4
x
解

(x3xyy)d



dy

(x3xyy)dx


[x
3
yy
3
x]
1
dy

0
00
0
4
D
yy
2
y
4
1
11 1
1
3



(yy)dy
[]
0
1

0
4
424
424
(4)

xcos(xy)d

其中
D
是顶点分别为(0 0) (
1
D
0) 和( )
的三角形闭区域

解 积分区域可表示为
D


D

0
0
x
0
x
0
0
yx
于是

x
xdxcos(xy)dyx[sin(xy)]dx

xcos(xy)d

0





x(sin2xsinx)dx


xd(
1< br>cos2xcosx)

0
0
2


1
3


x(
1
c os2xcosx)|

(cos2xcosx)dx



0
2
0
2
2

2 画出积分区域 并计算下列二重积分
(1)

xyd

其中
D
是由两条抛物线
yx

yx
2
所围成的闭区域
D


解 积分区域图如
1
0
并且
D
x
x
{(
x
1

y
)| 0
x
1
x
2
yx
} 于是
7


xyd



dx

2
D< br>3
1
2
2
x
2
xydy


x[y]
x
2
dx


(x
4

2
x
4
)dx
6
0
3
0
3
3 55

(2)

xy
2
d

D
其中
D
是由圆周
x
2
并且
D
4y
2< br>0
y
2
4及
y
轴所围成的右半闭区域

y
)| 2
2
解 积分区域图如

{(
x
2
y
2
0x4y
2
} 于是

xyd


dy

D
22
2
xy
2
dx

[
1
x
2
y
2
]
0
4y
dy

2
2

2



(2y
2

1
y
4
)dy[
2
y
3< br>
1
y
5
]
2

64
2
2
231015

(3)

e
xy
d

D
其中
D
{(
x

y
)| |
x
||
y
|1}
解 积分区域图如 并且

D
{(
x

y
)| 1
x
x
1
yx
1}
于是

0
x
1
yx
1}{(
x

y
)| 0
x
1

e
xy
d



e
x
dx

D
1
0< br>10
0x1
x1
e
y
dy

e< br>x
dx

0
0
1
1x1
x1
e
y
dy

1
x1xyx12x1
e
1
)dx

(ee
2x1
)dx



e
x
[e
y
]
x1
dx 

e[e]
x1
dy

(e
0
1< br>1
2x1
]
1
ee
1

[
1
e
2x1
e
1
x]
0
1< br>[exe
0
22
(4)

(x
2
y
2
x)d

其中
D
是由直线
y
2
y
D
x
及
y
2
x
轴所围成的闭区
域
y
2
1
yxy
} 于是
2
y
2y2


(x
2
y
2
x)d



dy

y
(x
2
y
2
x)dx< br>
[
1
x
3
y
2
x
1
x
2
]
y
dy

00
32
2
2
D
解 积分区域图如 并且
D
{(
x

y
)| 0
2



(
19
y
3

3
y
2
)dy
13

0
2486
3 如果二重积分

f(x,y)dxdy
的被积函数
f
(
x
D< br>
y
)是两个函数
f
1
(
x
)及
f
2
(
y
)

y
)|
a
的乘积 即
f
(
x

y
)
f
1
(
x
)
f
2
(
y
) 积分区域
D
{(
x
yd
}

证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即

xb

c


f
1
(x)f
2
(y)dxdy[

f
1
(x)dx][

f
2
(y)dy]

D
ac
bd
证明 < br>
f
1
(x)f
2
(y)dxdy

dx

f
1
(x)f
2
(y)dy

[

f
1
(x)f
2
(y)dy]dx
D
acac
bdbd

而

d
c
f
1
(x)f
2
(y)dyf
1
(x)
< br>f
2
(y)dy
c
d


于是得
故

f
1
(x)f
2
(y) dxdy

[f
1
(x)

f
2
(y) dy]dx
D
ac
bd
由于

f
2
(y) dy
的值是一常数
c
d
因而可提到积分号的外面
bd
ac


4

f
1
(x)f
2
(y)dxdy[
< br>f
1
(x)dx][

f
2
(y)dy]

D
化二重积分
I

f(x,y)d

为二次 积分(分别列出对两个变量先后次序不同
D
的两个二次积分) 其中积分区域
D
是

(1)由直线
y
解
x
及抛物线
y
2
4
x
所围成的闭区域
并且 积分区域如图所示
D
{(
x

y
)|
0x4, xy2x
} 或
D
{(
x

y
)|
0y4,
1
y
2
xy
}
4
所以
I
dx

0
42x
x
f(x,y)dy
或I

dy

y
2
f(x,y)dx
0
4
4y

(2)由
x
轴及半圆周
x
2
解积分区域如图所示
y
2
r
2
(
y
0)所围成的闭区域
并且
D
{(
x

y
)|
rxr, 0yr
2
x
2
}
或
D
{(
x
r

y
)|
0yr, r
2
y
2
xr
2
y2
}
r
2
x
2

所以
I

dx

r0
f(x,y)dy
或
I

dy

0
rr
2
y
2
r
2
y
2
f(x,y)dx
(3)由直线
y
解
x

x
2及双曲线
y
1
(
x
>0)所围成的闭区域
x
并且 积分区域如图所示
D
{(
x

y
)|
1x2,
1
yx
}
x
或
D
{(
x
2x

y
)|
1
y1, 
1
x2
}
2y
12
{(
x

y
)|
1y2, yx2
}
22

所以
I

dx

1
f(x,y)dy
1
x< br> 或
I

1
dy

1
f(x,y)dx

dy

f(x,y)dx
2y
1y

(4)环形闭区域{(
x
解 如图所示
D
1

D
2

D
3

D
4

y
)| 1
x
2
y
2
4}
1和
x
1可将积分区域
D
分成四部分 分别记做 用直线
x
于是

I

f(x,y) d



f(x,y)d



f( x,y)d



f(x,y)d


D
1
D
2
D
3
D
4



dx

2
14x
2
4x< br>2
f(x,y)dy

dx

1
14x
2
1x
2
f(x,y)dy



dx

1
11x
2
4x< br>2
f(x,y)dy

dx

1
24x
2
4x
2
f(x,y)dy

分别记做
D
1

D
2

D
3
用直线
y
D

4

1 和
y
1可将积分区域
D
分成四部分
如图所示 于是

I

f(x,y)d



f(x,y)d



f(x,y)d



f(x ,y)d


D
1
D
2
D
3
D
4



dy

1
1
24y
2
4 y
2
4y
2
1y
2
f(x,y)dx
< br>dy

1
11y
2
4y
2
4y
2
f(x,y)dx




dy

1
f(x,y)dx

dy

2
1
4y
2
f(x,y)dx

5 设
f
(
x
的闭区域
证明
bx

y
)在
D
上连续 其中
D
是由直线
yx
、
ya
及
xb
(
b
>
a
)围成
< br>a
dx

a
f(x,y)dy

a
dy< br>
y
f(x,y)dx

y
)|
a
bb

证明 积分区域如图所示

D
{(
x
yxb
}
并且积分区域可表示为
xb

ayx
} 或
x
D
{(
x

y
)|
ayb

bb
于是

f(x,y)d


dx

f(x,y)dy
D
aa
b
或
< br>f(x,y)d



dy

f(x,y)dxD
ay

因此

dx

f(x,y )dy

dy

f(x,y)dx
aaay
bxbb
6 改换下列二次积分的积分次序
1y
00
(1)

dy

f(x,y)dx

解 由根据积分限可得积分区域
D
{(
x

y
)|0
因为积分区域还可以表示为
D
{(
x

y
)|0
x


dy

f( x,y)dx

dx

f(x,y)dy
000x
1y1 1
y
1 0
xy
} 如图
1
xy
1} 所以

(2)

dy

2
f(x,y)dx
0y
22y

{(
x

y
)|0 解 由根据积分限可得积分区域
Dy
2
y
2
x
2
y
} 如图

因为积分区域还可以表示为
D
22y
4x
{(
x

y
)|0

x
4
x
yx
} 所以
2


dy

2
f(x,y)dx< br>

dx

x
f(x,y)dy
0y
02
(3)

dy

0
11y
21y
2
f(x,y)dx

如图 解 由根据积分限可得积分区域
D{(x,y)|0y1, 1y
2
x1y
2
}

因为积分区域还可以表示为
D{(x,y)|1x1, 0y1x
2
}

所以
11y
22

0
dy

1y
2
12x
f (x,y)dx

dx

1
11x
2
0f(x,y)dy

(4)

dx

2xx
2
f(x,y)dy

如图
所以
解 由根据积分限可得积分区域
D{(x,y)|1x2, 2xy2xx
2
}
因为积分区域还可以表示为
D{(x,y)|0y1, 2yx11y
2
}


dx
1
1
e
22xx
2
lnx
2x
0
f(x,y)dy


dy

0
111y
2< br>2y
f(x,y)dx

(5)

dx

f(x,y)dy

解 由根据积分限可得积分区域
D
{(
x

y
)|1
xe
0

因为积分区域还可以表示为
D
{(
x

y
)|0
y
1
e
y
x

y
ln
x
} 如图

e
} 所以

1
e
dx

lnx
(6)
< br>dx

0

0
sinx
f(x,y)dy

dy

y
f(x,y)dx

0e
1e
sin
x
2
f(x,y)dy
(其中
a
0)．
如图 解 由根据积分限可得积分区域
D{(x,y)|0x

, sin
x
ysinx}
2
因为积分区域还可以表示为

D{(x,y)|1y0, 2arcsinyx

}


{(x,y)|0y1, arcsinyx

arcsiny}

所以
dx

0

sinx
sin
x
2
f (x,y)dy

dy

1
0

2arcs iny
f(x,y)dx

dy

0
1

arcsiny
arcsiny
f(x,y)dx


7 设平面薄片所占的闭区域
D
由直线
xy
2
面密 度为(
x

y
)
x
2
y
2
求该薄片的质量
解 如图 该薄片的质量为

M


(x,y)d



(x
2
 y
2
)d



dy

DD

yx
和
x
轴所围成 它的
12y
0y
(x
2
y
2
)dx