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2019年考研数学—真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置 上。
（1）当
x0
时，若
xtanx
与
x
k
是同阶无穷小，则
k

（A）1.
（C）3.




















（B）2.
（D）4.


xx,x0,
（2）设函 数
f

x



则
x0
是f

x

的


xlnx,x0,
A.可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.






B.不可导点，极值点.
D.不可导点，非极值点.
（3）设

u
n

是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
u
A.

n

n1
n
m
m
B.


1

n1
m
n
1

u
n

u

C.


1
n


u
n1

n1


22
D.


u
n1
u
n


n1
m
（4）设函数
Q

x,y
< br>
x
.如果对上半平面

y0

内的任意有向光滑 封闭曲线
C
都有
2
y

P

x,y

C
dxQy0
，那么函数
P

x,y
< br>可取为

,x

yd
x
2
A.
y 
3
.
y

1x
2
B.

3
.
yy
11
C.

.
xy
D.
x
1
.
y
（5）设
A
是3阶实对称矩阵，
E
是3 阶单位矩阵。若
A
2
A2E
，且
A4
，则二次型
x
T
Ax
的规范形为
22
y
3
A.
y
1
2
y
2
.
22
y
3
C.
y
1
2
y
2











22
y
3
B.
y
1
2
y
2

22
y
3
D.
y
1
2
y
2

（6）如图所示 ，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程
a
i1
xa
i2
ya
i3
zd
i

i1,2,3


组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为
A,A
，则

A.
r

A

2,rA3
B.
r

A

2,rA2

C.
r

A

1,rA2
D.
r

A

1,rA1




（7）设
A
，
B
为随 机事件，则
P

A

P

B

的充分必要条件是
A.
P

AB

P

A

P

B

B.P

AB

P

A

P

B


C.
PABPBA
D.
P

AB

PAB

（8）设随机变量X
与
Y
相互独立，且都服从正态分布
N


,

2

，则
P

XY1


A.与

无关，而与

2
有关. B.与

有关，而与

2
无关.
C.与

,

2
都有关. D.与

,

2
都无关.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
．．．


9

设函数
f

u

可导，
zf

sinysinx

xy
，则
1z1z


cosxxcosyy

（10）微分方程
2yy
2
y
2
20
满足条件
y

0

1
的特解
y



1

n
x
在

0,

内的和函数
S

x


（11）幂级数

2n!

n0

n

12

设

为曲面
x
2
y
2
4z
2
4

z0

的上侧，则

z
4x
2
4z
2
dxdy


13

设
A


1
,

2
,

3

为三阶矩阵，若
1
,

2
线性无关，且

3
=< br>
1
2

2
。则线性方程组
Ax0
的通 解为

x

,0x2,
设随机变量的概率密度为fx
14F

x

为
X
的分布函数，
EX
为
x
的数学
X



2


0,其他，
期望，则
P

F

X< br>
EX1



三、解答题：15——2 3小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤。 < br>
15

（本题满分10分）设函数
y

x

是微分方程
y

xye

1

求
y

x



2

求曲线
yy

x

的凹凸区间及拐点

x
2
2
满足条件
y

0

0
的特解.

16

本题满分10分)设
a,b
为实数， 函数
z2ax
2
by
2
在点

3,4

处的方向导数中，沿方向
l3i4j
的方向导数最大，最大值为
1 0
.


1

求
a,b
；


2

求曲面
z2ax
2
by
2

z0

的面积；


17

(本题满分10分)，求曲线
yexsinx

x0

与
x
轴之间图形的面积

（18）（本题满分10分）设a
n


x
n
1x
2
dx

n1,2,3...


0
1
（1）证明：

a
n

单调递减，且
a
n

（2）
lim

a
n

n
a
n1
n1
a
n2

n2,3...


n2
（19）（本题满分10分）设

是由锥面
x
2

yz



1z

(0z1)
与平面
z0
围成的锥体，
求

的行心坐标。


（20）（本题满分11分）已知向量组

1

1
< br>
1

1

1

0


,



0

,



2

，

1

,



2

,



3

，若向量 组
1


（Ⅰ）

1


（Ⅱ）
1


2

3


2< br>
3

22



4


4


a3


1a



a3


a3


22
（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求

的取值，并将

3
用

1
,

2

3
线性表示


221

210


与< br>B

010

相似，
2x2
（21）（本题 满分11分）已知矩阵
A




002

00y


（1）求
x,y
；
（2）求可逆矩阵
P
使得
P
1
APB
;



（22）（本题满分11分）设随机变量
X
与
Y
相互独立，
X
服从参数为1的指数分布，
Y
的概率
分布 为
P

Y1

p,P

Y1
< br>1p
.令
ZXY

（1）求
Z
的概率密度；
（2）
p
为何值时，
X
与
Z
不相关；
（3）
X
与
Z
是否相互独立；





（23）（本题满分11分）设总体
X
的概率密度为

A


x

2


e
2

,x

2
f

x,







0,x


2其中

是已知参数，

0
是未知参数，
A
是 常数，
X
1
,X
2
,
本，
（1）求
A
；
（2）求

2
的最大似然估计量；



,X
n
是来自总体
X
的简单随机样