河北藁城一中-郑板桥诗

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考研数学练习题推荐
WD《考前冲刺最后3套题》★★★
比较简单，练练手不错。
恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★
网上都喊不难，但是我做的不是很理想。怎么说呢，
总觉得题目怪怪的。和真题完全不是一个类型。
考试虫《8套模拟试卷》★★★
面市时间过早。没有一定的能力就去做 模拟题的话，
效果不是很大。虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结
晶，但也意味着出题风 格与极力创新的现命题组的思路格格
不入。陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★
两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。
形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那 么全。有些
很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。知识部分的讲
解常有神来之笔。
李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆
以专题的形式呈现考研数学 的重点内容。并附有典型
例题，有些难度很大，有些极其复杂。但大部分还是令人舒
坦的。因为 是例题，有人可能会倾向于只看不做。我觉得还
是笔耕不辍为妙。不能说冲刺必备，但用来配合全书或指 南
做最后一轮复习还是可行的。李永乐《基础过关660题》
★★★☆
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一本客观题练习集。真的如传闻所 言只是第一轮复习
书吗?我看未必。书中的相当部分题目还是很有难度的。我
是这样理解的，如 果660道题全会做，你的基础才算过关。
李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★
大 帝无愧于“线代之王”的称号。薄薄的一本书把考研
数学线性代数部分研究的非常透彻。第二三轮复习必 备。得
力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年
考试中线代的一道难题。
黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆
难度一般，可以拿来建立信 心。一些题目体现出了新
鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。陈文灯《单选题解题方
法与技巧》 ★★★★
Excellent，难以用语言形容。如果用心做完这本书选
择题还拿 不了满分，真可以称得上是奇迹了。
《考研数学考试分析》★★★★
在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。
那就是解题的规范性。计算题和证明题，究竟怎么 答才算标
准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?答案就在这本书
中。近四年数一到数四的真 题及标准解题过程应有尽有，好
好研究模仿吧。对于经济类考生的又一大福音就是可以接触
到数 学一的真题。做做数一还是有助于拓宽思路提升水平
的。
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姚孟臣《概率论与数理统计讲义》&《概率论与数理统
计题型精讲》★★★★
在做 这两本书之前，我感觉概率与统计部分很难很难。
做完之后，我豁然开朗到08年考试概率与统计部分得 到了
满分。题量有点大，要学会举一反三才行。有些数学符号和
语言表述可能会让大家不太习惯 。
李永乐《历年试题解析》★★★★
数学真题具有重大的战略意义。 从第二轮复习开始到
考试前，需要经常反复地揣摩鉴赏。大帝的这本书，解析详
尽，触类旁通， 非常不错。另外其单独地列出真题，可以直
接拿来模拟。
武忠祥《历年真题分类解析》★★★★☆
另一本优秀的数学真题书。汇集了从1987起所 有的历
年真题，独一无二。分类解析虽然算不上有新意，但难能可
贵的是对题目在各章的分布做 了详细统计，使考生对考试重
点一目了然。每章还附有练习题，可惜没有解析。客观题解
题方法 部分犹如隔靴搔痒，令人意犹未尽。
李永乐《全真模拟经典400题》★★★★☆
大名鼎鼎，模拟必备。前半部分重点解读新增考点，
后半部分的十套题基本涵盖了全部知识点。这本书拿 在手
中，首先要心态平稳，戒除恐惧。从我第一年花5，6个小
时做完拿七八十分到第二年花3 个小时做完拿一百二三十分
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的经历来看，如果你觉得它太难，可能你的复习还有不少薄
弱环节或者知识还未连成体系。
《考研数学大纲解析》★★★★☆
还是反复强调的权威性，该书中没出 现的符号，公式
等可以不用再考虑了。对待这本书，要像对待全书或指南那
么严肃。内容均耳熟 能详，例题也都是历年真题并附有常见
错误做法以提醒考生。看起来应该不会很费时费力。另外，
需要重点关注下书中提到的每章常考题型。李永乐《复习全
书》&陈文灯《复习指南》★★★★★
绝代双骄。没必要纠缠在这两本书的比较上。大帝的
书不是那么简单，灯哥的书也不 见得有多难。前者内容完整
即所谓的基础性，但编排略显杂乱;后者概括性很强令人一
目了然但 内容有所欠缺。一个事实：大帝专攻线代，灯哥长
于高数。另一个事实：两者都是好书。当然前提是你认 真地
做了两遍以上。注意是做不是看。也不能只做不思考。
详 细 解 析
一、选择题：
1、首先讨论间断点：
1°当分母2?e?0时，x?
2x
2
，且limf??，此为无穷间断点；
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2ln2x?
ln2x?0?
2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间
断点。
x?0?
再讨论渐近线：
1°如上面所讨论的，limf??，则x?
x?
2
ln2
2
为垂直渐近线； ln2
2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。
x???
x???
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近
线，切勿上当。
2、f?|x4?x|sgn?|x|
sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为
不可导点。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原
文：
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f???|??|，当xi?yj时
为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对
值内的点有关。
?x
,x?0?
设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是
? ,x?0?0
0
x?0
1
2
3
limf?f?0，故f在x?0处连续。
f’?lim
x?0
f?f
?0，故f在x?0处一阶可导。
x?0
当x?0时，f’??
?
?x12x’
‘????223
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?ln?lnlnxsgnx
?
12
，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连
续。 ?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim
x?0
f’?f’
??，故f在x?0处不二阶可导。
x?0
a
b
x?0
对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结
论。
3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内
可积；
1?
??sin,x?0
对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，
都无x
?,x?0? C
法满足F’?lim
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x?0
11F?F1
?0，故该函数不存在原函数。另一方面，?2cosdx
?1xx?0x
111
?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]
内不可积。
0xxx0
1
1
对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。另
一方面，
?
1
arctan
1
dx和x
?
?1
arctan
1
dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。 x
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对，显然该函数存在原函数。但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。 设f?
?
1
?1
tan
?x
2
dx发
散，???arctan?C??222??21?cosxsecx?12 ?tanx2?2??1???t
anx???
arctan?,0?x??????
2222?????
???
不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函
数0 ,x?
2?
?1??tanx????
arctan????,?x??????2?2?2?2?
为F?C，其中C为常数。
如果不采用上述“拼凑”，则不能保证
1?tanx?
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arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?
上可导。
4、对，原式?
?
1
lnxx
3
dx?
??
1ylnylnyy
33
1
dy，其中?
1
lnxx
3
dx和?
??
1ylny
3
1
dy都发散，
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故该二重积分也发散； 对，原式?发散；
1
?
1
1xlnx
3
dx?
??
1
dy，其中?
1
1xlnx
3
dx发散，故该二重积分也
对，原式?
?
lnxxe
?
03
dx?
??
e
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?
1
y3
1
y
dy，其中?
1
lnxx
3
dx发散，故该二重积分也发散；
对，原式?
?
1
1
x3
x
dx?
??
lnyy
3
1
dy，其中?
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1
e
?
1x3
x
dx和?
??
lnyy
3
1
dy都收敛，故该二
重积分也收敛。
1°2011智轩高等数学基础 导学讲义原文：变量x和y
之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。
2°同济六版高等数学教材上册原文：
设函数f在区间[a,??)上连续，且f?0。如 果存在常数
p?1，使得limxf存在，则反常积分
x???
p
?
??
a
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fdx收敛；如果limxf?d?0，
x???
或limxf???，则反常积分
x????
??
a
fdx发散。
设函数f在区间?0，x?a
q
为函数f的暇点。如果存在常数0?q?1，使得limf存
在，则反常积分? fdx收敛；如果limf?d?0，或
a
x?a?
q
b
x?a?
limf???，则反常
x?b?
x?b?
积分
?
b
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a
fdx发散。

※下列反常积分收敛的是
1
?0lnxdx
1

?
??
1
1
dx lnx

?
1
lnxx
dx

?
??
lnxx
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1
dx
※下列反常积分发散的是
1x3
1x3

?
?
1
lnxx
3
2
dx

?
??
lnxx
3
2
1
dx

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?
?
1
e
?
x
dx

?
??
e
?
1
x
dx
※下列反常积分发散的是
??
ln
dx
x

??
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1
1sindx
xx
1

?
??
arctanxx
dx

?
??
1?x
edx x2
5、正确答案为。下面进行讨论：
fx’?lim
则f可微。
?x?0
f?ff
?0，同理fy’?0，且lim?0，
22?x?0?x?x??y?y?0
另一方面，当x2?y2?0时，fx’?2xsin
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12x1
，显然?cos222222
x?yx?yx?y
limfx’?fx’。同理limfy’?fy’。
x?0
y?0
x?0y?0
对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和
fy’连续； 对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数
fx’和fy’不连续； 对，f在点处可微，且在该点处的两
个偏导数fx’和fy’连续。 以上三个选项留给大家练习。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第7章第6页原
文：
22
??g,x?y?0
快速判断f??在点是否可微的技巧如下：
22
?0 ,x?y?0?
下列二元函数在点处可微的是
1?2222
x?y,x?y?0?22
x?yf??
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? 0 ,x2?y2?0?
1?22
xy|sin,x?y?0?22
x?yf??
?
0 ,x2?y2?0? ?x3?y322,x?y?0?22
f??x?y
? ,x2?y2?0?0
??212
?ex?y,x2?y2?0
f??
?0 ,x2?y2?0?
6、引用《2011年智轩考研数学红宝书》原文：
?fxx’’
由Hessian矩阵H??
?fxy’’fxy’’?
的正定性决定极值的充分条件如下： fyy’’??
1°H正定?fxx’’?0或fy y’’?0，且|H|?0?极小
值；°H负定?fxx’’?0或fyy’’?0，且|H|?0?极 大值；°H
不定?|H|?0?非极值；
H不定?|H|?0，不能确定，应特别讨论。
下面逐一讨论选项：
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对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定
矩阵或不定矩阵，正确；
对，根据1°，正确； 对，根据3°的第2条，正确；
对，根据3°的第1条，若fxy ’’?0，则
|H|??[fxy’’]?0，非极值，与已知矛盾，故入选。
由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩
阵不定的情形。
※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记
2
A?fxx’’，B?fxy’’，C?fyy’’
一、选择题
1?2
?xcos?asinx,x?0,
1、设f??，且f在x?0处可导，则 ??bx?c,
x?0,?A? a??b,c?0 ?B? a?b,c?0 ?C? a??b,c任意 ?D?
a?b,c任意
2、设连续函数f在u?0处可导,且f?0,lim1
t?0
?
?t4
x2???
fdxdy＝y2?t2
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?A?
1f? ?B? ?1
f?
?C?
f??D? ?f?
3、设f在可导，x0?0，)是y?f的拐点，则 ?A?
x0必是f?的驻点
?B? )必是y??f的拐点 ?C? )必是y??f的拐点
?D? 对?x?x0与x?x0，y?
f的凹凸性相反
4、曲线y?x2
与直线x?0,x?1,y?t所围成的图形的面积情况为
?A? t?
12时,面积最大?B? t?1
2时,面积最小 ?C? t?1?D? t?1
4时,面积最大4时,面积最小
5、设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|?0，则A中?A?
必有一列元素全为0 ?B? 必有两列元素对应成比例
第 1 页 共 页
）


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TT
?A? 0 ?B? 1 ?C? ?D?
7、设两事件A,B，已知AB?，则必有
?A?A与B独立 ?B?A?B ?C?A=B ?D?A与B对立
8、设X~P，则Y?3X?2X?1的数学期望为
2
?A? ? ?B?? ?C??
2
?5??1 ?D??2?2??1
二、填空题、微分方程y??ytanx?cosx的通解
y=______________. 10、设f为可导函数，且满足条件lim
x?0
f?f
??1，则曲线y?f在点)处
2x
的切线斜率为______________. 11、设
3n?1
的收敛域是，则axax?2,2???n?n的收敛半径是
_____________.
n
n?1
n?1
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?
?
12、设S
表示半球面z?,则曲面积分I?
??dxdy?______________.
S
?102?
??
13、设A是4?3矩阵，且A的秩r?2，而B??020?， 则
r=______________.
??103???
14、设二维随机变量~N,Z?X?Y，则
Cov?______________.
三、解答题 15、
1
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1
求极限limx。
x?0
16、
设x?，证明ln2?x2。
17、
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?2z
设z?f?u,x,y?,u?xe其中f具有二阶连续偏导数，求
dz,。
?x?y
y
18、
计算积分
19、
设L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，
终点为。记
D
?x?1?
，其中D:?
??0?y?2
I??dx?dy， y
证明: 曲线积分I与路径L无关； 当ab?cd时，求I
的值。0、
设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2?2A?0，已知A
的秩为r?求A的全部特征值；
当k为何值时，矩阵A?kE为正定矩阵，其中E为三阶
单位矩阵。21、
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?x1?????????????x3???
问?为何值时，线性方程组?4x1?x2?2x3???2有解，并
求出解的一般形式。
?6x?x?4x?2??3
3?12
22、
?1?2x
?e,x?0,2?y?6
已知二维随机变量的联合分布密度为f??
?其它?0,
求 P?X?3Y?2?;
Z?3X?Y的概率密度fZ。
23、
设A，B为两个随机事件,且P?
111
, P?, P?, 令32
A发生，?1,?1,B发生， Y?? X??
0，A不发生，0，B不发生.??
求
二维随机变量的概率分布； Z?X?Y的概率分布。
2
2
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