维也纳经济大学-芜湖信息职业技术学院

2018年全国卷Ⅰ
理科数学

一.选择题：
[2018 全国Ⅰ理1]设z=，则|z|=( )
A.0 B. C.1 D.

[2018 全国Ⅰ理2]已知集合A={x|x
2
-x-2>0}，则C
R
A
=( )
A.{x|-1C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

[2018 全国Ⅰ理3]某地区经过一年的新农 村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该 地区新农村建设前后农村的经
济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是( )
A.新农村建设后，种植收入减少。
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

[2018 全国Ⅰ理4]记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和， 若3S
3
=S
2
+S
4
，a
1
=2，则a
5
=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12

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[2018 全国Ⅰ理5] 设函数f(x)=x+(a-1)x+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0，
0) 处的切线方程为：( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

[2018 全国Ⅰ理6]在
A.
C. +
-
ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则
-
+



=( )
B.
D.

[2018 全国Ⅰ理7]某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱 表面上的点M
在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面< br>上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )
A.
B.
C.3
D.2

[2018 全国Ⅰ理8]设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点(-2，0)且斜率为
于M，N两点，则·=( )
的直线与C交


A.5 B.6 C.7 D.8

[2018 全国Ⅰ理9]已知函数f (x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，
则a的取值范围是( )
A.[-1，0) B.[0，+∞) C.[-1，+∞) D.[1，+∞)


[2018 全国Ⅰ 理10]下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边
所围成的区域记为Ⅰ，黑色部 分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，
此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p
1
，p
2
，p
3
，则( )
A.p
1
=p
2

B.p
1
=p
3

C.p
2
=p
3

D.p
1
=p
2
+p
3

[2018 全国Ⅰ理11]已知双曲线C： -y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的
直线与C的两条 渐近线的交点分别为
M
，
N
. 若△
OMN
为直角三角形，则∣
MN
∣=( )
A. B.3 C. D.4

[2018 全国Ⅰ理12]已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.

二.填空题：
[2018 全国Ⅰ理13]若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值
为 .


[2018 全国Ⅰ理14]记S
n
为数列｛a
n｝的前n项和.若S
n
=2a
n
+1，则S
6
= .



[2018 全国Ⅰ理15]从2位女生，4位男生中选3人参加 科技比赛，且至少有1位女生入选，
则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)


[2018 全国Ⅰ理16]已知函数
f(x)=2sinx+sin2x，则
f
(x)的最小值是 .


三.解答题
(一)必考题：共60分。
[2018 全国Ⅰ理17]
在平面四边形ABCD中，∠
ADC
=90°，∠
A
=45°，
AB
=2，
BD
=5.
(1)求cos∠
ADB
；
(2)若
DC
=




，求
BC
.

[2018 全国Ⅰ理18]
如图，四边形
ABCD
为正方 形，
E，F
分别为
AD
，
BC
的中点，以
DF为折痕把∆
DFC
折起，使
点
C
到达点
P
的位 置，且
PF
⊥
BP
.
(1)证明：平面
PEF
⊥平面
ABFD
；
(2)求
DP
与平面
ABFD
所成角的正弦值.






[2018 全国Ⅰ理19]
设椭圆C： +y²=1的右焦点为
F
，过
F
的直线
l与
C
交于
A
，
B
两点，
点
M
的坐标为(2，0).
(1)当
l
与x轴垂直时，求直线
AM
的方程；
(2)设
O
为坐标原点，证明：∠
OMA
=∠
OMB
.





[2018 全国Ⅰ理20]
某工厂的某种产品 成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如
检验出不合格品，则更换为合 格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根
据检验结果决定是否对余下的所有产品做检 验，设每件产品为不合格品的概率都为
P(0，且各件产品是否为不合格品相互独立 。
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f
(
P
)，求
f
(
P
)的最大值点
。

(2)现对一箱产品检验 了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为P的值，
已知每件产品的检验费用为2元，若 有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支
付25元的赔偿费用。
(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检
验？

[2018 全国Ⅰ理21]
已知函数
(1)讨论
(2)若
的单调性；
存在两个极值点x
1 ,
x
2
,证明： .
.







(二)选考题：
[2018 全国Ⅰ理22] [选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
xOy
中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，
x
轴正 半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为
p
²+2
p
-3 =0.
(1)求C₂的直角坐标方程:
(2)若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.









[2018 全国Ⅰ理23] [选修4-5：不等式选讲]
已知
f
(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.
(1)当a=1时， 求不等式
f
(x)﹥1的解集；
(2)当x∈(0，1)时不等式
f
(x)﹥x成立，求a的取值范围.