母亲节小报-清明节见闻作文

中考数学试题(及答案)

一、选择题
1．华为
Mate 20
手机搭载了全球首款
7
纳米制程芯片，
7
纳米就是
0. 000000007
米．数据
0.000000007
用科学记数法表示为
( )
．

A
．
710
﹣7

A
．
2

﹣8
B
．
0.710
C
．
710
﹣8

C
．
1
D
．
710
﹣9

D
．
2

2
．下列四个实数中，比
1
小的数是（

）

B
．
0
3．在数轴上，与表示
6
的点距离最近的整数点所表示的数是
(

)

A
．
1

A
．﹣
1

B
．
2

B
．
0

C
．
3

C
．
1
或﹣
1

D
．
4

D
．
2
或
0

4．若一元二次方程
x
2
﹣
2kx
+
k
2
＝
0
的一根为
x
＝﹣
1
，则
k
的 值为（ ）

5．下列图形是轴对称图形的有（ ）


A
．
2
个

是（

）
.

B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
5
个

6．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图

A
．
B
．
C
．
D
．

x3
1

7．分式方程
x1

x1

x2

的解为（）

A
．
x1
B
．
x2
C
．
x1
D
．无解

8．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）


A
．
40°
B
．
50°
C
．
60°
D
．
70°

9．甲、乙、丙三家超 市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价
10%；乙超市连续两次降价15%； 丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更
合算（ ）

A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．一样

10．已知直线
mn
，将一块含
30°
角的直角三角板
ABC
按如图方式放置
（
ABC30
），其中
A
，
B
两点分别落在直线
m
，
n
上，若< br>140
，则
2
的度数
为（

）


A
．
10
B
．
20
C
．
30°
D
．
40

11．如图，在平行四 边形
ABCD
中，
M
、
N
是
BD
上两点，
BMDN
，连接
AM
、
MC
、
CN
、< br>NA
，添加一个条件，使四边形
AMCN
是矩形，这个条件是
( )


A
．
OM
1
AC

2
B
．
MBMO
C
．
BDAC
D
．
AMBCND

12．cos45°
的值等于
( )

A
．
2
B
．
1
C
．
3

2
D
．
2

2
二、填空题
13．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图 ，某一时刻，旗杆
AB
的影子一部分落在水平地面
L
的影长
BC为
5
米，落在斜坡上的部分影长
CD
为
4
米．测得斜
CD
的坡度
i
＝
1
：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC
＝
80
°，则旗杆
AB
的高度
＝
1.7 32
）

_____
．（精确到
0.1
米）（参考数据：< br>sin50
°＝
0.8
，
tan50
°＝
1.2，

14．若
a
，
b
互为相反数，则
a
2
bab
2

________
.

15．若关于
x
的一元二次方程
kx
2
+2(k+1)x+k
－
1=0
有两个实数根，则
k
的取值范围是


16．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是BC边上的动点，连接AE，过 点E作
AE的垂线交AB边于点F，则AF的最小值为
_______

17 ．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区
覆盖总人口约为< br>4400000000
人，将数据
4400000000
用科学记数法表示为< br>______
．

18．正六边形的边长为
8cm，则它的面积为
____
cm
2
．

19．在学校组织 的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：
9
，
9
，
11
，
10
；乙组：
9
，
8
，
9
，
10
；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学
的植树总棵数 为
19
的概率
______
．

1
上，点
N
在直线
y=
﹣
x+3
2x
上，设点
M
坐 标为（
a
，
b
），则
y=
﹣
abx
2+
（
a+b
）
x
的顶点坐标为

．

20．已知
M
、
N
两点关于
y
轴对称 ，且点
M
在双曲线
y
三、解答题
21．（问题背景）

如图
1
，在四边形
ABCD
中，
AB
＝
A D
，∠
BAD
＝
120
°，∠
B
＝∠
AD C
＝
90
°，点
E
、
F
分别是边
BC、
CD
上的点，且∠
EAF
＝
60
°，试探究图中线段
BE
、
EF
、
FD
之间的数量关
系．
< br>小王同学探究此问题的方法是：延长
FD
到点
G
，使
GD＝
BE
，连结
AG
，先证明
△
ABE
≌△ADG
，再证明△
AEF
≌△
AGF
，可得出结论，他的结论应 是 ．

（探索延伸）

如图
2
，若在四边形ABCD
中，
AB
＝
AD
，∠
B
+∠
D
＝
180
°，点
E
、
F
分别是边
BC< br>、
CD
上的点，且∠
EAF
＝∠
BAD
，上述结论是 否仍然成立，并说明理由．

（学以致用）

如图
3
，在四 边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
（
BC
＞< br>AD
），∠
B
＝
90
°，
AB
＝
B C
＝
6
，
E
是边
AB
上一点，当∠
DCE
＝
45
°，
BE
＝
2
时，则
DE
的长为 ．


22．如图，在平面直角坐标系中，直线
ykx 10
经过点
A(12,0)
和
B(a,5)
，双曲线
y
m
(x0)
经过点
B
．

x
m
的函数表达式；

x
（
1
）求直线< br>ykx10
和双曲线
y
（
2
）点
C
从 点
A
出发，沿过点
A
与
y
轴平行的直线向下运动，速度为每 秒
1
个单位长
度，点
C
的运动时间为
t
（
0
＜
t
＜
12
），连接
BC
，作
BD⊥
BC
交
x
轴于点
D
，连接
CD
，< br>
①当点
C
在双曲线上时，求
t
的值；

② 在
0
＜
t
＜
6
范围内，∠
BCD
的大小如 果发生变化，求
tan
∠
BCD
的变化范围；如果不发
生变化，求< br>tan
∠
BCD
的值；

③当
DC
1361
时，请直接写出
t
的值．

12

23．如图，点
D
在以
AB
为直径的⊙
O
上，
AD
平分
BAC
，
DCAC
，过点
B
作⊙
O
的
切线交
AD
的延长线于 点
E
．

(
1
)求证：直线
CD
是⊙
O
的切线．

(
2
)求证：
CDBEADDE
．



xy6,
24．解方程组：

2

2
x3xy2y0.

25．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次
(
即最低档次
)
的产品每天生产
76
件，每件利润
10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加
2
元

(1)
若生产第五档次的蛋糕，该档次蛋糕每件利润为多少元？

(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少
4
件．若生产的某档次产品一天的总利润为
1024
元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？


【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除



一、选择题

1．D
解析：
D

【解析】

【分析】

由科学记数法知
0.00000000771 0
9
；

【详解】

解：
0.000000007710
9
；

故选：
D
．

【点睛】

本题考查科学记数法；熟 练掌握科学记数法
a10
n
中
a
与
n
的意义是解 题的关键．

2．A
解析：
A

【解析】

试题分析：
A
．﹣
2
＜﹣
1
，故正确；

B
．
0
＞﹣
1
，故本选项错误；

C
．
1
＞﹣
1
，故本选项错误；

D
．
2
＞﹣
1
，故本选项错误；

故选
A
．

考点：有理数大小比较．

3
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用平方根定义估算
6
的大小，即可得到结果．

【详解】

Q466.25
，

262.5
，

则在数轴上，与表示
6
的点距离最近 的整数点所表示的数是
2
，

故选：
B
．

【点睛】

此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

4．A
解析：
A

【解析】

【分析】

把
x
＝﹣
1
代入方程计算即可求出
k
的值．

【详解】

解：把
x
＝﹣
1
代入方程得：1
+
2k
+
k
2
＝
0
，

解得：
k
＝﹣
1
，

故选：
A
．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

5．C
解析：
C

【解析】

试 题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够互相重合，那么 这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．

解：图（
1
）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（2
）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线
两旁 的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

图（
3
）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（
3
）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（
3
）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

故轴对称图形有
4
个．

故选
C
．

考点：轴对称图形．

6
．
C
解析：
C

【解析】

从上面看，看到两个圆形，

故选
C
．

7
．
D
解析：
D

【解析】

分析：分式方程去分母转化为整式方 程，求出整式方程的解得到
x
的值，经检验即可得到
分式方程的解．

详解：去分母得：
x
2
+
2x
﹣
x
2
﹣
x
+
2=3
，解得：
x=1
，经检验
x=1
是增根，分式方程无解．


故选
D
．

点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为
0
这个条件．

8．D
解析：
D

【解析】

【分析】

根据折叠的知识和直线平行判定即可解答
.

【详解】

解：如图可知折叠后的图案∠
ABC=
∠
EBC
，< br>
又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得

∠
2=
∠
DBC
，

又因为∠
2+
∠
ABC=180
°，

所以∠
EBC+
∠
2=180
°，

即∠
DBC+
∠
2=2
∠
2=180
°
-
∠
1 =140
°
.

可求出∠
2=70
°
.

【点睛】

掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键
.

9．C
解析：
C

【解析】

试题分析：设商品原价为
x
，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．

解：设商品原价为
x
，

甲超市的售价为：
x
（< br>1
﹣
20%
）（
1
﹣
10%
）
=0 .72x
；

乙超市售价为：
x
（
1
﹣
1 5%
）
2
=0.7225x
；

丙超市售价为：
x
（
1
﹣
30%
）
=70%x=0.7x
；

故到丙超市合算．

故选
C
．

考点：列代数式．

10
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质判断即可得出结论
.

【详解】

解：
Q
直线
mn
，

2ABC1BAC180
，

QABC30，
BAC90
，
140
，

218030904020
，

故选：
B
．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键
.

11
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可知：
OAOC
，
OB OD
，再证明
OMON
即可证明四边形
AMCN
是平行四边形．< br>

【详解】

∵四边形
ABCD
是平行四边形，

∴
OAOC
，
OBOD
，

∵对角线
BD
上的两点
M
、
N
满足
BMDN
，

∴
OBBMODDN
，即
OMON
，

∴四边形
AMCN
是平行四边形，

∵
OM
1
AC
，

2
∴
MNAC
，

∴四边形
AMCN
是矩形．

故选：
A
．

【点睛】

本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用 所学知识解决
问题．

12．D
解析：
D

【解析】

【分析】

将特殊角的三角函数值代入求解．

【详解】

=
解：
cos45°
故选
D
．

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2
．

2
二、填空题

13．2m【解析】【分 析】延长AD交BC的延长线于点E作DF⊥CE于点F解直角
三角形求出EFCF即可解决问题【详解 】延长AD交BC的延长线于点E作
DF⊥CE于点F在△DCF中∵CD＝4mDF：CF＝1：3
解析：2m
．

【解析】

【分析】

延 长
AD
交
BC
的延长线于点
E
，作
DF
⊥
CE
于点
F
．解直角三角形求出
EF
，
CF
，即可解
决问题．

【详解】

延长
AD
交BC
的延长线于点
E
，作
DF
⊥
CE
于点F
．

在△
DCF
中，∵
CD
＝
4m
，
DF
：
CF
＝
1
：，

∴
tan
∠
DCF
＝，

∴∠DCF
＝
30°
，∠
CDF
＝
60°
．

∴
DF
＝
2
（
m
），
CF
＝
2
（
m
），

在
Rt
△
DEF< br>中，因为∠
DEF
＝
50°
，

所以
EF
＝
≈1.67
（
m
）

+5≈10.13
（
m
），

∴
BE
＝< br>EF+FC+CB
＝
1.67+2
∴
AB
＝
BE•t an50°≈12.2
（
m
），


故答案为
12.2m
．

【点睛】

本题主要考查 解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．

14．0【解析】【分析】先提公因式得ab（a+b）而a+b=0任何数乘以0结果都
为0【详解 】解：∵=ab（a+b）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查
了因式分解和有理数的 乘法运算注意掌握任何数
解析：0

【解析】

【分析】

先提公因式得
ab
（
a+b
），而
a+b=0
，任 何数乘以
0
结果都为
0
．

【详解】

解：∵
a
2
bab
2
= ab
（
a+b
），而
a+b=0
，

∴原式
=0.

故答案为
0
，

【点睛】

本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．

15 ．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）
2 -4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考
点：根的判 别式
解析：k≥，且k≠0

【解析】

试题解析 ：∵
a=k
，
b=2
（
k+1
），
c=k-1，

∴△
=4
（
k+1
）
2
-4×k ×
（
k-1
）
=3k+1≥0
，

解得：k≥-，

∵原方程是一元二次方程，

∴
k≠0
．

考点：根的判别式．

16
．【解析】试题分析：如图设
AF
的中点为
D
那么
DA=DE=DF
所以
AF
的最小
值取决于
DE
的最小值如图当
DE ⊥BC
时
DE
最小设
DA=DE=m
此时
DB=m
由
AB=DA+DB
得
m+m=10
解得
m=
此时
AF=2
解析：
15

2
【解析】

试题分析： 如图，设AF的中点为D，那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.


如图，当DE⊥BC时，DE最小，设DA=DE=m，此时DB=
得m=
55
m，由AB=DA+DB，得m+m=10，解
33
15
15
，此时AF= 2m=.

4
2
15
.

2
故答案为

17
．
4×109
【解析】【分析】 科学记数法的表示形式为
a×10n
的形式其中
1≤|a|
＜
10n
为整数确定
n
的值时要看把原数变成
a
时小数点移动了多少位
n
的绝对
值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞
10
时
n是正

解析：4
×
10
9

【解析】

【分析】

10
n
的形式，其中
1≤|a|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把科学记 数法的表示形式为
a×
原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞
10
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．

【详解】

4400000000
的小数点向左移动
9
位得 到
4.4
，

10
9
，

所以
4 400000000
用科学记数法可表示为：
4.4×
10
9
．
故答案为
4.4×
【点睛】

10
n
的形式 ，其中
1≤|a|
＜本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
a×< br>10
，
n
为整数，表示时关键要正确确定
a
的值以及
n
的值．

18．【解析】【分析】【详解】如图所示正六边形ABCD中连接OCO D过O作
OE⊥CD；∵此多边形是正六边形∴∠COD=60°；∵OC=OD∴△COD是等边三角 形
∴OE=CE•tan60°=cm∴S△OCD
解析：
3

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，正六 边形
ABCD
中，连接
OC
、
OD
，过
O
作
OE
⊥
CD
；

∵此多边形是正六边形，

∴∠
COD=60°
；

∵
OC=OD
，

∴△
COD
是等边三角形，

∴
OE=CE•tan60° =
∴
S
△
OCD
=
8
343
cm，

2
11
CD•OE=
×8×4
3
=16< br>3
cm
2
．

22
16
3
=96
3
cm
2
．

∴
S
正六边形
=6S
△
OCD
=6×

考点：正多边形和圆

19．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种 等可能结果两名同
学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概
率为

5
．

16
【解析】

【分析】

【详解】

解析：
画树状图如图：


∵共有
16
种等可能结果，两名同学的植树总棵数为
19
的结果有
5
种结果，

∴这两名同学的植树总棵数为
19
的概率为
5
.

16
20．（±）【解析】【详解】∵MN两点关于y轴对称∴M坐标为（ab）N为（-
ab ）分别代入相应的函数中得b=①a+3=b②∴ab=（a+b）2=（a-
b）2+4ab=11a +b=∴y=-x2x∴顶点坐标为
解析：（
±
11

，
【解析】

【详解】

∵
M
、
N
两点关于
y
轴对称，

∴
M
坐标为（
a
，
b
），
N
为（
-a
，
b
），分别代入相应的函数中得，
b=
∴
ab=11
）．

2
1
①，
a+3=b
②，

2a
1
，（
a+b
）
2
=
（
a- b
）
2
+4ab=11
，
a+b=
11
，

2
1
∴
y=-x
2
11
x
，

2
b11
4acb
2
11
=
11
，< br>=
），即（
11
，）．

∴顶点坐标为（

4a
2a22
点睛：主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的特征和关于坐标轴对称的点 的特
点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．

三、解答题
21．【问题背景】：
EF
＝
BE
+
FD
；【探索延伸 】：结论
EF
＝
BE
+
DF
仍然成立，见解析；
【 学以致用】：
5
.

【解析】

【分析】

[问题背景]延长
FD
到点
G< br>．使
DG
＝
BE
．连结
AG
，即可证明△
A BE
≌△
ADG
，可得
AE
＝
AG
，再证明△AEF
≌△
AGF
，可得
EF
＝
FG
，即可解 题；

[探索延伸]延长
FD
到点
G
．使
DG＝
BE
．连结
AG
，即可证明△
ABE
≌△
A DG
，可得
AE
＝
AG
，再证明△
AEF
≌△AGF
，可得
EF
＝
FG
，即可解题；

[学 以致用]过点
C
作
CG
⊥
AD
交
AD
的延 长线于点
G
，利用勾股定理求得
DE
的长．

【详解】

[问题背景】解：如图
1
，

在△
ABE
和△
ADG
中，


DGBE

∵

BADG
，


ABAD

∴△
ABE
≌△
ADG
（
SAS
），

∴
AE
＝
AG
，∠
BAE
＝∠
DAG
，

∵∠
EAF
＝
1
∠
BAD
，

2
∴∠
GAF
＝∠
DAG
+∠
DAF
＝∠
B AE
+∠
DAF
＝∠
BAD
﹣∠
EAF
＝∠
EAF
，

∴∠
EAF
＝∠
GAF
，

在△
AEF
和△
GAF
中，


AEA G

∵

EAFGAF
，


AF AF

∴△
AEF
≌△
AGF
（
SAS
），

∴
EF
＝
FG
，

∵
FG
＝
DG
+
DF
＝
BE
+
FD
，< br>
∴
EF
＝
BE
+
FD
；

故答案为：
EF
＝
BE
+
FD
．

[探索延伸]解：结论
EF
＝
BE
+
DF
仍然成立；
理由：如图
2
，延长
FD
到点
G
．使
DG
＝
BE
．连结
AG
，

在△
ABE
和△
ADG
中，


DGBE

∵

BADG
，


ABAD

∴△
ABE
≌△
ADG
（
SAS
），

∴
AE
＝
AG
，∠
BAE
＝∠
DAG
，

∵∠
EAF
＝
1
∠
BAD
，

2
∴∠
GAF
＝∠
DAG
+∠
DAF
＝∠
B AE
+∠
DAF
＝∠
BAD
﹣∠
EAF
＝∠
EAF
，

∴∠
EAF
＝∠
GAF
，

在△
AEF
和△
GAF
中，


AEA G

∵

EAFGAF
，


AF AF

∴△
AEF
≌△
AGF
（
SAS
），

∴
EF
＝
FG
，

∵
FG
＝
DG
+
DF
＝
BE
+
FD
，< br>
∴
EF
＝
BE
+
FD
；

[学以致用]如图
3
，过点
C
作
CG
⊥
AD，交
AD
的延长线于点
G
，

由【探索延伸】和题设知 ：
DE
＝
DG
+
BE
，

设
DG
＝
x
，则
AD
＝
6
﹣
x
，
DE
＝
x
+
3
，

在
Rt
△< br>ADE
中，由勾股定理得：
AD
2
+
AE
2
＝
DE
2
，

∴（
6
﹣
x
）2
+
3
2
＝（
x
+
3
）
2< br>，

解得
x
＝
2
．

∴
DE
＝
2
+
3
＝
5
．

故答案是：
5
．




【点睛】

此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的 综合题．考查
学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求< /p>

解．

22．（
1
）直线的表达式为
y5
530
x10
，双曲线的表达式为
y
；（
2< br>）①；②当
6x
2
5
155
0t6
时，
BCD
的大小不发生变化，
tanBCD
的值为；③
t
的值为或 ．

62
2
【解析】

【分析】

（1
）由点
A(12,0)
利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式 求出点
B
的坐
标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；

（
2
）①先求出点
C
的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点
C
的纵坐标，从而即可
得出
t
的值；

②如图
1（见解析），设直线
AB
交
y
轴于
M
，则
M( 0,10)
，取
CD
的中点
K
，连接
AK
、BK
．利用直角三角形的性质证明
A
、
D
、
B
、
C
四点共圆，再根据圆周角定理可得
BCDDAB
，从而得出
tanBCDtanDAB
OM
，即可解决问题；

OA
③如图
2
（见解析），过点
B
作
BM⊥OA
于
M< br>，先求出点
D
与点
M
重合的临界位置时
t
的值，据此 分
0t5
和
5t12
两种情况讨论：根据
A,B,C
三点坐标求出
AM,BM,AC
的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出
DM
的长，最后在
RtACD
中，利用勾股定理即可得出答案．

【详解】

（
1
）∵直线
ykx10
经过点< br>A(12,0)
和
B(a,5)

∴将点
A(12,0)
代入得
12k100

解得
k
5

6
5
x10

6
5
a105

6
故直线的表达式为
y< br>将点
B(a,5)
代入直线的表达式得
解得
a6

B(6,5)

∵双曲线
y
m
(x0)
经过点
B(6,5)

x

m
5
，解得
m30

6
30
；

x
故双曲线的表达式为
y
（
2
）①
QACy
轴，点
A
的坐标为
A(12,0 )

∴点
C
的横坐标为
12

将其 代入双曲线的表达式得
y
∴
C
的纵坐标为

305

122
5
5
，即
AC

2< br>2
由题意得
1tAC
55
，解得
t

22
故当点
C
在双曲线上时，
t
的值为
5
；
2
②当
0t6
时，
BCD
的大小不发生变化， 求解过程如下：

若点
D
与点
A
重合

由题意知，点
C
坐标为
(12,t)

由两点距离公式得：
AB(612)(50)61

222BC
2
(126)
2
(t5)
2
36( t5)
2

AC
2
t
2

由勾股定 理得
AB
2
BC
2
AC
2
，即
61 36(t5)t

解得
t12.2

因此，在
0 t6
范围内，点
D
与点
A
不重合，且在点
A
左 侧

如图
1
，设直线
AB
交
y
轴于
M
，取
CD
的中点
K
，连接
AK
、
BK

由（
1
）知，直线
AB
的表达式为
y
22
5
x10

6
令
x0
得
y1 0
，则
M(0,10)
，即
OM10

Q
点
K
为
CD
的中点，
BDBC
1
BKDKCKCD
（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）

2
同理可得：
AKDKCK
1
CD

2
BKDKCKAK


A
、
D
、
B
、
C
四点共圆，点
K
为圆心

BCDDAB
（圆周角定理）

OM105
tanBCDtanDAB
；

OA126

③过点
B
作
BM⊥OA
于
M

由题意和② 可知，点
D
在点
A
左侧，与点
M
重合是一个临界位置

此时，四边形
ACBD
是矩形，则
ACBD5
，即
t5

因此，分以下
2
种情况讨论：

如图
2< br>，当
0t5
时，过点
C
作
CNBM
于
N

QA(12,0),B(6,5),C(12,t)

OA12,OM6,AMOAOM6,BM5,ACt

QCBNDBMBDMDBM90

CBNBDM

又
QCNBBMD90

CNBBMD


CNBN


BMDM

AMBMAC65t

，即


BMDM5DM
5
DM(5t)

6
5
ADAMDM6(5t)

6
由勾股定理 得
AD
2
AC
2
CD
2

1361< br>2

5

即
6(5t)t
2
()< br>

612

解得
t
2
15
5
或
t
（不符题设，舍去）

2
2
2
1 361
2

5

当
5t12
时，同理可得：< br>6(t5)t
2
()


12

6


解得
t
15
5
或
t
（不符题设，舍去）

2
2
综上所述，
t
的值为
5
15
或．

2
2

【点睛】

本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股
定理等知识点， 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．

23．(1)
证明见解析；
(2)
证明见解析
.

【解析】

【分析】

（
1
）连接
OD< br>，由角平分线的定义得到∠
CAD=
∠
BAD
，根据等腰三角形的性质 得到
∠
BAD=
∠
ADO
，求得∠
CAD=
∠ADO
，根据平行线的性质得到
CD
⊥
OD
，于是得到结
论；

（
2
）连接
BD
，根据切线的性质得到∠
ABE=
∠
BDE=90°
，根据相似三角形的性质即可得
到结论．

【详解】

解：证明：
(1)
连接
OD
，

∵
AD
平分
BAC
，

∴
CADBAD
，

∵
OAOD
，

∴
∠BAD∠ADO
，

∴
CADADO
，

∴
AC∥OD
，

∵
CDAC
，

∴
CDOD
，

∴直线
CD
是⊙
O
的切线；

(2)
连接
BD
，

∵
BE
是⊙
O
的切线，
AB
为⊙
O
的直径，

∴
ABEBDE90

，

∵
CDAC
，

∴
CBDE90

，

∵
CADBAEDBE
，

∴
ACD∽BDE
，

CDAD

，

DEBE
∴
CDBEADDE
．

∴

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线 的判定和性
质，正确的作出辅助线是解题的关键．


x
1
4,
24
．


y
1
2;
【解析】< br>
【分析】


x
2
3,

< br>y3.

2
先对
x
2
-3xy+2y
2< br>=0
分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方
程组，解之即 可．

【详解】

将方程
x3xy2y0

的左边因式分解，得
x2y0
或
xy0
．

原方程组可以化为

22

xy6,

xy6,
或


x2y0xy0.


x
1
4,

x
2
3,




解这两个方程组得

y2;y3.

1
< br>2

x
1
4,

x
2
3,

所以原方程组的解是


y2;y3.

1

2
【点睛】

本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．

25．（
1
该档次蛋糕每件利润为
18
元
;
（
2
）该烘焙店 生产的是四档次的产品．

【解析】

【分析】

（
1
）依题意可求出产品质量在第五档次的每件的利润．

（
2
）设烘焙店生产的是第
x
档次的产品，根据单件利润
×
销售数量
=
总利润，即可得出关

于
x
的一元二次方程，解之即 可得出结论．

【详解】

（
1
）
10
＋
2×
（
5
－
1
）＝
18
（元）．

答：该档次蛋糕每件利润为
18
元．


（
2
）设烘焙店生产的是第
x
档次的产品，

根据 题意得：
[10
＋
2
（
x
－
1
）
]×[76
－
4(x
－
1
）
]
＝
1024
，


整理得：
x
2
﹣
16x
＋
48
＝
0
，

解得：
x
1
＝4
，
x
2
＝
12
（不合题意，舍去）．

答：该烘焙店生产的是四档次的产品．

【点睛】

本题考查了一元 二次方程的应用，解题的关键是：（
1
）根据数量关系，列式计算；（
根据单件利润< br>×
销售数量
=
总利润，列出关于
x
的一元二次方程．

2
）