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为数学题的难度分类
——怎样识别基础、中等和高难度的数学题

2006年10月12日星期四

1．定义： ①基础题（基本难度的习题）：只含双基的数学题；
②中档题（中等难度的习题）：双基＋恒等变形能力的数学题；
③高档题（高等难度的习题）：双基＋恒等变形能力＋其它能力的数学题。
上述三种类型的习题都含有双基，是教学的重点习题，而不含双基的习题则称之为偏
题，偏题在教学过程中，如果不是为了非常规教学则应尽量避免，而对于学期考试
试题来说则应当避免。
2．说明： ①这里定义的难度是针对学校高中数学教学而言的，在学生面对高考的前题下，所面对
的数学习题。这当然不同于竞赛数学，也不适用于其它数学。所以上面的定义只适用于普
通高中数学教学。
②什么叫双基？高中数学基础知识和基本方法简称双基。比如：排列组合中的加法、
乘法原理就是基础知识，配方法就是基本方法等。基础题就是指那种只含双基的习题。这
是一类入门级习题，也可称之为最重要的习题。
③什么是恒等变形能力？即高中数学学习中的运算能力，这里不把它叫做运算能力而
叫做恒等变形能力，是强调在高中数学解题的运算过程中，弱化小学初中的单纯＋、－、
×、÷运算，我把这种高中数学解题中的单纯＋、－、×、÷运算，称之为平凡运算（当
然也是很重要的），而突出代数式（含字母算式）的恒等变形运算，之所以称之为能力则是
由于这种运算在施行时要设计算理，而设计算理则是一种能力，而且这种需要设计算理的
运算能力，是高中数学学习的一项最为重要的能力，这一能力又可称之为基本能力。我时
常把这一项能力当成观察一个学生学习数学所需要的智力品质的第一标准。我也把这一项
能力当作观察一个学生能否考上“二本”的标准。所以我把这种含有恒等变形能力的习题
统称中等题。教学中也把这里做为重点和难点。
④什么是其它能力？指除高中数学中的恒等变形以外的所有数学能力，比如：运用函
数性质的能力、空间想象能力、建立方程的能力、运用不等式的能力、归纳能力、分类能
力、变换能力等等。

3．习题分析：

例1． 已知： ξ～
N(2,2)
,求
D(

)
. （含基础知识的基础题）
解:∵
D(

)2
,
D(
)
1
2
1
2
11
D(

)
.
42
例2．作出函数
y2sin(x
解略.

4
)
在一个周期内的简图. (含基本方法的基础题)
21
3
，求
ab
的最小值. (中档题)
ab112112ba1
)
（恒等变形能力）≥
(322)
(基础解：< br>ab(ab)3(ab)()

(3
33ab3ab3
例3．已知a、b∈
R
，



12

2ba

a



a

b
3
时上式取最小值（基础知识）. 知识)，当且仅当：






2

1
3

b
22



ab
3

例4．化简1
csc103sec10
（基础题）

2cos10

sin20

化简2 . （低等中档题）
cos20

2sin(30

10

)
13cos10

3sin10

解：1 原式

（双基）

（普通变形）

（双基）

1sin10

cos10

sin10

cos10< br>
sin20

2
4

2cos(30

20

)sin20

3cos20

si n20

sin20

2 原式

(恒等变形能力)

（双基）

3

cos20

cos20

例5．这里列举几个较好的中档练习题
a
2
b
2
a
2
b
2
( aa
1
)(bb
1
)

1．化简：（答案是：1. 此题可有几种不同设计变形而求得
222211
abababab
答案） .
2. 化简：
3
xy
2
xy
1
xy
.(答案是：
xy
)
3

3
a
2
 b
14

11
ab

.(答案是:
32
)

3. 已知
a
，
b
，求 值：

22
3

ba
3232
ba


例6．定义在R上的函数f(x)的图象关于（

2007
3 3
，0）成中心对称，且有
f(x)f(x)
，
f(1)1
，
2
4
f(0)2
，则

k1
f(k)

___________________。(高档题)
333
)f(x)f(x)
，（恒等变形）


T3
2) 由
222
解：1）


f(x 3)f(x
311

3

1

f(x) f(x)
令
x


f()f(1)
,又 
(
1,1
)关于

,0

对称点为
,1

，
222

4

2< br>

f(
1
)1
，则
f(1)1
， 3）


f(1)1
，
f(2)f(23)f(1)1
，
f(3)f(0)2
，
2
20073669



f(k)0
（运用函数周期的能力）。
k1
2007

例7．若
f(x)< br>a
x
a
x
a
1000
，求

i1
i
f()
的值. （高档题）
1001
（常规变形）
1
解.
f(x)
a
x
aa
x

a
x
aa
aa
aaaa
x
a
aa
xx

1
a
x
a
aaa

a
x
1
1
x< br>x
a
aaa
a
1000
1
a
1x< br>aa
1x
（能力变形）
1f(1x)
,


1299910001
i
)f()

f()f()1 000

f(x)f(1x)1
,则

f()
f (
10012
1001
i1
=500（运用函数性质的能力）。
例8. 已知a、b、c
R
,函数
f(x)ax
2
 bxc,
g(x)axb
，当
1
≤
x
≤
1
时，
f(x)
≤
1
.
(1) 证明：
c
≤
1
.
(2) 证明：当
1
≤
x
≤
1
时，
g(x)
≤
2
。
(3) 证明：设
a
＞
0
，当
1
≤
x
≤
1
时，
g(x)
的最大值为2，求
f(x)
. （非常漂亮的高档题）
证明（2）

f(1)abc
,
f( 1)abc
,
f(0)c
, ㈠ 当
a0
时，
f(x)axb

b
11
1 1
f(1)f(1)
（恒等变形能力）≤
(f(1)f(1)
（基础 知识）≤
(11)
1
≤ ２;
22
22
㈡ 当
a0
时, ,

abf(1)f(0)
≤
f(1)f(0)
≤２
abf(0)f(1)
≤
f(0)f(1)
≤２


g(x)axb
≤
Max

ab,a b

≤２.综上述，当
1
≤
x
≤
1
时 ，
g(x)
≤２
(3) ∵a＞0,
1
≤
x
≤
1
,
g(x)
M
2
, ∴
g(x)
单调递增（双基），∴
g(1)2
, 又 ∵
2g(1)f(1)f(0)
且
1
≤
f(0)f(1)2
≤
121



f(0)1
∴
c1

（恒等变形能力）
x

1,1

，
f(x)
≥
1f(0)
，则最小值不在端点取到。∴
b

b

0

b0
（二次函数性质的运用能力）. 又 ∵
ab2

f



1f(0)
，∴

2a
2a



a2

则

b0
∴
f(x)2x
2
1


c1


4.教学中的运用

1 新课教学. 新课教学主要是指高一和高二的课堂教学。 这一阶段学生刚接受新数学知识，因
而在起始教学中应当针对双基进行教学，要让学生理解好基础数学知 识，其次是能进行基本运用，
即能运用基础知识和方法解题，学生有了这样一个基础后，接着要进行加深 ，这就是加入恒等变形
能力，以均值不等式为例，先讲怎样运用均值不等式求最值，这在起始教学中就是 一些直接套均值
不等式的题，而后则进行加深，出一些不能直接套均值不等式的题，而必须先利用恒等变 形以后才
能用均值不等式的习题，并可视学生的情况而加大恒等变形的难度。这样才能使学生达到一定的 难
度要求。对重点班级则还应当在单元复习中结合本章节的重点知识和已经学过的知识加以综合，使学生对本章节的数学能力有所体验，这样的教学时间虽不多但是对重点班级而言，对优秀学生而言
是 必要的，在这一时期要让学生接触到高难度的习题，使学生除恒等变形能力以外的数学能力得到
培养。如 果我们对中档题就疏于教学，而对高档题不沾边，到了高三，学生的数学水平是很难上来
了，这就会造成 本能考入重点大学的只能进入普通大学。
2 试卷命题. 对高考学生而言，不论是平时测验，还是期 中、期终考试试卷的命题，都应当不
出偏题，这就是不出那种不含双基的数学题。出题既要突出所考知识 之重点，同时又要有一定的难
度，为什么呢？很简单，高考啊！总是要向着本科方向努力啊，你不让学生 达到一定的深度和高度，
高考就会出问题。什么样的难度呢？以高考最高难度为最高难度，在命题时出一 个高难度题（解答
题），其难度再高也不为过，当然，大多数是基础题，一定量的中档题。在平时测验中 ，为了让学生
看到高考的难度，试卷难度大一点不为过，只要不脱离双基，就是全年级只有个把级格也不 为过。
只是我们不是总是出难题就可以了，多数情况当然是有一定难度就可以了。但不能经常的过于容易 ，
过于容易，学生的卷面成绩是好看，但平时的次次好看就会在高考中一败涂地。
3 复习课教学. 复习课教学主要是指高三复习课教学。高三复习课首先就是达到第一目标，这
就是将全部 高中三年的基本数学知识和方法，通过一单元一单元地，系统地、全面地复习一遍，而
学生则应当在课后 对一定量的基础题进行练习。第二目标是加大学生对双基的理解深度，这就是提
高学生综合题的解答水平 。原来在新课教学中，大多数情况双基是被孤立认识的，而此时则是各单
元双基之间的综合，而这种综合 大多数就会伴随着出现恒等变形，因为各单元知识之间的渗透往往
是借助恒等变形而互相转化的，比如， 上述例8中的（2）就是一次函数、二次函数和绝对值不等式
之间的转化，而这种转化的实现是由恒等变 形做到的，（3）也是这样。我们如果在新课的教学中就
已经渗透了高档数学题的难度，我们就已经在有 意识地培养学生的其它能力了，那么我们在高三的
复习课教学中，同样还是要贯彻这种能力的培养，不仅 如此，我们也应当象对待双基那样对待其它
能力的培养，要面面惧到地将高中三年的其它数学能力复习、 加深一遍，只不过对待这部分内容的
时间应当相对少一点，而对多数学生而言不做过高要求，即第一轮复 习中难题对不少同学而言不做
要求，但老师应当针对尖子生讲到、复习到、点到，而且要讲透。当然，对 于高三复习还不仅仅只
有这二个问题，我只是针对本文所说的内容讲到高三的复习，所以，也就写到这里 。
我所讲的也是我所做的，其实，教学有定规，教学而无定法，八仙过海各显神通，而学生受益
多多，才是一个教师的乐趣所在吧。