浙江期货-军训解说词

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
1、设函数
f(x)
在连续，其2阶导函数
f

(x)
的图形如下图所示， 则曲线
yf(x)
的
（-,+）
拐点个数为（）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
2、设
y
则（）
（A）
a3,b1,c1.
（B）
a3,b2,c1.

（C）
a3,b2,c1.
（D）
a3,b2,c1.


1
2x

1

e

x

e
x
是二阶常系数非齐次 线性微分方程
y

aybyce
x
的一个特解，
2 3

3、若级数

a
n
条件收敛，则
x3与
x3
依次为幂级数

na
n

x1
的：
n1n1

n
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
4、设D是第一象限中曲线
2xy1,4xy1
与直线
yx,y3x
围成的平面区域，函数
f(x,y)
在D上连续，则


f(x ,y)dxdy

D
（A）


d


2
4
1
sin2

1
2sin2

1
sin2

1
2sin2


f(rcos< br>
,rsin

)rdr
（B）

2
d


4
1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr



（C）


d

< br>3
4
f(rcos

,rsin

)dr
（D）


3
d


4
1
sin 2

1
2sin2

f(rcos

,rsin< br>
)dr


111

1


5、设矩阵
A12a
，
bd
，若集合
{1,2}
，则线性方程组
Axb
有无穷多个

< br>14a
2

d
2


解的充分必要 条件为
（A）
a,d
（B）
a,d

（C）
a,d
（D）
a,d

6、设二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)
在正交变换
xPy
下的标准形为
2y
1
y
2
 y
3
，其中
222
P(e
1
,e
2
, e
3
)
，若
Q(e
1
,e
3
,e2
)
，则
f(x
1
,x
2
,x
3)
在正交变换
xQy
下的标准形为
（A）
2y
1
y
2
y
3
（B）
2y
1
y
2
y
3

（C）
2y
1
y
2
y
3
（D）
2y
1
y
2
y
3

7、若
A,B
为任意两个随机事件，则
（A）
P(AB)P(A)P(B)
（B）
P(AB)P(A)P(B)

222222
222222
（C）
P(AB)
P(A)P(B)P(A)P(B)
（D）
P(AB)

22
8、设随机变量
X,Y
不相关， 且
EX2,EY1,DX3,
则
E


X

XY2





（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．． ．
9、
lim
lncosx

x0
x
2

2
-

(
10、


2
sin x
x)dx
1cosx
z

11、若函数
zz(x ,y)
由方程
exyz+xcosx2
确定，则
dz
(0,1 )

.
12、设

是由平面
xyz1
与三 个坐标平面所围成的空间区域，则

(x2y3z)dxdydz



20L
-12L
MMO
00L
13、
n
阶行列式
0

0
0
2
2
0L
MM
22
- 12


14、设二维随机变量
(X,Y)
服从正态分布
N (1,0;1,1;0)
，则
P(XYY0)
.
三、解答题：15～ 23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
．．．
明过程 或演算步骤.
15、（本题满分10分）
设函数
f(x)xaln(1x) bxsinx
，
g(x)kx
，若
f(x)
与
g(x )
在
x0
是等价无穷小，
求
a
，
b
，< br>k
值。

16、（本题满分10分）
设函数在
f(x)< br>定义域
I
上的导数大于零，若对任意的
x
0
I
，曲 线
yf(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处
的切线与直线
xx
0
及x轴所围成的区域的面积为4，且
f( 0)2
，求
f(x)
的表达式
.
17、（本题满分10分） < br>已知函数
f(x,y)xyxy
，曲线
C:xyxy3
， 求
f(x,y)
在曲线
C
上的最大方向
导数.
18、（本题满分10分）
(Ⅰ)设函数
u(x),v(x)
可导，利用导数定义证明
22
3
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

(Ⅱ)设函数
u
1
(x),u
2
(x)...u
n
(x)
可导，
f
19、（本题满分10分）
(x)u
1
(x)u
2
(x)...u
n
(x),
写出
f(x )
的求导公式.


z2x
2
y
2
,
已知曲线
L
的方程为

起点为
A(0,2,0)
，终点为
B(0,2,0)
，计算曲线积


zx,
分
I

L
(yz)dx(z
2
x
2
y)dy(x
2
y
2
)dz



20、（本题满分11分）

设向量组

1
,

2
,

3
是3维向量空间
¡
3
的一个 基，

1
2

1
2k

3
，

2
2

2
，

3


1
(k1)

3
。
（Ⅰ）证明向量组
< br>1
,

2
,

3
是
¡
3< br>的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量

在基

1
,

2
,

3
与基

1
,

2
,

3
下的坐标相同，并求出所有
的

。
21、（本题满分11分）

02-3

1-20



设矩阵
A-133
相似于矩阵
B0b0
.



1-2a


031



（Ⅰ）求
a,b
的值.
（Ⅱ）求可逆矩阵
P
，使得
P
22、（本题满分11分）
设随机变量
X
的概率密度为
1
AP
为对角阵.

2
-x
ln2x0
f(x)=


0 x0

对
X
进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止， 记
Y
（Ⅰ）求
Y
的概率分布；
（Ⅱ）求
EY
.
23、（本题满分11分）
设总体
X
的概率密度为
为观测次数.

1

f(x;

)=

1



0

x1
其他

其中

为未知参数，
X
1
，X
2
.....X
n
为来自该总体的简单随机样本.
（Ⅰ）求

的矩估计.
（Ⅱ）求

的最大似然估计.