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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1～8小题，每小题 4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一
个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
．．．
(1)下列反常积分中收敛的是（）

（A）

2
1
dx
（B）
x


2
lnx
dx
(C)
x
2


2
1
dx
(D)
xlnx


2
x
dx

e< br>x
sint
x
t
)
在
(,)
内（） (2)函数
f(x)lim(1
t0
x
（A）连续（B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点(D)有无穷间断点
1



xcos

,x0
(

0,

0)
，若
f

(x)
在
x0
处连续，则（） (3)设函数
f(x) 

x

0,x0

（A）



1
(B)
0



1
(C)< br>


2
(D)
0


2

(4)设函数
f(x)
在
(,)
连续， 其二阶导函数
f

(x)
的图形如右图所示，则曲线
yf(x)
的拐点个数为（）
（A）0(B)1(C)2(D)3
f
f
y
(5).设函数
f(u，v)
满足
f(xy,)x
2
y
2
，则与
u
u1
v
x
v1
依 次是（）
u1
v1
1111
（A）,0(B)0，（C）-,0(D)0,- < br>2222
(6).设D是第一象限中曲线
2xy1,4xy1
与直线
yx,y3x
围成的平面区域，函
数
f(x,y)
在D上连续，则
f(x,y)dxdy
=（）
D


（A）


2
d


4
1
sin2
1
2sin2


f(rcos

,rsi n

)dr
（B）


2
d


4
1
sin2

1
2sin2

1
sin2

1
2sin2

f(rcos

,r sin

)dr


（C）


3
d


4
1
sin2

1
2sin2< br>

f(rcos

,rsin

)dr
（ D）


3
d


4
f(rcos

,rsin

)dr


111

1


(7)．设矩阵A=

12a

，b =

d

,若集合Ω=

1,2

，则线 性方程组
Axb
有无穷

14a
2

d
2


多个解的充分必要条件为（）
（A）
a,d 
(B)
a,d
(C)
a,d
(D)
a ,d

22
y
3
,
其中(8)设二次型
f (x
1
,x
2
,x
3
)
在正交变换
xP y
下的标准形为
2y
1
2
y
2
P=(e
1
,e
2
,e
3
)
，若
Q(e
1
,e
3
,e
2
)
，则
f(x
1
,x< br>2
,x
3
)
在正交变换
xPy
下的标准形为（）
22222222
y
3
y
3
y
3
 y
3
(A):
2y
1
2
y
2
(B)2y
1
2
y
2
(C)
2y
1
2y
2
(D)
2y
1
2
y
2

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
．． ．

xarctant
d
2
y
(9)设

,则
2


3
dx
t1

y3t t
（10）函数
f(x)x
2
2
x
在
x0处的n阶导数
f
(n)
(0)

（11）设函数
f( x)
连续，

(x)

xf(t)dt,
若
< br>(1)
1
，

'
(1)5
，则
f(1) 

0
x
2
（12）设函数
yy(x)
是微分方 程
y
''
y
'
2y0
的解，且在
x0处
y(x)
取值3，则
y(x)
=
（13）若函数
z z(x,y)
由方程
e
x2y3z
xyz1
确定，则dz
(0,0)
=
（14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，
B A
2
AE
，其中E为3阶单位矩阵，
则行列式
B
=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文
．． ．
字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）

设函 数
f(x)x

ln(1x)bxsinx
，
g(x)k x
2
，若
f(x)
与
g(x)
在
x0
是 等价无穷
小，求
a,b,k
的值。
16、（本题满分10分）
设
A0
，D是由曲线段
yAsinx(0x

2
)< br>及直线
yo,x

2
所形成的平面区域，
V
1< br>，
V
2
分别表示D绕X轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若
V
1
V
2
，求A的值。
17、（本题满分10分）
已知函数< br>f(x,y)
满足
f
xy

(x,y)2(y1)e
x
，
f
x
'
(x,0)(x1)e
x
，f(0,y)y
2
2y
，求
f(x,y)
的极值。
18、（本题满分10分）
计算二重积分

x(xy)dxdy
，其中
D(x,y)x
2
y
2
2,yx
2
。
D

19、（本题满分10分）
已知函数
f(x)
1tdt

x
1
2
x
2
11tdt
，求
f(x)
零点的个数。
20、（本题满分11分） < br>已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体
和介质的温差 成正比，现将一初始温度为120
0
C
的物体在20
0
C
恒 温介质中冷却，
30min后该物体温度降至30
0
C
，若要使物体的温度继 续降至21
0
C
，还需冷却多长时
间？
21、（本题满分11分）
已知函数
f

x

在区间

a，+
上具有2阶导数，
f

a

0
，
f


x

0
，
f''

x< br>
0
，设

ba
，曲线
yf

x

在点

b,f

b


处 的切线与
x
轴的交点是

x
0
，0

，证 明
ax
0
b
。
22、（本题满分11分）

a10


设矩阵
A

1a1

且
A
3
O
.


01a


(1)

求
a
的值；

(2)

若矩阵
X
满足
XXA
2
AXAXA
2
E
，
E
为3阶单位阵，求
X
.

23、（本题满分11分）


023

120


设矩阵
A 

133

，相似于矩阵
B

0b0
，

12a


031



（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使
P
1
AP
为对角矩阵。